24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距间关系 课件(共34张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距间关系 课件(共34张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 07:32:14 | ||
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文档简介
(共34张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 定理推导 关系辨析 综合应用
配图：左侧为 “四组量对等” 示意图（⊙O 中，∠AOB=∠COD，标注 AB=CD、⌒AB=⌒CD、OE=OF，E、F 为弦心距），右侧为 “旋转验证” 图示（将△AOB 绕 O 旋转与△COD 重合）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解圆心角、弦心距的定义，掌握 “同圆或等圆中，圆心角相等→所对的弧相等→所对的弦相等→所对的弦心距相等” 的定理及逆定理，明确 “同圆或等圆” 的前提条件。
能力目标：能运用四组量的对等关系解决 “证明弧相等、弦相等、角度相等” 等问题，通过旋转验证培养逻辑推理与空间想象能力，提升几何综合分析能力。
素养目标：体会 “圆的旋转对称性” 在定理推导中的作用，感受几何量之间的内在关联，培养数形结合与分类讨论思想，规范几何证明的语言表达。
第 3 页：情境导入 圆的旋转对称性与量的对等
复习回顾：
圆是中心对称图形，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合（旋转对称性），这种性质会导致圆中哪些量之间存在对等关系？
动手操作（配图）：
画⊙O，作两个相等的圆心角∠AOB 和∠COD（∠AOB=∠COD）；
连接 AB、CD，作 OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F（OE、OF 为弦心距）；
将△AOB 绕圆心 O 旋转，使 OA 与 OC 重合，观察 OB 是否与 OD 重合，AB 是否与 CD 重合，OE 是否与 OF 重合。
观察结论：
旋转后△AOB 与△COD 完全重合，故 AB=CD、⌒AB=⌒CD、OE=OF，即 “相等的圆心角对应相等的弦、弧、弦心距”。
思考提问：
反过来，若 “弦相等”“弧相等” 或 “弦心距相等”，能否推出 “圆心角相等”？这些量之间的对等关系是否需要前提条件？
第 4 页：核心概念 圆心角与弦心距
1. 圆心角的定义
顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。
示例：⊙O 中，∠AOB 的顶点 O 在圆心，OA、OB 与圆交于 A、B，故∠AOB 是圆心角，它所对的弧为⌒AB，所对的弦为 AB。
注意：圆心角的大小与圆的半径无关，仅与两边张开的角度有关；整个圆周对应的圆心角为 360°，半圆对应的圆心角为 180°。
2. 弦心距的定义
从圆心到弦的距离叫做弦心距（即圆心到弦的垂线段的长度）。
示例：⊙O 中，OE⊥AB 于 E，OE 的长度即为弦 AB 的弦心距；弦心距是 “圆心到弦的垂线段”，非垂线段不能称为弦心距（如 OF 不垂直于 AB，则 OF 不是弦心距）。
性质：弦心距与弦垂直，且平分弦（由垂径定理推导，OE⊥AB→AE=BE）。
第 5 页：核心定理 同圆或等圆中四组量的对等关系
1. 定理内容（正定理）
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
符号语言（以同圆为例，⊙O 中）：
若∠AOB=∠COD，则：
① ⌒AB=⌒CD（所对的弧相等，均指同类型弧：劣弧对劣弧，优弧对优弧）；
② AB=CD（所对的弦相等）；
③ OE=OF（OE、OF 分别为 AB、CD 的弦心距，所对的弦心距相等）。
2. 定理推导（基于圆的旋转对称性）
已知：同圆⊙O 中，∠AOB=∠COD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F。
求证：⌒AB=⌒CD，AB=CD，OE=OF。
证明：
将△AOB 绕圆心 O 旋转，使 OA 与 OC 重合；
∵ ∠AOB=∠COD，∴ OB 与 OD 重合；
又∵ OA=OC，OB=OD（同圆半径相等），∴ 点 A 与 C 重合，点 B 与 D 重合；
∴ 弦 AB 与 CD 重合，弧⌒AB 与⌒CD 重合，垂线段 OE 与 OF 重合；
故 AB=CD，⌒AB=⌒CD，OE=OF。
3. 逆定理（四组量的双向对等）
在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也相等。
常见逆用组合：
弦相等→圆心角相等、弧相等、弦心距相等；
弧相等→圆心角相等、弦相等、弦心距相等；
弦心距相等→圆心角相等、弧相等、弦相等。
4. 关键前提：“同圆或等圆”
若两个圆不是同圆或等圆（半径不相等），即使圆心角相等，所对的弧、弦、弦心距也不相等（如半径为 2 的圆中，60° 圆心角所对的弦长为 2，半径为 3 的圆中，60° 圆心角所对的弦长为 3）；
因此，所有量的对等关系均需在 “同圆或等圆” 的前提下成立，忽略该前提会导致推理错误。
第 6 页：典例精讲 定理的基础应用（证明与计算）
例题 1：证明弧相等与弦相等
如图，在⊙O 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，求证：⌒AC=⌒BD，AC=BD。
解答步骤：
∵ ∠AOB=∠COD，∴ ∠AOB - ∠COB=∠COD - ∠COB（等式性质），即∠AOC=∠BOD；
在⊙O 中，∠AOC 与∠BOD 是圆心角，且∠AOC=∠BOD；
根据 “同圆中，相等的圆心角所对的弧相等、弦相等”，得⌒AC=⌒BD，AC=BD。
例题 2：利用弦心距求弦长
已知⊙O 的半径 R=5cm，弦 AB 与 CD 的弦心距分别为 OE=3cm、OF=4cm，求 AB 与 CD 的长，并比较 AB 与 CD 的大小。
解答步骤：
求 AB 的长：∵ OE⊥AB，由垂径定理得 AE=AB/2；在 Rt△OAE 中，AE=√(OA - OE )=√(5 - 3 )=4cm，故 AB=2×4=8cm；
求 CD 的长：∵ OF⊥CD，由垂径定理得 CF=CD/2；在 Rt△OCF 中，CF=√(OC - OF )=√(5 - 4 )=3cm，故 CD=2×3=6cm；
比较大小：AB=8cm > CD=6cm，且 OE=3cm第 7 页：典例精讲 定理的综合应用（实际场景与多量关联）
例题 3：圆弧形花坛的弦长计算
某公园有一个圆弧形花坛，其所在圆的半径 R=10m，花坛对应的圆心角∠AOB=120°，求花坛的弦 AB 的长及弦心距 OE 的长。
解答步骤：
作 OE⊥AB 于 E（OE 为弦心距），由垂径定理得 AE=AB/2，且 OE 平分∠AOB（等腰三角形三线合一），故∠AOE=∠AOB/2=60°；
求弦心距 OE：在 Rt△AOE 中，∠AOE=60°，OA=10m，∴ OE=OA×cos60°=10×1/2=5m；
求弦 AB 的长：AE=OA×sin60°=10×(√3/2)=5√3 m，故 AB=2×AE=10√3≈17.32m。
例题 4：多组量的对等关系验证
如图，在⊙O 中，AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，求证：OE=OF，∠AOB=∠COD。
解答步骤：
∵ AB=CD，且 AB、CD 是⊙O 的弦（同圆）；
根据 “同圆中，弦相等→所对的弦心距相等、所对的圆心角相等”，得 OE=OF，∠AOB=∠COD；
（或用全等证明）连接 OA、OC，∵ OE⊥AB，OF⊥CD，∴ AE=AB/2，CF=CD/2；又 AB=CD，∴ AE=CF；在 Rt△AOE 和 Rt△COF 中，OA=OC，AE=CF，∴ Rt△AOE≌Rt△COF（HL），故 OE=OF，∠AOE=∠COF，同理∠BOE=∠DOF，∴ ∠AOB=∠COD。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
忽略 “同圆或等圆” 前提：误将 “不同圆中，圆心角相等→弦相等” 当作真命题（如半径 2 和 3 的圆中，60° 圆心角对应的弦长不同）；
弧的类型混淆：逆用定理时，误将 “劣弧相等” 推出 “优弧相等”（需明确 “所对的弧” 为同类型，劣弧对劣弧，优弧对优弧）；
弦心距定义错误：将 “圆心到弦上某点的距离” 当作弦心距（弦心距必须是 “垂线段”，非垂线段不满足定义）。
避坑技巧：
应用定理前，先判断是否为 “同圆或等圆”，若题目未明确，需通过 “半径相等” 等条件验证；
涉及弧的对等时，在图中标注弧的类型（如⌒AB 为劣弧，⌒ACB 为优弧），避免混淆；
计算弦心距时，严格作 “圆心到弦的垂线”，利用垂径定理与勾股定理求解，确保符合定义。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）在同圆中，若圆心角∠AOB=∠COD=80°，则⌒AB 与⌒CD 的关系是______，AB 与 CD 的关系是______。（答案：⌒AB=⌒CD，AB=CD）
（2）⊙O 中，弦 AB 的弦心距为 3cm，弦 CD 的弦心距也为 3cm，若 AB=8cm，则 CD=cm，理由是。（答案：8，同圆中弦心距相等则弦相等）
中档题：
如图，在⊙O 中，⌒AB=⌒AC，∠B=70°，求∠A 的度数。（提示：⌒AB=⌒AC→AB=AC→△ABC 为等腰三角形，答案：40°）
提升题：
已知⊙O 与⊙O 是等圆，弦 AB 在⊙O 中，弦 CD 在⊙O 中，且 AB=CD，∠AOB=60°（O A=O B，O C=O D），求∠COD 的度数及 AB 与 O A 的关系。（答案：∠COD=60°，AB=O A，提示：等圆中弦相等→圆心角相等，△AOB 为等边三角形）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心定理：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距 “一组量相等，其余量相等”，本质是圆的旋转对称性的体现；
关键概念：圆心角（顶点在圆心）、弦心距（圆心到弦的垂线段），需明确定义与性质；
应用技巧：证明量相等时，优先选择 “易证的量”（如弦心距相等→弦相等），复杂问题结合垂径定理与勾股定理。
作业：
基础作业：教材习题 24.2 第 7、8、9 题（定理应用、证明与计算）；
拓展作业：如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，若 OE=OF，AB=10，求 CD 的长及⌒AB 与⌒CD 的关系（答案：CD=10，⌒AB=⌒CD）；
实践作业：用圆规画一个半径为 5cm 的圆，在圆内作两个相等的圆心角（如 60°），测量对应的弦长与弦心距，验证 “四组量对等” 的性质。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距间关系
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？
圆的对称性
观察与思考
把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心.
·
O
圆心角
概念学习
O
A
B
M
1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB .
3. 圆心角∠AOB 所对的弦为 AB.
2. 圆心角∠AOB 所对的弧为 .
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
不是
不是
不是
是
练一练
圆心角、弧、弦、弦心距间关系
·
O
A
B
C
D
由圆的旋转对称性，我们发现：
在☉O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么 ，AB = CD，OE = OF.
（证明过程见课本）
E
F
观察与思考
在☉O 中，如果∠AOB= ∠COD，那么 与 ，弦 AB 与弦 CD，垂线段 OE 与 OF 有怎样的数量关系？
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
①∠AOB =∠COD
③ AB = CD
A
B
O
D
C
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
E
F
④ OE = OF
②
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
·
O
A
B
C
D
E
F
在☉O 中，如果 = ，那么圆心角∠AOB 与
∠COD，AB 与 CD，OE 与 OF 有怎样的数量关系？
在☉O 中，如果 AB = CD，那么圆心角∠AOB 与 ∠COD， 与 ，OE 与 OF 有怎样的数量关系？
在☉O 中，如果 OE = OF，那么圆心角∠AOB 与 ∠COD，AB 与 CD， 与 有怎样的
数量关系？
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
要点归纳
圆心角
相等
弦
相等
弦心距
相等
(3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ）
(2) 等弧所对的弦相等. （ ）
(1) 等弦所对的弧相等. （ ）
×
×
√
练一练
判断正误：
典例精析
例1 如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在☉O 上.
求证：∠AOB =∠BOC =∠COA = 120°.
A
B
C
O
证明：连接 OA，OB，OC，如图.
∵ AB = BC = CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
弧、弦与圆心角关系定理及推论的运用
∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形.
又∵∠ACB = 60°，
∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
A
B
C
O
方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝.
【变式题】如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
证明：∵ = ，
如图，AB 是☉O 的直径， ∠COD =
35°，求∠AOE 的度数．
解：
∵
练一练
·
A
O
B
C
D
E
∴
∴
例2 已知：如图，点 O 是∠FAD 平分线上的一点，☉O 分别交∠FAD 的两边于点 C，D 和点 E，F.
求证：CD = EF.
O
A
D
E
F
C
证明：过点 O 作 OK⊥CD，OH⊥EF，
垂足分别为 K，H，如图.
H
K
∵ 点 O 在∠FAD 的平分线上，
∴ CD = EF.
∴ OK = OH（角平分线的性质）.
例3 如图，AB，CD 是☉O 的两条直径，CE 为☉O 的弦，且 CE∥AB，弧 CE 为 40°，求∠BOD 的度数.
O
C
E
A
B
D
解：连接 OE，如图.
∵ 弧 CE 为 40°，
∴∠COE = 40°.
∵ CE∥AB，
∴∠BOD =∠C = 70°.
1. 如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
D
A
2. 在同圆中，圆心角∠AOB = 2∠COD，则 与
的关系是 （ ）
A. = 2
B. >
C. <
D. 不能确定
4. 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 °.
60
3. 如图所示，在☉O 中， = ，∠B = 70°，则
∠A = ____°．
40
5. 如图，已知 AB、CD 为 ☉O 的两条弦， .
求证：AB = CD.
C
A
B
D
O
证明：连接 AO，BO，CO，DO.
即
A
B
C
D
E
O
能力提升：
6. 如图，在☉O 中，∠COD = 2∠AOB，那么 = 2
成立吗？CD = 2AB 呢？如果成立，请说明理由；如
果不成立，那它们之间的关系又是什么？
解： = 2 成立，CD = 2AB 不成立.
理由如下：取 的中点 E，连接 OE，
CE，DE，那么∠AOB =∠COE =∠DOE.
所以 = = ， = 2 ，AB = CE = DE.
在△CDE 中，CE + DE > CD，故 CD ＜ 2AB.
返回
1．[2024·泉州五中期中]下列图形中的角是圆心角的是( )
B
返回
D
返回
3．[2024·上海静安区二模]对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是( )
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题
D．①、②都是假命题
A
【答案】C
返回
返回
5．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果⊙O的半径为8 cm，那么弦AB＝________ cm.
8
①②③
返回
7．[2024·南宁一模]如图，当一个摆钟的钟摆OA从最左侧处摆到最右侧OB处时，摆角∠AOB＝2α，点C是弧AB的中点，连接OC交AB于点D，若OA＝20 cm，则AB的长为________cm.(结果用到α相关的三角函数)
40sin α
圆心角
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒：
①要注意前提条件；
②要灵活转化
圆心角
相等
弦
相等
弦心距
相等
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：24.2.3 圆心角、弧、弦、弦心距间关系
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 定理推导 关系辨析 综合应用
配图：左侧为 “四组量对等” 示意图（⊙O 中，∠AOB=∠COD，标注 AB=CD、⌒AB=⌒CD、OE=OF，E、F 为弦心距），右侧为 “旋转验证” 图示（将△AOB 绕 O 旋转与△COD 重合）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解圆心角、弦心距的定义，掌握 “同圆或等圆中，圆心角相等→所对的弧相等→所对的弦相等→所对的弦心距相等” 的定理及逆定理，明确 “同圆或等圆” 的前提条件。
能力目标：能运用四组量的对等关系解决 “证明弧相等、弦相等、角度相等” 等问题，通过旋转验证培养逻辑推理与空间想象能力，提升几何综合分析能力。
素养目标：体会 “圆的旋转对称性” 在定理推导中的作用，感受几何量之间的内在关联，培养数形结合与分类讨论思想，规范几何证明的语言表达。
第 3 页：情境导入 圆的旋转对称性与量的对等
复习回顾：
圆是中心对称图形，绕圆心旋转任意角度都能与自身重合（旋转对称性），这种性质会导致圆中哪些量之间存在对等关系？
动手操作（配图）：
画⊙O，作两个相等的圆心角∠AOB 和∠COD（∠AOB=∠COD）；
连接 AB、CD，作 OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F（OE、OF 为弦心距）；
将△AOB 绕圆心 O 旋转，使 OA 与 OC 重合，观察 OB 是否与 OD 重合，AB 是否与 CD 重合，OE 是否与 OF 重合。
观察结论：
旋转后△AOB 与△COD 完全重合，故 AB=CD、⌒AB=⌒CD、OE=OF，即 “相等的圆心角对应相等的弦、弧、弦心距”。
思考提问：
反过来，若 “弦相等”“弧相等” 或 “弦心距相等”，能否推出 “圆心角相等”？这些量之间的对等关系是否需要前提条件？
第 4 页：核心概念 圆心角与弦心距
1. 圆心角的定义
顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角。
示例：⊙O 中，∠AOB 的顶点 O 在圆心，OA、OB 与圆交于 A、B，故∠AOB 是圆心角，它所对的弧为⌒AB，所对的弦为 AB。
注意：圆心角的大小与圆的半径无关，仅与两边张开的角度有关；整个圆周对应的圆心角为 360°，半圆对应的圆心角为 180°。
2. 弦心距的定义
从圆心到弦的距离叫做弦心距（即圆心到弦的垂线段的长度）。
示例：⊙O 中，OE⊥AB 于 E，OE 的长度即为弦 AB 的弦心距；弦心距是 “圆心到弦的垂线段”，非垂线段不能称为弦心距（如 OF 不垂直于 AB，则 OF 不是弦心距）。
性质：弦心距与弦垂直，且平分弦（由垂径定理推导，OE⊥AB→AE=BE）。
第 5 页：核心定理 同圆或等圆中四组量的对等关系
1. 定理内容（正定理）
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。
符号语言（以同圆为例，⊙O 中）：
若∠AOB=∠COD，则：
① ⌒AB=⌒CD（所对的弧相等，均指同类型弧：劣弧对劣弧，优弧对优弧）；
② AB=CD（所对的弦相等）；
③ OE=OF（OE、OF 分别为 AB、CD 的弦心距，所对的弦心距相等）。
2. 定理推导（基于圆的旋转对称性）
已知：同圆⊙O 中，∠AOB=∠COD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F。
求证：⌒AB=⌒CD，AB=CD，OE=OF。
证明：
将△AOB 绕圆心 O 旋转，使 OA 与 OC 重合；
∵ ∠AOB=∠COD，∴ OB 与 OD 重合；
又∵ OA=OC，OB=OD（同圆半径相等），∴ 点 A 与 C 重合，点 B 与 D 重合；
∴ 弦 AB 与 CD 重合，弧⌒AB 与⌒CD 重合，垂线段 OE 与 OF 重合；
故 AB=CD，⌒AB=⌒CD，OE=OF。
3. 逆定理（四组量的双向对等）
在同圆或等圆中，若两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也相等。
常见逆用组合：
弦相等→圆心角相等、弧相等、弦心距相等；
弧相等→圆心角相等、弦相等、弦心距相等；
弦心距相等→圆心角相等、弧相等、弦相等。
4. 关键前提：“同圆或等圆”
若两个圆不是同圆或等圆（半径不相等），即使圆心角相等，所对的弧、弦、弦心距也不相等（如半径为 2 的圆中，60° 圆心角所对的弦长为 2，半径为 3 的圆中，60° 圆心角所对的弦长为 3）；
因此，所有量的对等关系均需在 “同圆或等圆” 的前提下成立，忽略该前提会导致推理错误。
第 6 页：典例精讲 定理的基础应用（证明与计算）
例题 1：证明弧相等与弦相等
如图，在⊙O 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD，求证：⌒AC=⌒BD，AC=BD。
解答步骤：
∵ ∠AOB=∠COD，∴ ∠AOB - ∠COB=∠COD - ∠COB（等式性质），即∠AOC=∠BOD；
在⊙O 中，∠AOC 与∠BOD 是圆心角，且∠AOC=∠BOD；
根据 “同圆中，相等的圆心角所对的弧相等、弦相等”，得⌒AC=⌒BD，AC=BD。
例题 2：利用弦心距求弦长
已知⊙O 的半径 R=5cm，弦 AB 与 CD 的弦心距分别为 OE=3cm、OF=4cm，求 AB 与 CD 的长，并比较 AB 与 CD 的大小。
解答步骤：
求 AB 的长：∵ OE⊥AB，由垂径定理得 AE=AB/2；在 Rt△OAE 中，AE=√(OA - OE )=√(5 - 3 )=4cm，故 AB=2×4=8cm；
求 CD 的长：∵ OF⊥CD，由垂径定理得 CF=CD/2；在 Rt△OCF 中，CF=√(OC - OF )=√(5 - 4 )=3cm，故 CD=2×3=6cm；
比较大小：AB=8cm > CD=6cm，且 OE=3cm
例题 3：圆弧形花坛的弦长计算
某公园有一个圆弧形花坛，其所在圆的半径 R=10m，花坛对应的圆心角∠AOB=120°，求花坛的弦 AB 的长及弦心距 OE 的长。
解答步骤：
作 OE⊥AB 于 E（OE 为弦心距），由垂径定理得 AE=AB/2，且 OE 平分∠AOB（等腰三角形三线合一），故∠AOE=∠AOB/2=60°；
求弦心距 OE：在 Rt△AOE 中，∠AOE=60°，OA=10m，∴ OE=OA×cos60°=10×1/2=5m；
求弦 AB 的长：AE=OA×sin60°=10×(√3/2)=5√3 m，故 AB=2×AE=10√3≈17.32m。
例题 4：多组量的对等关系验证
如图，在⊙O 中，AB=CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，求证：OE=OF，∠AOB=∠COD。
解答步骤：
∵ AB=CD，且 AB、CD 是⊙O 的弦（同圆）；
根据 “同圆中，弦相等→所对的弦心距相等、所对的圆心角相等”，得 OE=OF，∠AOB=∠COD；
（或用全等证明）连接 OA、OC，∵ OE⊥AB，OF⊥CD，∴ AE=AB/2，CF=CD/2；又 AB=CD，∴ AE=CF；在 Rt△AOE 和 Rt△COF 中，OA=OC，AE=CF，∴ Rt△AOE≌Rt△COF（HL），故 OE=OF，∠AOE=∠COF，同理∠BOE=∠DOF，∴ ∠AOB=∠COD。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
忽略 “同圆或等圆” 前提：误将 “不同圆中，圆心角相等→弦相等” 当作真命题（如半径 2 和 3 的圆中，60° 圆心角对应的弦长不同）；
弧的类型混淆：逆用定理时，误将 “劣弧相等” 推出 “优弧相等”（需明确 “所对的弧” 为同类型，劣弧对劣弧，优弧对优弧）；
弦心距定义错误：将 “圆心到弦上某点的距离” 当作弦心距（弦心距必须是 “垂线段”，非垂线段不满足定义）。
避坑技巧：
应用定理前，先判断是否为 “同圆或等圆”，若题目未明确，需通过 “半径相等” 等条件验证；
涉及弧的对等时，在图中标注弧的类型（如⌒AB 为劣弧，⌒ACB 为优弧），避免混淆；
计算弦心距时，严格作 “圆心到弦的垂线”，利用垂径定理与勾股定理求解，确保符合定义。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）在同圆中，若圆心角∠AOB=∠COD=80°，则⌒AB 与⌒CD 的关系是______，AB 与 CD 的关系是______。（答案：⌒AB=⌒CD，AB=CD）
（2）⊙O 中，弦 AB 的弦心距为 3cm，弦 CD 的弦心距也为 3cm，若 AB=8cm，则 CD=cm，理由是。（答案：8，同圆中弦心距相等则弦相等）
中档题：
如图，在⊙O 中，⌒AB=⌒AC，∠B=70°，求∠A 的度数。（提示：⌒AB=⌒AC→AB=AC→△ABC 为等腰三角形，答案：40°）
提升题：
已知⊙O 与⊙O 是等圆，弦 AB 在⊙O 中，弦 CD 在⊙O 中，且 AB=CD，∠AOB=60°（O A=O B，O C=O D），求∠COD 的度数及 AB 与 O A 的关系。（答案：∠COD=60°，AB=O A，提示：等圆中弦相等→圆心角相等，△AOB 为等边三角形）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心定理：同圆或等圆中，圆心角、弧、弦、弦心距 “一组量相等，其余量相等”，本质是圆的旋转对称性的体现；
关键概念：圆心角（顶点在圆心）、弦心距（圆心到弦的垂线段），需明确定义与性质；
应用技巧：证明量相等时，优先选择 “易证的量”（如弦心距相等→弦相等），复杂问题结合垂径定理与勾股定理。
作业：
基础作业：教材习题 24.2 第 7、8、9 题（定理应用、证明与计算）；
拓展作业：如图，在⊙O 中，AB、CD 是两条弦，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，若 OE=OF，AB=10，求 CD 的长及⌒AB 与⌒CD 的关系（答案：CD=10，⌒AB=⌒CD）；
实践作业：用圆规画一个半径为 5cm 的圆，在圆内作两个相等的圆心角（如 60°），测量对应的弦长与弦心距，验证 “四组量对等” 的性质。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.2.3圆心角、弧、弦、弦心距间关系
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
飞镖靶、闹钟以及被均分的蛋糕等圆形中，都存在着角，那么这些角有什么共同的特征呢？
圆的对称性
观察与思考
把圆绕圆心旋转任意一个角度，仍与原来的圆重合吗？
α
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性，旋转中心为圆心.
·
O
圆心角
概念学习
O
A
B
M
1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，如∠AOB .
3. 圆心角∠AOB 所对的弦为 AB.
2. 圆心角∠AOB 所对的弧为 .
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
不是
不是
不是
是
练一练
圆心角、弧、弦、弦心距间关系
·
O
A
B
C
D
由圆的旋转对称性，我们发现：
在☉O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么 ，AB = CD，OE = OF.
（证明过程见课本）
E
F
观察与思考
在☉O 中，如果∠AOB= ∠COD，那么 与 ，弦 AB 与弦 CD，垂线段 OE 与 OF 有怎样的数量关系？
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对弦的弦心距相等．
①∠AOB =∠COD
③ AB = CD
A
B
O
D
C
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
E
F
④ OE = OF
②
想一想：定理“在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
·
O
A
B
C
D
E
F
在☉O 中，如果 = ，那么圆心角∠AOB 与
∠COD，AB 与 CD，OE 与 OF 有怎样的数量关系？
在☉O 中，如果 AB = CD，那么圆心角∠AOB 与 ∠COD， 与 ，OE 与 OF 有怎样的数量关系？
在☉O 中，如果 OE = OF，那么圆心角∠AOB 与 ∠COD，AB 与 CD， 与 有怎样的
数量关系？
在同圆或等圆中，如果两个圆心角以及这两个角所对的弧、所对的弦、所对弦的弦心距中，有一组量相等，那么其余各组量都分别相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
要点归纳
圆心角
相等
弦
相等
弦心距
相等
(3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ）
(2) 等弧所对的弦相等. （ ）
(1) 等弦所对的弧相等. （ ）
×
×
√
练一练
判断正误：
典例精析
例1 如图，等边三角形 ABC 的三个顶点都在☉O 上.
求证：∠AOB =∠BOC =∠COA = 120°.
A
B
C
O
证明：连接 OA，OB，OC，如图.
∵ AB = BC = CA，
∴∠AOB =∠BOC =∠COA
弧、弦与圆心角关系定理及推论的运用
∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形.
又∵∠ACB = 60°，
∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA.
∴ ∠AOB＝∠BOC＝∠AOC.
A
B
C
O
方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝.
【变式题】如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
证明：∵ = ，
如图，AB 是☉O 的直径， ∠COD =
35°，求∠AOE 的度数．
解：
∵
练一练
·
A
O
B
C
D
E
∴
∴
例2 已知：如图，点 O 是∠FAD 平分线上的一点，☉O 分别交∠FAD 的两边于点 C，D 和点 E，F.
求证：CD = EF.
O
A
D
E
F
C
证明：过点 O 作 OK⊥CD，OH⊥EF，
垂足分别为 K，H，如图.
H
K
∵ 点 O 在∠FAD 的平分线上，
∴ CD = EF.
∴ OK = OH（角平分线的性质）.
例3 如图，AB，CD 是☉O 的两条直径，CE 为☉O 的弦，且 CE∥AB，弧 CE 为 40°，求∠BOD 的度数.
O
C
E
A
B
D
解：连接 OE，如图.
∵ 弧 CE 为 40°，
∴∠COE = 40°.
∵ CE∥AB，
∴∠BOD =∠C = 70°.
1. 如果两个圆心角相等，那么 （ ）
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等
D．以上说法都不对
D
A
2. 在同圆中，圆心角∠AOB = 2∠COD，则 与
的关系是 （ ）
A. = 2
B. >
C. <
D. 不能确定
4. 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 °.
60
3. 如图所示，在☉O 中， = ，∠B = 70°，则
∠A = ____°．
40
5. 如图，已知 AB、CD 为 ☉O 的两条弦， .
求证：AB = CD.
C
A
B
D
O
证明：连接 AO，BO，CO，DO.
即
A
B
C
D
E
O
能力提升：
6. 如图，在☉O 中，∠COD = 2∠AOB，那么 = 2
成立吗？CD = 2AB 呢？如果成立，请说明理由；如
果不成立，那它们之间的关系又是什么？
解： = 2 成立，CD = 2AB 不成立.
理由如下：取 的中点 E，连接 OE，
CE，DE，那么∠AOB =∠COE =∠DOE.
所以 = = ， = 2 ，AB = CE = DE.
在△CDE 中，CE + DE > CD，故 CD ＜ 2AB.
返回
1．[2024·泉州五中期中]下列图形中的角是圆心角的是( )
B
返回
D
返回
3．[2024·上海静安区二模]对于命题：①如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等；②如果两个圆心角相等，那么它们所对的弧相等．下列判断正确的是( )
A．①是真命题，②是假命题
B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题
D．①、②都是假命题
A
【答案】C
返回
返回
5．如图，点A，B分别为半圆O上的三等分点，如果⊙O的半径为8 cm，那么弦AB＝________ cm.
8
①②③
返回
7．[2024·南宁一模]如图，当一个摆钟的钟摆OA从最左侧处摆到最右侧OB处时，摆角∠AOB＝2α，点C是弧AB的中点，连接OC交AB于点D，若OA＝20 cm，则AB的长为________cm.(结果用到α相关的三角函数)
40sin α
圆心角
弦、弧、圆心角的关系定理
在同圆或等圆中
概念：顶点在圆心的角
应用提醒：
①要注意前提条件；
②要灵活转化
圆心角
相等
弦
相等
弦心距
相等
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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