24.2.4圆的确定 课件(共39张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册

(共39张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.2.4 圆的确定
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 过点画圆 三点定圆 外接圆
配图：左侧为 “过不同点数画圆” 对比图（过 1 点无数圆、过 2 点无数圆、过 3 点 1 个圆），右侧为 “三角形外接圆” 示意图（△ABC 外接于⊙O，标注外心、半径）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解 “过一点、两点、三点画圆” 的规律，掌握 “不在同一直线上的三点确定一个圆” 的定理，明确三角形外接圆、外心的定义与性质（外心是三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等）。
能力目标：能通过尺规完成 “过不在同一直线上的三点画圆” 的作图，运用定理解决 “找圆心、求外接圆半径” 等问题，提升几何作图与逻辑推理能力。
素养目标：体会 “从特殊到一般” 的探究过程，感受 “确定圆” 的条件与圆的性质的关联，培养数形结合与分类讨论思想，规范几何语言表达。
第 3 页：情境导入 过点画圆的生活思考
生活情境（配图）：
钉钉子：在墙上钉 1 颗钉子，用绳子绕钉子画圆，能画出多少个不同的圆？（无数个，绳子长度可变化）；
固定木框：用 2 颗钉子固定一个圆形木框，木框仍能转动，说明过 2 颗钉子（点）的圆有多少个？（无数个，圆心位置可变化）；
修复车轮：自行车轮损坏，仅剩一段圆弧，如何找到原车轮的圆心和半径？（需在圆弧上找 3 个点，确定唯一圆）。
思考提问：
过 1 个点、2 个点分别能画多少个圆？这些圆的圆心和半径有什么特点？
过 3 个点能画多少个圆？是否存在 “无论 3 个点如何分布，都能确定唯一圆” 的情况？
第 4 页：核心探究 1 过一点、两点画圆的规律
1. 过一个点画圆
动手操作：在纸上画一点 A，用圆规以不同点为圆心、不同长度为半径画圆，使圆经过点 A。
观察结论：过一个点 A 可以画无数个圆。
圆心特征：圆心可以是平面内任意一点（除 A 外，若圆心为 A，半径为任意正数）；
半径特征：半径为圆心到点 A 的距离（圆心不同，半径不同）。
图示：以 A 为公共点，画出多个圆心 O 、O 、O …，半径 r =O A、r =O A… 的圆，体现 “无数个圆” 的分布。
2. 过两个点画圆
动手操作：在纸上画两点 A、B，用圆规尝试画圆，使圆经过 A、B 两点。
关键分析：要使圆经过 A、B，圆心 O 到 A、B 的距离必须相等（OA=OB=r），即圆心 O 需在 AB 的垂直平分线上（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
观察结论：过两个点 A、B 可以画无数个圆。
圆心特征：圆心在 AB 的垂直平分线上（任意一点）；
半径特征：半径为圆心到 A（或 B）的距离（圆心在垂直平分线上的位置不同，半径不同）。
图示：画出 AB 的垂直平分线 l，在 l 上取不同点 O 、O 、O …，分别以 O A、O A、O A 为半径画圆，均经过 A、B 两点。
第 5 页：核心探究 2 过三点画圆的规律（三点定圆定理）
1. 分类讨论三点位置
（1）三点在同一直线上（共线三点）
动手尝试：在纸上画三点 A、B、C，且 A、B、C 共线，尝试画圆经过这三点。
逻辑推理：
假设存在⊙O 经过 A、B、C，则 OA=OB=OC，故 O 在 AB 的垂直平分线 l 和 BC 的垂直平分线 l 上；
但 A、B、C 共线，l 与 l 均垂直于同一直线，故 l ∥l （无交点），矛盾；
结论：过同一直线上的三点不能画圆（不存在这样的圆）。
（2）三点不在同一直线上（不共线三点）
动手操作：
画三点 A、B、C，且 A、B、C 不共线；
连接 AB、BC，分别作 AB 的垂直平分线 l 和 BC 的垂直平分线 l ，设 l 与 l 交于点 O；
以 O 为圆心、OA（或 OB、OC）为半径画圆，观察圆是否经过 A、B、C 三点。
逻辑推理：
∵ O 在 AB 的垂直平分线上，∴ OA=OB；
∵ O 在 BC 的垂直平分线上，∴ OB=OC；
∴ OA=OB=OC，故⊙O 经过 A、B、C 三点；
又∵ 不共线三点的两条垂直平分线交于唯一一点 O（两条直线不平行、不重合，仅有一个交点），∴ 这样的圆只有一个。
结论（三点定圆定理）：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
“确定” 指 “有且只有一个”（存在性 + 唯一性）；
前提条件：“不在同一直线上”（共线三点无法确定圆）。
第 6 页：核心概念 三角形的外接圆与外心
1. 定义关联
三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。
外心的本质：三角形三条边垂直平分线的交点（由 “三点定圆定理” 推导，外心即过三角形三个顶点的圆的圆心）。
2. 外心的性质
位置性质：外心的位置由三角形的形状决定（配图对比）：
锐角三角形：外心在三角形内部；
直角三角形：外心在斜边的中点（斜边为外接圆直径，半径 = 斜边 / 2）；
钝角三角形：外心在三角形外部。
距离性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（均等于外接圆半径 R），即 OA=OB=OC=R。
3. 作图步骤（画三角形的外接圆）
画△ABC（锐角、直角、钝角均可）；
分别作 AB、BC 的垂直平分线 l 、l ，交于外心 O（若三角形为直角三角形，外心在斜边中点，可直接取中点）；
以 O 为圆心、OA 为半径画圆，即为△ABC 的外接圆。
第 7 页：典例精讲 圆的确定与外接圆应用
例题 1：找圆弧的圆心（实际应用）
如图，一段破损的圆形玻璃，仅剩一段圆弧，如何确定原圆形玻璃的圆心和半径？
解答步骤：
在圆弧上任意取三点 A、B、C（确保 A、B、C 不共线）；
连接 AB、BC，分别作 AB 的垂直平分线 l 和 BC 的垂直平分线 l ，交于点 O；
点 O 即为原圆形玻璃的圆心，OA（或 OB、OC）即为半径。
思路提炼：利用 “三点定圆定理”，通过圆弧上的三点确定唯一圆，进而找到圆心和半径。
例题 2：求直角三角形的外接圆半径
已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，求△ABC 的外接圆半径 R。
解答步骤：
由勾股定理得斜边 AB=√(AC +BC )=√(3 +4 )=5cm；
∵ 直角三角形的外心在斜边中点（性质），∴ 外接圆半径 R=AB/2=5/2=2.5cm。
结论：直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，这是 “三点定圆定理” 在特殊三角形中的重要应用。
例题 3：判断三角形外心位置与外接圆作图
已知△ABC 中，AB=AC=5cm，BC=6cm，判断外心 O 的位置，并画出其外接圆，求外接圆半径 R。
解答步骤：
判断外心位置：△ABC 为锐角三角形（AB=AC=5，BC=6，底边上的高 AD=4cm>0，三个角均为锐角），故外心 O 在△ABC 内部；
作图：作 AB、BC 的垂直平分线，交于 O；
求半径 R：设 O 在 AD 上（等腰三角形对称性），OD=AD - AO=4 - R，BD=BC/2=3cm；在 Rt△OBD 中，OB =OD + BD →R =(4 - R) + 3 →R =16 - 8R + R + 9→8R=25→R=25/8=3.125cm。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
忽略 “三点不共线” 的前提：误说 “三点确定一个圆”，未强调 “不在同一直线上”（共线三点无法确定圆）；
外心位置判断错误：误认为所有三角形的外心都在内部（钝角三角形外心在外部，直角三角形外心在斜边中点）；
作图步骤错误：找外心时仅作一条边的垂直平分线，或未用尺规规范作垂直平分线（如未以线段两端为圆心画弧，导致垂直平分线位置偏差）。
避坑技巧：
表述 “三点定圆” 时，必须补充 “不在同一直线上”，可结合 “共线三点无交点” 的反例强化记忆；
判断外心位置前，先确定三角形类型（锐角 / 直角 / 钝角），再对应位置特征（内部 / 斜边中点 / 外部）；
作垂直平分线时，严格遵循 “以线段两端为圆心、大于线段一半为半径画弧，找两个交点连线” 的尺规步骤，确保垂直平分线准确。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）过平面内一点 P 可以画______个圆；过两点 A、B 可以画______个圆，圆心在______上。（答案：无数，无数，AB 的垂直平分线）
（2）Rt△ABC 中，斜边 AB=10cm，则其外接圆的半径为______cm，外心在______。（答案：5，斜边 AB 的中点）
中档题：
如图，△ABC 中，AB=AC=6cm，BC=8cm，求△ABC 的外接圆半径 R。（答案：R=9/2=4.5cm，提示：作 BC 的垂直平分线 AD，AD=2√5 cm，设 OD=2√5 - R，在 Rt△OBD 中列方程求解）
提升题：
已知△ABC 的外心在△ABC 的外部，判断△ABC 的形状，并说明理由。（答案：钝角三角形，理由：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，仅钝角三角形外心在外部）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
过点画圆的规律：过 1 点 / 2 点有无数个圆，过不在同一直线上的 3 点有且只有 1 个圆（三点定圆定理）；
三角形外接圆与外心：外心是三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等，位置由三角形类型决定；
核心应用：通过三点定圆找圆心、求半径，直角三角形外接圆半径 = 斜边 / 2。
作业：
基础作业：教材习题 24.2 第 10、11、12 题（圆的确定、外接圆半径计算）；
拓展作业：画一个钝角三角形，作出其外接圆，测量外心到三个顶点的距离，验证 “外心到三顶点距离相等”；
实践作业：寻找生活中 “确定圆” 的实例（如修复破损圆形物件、确定圆形场地的圆心），记录操作步骤，下节课分享。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
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24.2.4圆的确定
第24章　圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
一位考古学家发掘出一块圆形瓷器碎片，你能帮他画出这个碎片所在的整圆，以便进行深入的研究吗？
要确定一个圆必须
满足几个条件
过不共线的三点作圆
问题1 如何过一个点 A 作一个圆？过点 A 可以作出多少个圆？
合作探究
·
·
·
·
·
以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到 A 点的距离为半径画圆即可；
可作出无数个圆.
A
问题2 如何过两点 A、B 作一个圆？
过两点可以作出多少个圆？
·
·
·
·
A
B
作线段 AB 的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点到点 A（或点 B）的距离为半径画圆即可；
可作出无数个圆.
问题3 过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
A
B
C
D
E
G
F
O
经过 B，C 两点的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上.
经过 A，B，C 三点的圆的圆心在这两条垂直平分线的交点 O 的位置.
经过 A，B 两点的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上.
这个圆的圆心需要满足什么条件？
作法：
1. 连接 AB，AC；
2. 分别作线段 AB，AC 的垂直平
分线，设它们交于点 O；
3. 以点 O 为圆心、OB 的长为半径
作圆.
则⊙O 即为所作.
O
A
B
C
定理：
不在同一直线上的三个点确定一个圆.
有且只有
位置关系
归纳总结
O
A
B
C
问题4 现在你知道怎样将如图所示的破损圆盘复原了吗？
方法：
1. 在圆弧上任取三点 A，
B，C，连接 AB，BC；
2. 作线段 AB、BC 的垂直
平分线，交于点 O；
3. 以点 O 为圆心，OC 的
长为半径作圆.
则⊙O 即为所求.
A
B
C
O
某市在一块空地上新建了 A、B、C 三个居民小区，且三个小区不在同一直线上．现要规划一所中学，使这所中学到三个小区的距离相等，请问这所中学应建在哪个位置？怎么确定这个位置呢？
●
●
●
B
A
C
练一练
根据前面所学的知识，若已知△ABC，我们可以用直尺与圆规作出过△ABC 三个顶点的圆.
A
B
C
O
三角形的外接圆及外心
概念学习
这个三角形叫做圆的内接三角形.
经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心.
●O
A
B
C
三角形的外心到三角形的三个顶点距离相等.
判断正误：
(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆. ( )
(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形. ( )
(3) 经过三点一定可以确定一个圆. ( )
(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等. ( )
√
×
×
√
练一练
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置.
锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于处斜边的中点处；
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
例1 如图，△ABC 的外心坐标是 ．
典例精析
解析：由图可知 △ABC 的外心在 BC 的垂直平分线，即直线 y = －1 上；也在线段 AB 的垂直平分线，即直线 y = x＋1 上．将上面两个解析式联立，解得 x =－2，y =－1，故两直线的交点坐标，即 △ABC 的外心坐标为 (－2，－1)．
(－2，－1)
例2 如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC = 24 cm，O 到 BC 的距离是 5 cm，求△ABC 的外接圆的半径．
解：连接 OB，过点 O 作 OD⊥BC，如图.
D
则 OD = 5 cm，
在Rt△OBD 中，
即△ABC 的外接圆的半径为 13 cm.
经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗？
反证法
观察与思考
A
B
C
l
如图，假设经过直线 l 上的三点 A、B、C 可以作圆，设这个圆的圆心为 P，那么点 P 既在线段 AB 的垂直平分线 l1 上，又在线段 BC 的垂直平分线 l2 上.
这样，经过点 P 便有两条直线 l1，l2 同时垂直于直线 l，这与“过一点有且只有
一条直线与已知直线垂直”这一
基本事实相矛盾．
所以过同一条直线上的三点
不能作圆．
l1
l2
A
B
C
P
l
上面的证明不是直接从题设推出结论，而是先假设命题结论不成立，然后经过推理，得出矛盾的结果，最后断言结论一定成立，这样的证明方法叫做反证法．
①反设：假设命题的结论不成立（或其反面成立）；
②推理：从这个假设出发，经过推理，得出矛盾；
③结论：由矛盾判定假设不成立，从而肯定命题的结
论成立.
知识要点
反证法的一般步骤
例3 已知：如图，直线 AB∥CD，直线 EF 分别交 AB，CD 于点 O1，O2.
求证：∠EO1B =∠EO2D.
A
B
C
D
E
F
O1
O2
证明：假设∠EO1B ≠∠EO2D，过点 O1 作直线 A'B'，使∠EO1B' =∠EO2D，
则 A'B'∥CD.
这样，过点 O1 就有两条直线 AB，A′B′ 平行于直线 CD，这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾，故假设不成立.
∴∠EO1B =∠EO2D.
A'
B'
1. 判断对错：
（1）经过三点一定可以作圆. （ ）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的
交点. （ ）
（3）三角形的外心到三边的距离相等. （ ）
（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内. （ ）
√
×
×
×
2. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片
如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小
明带到商店去的一块玻璃碎片应该是 （ ）
A．第①块
B．第②块
C．第③块
D．第④块
B
3. 如图，在 5×5 的正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，
C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 （ ）
M
R
Q
A
B
C
P
A．点 P B．点 Q
C．点 R D．点 M
B
4. 如图，△ABC 的外接圆的圆
心坐标为 ．
(6，2)
O
5. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，则它的外接圆半径为 .
5
6. 如图，在△ABC 中，点 O 在边 AB 上，且点 O 为
△ABC 的外心，求∠ACB 的度数．
解：∵ 点 O 为△ABC 的外心，
∴ OA = OB = OC.
∴∠OAC = ∠OCA，
∠OCB = ∠OBC.
∵∠OAC＋∠OCA＋∠OCB＋∠OBC = 180°，
∴∠OCA＋∠OCB = 90°，
即∠ACB = 90°.
7. 用反证法证明：一个圆只有一个圆心．
证明：假设⊙O 有两个圆心 O 及 O′，
在圆内任作一弦 AB，设弦 AB 的中点为 P，
连接 OP，O′P，则 OP⊥AB，O′P⊥AB，
过直线 AB 上一点 P，同时有两条直线 OP，O′P 都垂直于 AB，这与垂线的性质矛盾，
故一个圆只有一个圆心．
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1．过一点可以作________个圆；过两点可以作________个圆，这些圆的圆心在两点所连线段的___________上；过不在同一条直线上的三个点可以作________个圆．
无数
无数
垂直平分线
一
2. 小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带去商店的一块玻璃碎片应该是(　　)
A．第①块　　　　 　
B．第②块
C．第③块　　　　 　
D．第④块
B
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3．[2024·上饶一模]平面上有4个点，它们不在同一直线上，过其中3个点作圆，可以作出不重复的n个圆，则n的值不可能为(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【点拨】 分为三种情况：①当4个点都在同一个圆上时，如图①，此时n＝1，
②当3个点在同一条直线上时，如图②，
分别过A，B，
C或A，C，D
或A，B，D
作圆，共可作
3个圆，即n＝3，
③当4个点不共圆，且其中的任何3个点都不共线时，如图③，
分别过A，B，C或B，C，D或C，D，A或D，A，B作圆，共可作4个圆，即n＝4，
则n的值不可能是2，故选C.
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【答案】 C
4．如图，AC，BE是⊙O的直径，弦AD与BE交于点F，连接AB，AE，DE，CF，则下列三角形中，外心是点O的是(　　)
A．△ABF　　　　B．△ACF
C．△ADE　　　　D．△AEF
C
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6．有下列说法：(1)三个点确定一个圆；(2)相等的圆心角所对的弦相等；(3)等弧所对的圆心角相等；(4)三角形的外心到三角形三条边的距离相等；(5)外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形．其中正确的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【点拨】 (1)不共线的三个点确定一个圆，故错误；
(2)在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故错误；(3)同弧或等弧所对的圆心角相等，故正确；
(4)三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，故错误；(5)外心在三角形的一边上的三角形是直角三角形，故正确；故选B.
【答案】 B
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7．用反证法证明“若⊙O的半径为r，点P到圆心的距离d大于r，则点P在⊙O的外部”，首先应假设(　　)
A．d≤r
B．点P在⊙O的外部
C．点P在⊙O上
D．点P在⊙O上或点P在⊙O的内部
D
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圆的确定
圆的确定
三角形的外接圆
反证法
不在同一直线上的三个点确定一个圆
外接圆
外心
内接三角形
三角形外心的到三角形的三个顶点距离相等
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！