24.2.1与圆有关的概念及点与圆的位置关系 课件(共47张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册

(共47张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.2.1 与圆有关的概念及点与圆的位置关系
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 概念梳理 位置判定 实例应用
配图：左侧为标准圆的几何图形（标注圆心、半径、直径、弦、弧），右侧为点与圆的三种位置关系示意图（点在圆内、圆上、圆外，标注距离与半径的关系）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解圆的两种定义（动态、静态），掌握弦、直径、弧、等圆、等弧等与圆有关的概念，明确点与圆的三种位置关系（内、上、外）及判定依据（点到圆心的距离与半径的数量关系）。
能力目标：能在圆的图形中识别并标注相关概念，通过计算 “点到圆心的距离” 判断点与圆的位置关系，提升几何直观与数学运算能力。
素养目标：感受圆在生活中的广泛应用，体会 “抽象几何概念” 与 “实际图形” 的联系，培养数形结合与从具体到抽象的数学思想。
第 3 页：情境导入 生活中的圆
生活实例展示（配图）：
自然中的圆：太阳的轮廓、水滴的截面、树木的年轮；
人造的圆：自行车轮、圆形餐桌、时钟表盘、摩天轮轨道。
思考提问：
这些物体的形状都可以抽象为 “圆”，如何用数学语言精准定义 “圆”？
圆上的点有什么共同特征？圆内外的点与圆的中心又有什么位置关联？
第 4 页：核心模块 1 圆的定义与相关概念
1. 圆的两种定义
（1）动态定义（发生式定义）
在平面内，将一个动点绕着一个定点（圆心）按定长（半径）旋转一周，动点所经过的封闭曲线叫做圆。
关键要素：
定点：圆心，用字母 O 表示，决定圆的位置；
定长：半径，用字母 r 表示，决定圆的大小；
封闭曲线：圆是 “曲线”，而非 “曲线及其内部的区域”（曲线及其内部称为 “圆面”）。
（2）静态定义（集合式定义）
在平面内，到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的所有点的集合叫做圆。
符号表示：以 O 为圆心、r 为半径的圆，记作 “⊙O”，读作 “圆 O”；
示例：平面内到点 O 距离为 5cm 的所有点，组成以 O 为圆心、5cm 为半径的⊙O。
2. 与圆有关的关键概念（结合图示标注）
概念
定义
注意事项
弦
连接圆上任意两点的线段
如弦 AB、弦 CD；弦的两个端点必须在圆上
直径
经过圆心的弦
直径是圆中最长的弦，直径 d=2r；如直径 AB
弧
圆上任意两点间的部分，用符号 “⌒” 表示
如弧 AB 记作 “⌒AB”；分为优弧（>180°）、劣弧（<180°）、半圆（=180°）
优弧
大于半圆的弧
表示时需用三个字母，如优弧 ACB（⌒ACB）
劣弧
小于半圆的弧
表示时可用两个字母，如劣弧 AB（⌒AB）
半圆
圆的任意一条直径的两个端点，把圆分成的两条弧
半圆是特殊的弧，既不是优弧也不是劣弧
等圆
能够完全重合的两个圆
等圆的半径相等，与圆心位置无关；如⊙O 与⊙O 半径均为 3cm，则为等圆
等弧
在同圆或等圆中，能够完全重合的弧
等弧的长度相等，且弯曲程度相同（半径相等）；仅长度相等的弧不一定是等弧
第 5 页：核心模块 2 点与圆的位置关系
1. 位置关系的分类（基于 “点到圆心的距离” 与 “半径” 的数量关系）
设⊙O 的半径为 r，平面内任意一点 P 到圆心 O 的距离为 d（即线段 OP 的长度），则点 P 与⊙O 的位置关系有三种：
位置关系
数量关系
图形特征
示例（r=5cm）
点在圆内
d < r
点 P 在⊙O 的内部，到 O 的距离小于半径
d=3cm < 5cm，点 P 在⊙O 内
点在圆上
d = r
点 P 在⊙O 的曲线上，到 O 的距离等于半径
d=5cm = 5cm，点 P 在⊙O 上
点在圆外
d > r
点 P 在⊙O 的外部，到 O 的距离大于半径
d=7cm > 5cm，点 P 在⊙O 外
2. 位置关系的双向判定
正向判定：已知 d 与 r 的大小，判断点与圆的位置关系（如 d=4cm，r=5cm→d逆向判定：已知点与圆的位置关系，确定 d 与 r 的大小范围（如点 P 在⊙O 外→d>r）。
3. 性质推导
圆内所有点的距离 d 满足 d < r；
圆上所有点的距离 d 满足 d = r；
圆外所有点的距离 d 满足 d > r。
第 6 页：典例精讲 概念辨析与位置判定
例题 1：概念辨析（判断正误）
直径是弦，但弦不一定是直径；（√，直径是经过圆心的特殊弦，弦只需连接圆上两点）
半圆是弧，弧也是半圆；（×，弧包括优弧、劣弧和半圆，半圆只是弧的一种）
长度相等的弧是等弧；（×，等弧需满足 “同圆或等圆” 且 “能重合”，仅长度相等不满足）
等圆的半径相等，半径相等的圆是等圆。（√，半径是决定圆大小的唯一要素，半径相等则圆能重合）
例题 2：点与圆的位置判定
已知⊙O 的半径 r=6cm，根据下列条件，判断点 P 与⊙O 的位置关系：
（1）OP=4cm；（2）OP=6cm；（3）OP=8cm。
解答：
（1）∵ OP=4cm < r=6cm→点 P 在⊙O 内；
（2）∵ OP=6cm = r=6cm→点 P 在⊙O 上；
（3）∵ OP=8cm > r=6cm→点 P 在⊙O 外。
例题 3：结合几何图形的位置判定
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，以 C 为圆心、r 为半径画圆，当 r=4cm 时，判断点 A、B 与⊙C 的位置关系。
解答步骤：
计算点 A 到 C 的距离：AC=3cm（已知），∵ 3cm < r=4cm→点 A 在⊙C 内；
计算点 B 到 C 的距离：BC=4cm（已知），∵ 4cm = r=4cm→点 B 在⊙C 上。
第 7 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
概念混淆：
误将 “圆” 与 “圆面” 混淆（圆是封闭曲线，圆面是曲线及其内部区域）；
误将 “直径” 与 “弦” 等同（直径是特殊的弦，但弦不一定是直径）；
误将 “等弧” 与 “等长的弧” 混淆（等弧需 “同圆或等圆” 且 “能重合”，仅长度相等不成立）。
位置判定错误：
忽略 “点到圆心的距离” 的定义，误将 “点到圆上某点的距离” 当作 d（如点 P 到圆上点 A 的距离为 5cm，不能直接判断 P 与圆的位置关系，需计算 P 到圆心 O 的距离）；
单位不统一时直接比较 d 与 r（如 r=5cm，d=40mm，需先统一单位为 d=4cm，再比较 d避坑技巧：
记忆概念时，抓住关键特征（如直径需 “经过圆心”，等弧需 “同圆或等圆”）；
判定点与圆的位置关系时，严格计算 “点到圆心的距离 d”，再与半径 r 比较，确保单位统一；
复杂图形中，通过勾股定理、两点间距离公式等计算 d（如平面直角坐标系中，点 P (x ,y ) 到 O (x ,y ) 的距离 d=√[(x -x ) +(y -y ) ]）。
第 8 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）已知⊙O 的半径为 5cm，弦 AB 的长度为 8cm，则弦 AB 是⊙O 的______（填 “直径” 或 “非直径弦”），理由是______。（答案：非直径弦，直径长度应为 10cm，8cm≠10cm）
（2）点 P 到⊙O 的圆心 O 的距离为 7cm，若⊙O 的半径 r=6cm，则点 P 在⊙O______；若点 P 在⊙O 内，则 r 的取值范围是______。（答案：外，r>7cm）
中档题：
如图，⊙O 中，直径 AB=10cm，弦 CD=8cm，且 CD⊥AB 于 E，求 OE 的长度，并判断点 E 与⊙O 的位置关系。（答案：OE=3cm，∵ 3cm < 5cm→点 E 在⊙O 内）
提升题：
在平面直角坐标系中，⊙O 的圆心在原点 (0,0)，半径 r=5，已知点 P (3,4)，求 OP 的长度，并判断点 P 与⊙O 的位置关系；若点 Q (a,0) 在⊙O 上，求 a 的值。（答案：OP=5cm→点 P 在⊙O 上；a=±5）
第 9 页：课堂小结与作业布置
小结：
圆的定义：动态（动点绕定点旋转）、静态（点的集合），核心要素是圆心（定位置）和半径（定大小）；
关键概念：弦（直径是特殊弦）、弧（优弧、劣弧、半圆）、等圆（半径相等）、等弧（同圆 / 等圆中能重合）；
点与圆的位置关系：由 “点到圆心的距离 d” 与 “半径 r” 决定（dr 外），双向判定需紧扣数量关系。
作业：
基础作业：教材习题 24.2 第 1、2、3 题（概念辨析、位置判定）；
拓展作业：已知⊙O 的半径 r=4cm，点 A、B、C 到 O 的距离分别为 3cm、4cm、5cm，画出⊙O 及点 A、B、C，标注它们的位置关系；
实践作业：观察生活中的圆形物体（如光盘、硬币），测量其直径（即最大弦长），并判断物体表面某点（如光盘中心的小孔）与圆的位置关系。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.2.1与圆有关的概念及点与圆的位置关系
第24章　圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
图片引入
骑车运动
看了此画，你有何想法
思考：车轮为什么做成圆形？做成三角形、正方形可以吗？
车轮为圆形的原理分析（请依次点击按钮观看动画）：
问题1 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？
探究圆的概念
合作探究
甲
丙
乙
丁
为了使游戏公平，
应在目标周围围成一个圆圈排队，
因为圆上各点到圆心的距离都等于半径.
为什么？
·
r
O
P
圆的旋转定义
在平面内，线段 OP 绕着它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点 P 所形成的封闭曲线叫做圆．固定的端点 O 叫做圆心，线段 OP 的长 r 叫做半径．以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O” 读作“圆 O”.
问题2 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
等圆
半径相同，圆心不同
圆心相同，半径不同
确定一个圆的要素
(1) 圆上各点到定点 (圆心 O) 的距离都等于 .
(2) 平面内到定点 (圆心 O) 的距离等于定长 (半径 r) 的所
有点都在 .
由此，我们可以得到圆的集合定义：平面内到定点 (圆心 O) 的距离等于定长 (半径 r) 的所有点组成的图形.
O
r
r
r
r
r
定长(半径 r)
同一个圆上
想一想：从画圆的过程可以看出什么呢？
·
例1 如图，已知 AB，CD 为⊙O 的直径. 求证：AD∥CB.
典例精析
证明：连接 AC，DB.
∵ AB，CD 为⊙O 的直径，
∴ OA = OB，
OC = OD.
∴ 四边形 ADBC 为平行四边形.
∴ AD∥CB.
A
B
C
D
O
矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于 O.
求证：A、B、C、D 在以 O 为圆心的同一圆上.
A
B
C
D
O
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴
∴ A、B、C、D 在以 O 为圆心，
以 OA 为半径的圆上.
练一练
问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
.
o
.
C
.
.
.
. B
.
A
.
.
有三种：点在圆内，点在圆上，点在圆外.
点和圆的位置关系
观察与思考
问题2 设点到圆心的距离为d，圆的半径为r，量一量在点和圆三种不同位置关系下，d与r有怎样的数量关系？
点P在⊙O内
点P在⊙O上
点P在⊙O外
d
d
d
r
P
d
P
r
d
P
r
d
＜
r
r
=
＞
r
反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
1. ⊙O 的半径为 10 cm，A、B、C 三点到圆心的距离分
别为 8 cm、10 cm、12 cm，则点 A、B、C 与⊙O 的
位置关系是点 A 在 ；点 B 在 ；点 C 在 .
圆内
圆上
圆外
2. 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2，若 OP
= ，则点 P 在 ( 　)
A. 大圆内 B. 小圆内
C. 小圆外 D. 大圆内，小圆外
o
D
练一练
点和圆的位置关系
r
P
d
P
r
d
P
r
d
R
r
P
点 P 在⊙O 内
d点 P 在⊙O 上
d=r
点 P 在⊙O 外
d>r
点 P 在圆环内
r≤d≤R
数形结合：
位置关系
数量关系
知识要点
例2 如图，已知矩形 ABCD 的边 AB = 3，AD = 4.
（1）以 A 为圆心，4 为半径作⊙A，则点 B、C、D 与
⊙A 的位置关系如何？
解：∵AB = 3 ＜ 4，
∴ 点 B 在⊙A 内．
∵ AD = 4，
∴ 点 D 在 ⊙A 上．
∵ ＞ 4，
∴ 点 C 在 ⊙A 外.
（2）若以 A 点为圆心作⊙A，
使 B、C、D 三点中至少
有一点在圆内，且至少
有一点在圆外，求⊙A
的半径 r 的取值范围.
解：由题意得，点 B 一定在圆内，点 C 一定在圆外，∴ 3＜r＜5.
【变式题】如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为
(2，1)，P 是 x 轴上一点，要使 △PAO 为等腰三角形，
满足条件的 P 有几个？求出点 P 的坐标.
方法总结：在没有明确腰和底边的情况下，构造等腰三角形要注意分类讨论.
·
C
O
A
B
弧：
圆的有关概念
(
连接圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“ ”表示. 如图中的 和 ．
弦：
·
C
O
A
B
连接圆上任意两点的线段（如图中的 AB，AC）叫做弦.
经过圆心的弦（如图中的 AB）叫做直径．
注意：1. 弦和直径都是线段；
2. 直径是特殊的弦，它经过圆心，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
半圆、优弧及劣弧：
圆的任意一条直径的两个端点分圆
成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
劣弧与优弧
·
C
O
A
B
半圆
大于半圆的弧（如图中的 ，一般用三个字母表示）叫做优弧；小于半圆的弧（如图中的 ）叫做劣弧.
等圆：
·
C
O
A
能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等.
·
C
O1
A
等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
长度相等的弧是等弧吗？
例 3 如图.
(1) 请写出以点 A 为端点的劣弧及优弧；
(2) 请写出以点 A 为端点的弦及直径；
弦 AF，AB，AC. 其中弦 AB 也是直径.
(3) 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
A
B
C
E
F
D
O
劣弧：
优弧：
答案不唯一，如：弦 AF，它所对的弧是 和 .
练一练
有下列五个说法：①半径确定了，圆就确定了；②直径是弦；③弦是直径；④半圆是弧，但弧不一定是半圆；⑤任意一条直径都是圆的对称轴．其中错误说法的个数是 ( 　)
A．1 B．2 C．3 D．4
解析：根据圆、直径、弦、半圆等概念来判断．半径只能确定圆的大小，不能确定圆的位置；直径是弦，但弦不一定是直径；对称轴是直线，故应说任意一条直径所在的直线是圆的对称轴．故①③⑤错误.
C
1. 根据圆的定义，圆指的是“圆周”，而不是“圆面”；
2. 直径是圆中最长的弦.
证明：
·
C
O
A
B
连接 OC．
在△AOC 中，根据三角形三边关系有 OA + OC > AC，
而 AB = 2OA，OA = OC，
∴ AB > AC.
知识要点
例 4 如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB，CD 的延长线交于点 E. 已知 AB = 2DE，∠E = 18°，求∠AOC 的度数．
解：如图，连接 OD.
∵ AB 是⊙O 的直径，OC，OD 是半径，
AB = 2DE，∴OD = DE.
∴∠DOE = ∠E = 18°.
∴∠ODC = ∠DOE＋∠E = 36°.
∵ OC = OD，∴∠C = ∠ODC = 36°.
∴∠AOC = ∠C＋∠E = 36°＋18° = 54°.
例 5 如图，MN 是半圆 O 的直径，正方形 ABCD 的顶点 A、D 在半圆上，B、C 在 MN 上，求证：OB = OC.
Ⅰ
Ⅱ
10
？
2x
在 Rt△ABO 中，AB2 + BO2 = AO2，
即 (2x)2 + x2 = 102.
A
B
O
C
D
M
N
算一算：设⊙O 的半径为 10，则正方形 ABCD 的边长为
.
x
连接 OA，OD，则OA = OD，由三角形全等可证 OB = OC.
x
x
x
x
【变式题】如图，在扇形 MON 中，∠MON = 45°，半径
MO = NO = 10，正方形 ABCD 的顶点 B、C、D 在半径
上，顶点 A 在圆弧上，求正方形 ABCD 的边长.
解：连接 OA，如图.
又∵∠DOC = 45°，∴CD = OC.
设 AB = x，则 AB = BC = DC = OC = x.
∵OA = OM = 10，∴ (2x)2 + x2 = 102.
在 Rt△ABO 中，
在正方形 ABCD 中，AB = BC = CD，
∠ABC =∠DCB = 90°.
解得
45°
1. 判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
(1) 弦是直径；
(2) 半圆是弧；
(3) 过圆心的线段是直径；
(4) 过圆心的直线是直径；
(5) 半圆是最长的弧；
(6) 直径是最长的弦；
(7) 长度相等的弧是等弧.
2. 填空：
（1）______是圆中最长的弦，它是______的 2 倍．
（2）图中有 条直径， 条非直径的弦，
圆中以 A 为一个端点的优弧有 条，
劣弧有 条．
直径
半径
1
2
4
4
A
B
C
D
O
F
E
3. 正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以 A 为圆心，2 cm 长为
半径作⊙A，则点 B 在⊙A ；点 C 在⊙A ；点 D
在⊙A .
上
外
上
4. 如图，MN 为⊙O 的弦，∠MON = 70°，则∠M = °.
5. 一点到⊙O 上的最近距离为 4 cm，最远距离为 10 cm，
则这个圆的半径是 .
7 cm 或 3 cm
M
O
N
55
·
2 cm
3 cm
6. 画出由所有到已知点 O 的距离大于或等于 2 cm 并且
小于或等于 3 cm 的点组成的图形.
O
7. 如图，OA、OB 是⊙O 的半径，点 C、D 分别为 OA、
OB 的中点，求证：AD = BC.
证明：∵ OA、OB 是⊙O 的半径，
∴ OA = OB.
∵ 点 C、D 分别为 OA、OB 的中点，
∴ OA = 2OC，OB = 2OD.
∴ OC = OD.
又∵∠O =∠O，
∴△AOD≌△BOC (SAS).
∴ BC = AD.
解：渔船应沿着射线 OP 的方向航行
才能尽快离开危险区．理由如下：
设射线 OP 交⊙O 于点 A，过点 P
任意作一条弦 CD，连接 OD. 在
△ODP中，OD－OP＜PD，又∵OD
= OA，∴OA－OP＜PD. ∴ PA＜PD，即 PA 为最短路线，故渔船沿射线 OP 方向航行才能尽快离开危险区.
能力提升：
8. 如图，点 O 处有一灯塔，警示⊙O 内部为危险区，一
渔船误入危险区点 P 处，该渔船应该按什么方向航行
才能尽快离开危险区？试说明理由．
A
D
P
C
O
返回
1．下列条件中，能确定一个圆的是(　　)
A．以点O为圆心
B．以2 cm长为半径
C．以点O为圆心，10 cm长为半径
D．经过点A
C
2. 我国西汉中期的数学典籍《周髀算经》中总结了对几何工具“矩”(即直角形状的曲尺，如图①所示)的使用之道，其中就有“环矩以为圆”的方法．我国许多数学家对该方法作了如下更具体的描述：如图②所示，在平面内固定两个钉子A，B，保持“矩”的两边始终紧靠两钉子的内侧，转动
“矩”，则“矩”的顶点
C的运动路线将会是一个圆．
依此描述，请用你学过的一个数学概念或定理解释“环矩以为圆”这种方法的道理：_________________
_______________________________．
圆是平面内到定点的
距离等于定长的所有点组成的图形
返回
【点拨】连接AB，取AB的中点O，连接CO，则AO＝BO＝CO，即点A，B，C到点O的距离相等，所以“环矩以为圆”这种方法的道理是圆是平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
返回
A
4．已知矩形ABCD的边AB＝15，BC＝20，以点B为圆心作圆，使A，C，D三点至少有一点在⊙B内，且至少有一点在⊙B外，则⊙B的半径r的取值范围是(　　)
A．r>15 B．15C．15C
返回
5. 定义：点P，Q分别为两个图形G1，G2上任一点，如果线段PQ的长度存在最小值，就称该最小值为图形G1和G2的“近距离”；如果线段PQ的长度存在最大值，就称该最大值为图形G1和G2的“远距离”．线段AB和⊙O是平面直角坐标系xOy中的两个图形，A(－3，4)，B(－3，－4)，⊙O的半径为1.
返回
下列关于线段AB与⊙O的说法中，正确的是(　　)
A．“近距离”是4
B．“近距离”是5
C．“远距离”是6
D．“远距离”是8
C
返回
6．如图，在⊙O中，______是直径，____________是弦，以E为端点的劣弧有______________________，以A为端点的优弧有__________________________．
AB
CD，EF，AB
圆
定义
旋转定义
集合定义
有关
概念
直径是圆中最长的弦
弧
半圆是特殊的弧
劣弧
半圆
优弧
点与圆的位置关系
弦（直径）
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d等圆
等弧
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！