第一章 直角三角形的边角关系【小结与复习】 课件(共45张PPT)-2025-2026学年北师大版数学九年级下册教学课件

(共45张PPT)
第 1 页：封面页
标题：第一章 直角三角形的边角关系 小结与复习
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：包含直角三角形、三角函数符号、测高场景的综合知识示意图
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：章节知识框架
第 3 页：核心知识点 1 锐角三角函数
定义（在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C 对边分别为 a、b、c）：
三角函数
定义表达式
取值范围（0°<∠A<90°）
sinA
sinA = a/c
0 < sinA < 1
cosA
cosA = b/c
0 < cosA < 1
tanA
tanA = a/b
tanA > 0
性质：
互余角的三角函数关系：sinA = cos (90°-A)，cosA = sin (90°-A)，tanA = cot (90°-A)（cotA=1/tanA）。
增减性：当 0°<∠A<90° 时，sinA、tanA 随∠A 增大而增大，cosA 随∠A 增大而减小。
第 4 页：核心知识点 2 特殊角的三角函数值
特殊角三角函数值表：
角度 θ
sinθ
cosθ
tanθ
30°
1/2
√3/2
√3/3
45°
√2/2
√2/2
1
60°
√3/2
1/2
√3
记忆技巧：
30°、45°、60° 的 sin 值依次为√1/2、√2/2、√3/2，cos 值与 sin 值 “倒序对应”。
tan 值 = sin 值 /cos 值，30°tan 值为√3/3，45°tan 值为 1，60°tan 值为√3。
应用：直接代入计算含特殊角的三角函数表达式，如计算 sin60°+2tan30°=√3/2 + 2×(√3/3)=7√3/6。
第 5 页：核心知识点 3 解直角三角形
定义：由直角三角形中的已知元素，求出其余未知元素的过程（已知元素需满足 “两个且至少一个是边”）。
求解依据：
两锐角关系：∠A + ∠B = 90°。
三边关系（勾股定理）：a + b = c 。
边角关系（三角函数）：sinA=a/c、cosA=b/c、tanA=a/b。
两类基本题型：
题型
已知条件
求解步骤
1
一边一角
1. 用互余求另一角；2. 选三角函数求未知边
2
两条边
1. 用勾股定理求第三边；2. 用三角函数求锐角
第 6 页：核心知识点 4 三角函数的实际应用
四大典型场景：
仰角俯角问题：视线与水平线的夹角，构建直角三角形时需注意测角仪高度，物体总高度 = 垂直高度 + 仪器高度。
坡角坡度问题：坡度 i = 垂直高度 / 水平宽度 = tanα（α 为坡角），常结合勾股定理求斜坡长度。
方位角问题：以正北 / 正南为基准描述方向，先确定三角形内角，再判断是否为直角三角形求解。
测高问题：分 “底部可到达”（单观测点，用 tanα= 高度 / 水平距离）和 “底部不可到达”（双观测点，列方程组求解）。
通用解题流程：审题意→画图形→标元素→选公式→算结果→验答案。
第 7 页：典例精讲 综合应用题
例题：如图，某景区有一座塔 AB，在塔底 B 的正前方水平地面上有一点 C，测得塔顶 A 的仰角为 60°，沿 CB 方向后退 20m 到达点 D，测得塔顶 A 的仰角为 30°，求塔 AB 的高度（结果保留根号）。
解答步骤：
设未知数：设 AB=x m，在 Rt△ABC 中，∠ACB=60°，则 BC=AB/tan60°=x/√3。
在 Rt△ABD 中：∠ADB=30°，则 BD=AB/tan30°=x√3。
找等量关系：BD - BC = CD=20m，即 x√3 - x/√3=20。
解方程：通分得 (3x - x)/√3=20 → 2x=20√3 → x=10√3。
结论：塔 AB 的高度为 10√3 m。
思路提炼：利用两次仰角构建两个直角三角形，通过公共边（塔高）建立方程求解，适用于 “底部可到达但需两次观测” 的场景。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
三角函数定义混淆：误将 “邻边”“对边” 判断错误（如在 Rt△ABC 中，求 sinB 时误用 a/c，正确应为 b/c）。
特殊角值记错：如将 sin30° 记为√3/2，tan60° 记为√3/3，建议通过表格或图像强化记忆。
忽略实际细节：测高时忘记加测角仪高度，坡度问题中混淆 “垂直高度” 与 “斜坡长度”。
方位角理解偏差：将 “北偏东 30°” 与 “东偏北 30°” 混淆，需明确以正北 / 正南为起始方向。
避坑技巧：
解题前先标注直角三角形的 “直角、已知角、对边、邻边、斜边”，避免边角对应错误。
计算含特殊角的题目时，先写出对应函数值再代入，减少计算失误。
实际应用题中，根据题意画出示意图，标注所有已知条件和未知量，理清数量关系。
第 9 页：章节综合测试（基础 + 提升）
基础题（巩固核心知识）：
计算：sin45° cos45° + tan60° sin60°。
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=2，tanA=1/2，求 b、c 的值。
提升题（综合应用）：
某山坡的坡度 i=1:3，沿山坡向上走 100m，求上升的垂直高度（结果保留根号）。
一艘轮船从港口 A 出发，沿北偏西 60° 方向航行 40nmile 到达 B 处，再沿南偏西 30° 方向航行至 C 处，若 A、C 两点相距 40nmile，求 B、C 两点的距离。
第 10 页：总结与学习建议
知识总结：
本章核心是 “直角三角形的边角关系”，通过三角函数建立边与角的关联，实现 “由已知求未知”。
解直角三角形是基础，三角函数的实际应用是重点，需掌握不同场景的模型构建方法。
学习建议：
梳理知识框架：结合思维导图，将零散知识点串联成体系，强化知识间的逻辑联系。
多练典型题目：通过基础题巩固公式，通过应用题提升建模能力，重点突破薄弱题型（如方位角、双观测点测高）。
重视错题反思：整理错题本，分析错误原因（如定义混淆、计算失误、模型错误），避免重复犯错。
联系生活实际：观察生活中的测高、坡度等场景，尝试用数学知识解决，感受数学的实用性。
2025-2026学年北师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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小结与复习
第一章 直角三角形的边角关系
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
一、锐角三角函数
1. 如图所示，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，
a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边．
(1) ∠A的正弦：sinA＝　　　　　　　　＝　　　；
(2)∠A的余弦：cosA＝　　　　　　　　＝　　　；
(3)∠A的正切：tanA＝　　　　　　　　＝　　　　.
2. 梯子的倾斜程度与 tanA、sinA 和cosA 的关系：
tanA 的值越大，梯子越陡;
sinA 的值越大，梯子越陡;
cosA 的值越小，梯子越陡.
3. 锐角三角函数的增减性：
当角度在 0°～90° 之间变化时，正弦值和正切值随着角度的增大（或减小）而 _______ ；
余弦值随着角度的增大（或减小）而 _______ .
增大（或减小）
减小（或增大）
30°，45°，60°角的三角函数值
二、特殊角的三角函数
30° 45° 60°
sin a
cos a
tan a
三角
函数
锐角
a
1. 解直角三角形的依据
(1) 在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，a，b，c 分别是 ∠A，∠B，∠C 的对边．
三边关系：　 　；
三角关系：　 ；
边角关系：sinA＝cosB＝　　　，cosA＝sinB＝ ，
tanA＝　　　　　　，tanB＝　　　　　　.
a2＋b2＝c2
∠A＝90°－∠B　
三、解直角三角形
(2) 直角三角形可解的条件和解法
条件：解直角三角形时知道其中的 2 个元素(至少有一个是边)，就可以求出其余的 3 个未知元素．
解法：① 一边一锐角，先由两锐角互余关系求出另一锐角；知斜边，再用正弦(或余弦)求另两边；知直角边用正切求另一直角边，再用正弦或勾股定理求斜边；② 知两边：先用勾股定理求另一边，再用边角关系求锐角；③ 斜三角形问题可通过添加适当的辅助线转化为解直角三角形问题．
1. 利用计算器求三角函数值．
第二步：输入角度值，
屏幕显示结果.
（有的计算器是先输入角度再按函数名称键）
四、锐角三角函数的计算
第一步：按计算器 、 、 键，
2. 利用计算器求锐角的度数．
第二步：然后输入函数值
屏幕显示答案（按实际需要进行精确）
第一步：按计算器 、 、 键，
还可以利用 键，进一步得到角的度数.
1.仰角和俯角
铅直线
水平线
视线
视线
仰角
俯角
　　在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
五、三角函数的应用
以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于 90° 的角,叫做方向角.如图所示：
30°
45°
B
O
A
东
西
北
南
2.方向角
45°
45°
西南
O
东北
东
西
北
南
西北
东南
α
l
h
h : l
（1）坡角
坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α .
（2）坡度（或坡比）
坡度通常写成 1∶m 的形式，如 1∶6.
如图所示，坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）
的比叫做坡面的坡度（或坡比），即 —.
h
l
（3）坡度与坡角的关系
坡度等于坡角的正切值
坡面
水平面
3. 坡角
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）；
（2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形；
（3）得到数学问题的答案；
（4）得到实际问题的答案．
M
N
A
α
C
E
l
a
1. 在测点 A 安置测倾器，测得 M 的仰角 ∠MCE = α ；
2. 量出测点 A 到物体底部 N 的水平距离 AN = l ；
3. 量出测倾器的高度 AC = a，可求出 MN 的高度.
MN = ME + EN = l·tanα + a
1. 测量底部可以到达的物体的高度步骤：
六、利用三角函数测高
2. 测量东方明珠的高度的步骤是怎么样的呢？
M
N
1.在测点 A 处安置测倾器，测得 M 的仰角∠MCE = α.
A
α
C
E
2. 在测点 A 与物体之间 B 处安置测倾器，测得此时 M 的仰角∠MDE = β.
B
D
β
3.量出测倾器的高度 AC = BD = a，以及测点 A，B 之间的距离 AB = b.
a
b
根据测量的数据，你能求出物体MN的高度吗？
M
N
A
α
C
E
B
D
β
a
b
CD = AB = CE－DE = =b
∴MN = + a
∴ME =
考点一 求三角函数的值
例1 在 △ABC 中，∠C ＝ 90°，sinA＝ ，
则 tanB ＝ (　　)
A.　　 B.　 　 C.　 D.
【解析】 根据 sinA ＝ ，可设三角形的两边长分别为 4k，5k，则第三边长为3k，所以 tanB ＝
B
1. 如图，在网格中，小正方形的边长均为 1，点 A，B，C 都在格点上，则 ∠ABC 的正弦值是________.
针对训练
2. 用计算器求下列各式的值：
（1）cos63°17′ ≈ ______；
（2）tan27.35° ≈ ______；
（3）sin39°57′6″ ≈ ______．
0.45
0.52
0.64
3. 已知 sinα = 0.2，cosβ = 0.8，则 α+β =________（精确到1′）．
48°24′
考点二 特殊角的三角函数值
【解析】本题考查数的0次幂、分母有理化和特殊角的三角函数值．
解：原式＝
例2 计算
(1) tan30°＋cos45°＋tan60°
(2) tan30°· tan60°＋ cos230°
4. 计算：
解：原式
解：原式
针对训练
例3 如图，在 △ABC 中，∠C ＝ 90°，点 D 在 BC 上，BD ＝ 4，AD ＝ BC，cos∠ADC = ，
求：(1) DC 的长；(2) sinB 的值．
【分析】题中给出了两个直角三角形，DC 和 sinB 可分别在 Rt△ACD 和 Rt△ABC 中求得，由 AD ＝ BC，图中 CD＝BC－BD，由此可列方程求出 CD．
A
B
C
D
考点三 解直角三角形
解: (1) 设 CD ＝ x，在 Rt△ACD 中，cos∠ADC= ,
又 BC－CD ＝ BD，
解得 x = 6，
∴CD = 6.
A
B
C
D
(2) BC =BD+CD = 4+6 = 10 = AD
在 Rt△ACD 中
在 Rt△ABC 中
A
B
C
D
5. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，AC ＝ .点D 为 BC 边上一点，且 BD ＝ 2AD，∠ADC ＝ 60°.求 △ABC 的周长(结果保留根号).
针对训练
解：在 Rt△ADC 中，
∴BD＝2AD＝4.
∴BC ＝ BD＋DC＝5.
在 Rt△ABC 中，
∴△ABC 的周长＝AB＋BC＋AC
考点四 三角函数的应用
例4 如图，在一次数学课外实践活动中，要求测教学楼 AB 的高度．小刚在 D 处用高 1.5 m 的测角仪 CD，测得教学楼顶端 A 的仰角为30°，然后向教学楼前进 40 m 到达 EF，又测得教学楼顶端 A 的仰角为 60°.求这幢教学楼 AB 的高度．
【分析】 设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中，用 AG 表示出 FG，在Rt△ACG 中，用 AG 表示出 CG，然后根据 CG－FG ＝ 40，可求 AG.
G
解：设 CF 与 AB 交于点 G，在 Rt△AFG 中，
tan∠AFG ＝ ，∴FG ＝
在 Rt△ACG 中，tan∠ACG ＝ ，
又 CG－FG＝40，
∴AG＝ ，∴AB ＝
答：这幢教学楼 AB 的高度为
∴
G
6.如图,某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆 AB ，已知观测点 C 到旗杆的距离（即 CE 的长）为 8 米，测得旗杆顶的仰角 ∠ECA 为 30°，旗杆底部的俯角 ∠ECB 为 45 °，则旗杆 AB 的高度是多少米
C
A
B
D
E
解：如图在 Rt△ACE 和 Rt△BCE 中
∠ACE = 30°，EC = 8米，
∴tan∠ACE = ,tan∠ECB =
即：AE = 8tan30°= （米） ，
EB = 8tan45° = 8（米）.
∴AB = AE+EB = (8+ )米.
针对训练
返回
A
1.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3，BC＝2，则下列三角函数表示正确的是(　　)
返回
2.
15
返回
3.
C
返回
4.
已知β为锐角，且2cos β－1＝0，则β为(　　)
A．30°
B．60°
C．45°
D．37.5°
B
5.
(2)sin 30°＋4cos 30° tan 60°－cos 245°.
返回
返回
6.
C
7.
(2)tan∠CDE的值．
返回
返回
8.
如图，小致为了测量楼房AB的高度，他从楼底的B处沿着斜坡行走20 m，到达坡顶D处．已知斜坡的坡角为15°，小致的身高ED是1.6 m，他站在坡顶看楼顶A处的仰角为45°，则楼房AB的高度约为 ________m．
26
9.
解：过点B作BF⊥CD于点F，过点B作BH⊥AD于点H，
∴∠BFD＝∠CFB＝∠BHD＝∠AHB＝90°，
易知∠ADC＝90°，
∴四边形BHDF是矩形，
∴DF＝BH.
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锐角三角
函数
特殊角的三
角函数
解直角三
角形
简单实际
问题
c
a
b
A
B
C
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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