24.1.1图形的旋转 课件(共46张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册

(共46张PPT)
第 1 页：封面页
标题：3.6.2 切线的判定与三角形的内切圆
副标题：北师大版九年级数学下册
配图：左侧为 “切线判定定理” 示意图（直线 l 垂直于⊙O 半径 OA 外端 A，标注 l 是⊙O 切线），右侧为 “三角形内切圆” 示意图（⊙I 内切于△ABC，标注圆心 I、切点 D、E、F 及半径 r）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：掌握切线的两种判定方法（距离法、垂直法），理解三角形内切圆、内心的定义与性质，熟记内心是三角形三条角平分线的交点，能计算简单三角形的内切圆半径。
能力目标：能运用切线判定定理证明直线是圆的切线，通过内心性质解决 “角度计算”“半径求解” 等问题，提升几何推理与综合分析能力。
素养目标：体会 “判定与性质” 的逻辑对应，感受内切圆与三角形的位置关联，培养数形结合与转化思想，规范几何证明的语言表达。
第 3 页：回顾衔接 切线的性质与判定的关联
知识回顾：
上节课切线性质：圆的切线垂直于过切点的半径（已知 “是切线”，推 “垂直关系”）；
直线与圆相切的数量关系：圆心到直线的距离 d = 半径 r（可用于判断位置关系）。
思考引入：
反过来，若 “圆心到直线的距离 d=r”，能否判定直线是圆的切线？
若 “直线垂直于圆的半径，且垂足在圆上”，能否判定直线是圆的切线？
第 4 页：核心模块 1 切线的判定定理
1. 判定方法一：距离法（从位置关系逆推）
判定依据：若圆心到直线的距离 d 等于圆的半径 r，则这条直线是圆的切线。
符号语言：设⊙O 半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d，若 d=r，则 l 是⊙O 的切线。
应用场景：已知或可计算 “圆心到直线的距离” 时，优先用此方法。
例题 1：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以 C 为圆心、r=4.8 为半径画圆，求证：AB 是⊙C 的切线。
证明：
过 C 作 CD⊥AB 于 D，计算 CD 的长（即圆心 C 到 AB 的距离 d）；
由勾股定理得 AB=10，由面积公式得 S△ABC=(1/2) AC×BC=(1/2) AB×CD→CD=(6×8)/10=4.8；
∵ CD=r=4.8，即 d=r，∴ AB 是⊙C 的切线。
2. 判定方法二：垂直法（切线判定定理）
定理内容：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
关键词解析：
“经过半径外端”：直线与半径的垂足在圆上（排除 “垂足在圆内” 的情况）；
“垂直于这条半径”：直线与半径的夹角为 90°。
符号语言：如图，OA 是⊙O 的半径，直线 l 经过 A 点（OA 外端），且 l⊥OA，则 l 是⊙O 的切线。
证明（反证法）：
假设 l 不是⊙O 的切线，则 l 与⊙O 有两个交点或无交点；
若有两个交点，A 为其中一点，OA=r，过 O 作 OP⊥l 于 P，则 OP若无交点，则 OP>r，也与 OP=OA=r 矛盾；故假设不成立，l 是⊙O 的切线。
例题 2：如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过 C 作 CD⊥AB 于 D，延长 CD 至 E，使 DE=CD，求证：BE 是⊙O 的切线。
证明：
连接 OB、OC，∵ OA=OB，CD=DE，∴ OD 是△ABE 的中位线（三角形中位线定理）；
∴ OD∥BE，又∵ CD⊥AB，即 OD⊥CE，∴ BE⊥CE；
∵ OC=OB（半径），CD=DE，∴ △OCD≌△OED（SSS），∴ ∠OED=∠OCD=90°；
即 BE⊥OE，且 OE 是半径（E 在⊙O 上），∴ BE 是⊙O 的切线。
3. 判定方法总结
判定方法
适用场景
关键步骤
距离法
已知或可求圆心到直线的距离 d
1. 计算 d；2. 比较 d 与 r；3. 若 d=r，判定为切线
垂直法
已知直线过圆上一点（可连接半径）
1. 连接过该点的半径；2. 证明直线与半径垂直；3. 判定为切线
第 5 页：核心模块 2 三角形的内切圆与内心
1. 定义
三角形的内切圆：与三角形的三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形。
作图步骤（以△ABC 为例）：
作∠A、∠B 的角平分线，交于点 I（内心）；
过 I 作 ID⊥AB 于 D（ID 为内切圆半径 r）；
以 I 为圆心、ID 为半径画圆，即为△ABC 的内切圆（与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F）。
2. 内心的性质
内心是三角形三条角平分线的交点；
内心到三角形三条边的距离相等（均等于内切圆半径 r）；
内心一定在三角形内部（与外心位置不同，外心可能在外部）。
3. 内切圆半径的计算（面积法）
公式推导：设△ABC 的三边为 a、b、c，内切圆半径为 r，面积为 S，则：
S = S△IAB + S△IBC + S△IAC = (1/2) cr + (1/2) ar + (1/2) br = (1/2)(a+b+c) r；
故 r = 2S/(a+b+c)（a+b+c 为三角形周长）。
例题 3：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，求其内切圆半径 r。
解答：
计算面积 S=(1/2)×3×4=6；
周长 a+b+c=3+4+5=12；
由公式得 r=2×6/12=1。
第 6 页：典例精讲 综合应用
例题 4：切线判定与内心结合
如图，△ABC 的内切圆⊙I 与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，连接 IE、IF，∠A=60°，求证：四边形 AEDI 是矩形？（修正：应为 “四边形 IFCE 是正方形”，需调整条件）
调整例题：如图，△ABC 中，∠C=90°，内切圆⊙I 与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，求证：四边形 IFCE 是正方形。
证明：
∵ ⊙I 切 AC 于 F，切 BC 于 E，∴ IF⊥AC，IE⊥BC（切线性质定理）；
∵ ∠C=90°，∴ 四边形 IFCE 是矩形（有三个直角）；
∵ IF=IE（内心到三边距离相等，均为半径 r），∴ 矩形 IFCE 是正方形。
例题 5：内切圆半径与角度计算
如图，△ABC 的内切圆⊙I 与三边切于 D、E、F，∠BIC=120°，求∠A 的度数。
解答步骤：
∵ I 是内心，∴ IB 平分∠ABC，IC 平分∠ACB（内心性质）；
∴ ∠IBC=(1/2)∠ABC，∠ICB=(1/2)∠ACB；
在△BIC 中，∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=180°-(1/2)(∠ABC+∠ACB)=120°；
∴ (1/2)(∠ABC+∠ACB)=60°→∠ABC+∠ACB=120°；
在△ABC 中，∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=60°。
第 7 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
切线判定定理条件缺失：仅证明 “直线垂直于半径”，忽略 “经过半径外端”（如直线垂直于半径但垂足在圆内，不是切线）；
混淆 “内心” 与 “外心”：误将内心（角平分线交点）当作外心（垂直平分线交点），或误记内心到顶点的距离为半径（内心到边的距离为半径）；
内切圆半径公式误用：将 “r=2S/(a+b+c)” 记为 “r=S/(a+b+c)”，忽略系数 2。
避坑技巧：
用垂直法判定切线时，在步骤中明确标注 “经过半径外端” 和 “垂直于半径” 两个条件，缺一不可；
用 “位置 + 距离” 区分内心与外心：内心在三角形内部，到边的距离相等；外心位置不确定，到顶点的距离相等；
推导内切圆半径公式时，结合 “三个小三角形面积之和等于大三角形面积”，强化对公式系数 2 的记忆。
第 8 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）在△ABC 中，∠C=90°，AC=5，BC=12，AB=13，其内切圆半径 r=。（答案：2，提示：r=2S/(a+b+c)=2×30/30=2）
（2）如图，OA 是⊙O 的半径，直线 l⊥OA 于 A，则 l 是⊙O 的，依据是______。（答案：切线，切线判定定理）
中档题：
如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，过 D 作⊙O 的切线交 BC 于 E，且 DE⊥BC，求证：AB=BC。（提示：连接 OD，证 OD∥BC，OD=OB=AB/2，得 BC=AB）
提升题：
如图，△ABC 的内切圆⊙I 与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，若 AB=5，BC=6，AC=7，求 AD 的长。（答案：3，提示：设 AD=AF=x，BD=BE=y，CE=CF=z，列方程组 x+y=5，y+z=6，x+z=7，解得 x=3）
第 9 页：课堂小结与作业布置
小结：
切线判定：两种方法（距离法 d=r，垂直法 “过半径外端且垂直半径”），需根据已知条件灵活选择；
三角形内切圆与内心：内心是角平分线交点，到三边距离相等（为半径 r），半径公式 r=2S/(a+b+c)；
核心关联：切线的判定与性质是 “互逆” 关系，内心与外心分别对应 “角平分线” 和 “垂直平分线” 的交点。
作业：
基础作业：教材习题 3.6 第 4、5、6 题（切线判定证明、内切圆半径计算）；
拓展作业：如图，在△ABC 中，AB=AC=10，BC=12，求其内切圆半径 r 及内心到 A 点的距离（答案：r=3，距离 = 5）；
实践作业：用尺规作图法作出一个锐角三角形的内切圆，测量并验证 “内心到三边距离相等”。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
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24.1.1图形的旋转
第24章　圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
这些运动有什么共同的特点？
情境引入
旋转的概念
B
O
A
45
°
问题 观察下面的现象，它有什么特点？
观察与思考
钟表的指针在不停地转动，从 12 时到 4 时，时针转动了______度.
120
把时针当成一个图形，那么它可以绕着中心固定点转动一定角度.
思考：怎样定义这种图形变换？
风车风轮的每个叶片在风的吹动下转动到新的位置.
怎样来定义这种图形变换？
把叶片当成一个平面图形，那么它可以绕着平面内中心固定点转动一定角度.
在平面内，一个图形绕着一个定点，旋转一定的角度，得到另一个图形的变换，叫做旋转.
O
P′
P
旋转中心
旋转角
对
应
点
旋转的定义
这个定点叫做旋转中心.
转动的角称为旋转角.
图中的点 P 旋转后成为点 P'，这两个点叫做对应点.
知识要点
若叶片 A 绕 O 顺时针旋转到叶片 B，则旋转中心是______，旋转角是_________，
旋转角等于____°，其中的对应点
有_______、_______、_______、
_______、_______、_______.
点 O
∠AOB
60
F 与 A
A 与 B
B 与 C
C 与 D
D 与 E
E 与 F
填一填：
A
C
D
E
F
B
O
旋转中心
旋转角
旋转方向
确定一次图形的旋转时，必须明确：
注意：①旋转的范围是“平面内”，其中“旋转中心、
旋转方向、旋转角度”称为旋转的三要素；
②旋转变换同平移、轴对称一样属于全等变换.
归纳：
A．30° B．45° C．90° D．135°
例 1 如图，点 A、B、C、D 都在方格纸的格点上，若△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转到△COD 的位置，则旋转的角度为 ( )
解析：对应点与旋转中心的连线的夹角，就是旋转角，由图可知，OB、OD 是对应边，∠BOD 是旋转角，所以旋转角为 90°. 故选 C.
C
C
D
A
B
O
典例精析
旋转的性质
合作探究
A
B
B′
A′
C
．
M
．
．
．
．
45°
绕点 C 逆时针旋转45°
△ABC 如何运动到△A′B′C 的位置？
N'
N
M′
旋转中心是点_____；
图中对应点有____________
________________________
____________；
图中对应线段有_________________
______________；
每对对应线段的长度关系是_____；
图中旋转角等于_____°.
C
点 A 与点 A′，点 B 与点 B′，点 M 与点 M′，点 N 与点 N′
CA 与 CA′、CB 与 CB′、AB 与 A′B′
45
相等
根据右图填空：
B'
A'
C'
A
B
C
O
AO = A'O，BO = B'O，CO = C'O
∠AOA' =∠BOB' =∠COC'
观察下图，你能找到三角形外相等的角和线段吗？
2. 两组对应点分别与旋
转中心的连线所成的
角相等，都等于旋转角；
E
A
B
F
C
O
1. 对应点到旋转中心的
距离相等；
3. 旋转中心是唯一不动的点.
旋转的性质
知识要点
D
A
B
O
例 2 下图为 4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长均为 1，将 △OAB 绕点 O 逆时针旋转 90°，你能画出
△OAB 旋转后的图形 △OA′B′ 吗？
A′
B′
D
A
B
C
E
E′
例 3 如图，点 E 是正方形 ABCD 内一点，连接 AE，BE，CE，将△ABE 绕点 B 顺时针旋转 90° 到△CBE′ 处，若 AE＝1，BE＝2，CE＝3，则∠BE′C＝____度.
解析：连接 EE′.
由旋转性质知 AE = CE′ = 1，BE = BE′，∠EBE′ = 90°，
∴∠BE'E = 45°，
EE′ =
在△EE′C 中，CE′2 + EE′2 = 9 = CE2，
∴∠EE′C = 90°.
∴∠BE′C =∠BE′E +∠EE′C = 135°.
135
例 4 如图，将等腰△ABC 绕顶点 B 逆时针方向旋转 α° 到△A1BC1 的位置，AB 与 A1C1 相交于点 D，AC 与 A1C1，BC1 分别交于点 E，F．
（1）求证：△BA1D≌△BCF；
A
C
B
A1
C1
E
D
F
证明：在等腰△ABC 中，AB =
BC，∠A =∠C.
由旋转的性质，可得
A1B = AB = BC，∠A =∠A1 =∠C，
∠A1BD =∠CBF.
在△BA1D 与△BCF 中，
∴△BA1D≌△BCF（ASA）.
A
C
B
A1
C1
E
D
F
（2）当∠C = α° 时，判定四边
形 A1BCE 的形状，并说明理由.
解：四边形 A1BCE 是菱形，理由如下：
∵∠FBC =∠C = α°，∠C =∠C1 = α°，
∴∠FBC =∠C1，A1C1∥BC.
∴∠C1EC =∠C.
又∵△ABC，△A1BC1 为等腰三角形，
∴∠A1 =∠C1 =∠C，∠A1 =∠C1EC.
∴ A1B∥CE.
∴ 四边形 A1BCE 是平行四边形.
又∵ A1B = BC，
∴ □ A1BCE 是菱形.
A
C
B
A1
C1
E
D
F
旋转对称图形
活动 在硬纸板上剪下两张如下的图形，然后将它们叠放在一起，在其中心钉上一枚图钉，然后旋转上面的硬纸板，旋转多少角度后，它能与下面的硬纸板重合？
合作探究
在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度 θ (0°＜θ＜360°)后，能够与原图形重合，这样的图形叫做旋转对称图形，这个定点就是旋转中心.
知识要点
做一做
下图中不是旋转对称图形的是 ( )
B
例5 如图是一个标准的五角星，若将它绕中心旋转一定的角度后能与自身重合，则至少应将它旋转 ( )
A．60° B．72° C．90° D．144°
解析：如图，点 O 是五角星的中心，
则∠AOB =∠BOC =∠COD =∠DOE =∠AOE．
∵ 它们都等于旋转角，且和为 360°，
∴ 至少将它绕中心旋转 360°÷5 = 72°，
才能使其旋转后与自身重合．
B
O
A
B
D
E
C
将一个菱形绕它的两条对角线的交点旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是 ( )
A．360° B．270° C．180° D．90°
C
练一练
1. 下列事件中，属于旋转运动的是 ( )
A．小明向北走了 4 米
B．小朋友们在荡秋千时做的运动
C．电梯从 1 楼上升到 12 楼
D．一物体从高空坠下
B
2. 下列图形中，旋转对称图形的个数为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
C
3. 要使下面的图形旋转后与自身重合，至少应将它绕
中心按逆时针方向旋转的度数为 ( )
A．30° B．60°
C．120° D．180°
解析：此图形可看作是把一个旋
转对称图形等分为 6 个部分，每
部分被分成的角是 60°，故至少
应旋转 60° 角才能与自身重合．
B
4. 如图，△A′OB′ 是△AOB 绕点 O 按逆时针方向旋转
得到的.已知∠AOB = 20°，∠A′OB = 24°，AB = 3，
OA = 5，则 A′B′ = ，OA′ = ，旋转角为 °.
3
5
44
5. 如图，正方形 A′B′C′D′ 是由正方形 ABCD 按顺时针方
向旋转 45° 而成的.
（1）若 AB = 4，则 S正方形A′B′C′D′ = ；
（2）∠BAB′ = °，
∠B′AD = °；
（3）若连接 BB′，则
∠ABB′ = °.
16
45
45
67.5
A
B
C
D
E
6. 如图，将 Rt△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转一定
角度得 Rt△ADE，点 B 的对应点 D 恰好落在 BC
边上. 若 AC = ，∠B = 60°，则 CD 的长为 .
1
解析：在 Rt△ABC 中，
AC = ，∠B = 60°，
∴ AB = 1，BC = 2.
由旋转得 AD = AB，
∴△ABD 为等边三角形.
∴ BD = AB = 1.
∴ CD = BC－BD = 2－1 = 1.
7. 在图中，将大写字母 A 绕它的上顶点按逆时针方向旋转 90°，作出旋转后的图案，同时作出字母 A 向左平移 5 个单位的图案.
O
C
B
E
D
C1
B1
D1
E1
O2
C2
B2
E2
D2
能力提升：
8. 如图，K 是正方形 ABCD 内一点，以 AK 为一边作
正方形 AKLM，使 L、M 在 AK 的同旁，连接 BK 和
DM．试用旋转的思想说明线段 BK 与 DM 的数量关
系和位置关系．
解：BK = DM，BK⊥DM.
简要思路：由题意知，△ABK 绕点 A 逆时针旋转 90° 得到△ADM，由旋转的性质得 BK = DM，BK⊥DM.
A
B
C
D
K
L
M
返回
1．[2024·芜湖期末]如图为芜湖市轨道交通Logo，将其按顺时针方向旋转90°后得到的图片是(　　)
B
返回
2．[2024·北京朝阳区期末]在如图所示的正方形网格中，四边形ABCD绕某一点旋转某一角度得到四边形A′B′C′D′(所有顶点都是网格线交点)，在网格线交点M，N，P，Q中，可能是旋转中心的是(　　)
A．点M　　B．点N　　
C．点P　　 D．点Q
A
返回
3．[2024·黄山期中]如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝3，点D在AC上，且AD＝2，将点D绕着点A顺时针方向旋转，使得点D的对应点E恰好落在AB边上，则CE的长为 ________．
返回
4．[2024·天津]如图，在△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是(　　)
A．∠ACB＝∠ACD
B．AC∥DE
C．AB＝EF
D．BF⊥CE
D
返回
5. 如图所示的图形中，是旋转对称图形的有(　　)
A．1个　　B．2个　　C．3个　　D．4个
C
返回
6. 风力发电是一种绿色可持续的能源获取方式，我国近年来在西部地区大力发展风电产业，如图的风力发电转子叶片图案绕中心旋转n°后能与原来的图案重合，那么n的值可能是(　　)
A．60 B．90
C．120 D．150
C
7． 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，将△ABC绕点A旋转30°后得到△AB1C1，则∠BAC1＝________．
45°或105°
【点拨】∵∠B＝45°，∠C＝60°，
∴∠BAC＝180°－∠B－∠C＝75°.当△ABC绕点A顺时针旋转30°时，如图①所示，则∠B1AC1＝∠BAC＝75°，∠B1AB＝30°，∴∠BAC1＝75°－30°＝45°；当△ABC绕点A逆时针旋转30°时，如图②所示，则∠BAC1＝75°＋30°＝105°.
综上所述，∠BAC1的度数
为45°或105°.
返回
【点易错】在旋转问题中，要考虑旋转方向，如果题目中未指明旋转方向，应分两种情况进行讨论．
返回
定义
三要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度
性质
①对应点到旋转中心的距离相等；
②两组对应点分别与旋转中心的连线所成
的角相等，都等于旋转角；
③旋转中心是唯一不动的点.
旋转对称图形
旋转的概念和性质
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！