第三章 圆【章末复习】 课件(共73张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共73张PPT)
第 1 页：封面页
标题：第三章 圆 章末系统复习
副标题：北师大版九年级数学下册 | 整合知识 突破题型 提升素养
配图：左侧为 “圆的知识网络图”（基础概念→性质定理→位置关系→计算应用），右侧为典型例题缩略图（垂径定理计算、切线判定、弧长与扇形面积求解）
落款：复习课教师 / 日期
第 2 页：复习目标
知识整合：构建圆的完整知识体系，掌握圆的定义、性质（对称性、垂径定理、圆周角定理）、位置关系（点与圆、直线与圆）及计算（弧长、扇形面积），厘清各知识点间的逻辑关联。
能力突破：能灵活运用圆的性质定理解决 “几何证明”“线段与角度计算”“实际场景应用” 等问题，提升数形结合、逻辑推理与综合分析能力。
素养深化：强化 “圆的对称性”“转化与化归”“部分与整体” 等数学思想，培养严谨的解题习惯，为后续几何综合题学习奠定基础。
第 3 页：知识框架 圆的全景图
第 4 页：核心板块一 基础概念与性质定理
1. 圆的定义与相关概念
定义辨析：
动态定义：平面内动点绕定点旋转一周的轨迹（强调 “封闭曲线”，非圆面）；
静态定义：平面内到定点距离等于定长的点的集合（圆心定位置，半径定大小）。
关键概念对比：
概念
本质特征
易错提醒
弦与直径
直径是过圆心的特殊弦
直径是圆中最长的弦，弦不一定是直径
弧与半圆
半圆是 180° 的弧，优弧 > 180°，劣弧 < 180°
优弧需用三点表示（如⌒ACB）
等弧
同圆 / 等圆中能重合的弧
仅长度相等的弧不一定是等弧
2. 核心性质定理（表格式梳理）
定理名称
核心内容
应用场景
垂径定理
垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧（知二推三）
求弦长 / 圆心距 / 半径
圆心角定理
同圆 / 等圆中，相等的圆心角所对的弧相等、弦相等
证明弧 / 弦相等
圆周角定理
同弧 / 等弧所对的圆周角 = 圆心角的一半；直径所对的圆周角是直角
角度计算 / 证明直角 / 判断直径
切线性质定理
切线垂直于过切点的半径；圆心到切线的距离 = 半径
构造直角三角形计算
切线判定定理
距离等于半径 / 过半径外端且垂直于半径
证明直线是圆的切线
切线长定理
圆外一点引圆的两条切线，切线长相等；圆心连线平分夹角
求切线长 / 角度 / 证明线段相等
第 5 页：核心板块二 位置关系与特殊图形
1. 位置关系判定（数量关系为核心）
点与圆：设圆半径为 r，点到圆心距离为 d：
dr→点在圆外。
直线与圆：设圆半径为 r，圆心到直线距离为 d：
d>r→相离（无交点）；d=r→相切（1 个交点，切线）；d2. 特殊图形关联
三角形与圆：
图形类型
圆心位置
半径计算
外接圆（外心）
三边垂直平分线交点
直角三角形：半径 = 斜边 / 2；一般三角形：用正弦定理 R=a/(2sinA)
内切圆（内心）
三条角平分线交点
半径 r=2S/(a+b+c)（S 为三角形面积，a+b+c 为周长）
圆内接正多边形：
中心角 α =360°/n；边长 a =2R sin (180°/n)；边心距 r =R cos (180°/n)；
面积 = 1/2× 周长 × 边心距（类比三角形面积公式）。
第 6 页：核心板块三 计算与实际应用
1. 关键公式汇总
计算类型
公式
注意事项
弧长
l=nπR/180（n 为圆心角，R 为半径）
圆心角单位为 “度”，若为弧度需转换
扇形面积
S=nπR /360 或 S=1/2lR（l 为弧长）
已知弧长优先用 S=1/2lR，简化计算
扇环面积
S=S 大扇形 - S 小扇形（大扇形半径 R，小扇形半径 r，圆心角相同）
需明确大、小扇形的半径与圆心角
2. 实际应用解题步骤
步骤：
建模：将实际场景转化为圆的几何问题（如桥拱→圆弧，钟表→圆心角与弧长）；
找条件：提取已知量（如跨度→弦长，拱高→圆心距与半径的关系）；
选公式：根据所求量（如半径 / 弧长 / 面积）选择对应公式；
验结果：验证结果是否符合实际意义（如长度为正，角度在 0°~360°）。
示例：桥拱问题（圆弧形）→ 用垂径定理 + 勾股定理求半径，再用弧长公式求拱长。
第 7 页：高频题型突破 分类解析
1. 性质定理证明题（以切线判定为例）
例题：如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD⊥CD 于 D，且 AC 平分∠DAB，求证：CD 是⊙O 的切线。
证明思路：
连接 OC（过圆心作半径，目标证 OC⊥CD）；
∵ OA=OC，∴ ∠OAC=∠OCA（等腰三角形）；
∵ AC 平分∠DAB，∴ ∠OAC=∠DAC；
∴ ∠OCA=∠DAC，故 OC∥AD（内错角相等）；
∵ AD⊥CD，∴ OC⊥CD，又 OC 是半径，∴ CD 是⊙O 的切线（切线判定定理）。
2. 线段与角度计算题（以垂径定理为例）
例题：⊙O 的半径为 5cm，弦 AB 的长为 8cm，求圆心 O 到 AB 的距离及弦 AB 所对的弧长（保留 π）。
解答步骤：
过 O 作 OE⊥AB 于 E，由垂径定理得 AE=AB/2=4cm；
在 Rt△OAE 中，OE=√(OA - AE )=√(5 - 4 )=3cm（圆心距）；
求弧长：连接 OB，在 Rt△OAE 中，cos∠AOE=OE/OA=3/5，故∠AOE=arccos (3/5)，∠AOB=2∠AOE；
若求劣弧 AB：l=∠AOB×π×5/180；若求优弧 AB：l=(360°-∠AOB)×π×5/180（具体角度需用三角函数表示，或题目给出特殊角）。
3. 综合应用题（以扇形面积与几何图形结合为例）
例题：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=2cm，以 C 为圆心、AC 为半径画弧 AB，求阴影部分（△ABC 减去扇形 CAB）的面积。
解答步骤：
计算△ABC 的面积：S△=1/2×AC×BC=1/2×2×2=2cm ；
计算扇形 CAB 的面积：圆心角∠ACB=90°，半径 R=2cm，S 扇形 = 90×π×2 /360=π cm ；
阴影部分面积 = S△ - S 扇形 = 2 - π≈2 - 3.14=-1.14？ 修正：扇形在△ABC 内部，故阴影面积 = 2 - π≈0.86cm （结果保留小数或代数式）。
第 8 页：易错点清零 避坑指南
概念混淆类：
误将 “圆” 与 “圆面” 混淆（圆是曲线，圆面是曲线及其内部）；
混淆 “外心” 与 “内心”（外心是垂直平分线交点，到顶点距离相等；内心是角平分线交点，到边距离相等）。
定理应用类：
垂径定理忽略 “弦非直径” 条件（平分直径的直线不一定垂直于直径）；
切线判定遗漏 “过半径外端”（仅垂直于半径但垂足在圆内，不是切线）。
计算失误类：
弧长 / 扇形面积公式记错系数（如漏写 l=nπR/180 中的 “180”，或 S=1/2lR 漏写 “1/2”）；
实际应用中误将 “跨度” 当作 “直径”（如桥拱跨度是弦长，非直径）。
第 9 页：章末检测 分层练习
基础题（巩固知识）
已知⊙O 的半径为 6cm，点 P 到圆心 O 的距离为 4cm，则点 P 在⊙O 的______（填 “内部”“外部” 或 “上”）。
圆内接正六边形的边长为 5cm，则该圆的半径为______cm，边心距为______cm。
扇形的圆心角为 60°，半径为 12cm，则弧长为______cm，面积为______cm 。
中档题（提升能力）
如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是弦，AB⊥CD 于 E，若 AE=2，EB=8，求 CD 的长及⊙O 的半径。
如图，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，∠APB=60°，PA=2√3，求⊙O 的半径。
提升题（综合应用）
一个圆形钟面的半径为 10cm，求时针从 1 时到 4 时转过的弧长及对应的扇形面积（π 取 3.14）。
如图，△ABC 的内切圆⊙I 与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，已知 AB=5，BC=6，AC=7，求 AD 的长及内切圆半径 r。
第 10 页：课堂小结与拓展
知识回顾：圆的核心是 “对称性”，所有性质定理（垂径定理、圆周角定理）均源于此；位置关系的本质是 “数量关系”（d 与 r 的比较）；计算的关键是 “部分与整体” 的比例（弧长 / 扇形面积是圆的一部分）。
思想提炼：
数形结合：用圆的图形直观分析代数关系（如 d 与 r 的大小对应位置关系）；
转化思想：将实际问题转化为圆的几何问题，将复杂图形拆分为基本图形（如扇环拆分为两个扇形）；
分类讨论：涉及弧长、圆周角时，需考虑优弧与劣弧、不同位置的角。
拓展延伸：探索圆与圆的位置关系，为高中几何学习铺垫；尝试用圆的性质解决综合几何题（如圆与三角形、四边形的结合）。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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小结与复习
第三章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
一、圆的基本概念及性质
1. 定义：平面上到定点的距离等于定长的所有点
组成的图形叫做圆.
2. 有关概念：
(1) 弦、直径(圆中最长的弦)
(2) 弧、优弧、劣弧、等弧
．
O
3. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
二、点与圆的位置关系
●A
● B
●C
点与圆的位置关系 点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 之间的关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
●O
d
r
d ＞ r
d = r
d ＜ r
三、圆的对称性
1. 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是
它的对称轴.圆有无数条对称轴.
2. 圆是中心对称图形，并且绕圆心旋转任何一
个角度都能与自身重合，
即圆具有旋转不变性.
．
3.在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，
所对的弦也相等．
4.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、
两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余
各组量都分别相等．
●O
A
B
C
D
M└
③AM=BM，
若 ① CD 是直径
② CD⊥AB
可推得
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧.
四、垂径定理及推论
④ ，
⑤ .
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
拓展：垂径定理的逆定理
②CD⊥AB,
由 ① CD 是直径
③ AM = BM
可推得
O
C
D
A
B
●
┗
M
④ ，
⑤ .
●
定义：顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的
一半.
五、圆周角和圆心角的关系
∠BAC = ∠BOC
C
A
B
O
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
∵∠ABC 与∠ADC 、∠AEC 是同弧所对的圆周角
∴∠ABC = ∠ADC = ∠AEC
●
O
推论：直径所对的圆周角是直角；
90° 的圆周角所对的弦是圆的直径.
推论：圆的内接四边形的对角互补.
A
B
O
C
D
六、直线和圆的位置关系
图形
直线与圆的 位置关系
公共点个数
圆心到直线的距离 d 与半径 r 的关系
2 个
1 个
0 个
相离
相切
相交
d＞r
d = r
d＜r
七、切线的判定与性质
1. 切线的判定一般有三种方法：
a. 定义法：和圆有唯一的一个公共点
b. 距离法： d = r
c. 判定定理：过半径的外端且垂直于半径
2. 切线的性质
圆的切线垂直于过切点的半径.
切线长定理：
过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等.
拓展：这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
切线长：
过圆外一点画圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.
3.切线长及切线长定理
八、三角形的内切圆及内心
1. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3. 三角形的内心就是三角形的三条角平分线的交点.
三角形的内心到三角形的三边的距离相等.
O
C
D
A
B
M
半径 R
圆心角
弦心距 d
弦a
圆心
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径 R
边心距 r
中心
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
弦心距
正多边形的边心距
M
九、圆内接正多边形
1.正 n 边形的中心角=
C
D
O
B
E
F
A
P
3. 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距 r 之间的关系：
a
R
r
4. 边长 a，边心距 r 的正 n 边形面积的计算：
其中 l 为正 n 边形的周长.
2.正多边形的内角=
计算公式：
(1) 弧长公式：
(2) 扇形面积公式：
十、弧长及扇形的面积
例1 如图，在 ⊙O 中，∠ABC = 50°，则 ∠CAO
等于（　　）
A．30° B．40°
C．50° D．60°
B
考点一 圆的有关概念及性质
例2 在图中，BC 是 ☉O 的直径，AD⊥BC,若∠D=36°,则 ∠BAD 的度数是（ ）
A. 72° B. 54°
C. 45° D. 36 °
A
B
C
D
B
例3 ☉O 的半径为 r，圆心到点 A 的距离为 d，且 r、d 分别是方程 x2－6x＋8＝0 的两根，则点 A 与 ☉O 的位置关系是（ ）
A．点 A 在 ☉O 内部 B．点 A 在 ☉O 上
C．点 A 在 ☉O 外部 D．点 A 不在 ☉O 上
解析：此题需先计算出一元二次方程 x2－6x＋8＝0 的两个根，然后再根据R与d的之间的关系判断出点 A 与 ☉O 的关系.
D
1. 如图所示，在圆 O 中弦 AB∥CD，若 ∠ABC=50°，则 ∠BOD 等于（　　）
A．50° B．40° C．100° D．80°
C
针对训练
2.如图所示，四边形 ABCD 为 ☉O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上的任意一点（不与 B，C 重合），则∠BPC 的度数是 .
135°
C
D
B
A
P
O
考点二 垂径定理
例4 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是 10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口 AB 的长度
为 mm.
8mm
A
B
8
C
D
O
解析：设圆心为 O，连接 AO，作出过点 O 的弓形高 CD，垂足为 D,可知AO=5 mm，OD=3 mm，利用勾股定理进行计算，AD=4 mm，所以 AB=8 mm.
3. 如图 a，点 C 是扇形 OAB 上的 的任意一点，OA=2，连接 AC，BC，过点 O 作 OE ⊥AC，OF ⊥BC，垂足分别为E，F，连接 EF，则 EF 的长度等于 .
A
O
B
C
E
F
图 a
针对训练
4. 如图 b，AB 是 ⊙O 的直径，且 AB=2，C，D 是同一半圆上的两点，并且 与 的度数分别是 96° 和 36°，动点 P 是 AB 上的任意一点，则 PC+PD 的最小值是 .
A
B
C
D
P
O
图b
D'
P
例5 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC=90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，连接 BD.
考点三 切线的判定与性质
解：(1) ∵AB 是直径，∴∠ADB = 90°.
∵AD = 3，BD = 4，∴AB = 5.
∵∠CDB = ∠ABC，∠A = ∠A，
∴△ADB∽△ABC，
∵ 即 ∴BC=
(1) 若 AD = 3，BD = 4，求边 BC 的长.
又∵∠OBD +∠DBC=90°，∠C +∠DBC = 90°，
∴∠C =∠OBD. ∴∠BDO =∠CDE.
∵AB 是直径，∴∠ADB = 90°.
∴∠BDC = 90°.
即∠BDE +∠CDE= 90°.
∴∠BDE+∠BDO= 90°，即∠ODE=90°.
∴ED 与☉O 相切.
(2) 证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中，
∵E 是 BC 的中点，∴CE = DE.∴∠C =∠CDE.
又OD = OB，∴∠ODB =∠OBD.
(2) 取 BC 的中点 E，连接 ED，试证明 ED 与 ☉O 相切.
例6 （多解题）如图，直线 AB，CD 相交于点 O， ∠AOD=30°，半径为 1 cm的 ☉P 的圆心在射线 OA 上，且与点 O 的距离为 6 cm,如果 ☉P 以 1 cm/s 的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么 秒钟后 ☉P 与直线 CD 相切.
4 或 8
解析： 本题应分为两种情况：(1) ☉P 在直线 CD 下面与直线 CD 相切；(2) ☉P 在直线 CD 上面与直线 CD 相切.
A
B
D
C
P
P2
P1
E
o
解析： 连接 BD，则在Rt△BCD 中，BE＝DE，利用角的互余证明 ∠C＝∠EDC.
例7 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E.
(1) 求证：BC = 2DE.
解：(1) 证明：连接 BD，
∵AB 为直径，∠ABC = 90°，
∴BE 切 ☉O 于点 B.
又∵DE 切 ☉O 于点 D，∴DE=BE，
∴∠EBD =∠EDB.
∵∠ADB = 90°，
∴∠EBD +∠C = 90°，∠BDE +∠CDE = 90°.
∴∠C =∠CDE，DE = CE.
∴BC = BE + CE = 2DE.
(2)∵ DE = 2，∴ BC = 2DE = 4.
在 Rt△ABC 中，
∴ AB = BC =
在 Rt△ABC 中，
又∵△ABD∽△ACB，
∴ 即
∴
(2) 若 tanC= ，DE=2，求 AD 的长.
例8 如图，已知灯塔 A 的周围 7 海里的范围内有暗礁，一艘渔轮在 B 处测得灯塔 A 在北偏东 60° 的方向，向东航行 8 海里到达 C 处后，又测得该灯塔在北偏东30°的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由.
（参考数据 =1.732）
B
北
60°
30°
A
C
解析：灯塔 A 的周围 7 海里都是暗礁，即表示以 A 为圆心，7 海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心 A 之间的距离 d 的大小关系.
B
北
60°
30°
A
C
D
解：如图，作 AD 垂直于 BC 于 D，根据题意，得 BC=8.设 AD 为 x.
∵∠ABC=30°，∴AB = 2x.
BD= x.
∵∠ACD = 90° - 30°= 60°，
∴ AD=CD×tan60°，CD = .
BC=BD-CD= = 8.
解得 x=
即渔船继续往东行驶，
有触礁的危险.
B
北
60°
30°
A
C
5. 如图 b，线段 AB 是直径，点 D 是 ☉O 上一点， ∠CDB=20°，过点 C 作☉O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则 ∠E = .
O
C
A
B
E
D
图b
50°
针对训练
6. 如图，以 △ABC 的边 AB 为直径的 ⊙O 交边 AC 于点D，且过点 D 的切线 DE 平分边 BC.
问：BC 与 ⊙O 是否相切？
解：BC 与 ⊙O 相切．理由：连接 OD，BD，
∵DE 切 ⊙O 于 D，AB 为直径，
∴∠EDO＝∠ADB＝90°.
又 DE 平分 CB，∴DE＝ BC＝BE.
∴∠EDB＝∠EBD.
又∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°，
即∠ABC＝90°. ∴BC 与 ⊙O 相切．
例9 如图，四边形 OABC 为菱形，点 B、C 在以点 O 为圆心的圆上， OA = 1，∠AOC = 120°，∠1=∠2，求扇形 OEF 的面积？
解：∵四边形 OABC 为菱形
∴OC = OA = 1
∵ ∠AOC = 120°，∠1 =∠2
∴ ∠FOE = 120°
又∵点 C 在以点 O 为圆心的圆上
考点四 弧长与扇形面积
8. 一条弧所对的圆心角为 135°，弧长等于半径为 5 cm的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 .
40 cm
针对训练
9. 如图，在正方形 ABCD 内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知 AE=6，EF=8，FC=10，求图中阴影部分的面积.
解：将线段 FC 平移到直线 AE 上，此时点 F 与点 E 重合，
点 C 到达点 C' 的位置.连接 AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形 EFCC' 是矩形.
∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16，CC'=EF=8.
在 Rt△AC'C 中，得
∴正方形 ABCD 外接圆的半径为 .
∴正方形 ABCD 的边长为 .
例10 若一个正六边形的周长为 24，则该正六边形的面积为______.
考点五 圆内接正多边形的有关计算
10. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 5 的 ⊙O，四边形 EFGH 是正方形．
(1) 求正方形EFGH的面积；
解：(1) ∵正六边形的边长与其半径相等，
∴EF = OF = 5.
∵四边形 EFGH 是正方形，
∴FG = EF = 5，
∴正方形EFGH的面积是 25.
针对训练
(2) ∵正六边形的边长与其半径相等，
∴∠OFE = 60°.
∵正方形的内角是 90°,
∴∠OFG =∠OFE +∠EFG = 60°+90° = 150°.
由 (1) 得 OF = FG，
∴∠OGF= （180°-∠OFG）
= （180°-150°）=15°.
(2) 连接 OF、OG，求 ∠OGF 的度数．
例11 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过 x 轴上一点 C，与 y 轴分别交于 A，B 两点，连接 AP 并延长分别交 ⊙P，x 轴于点 D，E，连接 DC 并延长交 y 轴于点 F，若点 F 的坐标为(0，1)，点 D 的坐标为(6，﹣1).
(1) 求证：CD = CF；
(2) 判断⊙P 与 x 轴的位置关系，
并说明理由；
(3) 求直线 AD 的函数表达式.
考点七 有关圆的综合性题目
解：(1) 证明：过点 D 作 DH⊥x 轴于H，
则∠CHD =∠COF =90°，如图所示.
∵点 F（0，1），点 D（6，-1），∴ DH = OF = 1.
∵∠FCO =∠DCH，
∴△FOC≌△DHC.
∴CD = CF.
(2) ⊙P与 x 轴相切.理由如下：
连接 CP，如图所示.
∵AP = PD，CD = CF，∴CP∥AF.
∴∠PCE = ∠AOC = 90°.
∴⊙P 与 x 轴相切.
(3) 由 (2) 可知 CP 是 △ADF 的中位线.
∴AF = 2CP.
∵AD = 2CP，
∴AD = AF.
连接 BD，如图所示.
∵AD为 ⊙P 的直径，
∴∠ABD = 90°.
∴BD = OH = 6，OB = DH = OF = 1.
设 AD = x，则 AB = AF－BF = AD－BF
= AD－(OB + OF) = x－2.
Rt△ABD 中，由勾股定理，得
AD2=AB2+BD2，即 x2 = (x－2)2 + 62，
解得 x = 10.
∴OA = AB + OB = 8 + 1 = 9. ∴点 A(0，－9).
设直线 AD 的函数表达式为 y=kx+b，
把点 A(0，－9)，D(6，－1) 代入，得
解得
∴直线AD的函数表达式为 .
返回
C
1.
下列说法：①直径是最长的弦；②弦是直径；③半径相等的两个半圆是等弧；④长度相等的两条弧是等弧；
⑤半径相等的两个圆是等圆．其中说法正确的有(　　)
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
返回
2.
56°
3.
如图，点O是正方形网格中的格点，点P，P1，P2，P3，P4是以O为圆心的圆与网格线的交点，直线m经过点O与点P2，则点P关于直线m的对称点是(　　)
A．P1
B．P2
C．P3
D．P4
D
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4.
一块圆形玻璃镜面碎成了几块，其中一块如图所示，测得弦AB长20 cm，弓形高CD为2 cm，则镜面半径是(　　)
A．24 cm
B．26 cm
C．28 cm
D．30 cm
B
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5.
如图，⊙O在△ABC三边上截得的弦长相等，即DE＝FG＝MN，∠A＝50°，则∠BOC＝________.
115°
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6.
如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OC，OD，若∠BCD＝105°，∠BOC＝2∠COD，则∠OCD的度数为(　　)
A．65°
B．60°
C．55°
D．50°
A
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7.
B
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8.
3
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9.
如图，点A，B，C在半径为2的⊙O上，连接CA，CB，AB，∠ACB＝60°，OD⊥AB，垂足为E，交⊙O于点D，连接OA，则OE的长度为________.
1
10.
(8分)如图，在△ABC中，AB＝AC，过点A，C的⊙O与BC，AB分别交于点D，E，连接DE.
(1)求证：DB＝DE；
证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵四边形AEDC为⊙O的内接四边形，
∴∠AED＋∠C＝180°.
∵∠BED＋∠AED＝180°，
∴∠BED＝∠C，∴∠BED＝∠B，∴DB＝DE.
(2)延长ED，AC相交于点P，若∠P＝33°，则∠A的度数为________°.
38
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11.
如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，⊙O为△ABC的内切圆，若⊙O的半径为2，且△ABC的面积为24，则△ABC的周长为(　　)
C
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12.
如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是△ABC的内心，连接OB，IA．若∠CAI＝35°，则∠OBC的度数为________.
20°　
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13.
平面内，⊙O的半径为1，点P到圆心O的距离为2，过点P可作⊙O的切线的条数为(　　)
A．0条
B．1条
C．2条
D．无数条
C
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14.
在△ABC中，AB＝AC＝6 cm，BC＝8 cm，以点A为圆心，以4 cm长为半径作圆，则⊙A与BC的位置关系是(　　)
A．相离
B．相切
C．相交
D．无法确定
A
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15.
[2025安徽中考]如图，AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上．已知∠P＝50°，则∠PAB的大小为________°.
20
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16.
如图，菱形OABC的顶点A，B，C在⊙O上，过点B作⊙O的切线交OA的延长线于点D．若⊙O的半径为2，则BD的长为(　　)
D
17.
(8分)[2024济宁中考]如图，△ABC内接于⊙O，D是BC上一点，AD＝AC．E是⊙O外一点，∠BAE＝∠CAD，∠ADE＝∠ACB，连接BE.
(1)若AB＝8，求AE的长；
解：∵∠BAE＝∠CAD，
∴∠BAE＋∠BAD＝∠CAD＋∠BAD，即∠DAE＝∠CAB.
又∵AD＝AC，∠ADE＝∠ACB，
∴△DAE≌△CAB，
∴AE＝AB＝8.
(2)求证：EB是⊙O的切线.
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圆
圆的有关性质
垂径定理
添加辅助线
连半径，作弦心距(圆心到弦的距离)，构造直角三角形
圆周角定理
添加辅助线
作弦，构造直径所对的圆周角
圆的概念
圆的对称性
圆
与圆有关的位置关系
与圆有关的计算
点与圆的位置关系
点在圆内：
r ＜ d ＜ R
直线与圆的位置的关系
添加辅助
线证切线
有公共点，连半径，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连半径，得垂直.
正多边形和圆
转化
直角三角形
弧长和扇形
灵活使用公式
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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