3.9 弧长及扇形的面积 课件(共42张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件
文档属性
| 名称 | 3.9 弧长及扇形的面积 课件(共42张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 13.1MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 北师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 07:23:16 | ||
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文档简介
(共42张PPT)
第 1 页：封面页
标题：3.9 弧长及扇形的面积
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为 “圆的弧长示意图”（标注圆心角 n°、半径 R、弧长 l），右侧为 “扇形面积示意图”（标注扇形 OAB、圆心角 n°、半径 R、面积 S），底部标注核心公式 “l=nπR/180”“S=nπR /360”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解弧长、扇形的定义，掌握弧长公式（l=nπR/180）与扇形面积公式（S=nπR /360、S=1/2lR）的推导过程，能根据圆心角、半径计算弧长与扇形面积。
能力目标：通过公式推导培养逻辑推理能力，运用弧长与扇形面积公式解决 “几何组合图形计算”“实际场景应用” 等问题，提升数学运算与综合分析能力。
素养目标：体会 “部分与整体” 的比例思想（弧长 / 扇形面积是圆周长 / 面积的一部分），感受数学公式的严谨性，培养数形结合与转化思想。
第 3 页：情境导入 弧长与扇形的现实意义
生活情境（配图）：
自行车轮转动时，轮上某点转过的轨迹是一段弧，需要计算这段弧的长度来确定车轮前进的距离；
扇子打开后，扇面的形状是扇形，需要计算扇形面积来设计扇面的图案大小；
蛋糕店将圆形蛋糕切下一块，切下的部分（扇形）的面积与圆心角大小相关。
思考引入：
弧的长度与圆的半径、弧所对的圆心角有什么关系？
扇形的面积与圆的面积、扇形的圆心角有什么关系？能否通过弧长计算扇形面积？
第 4 页：核心模块 1 弧长公式的推导与应用
1. 弧长的定义
圆上任意两点间的部分叫做弧，弧的长度叫做弧长，用字母 l 表示。
特别地，整圆的弧长就是圆的周长（C=2πR），半圆的弧长是 πR。
2. 弧长公式推导（基于 “部分与整体” 的比例）
核心思路：弧长是圆周长的一部分，该部分占比等于 “弧所对的圆心角 n°” 与 “整圆圆心角 360°” 的比值。
推导过程：
设圆的半径为 R，整圆的周长 C=2πR，对应的圆心角为 360°；
若某弧所对的圆心角为 n°，则该弧长 l 占圆周长的比例为 n/360；
故弧长 l=（n/360）×C=（n/360）×2πR= nπR/180。
公式说明：
l：弧长；n：弧所对的圆心角（单位：度）；R：圆的半径；
若圆心角以 “弧度” 为单位，公式为 l=Rθ（θ 为弧度制圆心角），初中阶段重点掌握角度制公式。
3. 弧长公式应用
例题 1：已知⊙O 的半径 R=6cm，求圆心角为 60° 的弧长 l。
解答：l=nπR/180=60×π×6/180=2π≈6.28cm。
例题 2：已知一段弧的长为 10πcm，对应的圆心角为 150°，求该弧所在圆的半径 R。
解答：由 l=nπR/180 得 R=180l/(nπ)=180×10π/(150π)=12cm。
第 5 页：核心模块 2 扇形面积公式的推导与应用
1. 扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形。
特别地，整圆可以看作圆心角为 360° 的扇形，半圆可以看作圆心角为 180° 的扇形。
2. 扇形面积公式推导（两种方法）
方法一：基于 “部分与整体” 的比例
推导过程：
设圆的半径为 R，整圆的面积 S 圆 =πR ，对应的圆心角为 360°；
若扇形的圆心角为 n°，则扇形面积 S 占圆面积的比例为 n/360；
故扇形面积 S=（n/360）×S 圆 = nπR /360。
方法二：基于 “弧长与扇形面积的关联”
推导过程：
扇形可以看作 “以弧为底、半径为高的曲边三角形”，类比三角形面积公式 “面积 = 1/2× 底 × 高”；
此处 “底” 为弧长 l，“高” 为半径 R，故扇形面积 S= 1/2lR；
验证：将 l=nπR/180 代入 S=1/2lR，得 S=1/2×(nπR/180)×R=nπR /360，与方法一结果一致，说明公式正确。
3. 扇形面积公式应用
例题 3：已知⊙O 的半径 R=8cm，圆心角为 90° 的扇形，求扇形面积 S。
解答：
方法一（用圆心角）：S=nπR /360=90×π×8 /360=16π≈50.24cm ；
方法二（用弧长）：先求弧长 l=90×π×8/180=4π，再求 S=1/2lR=1/2×4π×8=16π≈50.24cm 。
例题 4：已知扇形的弧长 l=6πcm，半径 R=4cm，求扇形面积 S。
解答：S=1/2lR=1/2×6π×4=12π≈37.68cm （优先用此公式，无需计算圆心角）。
第 6 页：典例精讲 弧长与扇形面积的综合应用
例题 5：几何组合图形计算（扇形与三角形结合）
如图，在⊙O 中，OA=OB=6cm，∠AOB=120°，求阴影部分（扇形 OAB 减去△OAB）的面积。
解答步骤：
计算扇形 OAB 的面积：S 扇形 = nπR /360=120×π×6 /360=12π cm ；
计算△OAB 的面积：过 O 作 OC⊥AB 于 C，∠AOC=60°，OC=OA×cos60°=3cm，AB=2×OA×sin60°=6√3 cm，故 S△OAB=1/2×AB×OC=1/2×6√3×3=9√3≈15.59 cm ；
阴影部分面积 = S 扇形 - S△OAB=12π - 9√3≈37.70 - 15.59≈22.11 cm 。
例题 6：实际场景应用（扇环面积）
一个圆形花坛的半径为 10m，在花坛外围修一条宽 2m 的环形小路，且小路的圆心角为 180°（半圆环形），求小路的面积（即扇环面积）。
解答步骤：
扇环面积 = 大扇形面积 - 小扇形面积；
小扇形半径 R =10m，大扇形半径 R =10+2=12m，圆心角 n=180°；
小扇形面积 S =180×π×10 /360=50π m ；
大扇形面积 S =180×π×12 /360=72π m ；
小路面积 = S - S =72π - 50π=22π≈69.12 m 。
第 7 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
公式单位混淆：忽略圆心角的单位是 “度”，误将弧度制圆心角代入角度制公式（如用 n=π/2 弧度代入 l=nπR/180，导致结果错误）；
扇形面积公式记错：将 “\(S=\frac{n\pi R^2}{360}\)” 记为 “\(S=\frac{n\pi R}{360}\)”（遗漏 R 的平方），或 “\(S=\frac{1}{2}lR\)” 记为 “\(S=lR\)”（遗漏系数 1/2）；
组合图形计算错误：计算 “扇形减三角形”“扇环” 等组合图形时，误将 “半径” 当作 “其他线段长度”（如例题 5 中误用 OA 当作△OAB 的高）。
避坑技巧：
应用公式前，先确认圆心角单位为 “度”，若题目未说明，默认是角度制；
记忆公式时结合 “比例思想”：弧长是周长的 n/360，扇形面积是圆面积的 n/360，避免记错系数；
组合图形计算时，先拆分图形（如扇环拆分为大扇形和小扇形），标注各部分的半径、圆心角，再代入公式。
第 8 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）已知圆的半径 R=5cm，圆心角为 72° 的弧长 l=______cm，对应的扇形面积 S=______cm 。（答案：2π≈6.28，5π≈15.7）
（2）扇形的弧长 l=12πcm，圆心角 n=180°，则扇形的半径 R=______cm，面积 S=______cm 。（答案：12，72π≈226.08）
中档题：
如图，⊙O 的半径 R=4cm，∠AOB=90°，求阴影部分（扇形 OAB）的弧长与面积。（答案：弧长 2π cm，面积 4π cm ）
提升题：
一个扇形的面积为 24π cm ，弧长为 8π cm，求该扇形的半径 R 和圆心角 n。（答案：R=6cm，n=240°，提示：联立 S=1/2lR 和 S=nπR /360 求解）
第 9 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心公式：
弧长公式：\(l=\frac{n\pi R}{180}\)（n 为圆心角，R 为半径）；
扇形面积公式：\(S=\frac{n\pi R^2}{360}\)（用圆心角）、\(S=\frac{1}{2}lR\)（用弧长）；
推导思想：基于 “部分与整体的比例”，弧长 / 扇形面积是圆周长 / 面积的 n/360（n 为圆心角）；
应用关键：根据已知条件选择公式（已知圆心角和半径用第一个公式，已知弧长和半径用第二个公式），组合图形需拆分计算。
作业：
基础作业：教材习题 3.9 第 1、2、3 题（弧长与扇形面积计算）；
拓展作业：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4cm，以 C 为圆心、CA 为半径画弧 AB，求弧 AB 的长与扇形 CAB 的面积（答案：弧长 2π cm，面积 4π cm ）；
实践作业：测量家中圆形钟表的半径，计算时针从 12 时到 3 时转过的弧长与对应的扇形面积。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.9 弧长及扇形的面积
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 你注意到了吗，在运动会的 4×100 米比赛中，各选手的起跑线不再同一处，你知道这是为什么吗？
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
探究一 如图，某传送带的一个转动轮的半径为 10 cm.
（1）转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
A
2πr
= 20π cm
1
弧长的计算
如图，某传送带的一个转动轮的半径为 10 cm.
（2）转动轮转1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
A
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（3）转动轮转 n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
A
在半径为 R 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长的计算公式为_____________________.
n 表示 1° 圆心角的倍数.
°
°
归纳总结
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算如图所示的管道的展直长度，即弧 AB 的长度（结果精确到 0.1 mm）.
40 mm
110°
A
B
典例精析
解：R＝40 mm，n＝110，
所以 的长
因此，管道的展直长度约为 76.8 mm.
1.(广西)如图在 △ABC 中，CA = CB = 4，∠BAC = α 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 2α 得到 △AB′C′ 连接 B′C 并延长交 AB 于点 D，当 B′D⊥AB 时， 的长是 ( )
B
链接中考
想一想
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长 3 m 的绳子，绳子的一端栓着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
πr2 = 9π m2
半径为 3 m 的圆的面积
扇形面积的计算
2
（2）如果这只狗只能绕柱子转过 n° 角，
那么它的最大活动区域有多大？
狗活动的区域是一个什么图形呢？如何求它的面积？
n°
探究二 如何求圆的部分面积
扇形
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
°
合作探究
问题1 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．你能类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式吗？
360° 所对的扇形的面积：
1° 所对的扇形的面积：
πR2
360
πR2
问题2 圆心角是 n° 的扇形的面积呢？
°
归纳总结
如果扇形的半径为 R，圆心角为 n°，那么扇形面积的计算公式为S扇形=________.
°
探究三 圆心角是 n° 所对的弧长公式和扇形的面积公式之间的关系.
R
总结
圆心角为 n° 的扇形的面积是:
方法总结
2.(兰州)如图 1 是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板；该展板的部分示意图如图 2 所示；它是以 O 为圆心，OA，OB 长分别为半径，圆心角∠O =120° 形成的扇面，若 OA = 3m ，OB =1.5m，则阴影部分的面积为 ( )
A. 4.25π m2 B. 3.25π m2 C. 3π m2 D. 2.25π m2
D
链接中考
例2 扇形 AOB 的半径为 12 cm，∠AOB = 120°，求 的长（结果精确到 0.1 cm）和扇形 AOB 的面积（结果精确到 0.1 cm2）.
典例精析
因此， 的长约为 25.1 cm，扇形 AOB 的面积约为150.7 cm2.
例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2).
∵ OC＝0.6，DC＝0.3，
∴ OD＝OC - DC＝0.3.
∴ OD＝DC.
又 AD⊥OC，
∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线.
∴ AC＝AO＝OC.
从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.
解：如图，连接 OA、OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交 于点 C，连接 AC.
在 Rt△AOD 中，OA = 0.6 m，OD = 0.3 m，
∴ AD = m.
∴ AB = 2AD = m.
∴ 截面上有水部分的面积为
S = S扇形AOB - SΔOAB
O
O
弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积
弓形的面积公式:
S弓形 = S扇形 - S三角形
S弓形 = S扇形 + S三角形
方法总结
2. 某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为 ( )
A．π B．2π C．3π D．4π
B
1. 75° 的圆心角所对的弧长是 2.5π cm，则此弧所在圆的半径是_____cm.
6
3. 如图，某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形 ABD 的面积为______.
25
4.(宜昌)“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形如图以边长为 2 厘米的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积是_____________________.
S莱洛三角形= (S扇形BAC -S△ABC)×3+S△ABC
5．一个扇形的弧长为 20π cm，面积是 240π cm2，则 该扇形的圆心角为多少
解：设扇形半径为 R，圆心角为 n°，由扇形
公式
答：该扇形的圆心角为150°．
可得
（cm）
返回
B
1.
正十边形的中心角的度数为( )
A．30°
B．36°
C．45°
D．60°
返回
2.
C
正多边形的中心角为45°，则该正多边形的边数是( )
A．4
B．6
C．8
D．12
返回
3.
A
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.若AB＝4，则⊙O的直径为( )
A．8
B．10
C．12
D．14
返回
4.
B
返回
5.
B
[教材P97“例”变式]如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的周长为4π，则正方形ABCD的边心距为( )
返回
6.
D
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝( )
A．60°
B．54°
C．48°
D．36°
返回
7.
8
如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝22.5°，则这个正多边形的边数为________.
返回
8.
如图，某螺帽的横截面为正六边形，边长a＝12 mm，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b至少要________mm.
9.
如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC．甲、乙两人的作法分别是：
甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于点B，C；②连接AB，AC，△ABC即为所求作的三角形.
乙：①以点D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于点B，C；②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求作的三角形.
A
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
A．甲、乙均正确
B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
返回
返回
10.
解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求．
(4分)如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法，保留作图痕迹)
返回
11.
A
[教材P99“习题3.10”第4题变式]半径为R的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
返回
12.
C
我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图①，由圆内接正六边形可算出π≈3.若利用图②的圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为( )
A．12sin 30° B．12cos 30°
C．12sin 15° D．12cos 15°
返回
13.
计算公式
弧长
面积公式
面积公式
________
扇形
弓形
________
________
S弓形 = S扇形 - S三角形
S弓形 = S扇形 + S三角形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：3.9 弧长及扇形的面积
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为 “圆的弧长示意图”（标注圆心角 n°、半径 R、弧长 l），右侧为 “扇形面积示意图”（标注扇形 OAB、圆心角 n°、半径 R、面积 S），底部标注核心公式 “l=nπR/180”“S=nπR /360”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解弧长、扇形的定义，掌握弧长公式（l=nπR/180）与扇形面积公式（S=nπR /360、S=1/2lR）的推导过程，能根据圆心角、半径计算弧长与扇形面积。
能力目标：通过公式推导培养逻辑推理能力，运用弧长与扇形面积公式解决 “几何组合图形计算”“实际场景应用” 等问题，提升数学运算与综合分析能力。
素养目标：体会 “部分与整体” 的比例思想（弧长 / 扇形面积是圆周长 / 面积的一部分），感受数学公式的严谨性，培养数形结合与转化思想。
第 3 页：情境导入 弧长与扇形的现实意义
生活情境（配图）：
自行车轮转动时，轮上某点转过的轨迹是一段弧，需要计算这段弧的长度来确定车轮前进的距离；
扇子打开后，扇面的形状是扇形，需要计算扇形面积来设计扇面的图案大小；
蛋糕店将圆形蛋糕切下一块，切下的部分（扇形）的面积与圆心角大小相关。
思考引入：
弧的长度与圆的半径、弧所对的圆心角有什么关系？
扇形的面积与圆的面积、扇形的圆心角有什么关系？能否通过弧长计算扇形面积？
第 4 页：核心模块 1 弧长公式的推导与应用
1. 弧长的定义
圆上任意两点间的部分叫做弧，弧的长度叫做弧长，用字母 l 表示。
特别地，整圆的弧长就是圆的周长（C=2πR），半圆的弧长是 πR。
2. 弧长公式推导（基于 “部分与整体” 的比例）
核心思路：弧长是圆周长的一部分，该部分占比等于 “弧所对的圆心角 n°” 与 “整圆圆心角 360°” 的比值。
推导过程：
设圆的半径为 R，整圆的周长 C=2πR，对应的圆心角为 360°；
若某弧所对的圆心角为 n°，则该弧长 l 占圆周长的比例为 n/360；
故弧长 l=（n/360）×C=（n/360）×2πR= nπR/180。
公式说明：
l：弧长；n：弧所对的圆心角（单位：度）；R：圆的半径；
若圆心角以 “弧度” 为单位，公式为 l=Rθ（θ 为弧度制圆心角），初中阶段重点掌握角度制公式。
3. 弧长公式应用
例题 1：已知⊙O 的半径 R=6cm，求圆心角为 60° 的弧长 l。
解答：l=nπR/180=60×π×6/180=2π≈6.28cm。
例题 2：已知一段弧的长为 10πcm，对应的圆心角为 150°，求该弧所在圆的半径 R。
解答：由 l=nπR/180 得 R=180l/(nπ)=180×10π/(150π)=12cm。
第 5 页：核心模块 2 扇形面积公式的推导与应用
1. 扇形的定义
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形，叫做扇形。
特别地，整圆可以看作圆心角为 360° 的扇形，半圆可以看作圆心角为 180° 的扇形。
2. 扇形面积公式推导（两种方法）
方法一：基于 “部分与整体” 的比例
推导过程：
设圆的半径为 R，整圆的面积 S 圆 =πR ，对应的圆心角为 360°；
若扇形的圆心角为 n°，则扇形面积 S 占圆面积的比例为 n/360；
故扇形面积 S=（n/360）×S 圆 = nπR /360。
方法二：基于 “弧长与扇形面积的关联”
推导过程：
扇形可以看作 “以弧为底、半径为高的曲边三角形”，类比三角形面积公式 “面积 = 1/2× 底 × 高”；
此处 “底” 为弧长 l，“高” 为半径 R，故扇形面积 S= 1/2lR；
验证：将 l=nπR/180 代入 S=1/2lR，得 S=1/2×(nπR/180)×R=nπR /360，与方法一结果一致，说明公式正确。
3. 扇形面积公式应用
例题 3：已知⊙O 的半径 R=8cm，圆心角为 90° 的扇形，求扇形面积 S。
解答：
方法一（用圆心角）：S=nπR /360=90×π×8 /360=16π≈50.24cm ；
方法二（用弧长）：先求弧长 l=90×π×8/180=4π，再求 S=1/2lR=1/2×4π×8=16π≈50.24cm 。
例题 4：已知扇形的弧长 l=6πcm，半径 R=4cm，求扇形面积 S。
解答：S=1/2lR=1/2×6π×4=12π≈37.68cm （优先用此公式，无需计算圆心角）。
第 6 页：典例精讲 弧长与扇形面积的综合应用
例题 5：几何组合图形计算（扇形与三角形结合）
如图，在⊙O 中，OA=OB=6cm，∠AOB=120°，求阴影部分（扇形 OAB 减去△OAB）的面积。
解答步骤：
计算扇形 OAB 的面积：S 扇形 = nπR /360=120×π×6 /360=12π cm ；
计算△OAB 的面积：过 O 作 OC⊥AB 于 C，∠AOC=60°，OC=OA×cos60°=3cm，AB=2×OA×sin60°=6√3 cm，故 S△OAB=1/2×AB×OC=1/2×6√3×3=9√3≈15.59 cm ；
阴影部分面积 = S 扇形 - S△OAB=12π - 9√3≈37.70 - 15.59≈22.11 cm 。
例题 6：实际场景应用（扇环面积）
一个圆形花坛的半径为 10m，在花坛外围修一条宽 2m 的环形小路，且小路的圆心角为 180°（半圆环形），求小路的面积（即扇环面积）。
解答步骤：
扇环面积 = 大扇形面积 - 小扇形面积；
小扇形半径 R =10m，大扇形半径 R =10+2=12m，圆心角 n=180°；
小扇形面积 S =180×π×10 /360=50π m ；
大扇形面积 S =180×π×12 /360=72π m ；
小路面积 = S - S =72π - 50π=22π≈69.12 m 。
第 7 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
公式单位混淆：忽略圆心角的单位是 “度”，误将弧度制圆心角代入角度制公式（如用 n=π/2 弧度代入 l=nπR/180，导致结果错误）；
扇形面积公式记错：将 “\(S=\frac{n\pi R^2}{360}\)” 记为 “\(S=\frac{n\pi R}{360}\)”（遗漏 R 的平方），或 “\(S=\frac{1}{2}lR\)” 记为 “\(S=lR\)”（遗漏系数 1/2）；
组合图形计算错误：计算 “扇形减三角形”“扇环” 等组合图形时，误将 “半径” 当作 “其他线段长度”（如例题 5 中误用 OA 当作△OAB 的高）。
避坑技巧：
应用公式前，先确认圆心角单位为 “度”，若题目未说明，默认是角度制；
记忆公式时结合 “比例思想”：弧长是周长的 n/360，扇形面积是圆面积的 n/360，避免记错系数；
组合图形计算时，先拆分图形（如扇环拆分为大扇形和小扇形），标注各部分的半径、圆心角，再代入公式。
第 8 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）已知圆的半径 R=5cm，圆心角为 72° 的弧长 l=______cm，对应的扇形面积 S=______cm 。（答案：2π≈6.28，5π≈15.7）
（2）扇形的弧长 l=12πcm，圆心角 n=180°，则扇形的半径 R=______cm，面积 S=______cm 。（答案：12，72π≈226.08）
中档题：
如图，⊙O 的半径 R=4cm，∠AOB=90°，求阴影部分（扇形 OAB）的弧长与面积。（答案：弧长 2π cm，面积 4π cm ）
提升题：
一个扇形的面积为 24π cm ，弧长为 8π cm，求该扇形的半径 R 和圆心角 n。（答案：R=6cm，n=240°，提示：联立 S=1/2lR 和 S=nπR /360 求解）
第 9 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心公式：
弧长公式：\(l=\frac{n\pi R}{180}\)（n 为圆心角，R 为半径）；
扇形面积公式：\(S=\frac{n\pi R^2}{360}\)（用圆心角）、\(S=\frac{1}{2}lR\)（用弧长）；
推导思想：基于 “部分与整体的比例”，弧长 / 扇形面积是圆周长 / 面积的 n/360（n 为圆心角）；
应用关键：根据已知条件选择公式（已知圆心角和半径用第一个公式，已知弧长和半径用第二个公式），组合图形需拆分计算。
作业：
基础作业：教材习题 3.9 第 1、2、3 题（弧长与扇形面积计算）；
拓展作业：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4cm，以 C 为圆心、CA 为半径画弧 AB，求弧 AB 的长与扇形 CAB 的面积（答案：弧长 2π cm，面积 4π cm ）；
实践作业：测量家中圆形钟表的半径，计算时针从 12 时到 3 时转过的弧长与对应的扇形面积。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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3.9 弧长及扇形的面积
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 你注意到了吗，在运动会的 4×100 米比赛中，各选手的起跑线不再同一处，你知道这是为什么吗？
问题2 怎样来计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
探究一 如图，某传送带的一个转动轮的半径为 10 cm.
（1）转动轮转一周，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
A
2πr
= 20π cm
1
弧长的计算
如图，某传送带的一个转动轮的半径为 10 cm.
（2）转动轮转1°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
A
如图，某传送带的一个转动轮的半径为10cm.
（3）转动轮转 n°，传送带上的物品 A 被传送多少厘米？
A
在半径为 R 的圆中，n° 的圆心角所对的弧长的计算公式为_____________________.
n 表示 1° 圆心角的倍数.
°
°
归纳总结
例1 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料.试计算如图所示的管道的展直长度，即弧 AB 的长度（结果精确到 0.1 mm）.
40 mm
110°
A
B
典例精析
解：R＝40 mm，n＝110，
所以 的长
因此，管道的展直长度约为 76.8 mm.
1.(广西)如图在 △ABC 中，CA = CB = 4，∠BAC = α 将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 2α 得到 △AB′C′ 连接 B′C 并延长交 AB 于点 D，当 B′D⊥AB 时， 的长是 ( )
B
链接中考
想一想
在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上栓着一条长 3 m 的绳子，绳子的一端栓着一只狗.
（1）这只狗的最大活动区域有多大？
πr2 = 9π m2
半径为 3 m 的圆的面积
扇形面积的计算
2
（2）如果这只狗只能绕柱子转过 n° 角，
那么它的最大活动区域有多大？
狗活动的区域是一个什么图形呢？如何求它的面积？
n°
探究二 如何求圆的部分面积
扇形
扇形：由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形．
°
合作探究
问题1 由扇形的定义可知，扇形面积就是圆面积的一部分．你能类比刚才我们研究弧长公式的方法推导出扇形面积的计算公式吗？
360° 所对的扇形的面积：
1° 所对的扇形的面积：
πR2
360
πR2
问题2 圆心角是 n° 的扇形的面积呢？
°
归纳总结
如果扇形的半径为 R，圆心角为 n°，那么扇形面积的计算公式为S扇形=________.
°
探究三 圆心角是 n° 所对的弧长公式和扇形的面积公式之间的关系.
R
总结
圆心角为 n° 的扇形的面积是:
方法总结
2.(兰州)如图 1 是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板；该展板的部分示意图如图 2 所示；它是以 O 为圆心，OA，OB 长分别为半径，圆心角∠O =120° 形成的扇面，若 OA = 3m ，OB =1.5m，则阴影部分的面积为 ( )
A. 4.25π m2 B. 3.25π m2 C. 3π m2 D. 2.25π m2
D
链接中考
例2 扇形 AOB 的半径为 12 cm，∠AOB = 120°，求 的长（结果精确到 0.1 cm）和扇形 AOB 的面积（结果精确到 0.1 cm2）.
典例精析
因此， 的长约为 25.1 cm，扇形 AOB 的面积约为150.7 cm2.
例3 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2).
∵ OC＝0.6，DC＝0.3，
∴ OD＝OC - DC＝0.3.
∴ OD＝DC.
又 AD⊥OC，
∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线.
∴ AC＝AO＝OC.
从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.
解：如图，连接 OA、OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交 于点 C，连接 AC.
在 Rt△AOD 中，OA = 0.6 m，OD = 0.3 m，
∴ AD = m.
∴ AB = 2AD = m.
∴ 截面上有水部分的面积为
S = S扇形AOB - SΔOAB
O
O
弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积
弓形的面积公式:
S弓形 = S扇形 - S三角形
S弓形 = S扇形 + S三角形
方法总结
2. 某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为 ( )
A．π B．2π C．3π D．4π
B
1. 75° 的圆心角所对的弧长是 2.5π cm，则此弧所在圆的半径是_____cm.
6
3. 如图，某数学兴趣小组将边长为 5 的正方形铁丝框 ABCD 变形为以 A 为圆心，AB 为半径的扇形(忽略铁丝的粗细)，则所得扇形 ABD 的面积为______.
25
4.(宜昌)“莱洛三角形”是工业生产中加工零件时广泛使用的一种图形如图以边长为 2 厘米的等边三角形ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧三段圆弧围成的图形就是“莱洛三角形”，该“莱洛三角形”的面积是_____________________.
S莱洛三角形= (S扇形BAC -S△ABC)×3+S△ABC
5．一个扇形的弧长为 20π cm，面积是 240π cm2，则 该扇形的圆心角为多少
解：设扇形半径为 R，圆心角为 n°，由扇形
公式
答：该扇形的圆心角为150°．
可得
（cm）
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B
1.
正十边形的中心角的度数为( )
A．30°
B．36°
C．45°
D．60°
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2.
C
正多边形的中心角为45°，则该正多边形的边数是( )
A．4
B．6
C．8
D．12
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3.
A
如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O.若AB＝4，则⊙O的直径为( )
A．8
B．10
C．12
D．14
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4.
B
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5.
B
[教材P97“例”变式]如图，正方形ABCD内接于⊙O，若⊙O的周长为4π，则正方形ABCD的边心距为( )
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6.
D
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，连接OC，OD，则∠BAE－∠COD＝( )
A．60°
B．54°
C．48°
D．36°
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7.
8
如图，A，B，C，D为一个正多边形的顶点，点O为正多边形的中心，若∠ADB＝22.5°，则这个正多边形的边数为________.
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8.
如图，某螺帽的横截面为正六边形，边长a＝12 mm，要拧开此螺帽，扳手张开的开口b至少要________mm.
9.
如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正三角形ABC．甲、乙两人的作法分别是：
甲：①作OD的垂直平分线，交⊙O于点B，C；②连接AB，AC，△ABC即为所求作的三角形.
乙：①以点D为圆心，OD的长为半径作圆弧，交⊙O于点B，C；②连接AB，BC，CA，△ABC即为所求作的三角形.
A
对于甲、乙两人的作法，下列判断正确的是( )
A．甲、乙均正确
B．甲、乙均错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
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10.
解：如图，正八边形ABCDEFGH即为所求．
(4分)如图，已知⊙O和⊙O上的一点A，作⊙O的内接正八边形ABCDEFGH.(不写作法，保留作图痕迹)
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11.
A
[教材P99“习题3.10”第4题变式]半径为R的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系是( )
A．a＜b＜c
B．b＜a＜c
C．a＜c＜b
D．c＜b＜a
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12.
C
我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图①，由圆内接正六边形可算出π≈3.若利用图②的圆内接正十二边形来计算圆周率，则圆周率π约为( )
A．12sin 30° B．12cos 30°
C．12sin 15° D．12cos 15°
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13.
计算公式
弧长
面积公式
面积公式
________
扇形
弓形
________
________
S弓形 = S扇形 - S三角形
S弓形 = S扇形 + S三角形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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