24.2.2垂径分弦 课件(共40张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册

(共40张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.2.2 垂径分弦（垂径定理）
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 定理推导 推论拓展 综合应用
配图：左侧为垂径定理核心图形（直径 CD⊥弦 AB 于 E，标注 AE=BE、⌒AC=⌒BC、⌒AD=⌒BD），右侧为实际应用场景（圆弧形桥拱，标注跨度、拱高）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧）及其推论（“知二推三”），明确定理的适用条件与结论之间的逻辑关系。
能力目标：能运用垂径定理解决 “求弦长、圆心距、半径” 等几何计算问题，通过定理证明培养逻辑推理能力，提升几何图形分析与辅助线构造能力。
素养目标：体会 “从图形对称性推导定理” 的数学思想，感受垂径定理在实际场景中的应用价值，培养严谨的数学思维与数形结合意识。
第 3 页：情境导入 圆的轴对称性与垂径现象
复习回顾：
圆是轴对称图形，其对称轴是什么？（任意一条经过圆心的直线，即直径所在的直线）
生活情境（配图 + 动手操作）：
对折圆形纸片：将圆形纸片沿直径 CD 对折，观察直径两侧的部分完全重合，若圆上有一条弦 AB 与 CD 垂直交于 E，对折后 A 与 B、⌒AC 与⌒BC、⌒AD 与⌒BD 均重合；
桥拱问题：圆弧形桥拱的跨度（弦长）为 16m，拱高（圆心到弦的距离与半径的差值）为 4m，如何计算桥拱的半径？
思考提问：
垂直于弦的直径，除了是圆的对称轴，还能对弦和弧产生什么影响？
若已知直径垂直于弦，能否推出 “直径平分弦”“直径平分弧”？反之，若已知直径平分弦，能否推出 “直径垂直于弦”？
第 4 页：核心模块 1 垂径定理的推导与证明
1. 定理探究（基于圆的轴对称性）
操作步骤：
画⊙O，任取一条弦 AB（非直径），作直径 CD⊥AB 于点 E；
沿直径 CD 对折⊙O，观察弦 AB 与弧 AC、AD 的重合情况：
弦 AB 被点 E 平分（AE=BE）；
弧 AC 与弧 BC 重合（⌒AC=⌒BC）；
弧 AD 与弧 BD 重合（⌒AD=⌒BD）。
2. 垂径定理内容
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言（结合图示：⊙O 中，CD 为直径，AB 为弦，CD⊥AB 于 E）：
∵ CD 是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE（平分弦），
⌒AC=⌒BC（平分弦所对的劣弧），
⌒AD=⌒BD（平分弦所对的优弧）。
3. 定理证明（逻辑推理，非折叠验证）
已知：如图，⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB 于 E。
求证：AE=BE，⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。
证明：
连接 OA、OB（半径），∵ OA=OB（同圆半径相等），∴ △OAB 是等腰三角形；
又∵ CD⊥AB，根据 “等腰三角形三线合一”，∴ AE=BE（等腰三角形底边上的高平分底边）；
在⊙O 中，∵ OA=OB，OE=OE，AE=BE，∴ △OAE≌△OBE（SSS）；
∴ ∠AOE=∠BOE，故⌒AC=⌒BC（等圆心角对等弧）；
∵ ∠AOD=180°-∠AOE，∠BOD=180°-∠BOE，∴ ∠AOD=∠BOD，故⌒AD=⌒BD。
4. 关键提醒
定理中的 “直径” 可推广为 “过圆心的直线”（直径是过圆心的特殊直线）；
若弦为 “直径”，过圆心的直线垂直于直径时，虽满足 “平分直径”，但无特殊意义（任意直径互相平分），故定理常针对 “非直径的弦” 讨论。
第 5 页：核心模块 2 垂径定理的推论（知二推三）
1. 推论本质
垂径定理的核心是 “圆的轴对称性”，对于一个圆和一条直线，若直线满足以下五个条件中的任意两个，则必满足其余三个（简称 “知二推三”）：
① 过圆心（直线经过圆心）；
② 垂直于弦（直线与弦垂直）；
③ 平分弦（直线平分弦，弦非直径）；
④ 平分弦所对的劣弧（直线平分弦对应的劣弧）；
⑤ 平分弦所对的优弧（直线平分弦对应的优弧）。
2. 常见推论组合示例
已知条件
推导结论
应用场景
① 过圆心 + ③ 平分弦（非直径）
② 垂直于弦 + ④ 平分劣弧 + ⑤ 平分优弧
已知直径平分弦，证直径垂直于弦
② 垂直于弦 + ④ 平分劣弧
① 过圆心 + ③ 平分弦 + ⑤ 平分优弧
已知直线垂直于弦且平分劣弧，证直线过圆心
① 过圆心 + ④ 平分劣弧
② 垂直于弦 + ③ 平分弦 + ⑤ 平分优弧
已知直径平分劣弧，证直径垂直且平分弦
3. 易错提醒
若 “已知条件包含平分弦（③）”，需强调 “弦非直径”，否则结论不成立（如两条相交的直径，互相平分但不一定垂直）；
若弦为直径，仅 “过圆心（①）+ 平分弦（③）” 不能推出 “垂直于弦（②）”，需结合其他条件（如平分弧）。
第 6 页：典例精讲 垂径定理的基础应用（计算类）
例题 1：求弦长
已知⊙O 的半径 R=5cm，圆心 O 到弦 AB 的距离（即 OE）为 3cm，求弦 AB 的长。
解答步骤：
过 O 作 OE⊥AB 于 E，由垂径定理得 AE=BE（E 为 AB 中点）；
在 Rt△OAE 中，OA=R=5cm，OE=3cm（圆心距）；
由勾股定理得：AE=√(OA - OE )=√(5 - 3 )=4cm；
故 AB=2×AE=8cm。
方法总结：“连半径，作垂线，构直角三角形” 是垂径定理计算的核心辅助线策略，利用 “半径 = 圆心距 + 半弦长 ” 的勾股定理关系求解。
例题 2：求半径
如图，⊙O 中，弦 CD 的长为 8cm，圆心 O 到 CD 的距离（OE）为 3cm，求⊙O 的半径 R。
解答步骤：
过 O 作 OE⊥CD 于 E，由垂径定理得 CE=CD/2=4cm；
在 Rt△OCE 中，OE=3cm，CE=4cm；
由勾股定理得：OC=√(OE + CE )=√(3 + 4 )=5cm；
故⊙O 的半径 R=5cm。
第 7 页：典例精讲 垂径定理的实际应用（桥拱问题）
例题 3：圆弧形桥拱半径计算
某圆弧形石拱桥的跨度（弦 AB 的长）为 16m，拱高（从弦 AB 到拱顶 C 的距离，即 DE）为 4m，求桥拱所在圆的半径 R。
建模分析：
设桥拱所在圆的圆心为 O，半径为 R，弦 AB 的中点为 D，连接 OD、OA（OD 垂直于 AB，由垂径定理）；
跨度 AB=16m→AD=8m；拱高 DE=4m→OD=R - 4（OE=R，DE=OE - OD=4）。
解答步骤：
在 Rt△OAD 中，OA=R，AD=8m，OD=R - 4；
由勾股定理得：OA =AD + OD →R =8 + (R - 4) ；
展开方程：R =64 + R - 8R + 16→8R=80→R=10m；
故桥拱所在圆的半径为 10m。
关键：将实际问题转化为 “圆的弦长、圆心距与半径” 的几何模型，明确 “拱高” 与 “半径、圆心距” 的关系（拱高 = 半径 - 圆心距，或圆心距 = 半径 - 拱高）。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
忽略 “弦非直径” 的条件：应用 “平分弦的直径垂直于弦” 时，未排除 “弦为直径” 的情况，导致推理错误；
辅助线添加错误：计算时未作 “圆心到弦的垂线”，无法构造直角三角形，导致无法使用勾股定理；
实际场景建模偏差：如桥拱问题中，误将 “拱高” 直接当作 “圆心距”，或混淆 “跨度（弦长）” 与 “直径” 的关系。
避坑技巧：
应用推论时，若涉及 “平分弦”，先判断弦是否为直径，若未明确，需补充说明 “弦非直径”；
遇到 “弦长、半径、圆心距” 相关计算，优先作 “过圆心垂直于弦的垂线”，形成 “半径（R）、半弦长（a/2）、圆心距（d）” 的直角三角形，牢记公式 R =(a/2) + d ；
实际问题中，先画出圆的示意图，标注已知条件（如弦长、拱高），明确各线段间的数量关系（如拱高 = R - d）后再列方程。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）在⊙O 中，直径为 10cm，弦 AB 的长为 8cm，则圆心 O 到 AB 的距离为______cm。（答案：3）
（2）已知⊙O 中，弦 CD 垂直于直径 AB，垂足为 E，若 CE=3cm，则 CD=______cm。（答案：6）
中档题：
如图，⊙O 的弦 AB 与 CD 相交于点 E，且 AB⊥CD，AE=2，EB=6，CE=3，求 CD 的长。（提示：过 O 作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，利用垂径定理与矩形性质，答案：8）
提升题：
某圆形蓄水池的横截面是圆弧形，水面宽度 AB 为 24m，水面到池顶的距离为 8m，求蓄水池的半径。（答案：13m，提示：圆心距 d=R - 8，半弦长 = 12m，由 R =12 + (R - 8) 求解）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
垂径定理核心：“垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧”，本质是圆的轴对称性的体现；
推论关键：“知二推三”，但需注意 “弦非直径” 的限制条件，避免结论失效；
应用方法：计算时通过 “连半径、作垂线” 构造直角三角形，利用勾股定理 R =(a/2) + d 建立关系；实际问题需先建模，明确各量对应关系。
作业：
基础作业：教材习题 24.2 第 4、5、6 题（垂径定理计算与证明）；
拓展作业：如图，在⊙O 中，AB 是弦，半径 OC⊥AB 于 D，若 AB=8，OD=3，求 CD 的长（提示：先求 OC=R，再算 CD=OC - OD，答案：2）；
实践作业：观察生活中的圆弧形物体（如拱门、自行车轮钢圈），测量其跨度与拱高（或对应尺寸），用垂径定理估算其半径。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
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24.2.2垂径分弦
第24章　圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
视频引入
点击视频开始播放→
赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为 37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，你知
道如何求出赵州桥主桥拱的半径吗？
垂径定理及其推论
合作探究
问题1 在纸上任意画一个⊙O，沿⊙O 的一条直径将 ⊙O 折叠，你发现了什么？
O
圆是轴对称图形，对称轴是圆所在平面内任意一条过圆心的直线.
问题2 已知：如图，在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，
且 CD⊥AB，垂足为 E.
求证：AE = EB， ， .
证明：连接 OA，OB，则 OA = OB.
∵ CD⊥AB，∴ OE⊥AB.
∴ OE 平分 AB，即 CD 垂直平分 AB．
∴ 点 A 与点 B 关于直线 CD 对称.
·
O
A
B
D
E
C
分析：只要能说明⊙O 关于直线 CD 对称，那么所有结论都能得证.
同理，如果点 P 是⊙O 上任意一点，过点 P 作直线 CD 的垂线，与⊙O 相交于另一点 Q，则点 P 与点 Q 也关于直线 CD 对称．
∴ ⊙O 关于直线 CD 对称.
∴ AE = EB， ， .
P
·
O
A
B
D
E
C
Q
垂径定理
·
O
A
B
C
D
E
垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧.
∵ CD 是 ⊙O 的直径，CD⊥AB，
推导格式：
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要会相互转化，形成整体，才能运用自如.
归纳总结
∴ AE = BE， ，
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么.
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为 AB，CD 都不是直径
O
A
B
C
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
A
B
O
C
D
E
垂径定理的几种基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
D
C
A
B
O
C
归纳总结
如果直径平分弦（不是直径），那么该直径垂直于这条弦，且平分这条弦所对的两条弧吗？
思考：
如图，AB 是⊙O 的一条弦，作直径 CD，使 AE = BE.
(1) CD⊥AB 吗？为什么？
(2) 与 相等吗？ 与 相等吗？为什么？
·
O
A
B
C
D
E
解：(1) CD⊥AB，理由如下：
连接 AO，BO，如图，则 AO = BO.
又∵AE = BE，OE = OE，
∴△AOE≌△BOE（SSS）.
∴∠AEO =∠BEO = 90°，即 CD⊥AB.
(2)由垂径定理可得 = ， = .
思考：“不是直径”这个说明能去掉吗？如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
特别说明：
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
例 1 如图，⊙O 的半径为 5 cm，弦 AB 为 6 cm，求圆心到弦 AB 的距离.
·
O
A
B
E
解：连接 OA，过 O 作 OE⊥AB 于 E，
则
又∵OA = 5 cm，∴在 Rt△OEA 中，
垂径定理及其推论的计算
典例精析
答：圆心到弦 AB 的距离是 4 cm.
圆心到弦的距离叫做弦心距
【变式题】如图，OE⊥AB 于 E，若⊙O 的半径为 10 cm， OE = 6 cm，则 AB = cm.
·
O
A
B
E
解析：连接 OA，如图.
∵ OE⊥AB，
∴ AB = 2AE = 2×8 = 16（cm）.
16
∴
例 2 如图，⊙O 的弦 AB = 8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC = 2 cm，求半径 OC 的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接 OA．∵ CE⊥AB 于 D，
∴
设 OC = x cm，则 OD = (x － 2) cm.
根据勾股定理，得
解得 x = 5.
即半径 OC 的长为 5 cm.
x2 = 42 + ( x－2)2，
例3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD，求证： = .
.
M
C
D
A
B
O
N
证明：作直径 MN⊥AB，如图.
∵ AB∥CD，∴ MN⊥CD.
则 = ， = .（垂直
平分弦的直径平分弦所对的弧）
∴ － = － .
∴ = .
解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
例4 赵州桥的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦长)为 37.4 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.2 m，求赵州桥主桥拱的半径.
垂径定理的实际应用
由垂径定理，得 AD = AB = 18.7 m，
设⊙O 的半径为 R.
在 Rt△AOD 中，AO = R，
OD = R - 7.2，AD = 18.7.
由勾股定理，得
A
B
O
C
D
解得 R ≈ 27.9.
即赵州桥主桥拱的半径约为 27.9 m.
∴ R2 = (R - 7.2)2 + 18.72，
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交 AB 于点 D，则 CD = 7.2 m.
练一练：如图 a、b，一弓形弦长为 　cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿___＿＿____.
C
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图a
图b
2 cm 或 12 cm
在圆中解决有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d (圆心到弦的距离)，弓形高 h 的计算问题时，常常通过连半径或作弦的垂线段构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
垂径定理中常见辅助线的添法
弦长 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r 之间的关系：
弓形中的重要数量关系
d + h = r
O
A
B
C
·
归纳总结
A
B
C
D
O
h
r
d
1. 已知⊙O 中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm.
5
2. 已知⊙O 的直径 AB = 20 cm，∠BAC = 30°，则弦AC = cm.
3.（分类讨论题）已知⊙O 的半径为 10 cm，弦 MN ∥EF，且 MN = 12 cm，EF = 16 cm，则弦 MN 和 EF 之间的距离为 cm.
14 或 2
4. 如图，在⊙O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，求证：四边形 ADOE 是正方形．
D
·
O
A
B
C
E
证明：∵
∴ 四边形 ADOE 为矩形，
又∵ AC = AB，
∴ AE = AD.
∴ 四边形 ADOE 为正方形.
∴
5. 如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点. 你认为 AC 和 BD 相等吗？为什么？
解：AC = BD. 理由如下：
过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E.
则 AE = BE，CE = DE.
∴ AE－CE = BE－DE，
即 AC = BD.
.
A
C
D
B
O
E
方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径．
解：连接 OC，如图.
●
O
C
D
E
F
┗
根据勾股定理，得
6. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 (即图中的 ，点 O 是 的圆心)，其中 CD = 600 m，E 为 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m. 求这段弯路的半径.
设这段弯路的半径为 R m，
则 OF = (R - 90) m.
∵OE⊥CD，∴CF = CD = 300 (m).
●
O
C
D
E
F
┗
解得 R = 545.
∴ 这段弯路的半径约为 545 m.
∴
6. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧 (即图中的 ，点 O 是 的圆心)，其中 CD = 600 m，E 为 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m. 求这段弯路的半径.
拓展提升：
7. 如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB = 8，P 为 AB 上的一个动点，那么 OP 长的取值范围是 .
3≤OP≤5
B
A
O
P
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1．下列说法中，不正确的是(　　)
A．圆是轴对称图形
B．圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴
C．圆的任意一条直径都是圆的对称轴
D．经过圆心的任意直线都是圆的对称轴
C
2．[2024·东莞一模]如图，在⊙O中，OD⊥AB，半径OD＝10，OC＝6，则弦AB＝(　　)
A．8
B．12
C．14
D．16
D
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A
3．[2024·杭州萧山区模拟]如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，OC＝5 cm，CD＝8 cm，则AE＝(　　)
A．8 cm
B．5 cm
C．3 cm
D．2 cm
4．如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝42°，点D是弦AC的中点，则∠DOC的度数是________度．
48
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6．江南水乡苏州现存100多座石拱桥．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD为8 m，桥拱半径OC为5 m，则水面宽AB为________m.
8
C
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C
9．下列说法：①垂直于弦的直径平分弦；②平分弦的直径垂直于弦；③平分弦所对的一条弧的直径不一定平分另一条弧；④平分任意一条弦所对的两条弧的弦一定是直径．其中正确的是________．(填序号)
①④
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦；③平分弦（不是直径）；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其他三个结论（知二推三）
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧
两种辅助线：
连半径；作弦心距
构造直角三角形，利用勾股定理计算或建立方程
基本图形及变式图形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！