24.1.3平面直角坐标系中的图形变换 课件(共32张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册

(共32张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.1.3 平面直角坐标系中的图形变换
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 平移 旋转 轴对称 坐标规律
配图：左侧为平面直角坐标系，标注点 A (2,3) 经平移、旋转、轴对称后的对应点 A 、A 、A ；右侧为三种变换的坐标变化公式卡片（平移：(x±a,y±b)；旋转 180°：(-x,-y)；轴对称：关于 x 轴 (x,-y)、关于 y 轴 (-x,y)）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：掌握平面直角坐标系中平移、旋转（含 90°、180°）、轴对称（关于 x 轴、y 轴）三种图形变换的坐标变化规律，能根据坐标变化判断图形变换类型，或根据变换类型求对应点坐标。
能力目标：能独立完成 “已知图形顶点坐标与变换规则，求变换后图形顶点坐标并作图” 的任务，通过分析坐标变化推导变换本质，提升数形结合与逻辑推理能力。
素养目标：体会 “代数坐标” 与 “几何变换” 的统一，感受坐标系在图形变换中的工具价值，培养分类讨论与归纳总结思想，规范坐标书写与图形描述语言。
第 3 页：情境导入 坐标系中的图形变换
生活实例（配图）：
地图导航：起点 A (1,2) 沿东向（x 轴正方向）移动 3 个单位，到达 A (4,2)，对应 “平移变换”；
屏幕旋转：手机屏幕上的点 B (3,1) 绕原点旋转 180°，显示为 B (-3,-1)，对应 “旋转变换”；
镜像反射：湖面倒影中，岸边点 C (2,4) 的倒影为 C (2,-4)，对应 “关于 x 轴的轴对称变换”。
思考提问：
不同图形变换中，点的横、纵坐标分别发生了怎样的变化？
若已知图形顶点坐标和变换规则，如何快速求出变换后图形的顶点坐标？
第 4 页：核心模块 1 平移变换的坐标规律
1. 平移的定义（回顾）
在平面内，将图形沿某个方向移动一定的距离，图形的形状、大小不变，这种变换叫做平移。
2. 坐标变化规律（以点 P (x,y) 为例）
平移方向
坐标变化（对应点 P'(x',y')）
示例（P (2,3)）
沿 x 轴正方向移动 a 个单位
x'=x+a，y'=y
移动 2 个单位→(4,3)
沿 x 轴负方向移动 a 个单位
x'=x-a，y'=y
移动 1 个单位→(1,3)
沿 y 轴正方向移动 b 个单位
x'=x，y'=y+b
移动 3 个单位→(2,6)
沿 y 轴负方向移动 b 个单位
x'=x，y'=y-b
移动 2 个单位→(2,1)
沿斜向（x 正 + y 正）移动
x'=x+a，y'=y+b
移动 (a=1,b=2)→(3,5)
3. 图形平移的应用（以△ABC 为例）
已知△ABC 顶点 A (1,2)、B (3,4)、C (2,5)，将其沿 x 轴负方向移动 2 个单位，沿 y 轴正方向移动 1 个单位，求变换后△A'B'C' 的顶点坐标。
解答：
A'(1-2, 2+1)=(-1,3)；
B'(3-2, 4+1)=(1,5)；
C'(2-2, 5+1)=(0,6)。
规律总结：图形平移时，所有顶点的坐标变化规律一致，只需按相同规则变换各顶点坐标，再连接即可得到平移后的图形。
第 5 页：核心模块 2 旋转变换的坐标规律（绕原点）
1. 旋转的定义（回顾）
在平面内，将图形绕某点按一定方向旋转一定角度，图形的形状、大小不变，这种变换叫做旋转。本节课重点讨论 “绕坐标原点旋转” 的情况。
2. 常见旋转角度的坐标变化规律（以点 P (x,y) 为例）
旋转中心
旋转方向与角度
坐标变化（对应点 P'(x',y')）
示例（P (2,3)）
原点 O
顺时针旋转 90°
x'=y，y'=-x
(3,-2)
原点 O
逆时针旋转 90°
x'=-y，y'=x
(-3,2)
原点 O
旋转 180°（任意方向）
x'=-x，y'=-y
(-2,-3)
3. 规律推导（以逆时针旋转 90° 为例）
如图，点 P (x,y) 绕原点 O 逆时针旋转 90° 得到 P'(x',y')，过 P 作 PA⊥x 轴于 A，过 P' 作 P'B⊥x 轴于 B；
由旋转性质知 OP=OP'，∠POP'=90°，故△OPA≌△P'OB（AAS）；
因此 OB=PA=y，P'B=OA=x，又 P' 在第二象限，故 x'=-y，y'=x。
4. 图形旋转的应用（以线段 AB 为例）
已知线段 AB 端点 A (1,2)、B (3,1)，将其绕原点顺时针旋转 90°，求变换后线段 A'B' 的端点坐标。
解答：
A'(2,-1)（x'=y=2，y'=-x=-1）；
B'(1,-3)（x'=y=1，y'=-x=-3）。
第 6 页：核心模块 3 轴对称变换的坐标规律
1. 轴对称的定义（回顾）
在平面内，将图形沿某条直线折叠，直线两侧的部分能完全重合，这种变换叫做轴对称，这条直线叫做对称轴。本节课重点讨论 “关于 x 轴、y 轴” 的轴对称。
2. 常见对称轴的坐标变化规律（以点 P (x,y) 为例）
对称轴
坐标变化（对应点 P'(x',y')）
示例（P (2,3)）
折叠性质
关于 x 轴
x'=x，y'=-y
(2,-3)
横坐标不变，纵坐标互为相反数
关于 y 轴
x'=-x，y'=y
(-2,3)
纵坐标不变，横坐标互为相反数
关于直线 y=x
x'=y，y'=x
(3,2)
横、纵坐标互换
关于直线 y=-x
x'=-y，y'=-x
(-3,-2)
横、纵坐标互换且均取反
3. 图形轴对称的应用（以矩形 ABCD 为例）
已知矩形 ABCD 顶点 A (1,1)、B (4,1)、C (4,3)、D (1,3)，求其关于 y 轴对称的矩形 A'B'C'D' 的顶点坐标。
解答：
A'(-1,1)（x'=-1，y'=1）；
B'(-4,1)（x'=-4，y'=1）；
C'(-4,3)（x'=-4，y'=3）；
D'(-1,3)（x'=-1，y'=3）。
第 7 页：综合应用 多变换组合与变换类型判断
例题 1：多变换组合（平移 + 旋转）
已知点 P (3,4)，先将其沿 x 轴正方向移动 2 个单位，再绕原点逆时针旋转 90°，求最终对应点 P'' 的坐标。
解答步骤：
第一步平移：沿 x 轴正方向移动 2 个单位，P'(3+2,4)=(5,4)；
第二步旋转：绕原点逆时针旋转 90°，P''(-4,5)（x'=-y=4→-4，y'=x=5）；
最终坐标：P''(-4,5)。
例题 2：根据坐标变化判断变换类型
已知点 M (2,5) 变换后得到 M'(5,2)，点 N (1,3) 变换后得到 N'(3,1)，判断该变换类型。
解答：
观察坐标变化：M (2,5)→M'(5,2)，横、纵坐标互换；N (1,3)→N'(3,1)，横、纵坐标互换；
符合 “关于直线 y=x 的轴对称变换” 或 “绕原点顺时针旋转 90° 再关于 x 轴对称”（但前者更直接）；
结论：该变换为 “关于直线 y=x 的轴对称变换”。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
旋转方向混淆：将 “顺时针旋转 90°” 与 “逆时针旋转 90°” 的坐标规律记反（如误将顺时针 90° 记为 x'=-y，y'=x）；
轴对称对称轴判断错误：误将 “关于 x 轴” 的对称记为 “x'=-x，y'=y”（实际 x 不变，y 取反）；
多变换顺序错误：忽略 “变换顺序影响结果”，如 “先平移再旋转” 与 “先旋转再平移” 结果不同（如 P (1,0) 先平移 (0,1) 再旋转 90° 得 (1,1)，先旋转 90° 再平移 (0,1) 得 (0,2)）。
避坑技巧：
记忆旋转规律时，结合 “画图验证”（如在坐标系中画点 P (1,0)，顺时针转 90° 到 (0,-1)，对应 x'=y=0，y'=-x=-1）；
轴对称规律可总结为 “对称轴垂直于哪条轴，哪条轴的坐标不变，另一条轴的坐标取反”（如 x 轴为对称轴，x 不变，y 取反）；
多变换问题中，按 “先写中间坐标，再求最终坐标” 的步骤，避免直接跳步出错。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）点 A (3,-2) 沿 x 轴负方向移动 1 个单位，沿 y 轴正方向移动 3 个单位后的坐标为______。（答案：(2,1)）
（2）点 B (-1,4) 绕原点逆时针旋转 90° 后的坐标为______；关于 y 轴对称后的坐标为______。（答案：(-4,-1)，(1,4)）
中档题：
已知△ABC 顶点 A (2,3)、B (4,1)、C (1,2)，将其关于 x 轴对称得到△A'B'C'，再将△A'B'C' 绕原点旋转 180° 得到△A''B''C''，求△A''B''C'' 的顶点坐标。（答案：A''(2,3)，B''(4,1)，C''(1,2)，提示：两次变换后回到原图形）
提升题：
在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点坐标为 A (1,2)、B (3,4)、C (5,2)、D (3,0)，判断该四边形是否为中心对称图形，若是，求出其对称中心的坐标（提示：对称中心是对角线 AC 与 BD 的中点）。（答案：是，对称中心为 (3,2)）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
三种变换的核心坐标规律：
平移：(x±a,y±b)（沿 x 轴 ±a，沿 y 轴 ±b）；
旋转（绕原点）：90° 顺 (x'=y,y'=-x)，90° 逆 (x'=-y,y'=x)，180°(-x,-y)；
轴对称：x 轴 (x,-y)，y 轴 (-x,y)，y=x (y,x)；
关键思想：坐标系将 “图形变换” 转化为 “坐标计算”，可通过坐标变化反推变换类型；
应用技巧：多变换问题分步计算，复杂图形通过顶点坐标变换求解。
作业：
基础作业：教材习题 24.1 第 7、8、9 题（坐标变换计算、图形变换作图）；
拓展作业：已知点 P (x,y) 绕点 M (a,b) 旋转 180°，推导其对应点 P'(x',y') 的坐标规律（提示：先平移原点到 M，再旋转，最后平移回原原点，答案：x'=2a-x，y'=2b-y）；
实践作业：在平面直角坐标系中画出自己喜欢的图形（如小房子、小动物），标注顶点坐标，然后分别进行平移、旋转、轴对称变换，记录变换后的坐标并对比图形变化。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.1.3平面直角坐标系中
的图形变换
第24章　圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
你能找出图案中的全等图形吗？
这幅图案可看成是怎样制作的呢？
图片引入
运动美
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组合美
坐标平面内的旋转变换
A
B
1
2
2
－1
－2
－2
x
y
O
1
－1
合作探究
B
如图，△AOB 的顶点坐标分别是 A (2，1)，O (0，0)，B(2，0).
(1) 分别画出△AOB 以原点为旋转中心，逆时针旋转 90°、180°、270°、360° 而得到的△A′OB′，并填写表格.
A
1
2
2
－1
－2
－2
x
y
O
1
－1
B
原图形上点的坐标 A(2，1) O(0，0) B(2，0)
按逆时针方向旋转后对应点的坐标 旋转90°
旋转180°
旋转270°
旋转360°
(－1，2)
(－2，－1)
(1，－2)
(2，1)
(0，0)
(0，2)
(0，0)
(0，0)
(0，0)
(－2，0)
(0，－2)
(2，0)
(2) 分别比较点 A′ 与点 A、点 B′ 与点 B、点 C 与点 C′的坐标，能得到怎样的结论？
通过作图、分析能看到，把一个图形以坐标原点为旋转中心作几个特殊角度的旋转，可得如下结果：
原图形上任一点的坐标 以点 O 为旋转中心按逆时针方向旋转后对应点的坐标
(x，y) (－y，x) (－x，－y) (y，－x) (x，y)
旋转 90°
旋转 180°
旋转 270°
旋转 360°
练一练
1. 如图，在方格纸上建立的平面直角坐标系中，将△ABO
绕点 O 按顺时针方向旋转 90°，得△A′B′O，则点 A′ 的
坐标为 .
解析：根据网格结构找出点 A、B 旋转后的对应点 A′、B′ 的位置，然后与点 O 顺次连接即可. 如图，点 A′ 的坐标为 (1，3).
(1，3)
2. 填空：
(1) 在平面直角坐标系中，点 P (2，－3) 关于原点对
称的点 P′ 的坐标是________．
(2) 点 M (3，－5) 绕原点旋转 180° 后到达的位置是
________．
(3) 点 P (2，n) 与点 Q (m，－3) 关于原点对称，则
(m＋n)2023＝______．
解析：因为点 P(2，n) 与点 Q(m，－3) 关于原点对称，所以 m＝－2，n＝3．则 (m＋n)2023＝(－2＋3)2023＝1.
(－2，3)
1
(－3，5)
例1 如图，在平面直角坐标系中，点 B 的坐标是(1，0)，若点 A 的坐标为(a，b)，将线段 BA 绕点 B 顺时针旋转 90° 得到线段 BA′，则点 A′ 的坐标是 ．
典例精析
解析：过点 A 作 AC⊥x 轴，过点 A′ 作 A′D ⊥ x 轴，垂足分别为 C、D，显然
Rt△ABC≌Rt△BA′D.
∵点 A(a，b)，点 B(1，0)，∴ OD＝OB＋BD＝OB＋AC＝1＋b，A′D＝BC＝OC－OB＝a－1. ∵ 点 A′ 在第四象限，∴ 点 A′ 的坐标是 (b＋1，－a＋1)．
动态图形的操作与图案设计
试说出构成下列图形的基本图形．
观察与思考
（1）
（2）
（3）
（4）
基本图案
图案的形成过程
分析图案的形成过程
基本图案
图案的形成过程
分析图案的形成过程
归纳：图形的变换可以通过选择不同的变换方式得到，可能需要旋转、轴对称、平移等多种变换组合才能得到完美的图案.
例2 用四块如图(1)的正方形卡片拼成一个新的正方形，使拼成的图案是一个轴对称图形，请你在图(2)、图(3)、图(4)中各画出一种拼法(要求三种画法各不相同，且其中至少有一个既是轴对称图形，又是中心对称图形)．
解：如图所示.（答案不唯一）
例3 如图是一个 4×4 的正方形网格，每个小正方形的边长为1.请你在网格中以左上角的三角形为基本图形，通过平移、轴对称或旋转变换，设计一个精美图案，使其满足：①既是轴对称图形，又是以点 O 为对称中心的中心对称图形；②所作图案用阴影标识，且阴影部分面积为 4.
分析：所给左上角的三角形的面积为 1×1÷2＝0.5，故设计图案总共需要阴影三角形 4÷0.5＝8 (个).
解：答案不唯一，以下图案供参考.
返回
A
2. 如图，点A的坐标是(－4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是(　　)
A．(4，6)
B．(6，4)
C．(－6，－4)
D．(－4，－6)
返回
【答案】 B
返回
【答案】 D
4．[2024·德州德城区期末]如图，在正方形网格中，线段AB绕一点旋转一定的角度后与线段CD重合(C，D均为格点，点A的对应点是点C)，若点A的坐标为(－1，5)，点B的坐标为(3，3)，则旋转中心的坐标为________．
(1，1)
5．[2024·盐城一模]如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，点B(0，4)，连接AB，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，连接OC，求线段OC的长度．
【解】如图，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠ADC＝
∠BOA＝90°.
∵将线段AB绕点A顺时针
旋转90°得到线段AC，
∴∠BAC＝90°，AC＝AB.
∴∠BAO＋∠CAD＝90°.
返回
旋转的应用
特征
P(x，y) 关于原点的对称点为 P′(-x，-y).
作图
作出关于原点对称的图形，先求出对称点的坐标，再描点画图.
坐标平面内的旋转
变换
动态图形的操作与图案设计
分析图案设计
分清基本图形
知道形成过程
设计方法
利用图形变换
轴对称
平 移
旋 转
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！