第14章检测题
(时间：100分钟 满分：120分)
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．(2015·广西)下列各组线段中，能够组成直角三角形的一组是( D )
A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．1，，
2．对于命题“如果a＞b＞0，那么a2＞b2.”用反证法证明，应假设( D )
A．a2＞b2 B．a2＜b2 C．a2≥b2 D．a2≤b2
3．如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为10 cm，正方形A的边长为5 cm，B的边长为6 cm，C的边长为5 cm，则正方形D的边长为( A )
A. cm B．4 cm C. cm D．3 cm
,第3题图) ,第4题图) ,第6题图)
4．(2015·大连) 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，点D在BC上，∠ADC＝2∠B，AD＝，则BC的长为( D )
A.－1 B.＋1 C.－1 D.＋1
5．△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，下列说法错误的是( D )
A．若∠A－∠B＝∠C，则△ABC为直角三角形
B．若∠C＝90°，则c2－a2＝b2
C．若(a＋b)(a－b)＝c2，则△ABC是直角三角形
D．若a2∶b2∶c2＝3∶4∶5，则△ABC是直角三角形
6．如图，一架长25分米的梯子，斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的底部距墙角E 7分米，如果梯子的顶端沿墙下滑4分米，那么梯子的底部将平移( D )
A．9分米 B．15分米 C．5分米 D．8分米
7．直角三角形中，斜边长为2 cm，周长为(2＋) cm，则它的面积为( A )
A．1.5 cm2 B．2 cm2 C．3 cm2 D．6 cm2
8．(2015·河北)如图是甲、乙两张不同的长方形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼一个与原来面积相等的正方形，则( A )
A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以
C．甲不可以、乙可以 D．甲可以、乙不可以
,第8题图) ,第9题图) ,第10题图)
9．如图，已知长方形ABCD中，AB＝3 cm，AD＝9 cm，将此长方形折叠，使点D与点B重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( A )
A．6 cm2 B．8 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2
10．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B距点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是( B )
A．5 B．25 C．10＋5 D．35
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．若直角三角形的两直角边长为a，b，且满足＋|b－4|＝0，则该直角三角形的斜边长为__5__．
12．用反证法证明命题“一个三角形的三个内角中，至多有一个钝角”的第一步应假设__一个三角形的三个内角中，至少有两个钝角__．
13．如图，一长方体长4 cm，宽3 cm，高12 cm，则上、下两底面的对角线MN的长为__13__ cm.
14．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝6，分别以边AC，BC为直径向三角形外作两个半圆，则这两个半圆的面积的和为__π__．(结果保留π)
,第13题图) ,第14题图) ,第15题图) ,第16题图) ,第18题图)
15．如图，△ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE＝CD＝1，连结DE，则DE＝____．
16．如图，Rt△ABC的两直角边分别为1，2，以Rt△ABC的斜边AC为一直角边，另一直角边为1画第二个△ACD；再以△ACD的斜边AD为一直角边，另一直角边长为1画第三个△ADE；依此类推，第n个直角三角形的斜边长是____．
17．等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为__3或__．
18．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，P是AB边上一动点，则PC＋PD的最小值是____．
点拨：如图，过点B作BE⊥BC，且BE＝BC，则点C，E关于AB对称，∴PC＝PE，∴PC＋PD＝PE＋PD＝DE＝
三、解答题(共66分)
19．(7分)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠APB≠∠APC，求证：PB≠PC.
解：假设PB＝PC，又∵AB＝AC，AP＝AP，∴△ABP≌△ACP，∴∠APB＝∠APC，这与已知∠APB≠∠APC相矛盾，∴假设不成立，即PB≠PC
20．(7分)如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，AD＝1，求∠DAB的度数．
解：135°
21．(8分)有人说：如果Rt△ABC的三边是a，b，c(c＞a，c＞b)，那么以an，bn，cn(n是大于1的正整数)为三边的三角形也是直角三角形．
(1)这个说法是否正确？请说明理由；
(2)写出上述命题的逆命题，并判断逆命题是真命题还是假命题．
解：(1)正确 (2)逆命题：如果以an，bn，cn(n是大于1的正整数)为三边的三角形是直角三角形，那么以a，b，c为三边的三角形也是直角三角形；真命题
22．(7分)如图，在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CA⊥CB，为了安全起见，爆破点C周围半径260米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险，是否需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
解：过点C作CD⊥AB于点D，由勾股定理得AB＝500米，由S△ABC＝AB·CD＝AC×BC，得CD＝240米＜260米，∴公路AB段有危险，需要暂时封锁
23．(7分)为了丰富少年儿童的业余文化生活，某社区要在如图所示AB所在的直线上建一图书阅览室．本社区有两所学校，所在的位置在点C和点D处，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，已知AB＝25 km，CA＝15 km，BD＝10 km.试问：阅览室E应建在距点A多远，才能使它到C，D两所学校的距离相等？
解：设AE＝x km，则x2＋152＝(25－x)2＋102，解得x＝10，∴AE＝10 km
24．(8分)如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：AD2＋DB2＝DE2.
解：易证：△ACE≌△BCD，∴AE＝DB，∠CAE＝∠B，∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAE＝∠CAD＋∠B＝90°，∴AE2＋AD2＝DE2，即DB2＋AD2＝DE2
25．(10分)如图，公路AB和公路CD在点P处交会，且∠APC＝45°，点Q处有一所小学，PQ＝120 m，假设拖拉机行驶时，周围130 m以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路AB上沿PA方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；若受影响，已知拖拉机的速度为36 km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？
解：作QE⊥AP于点E，∵∠APC＝45°，∴△PQE为等腰直角三角形，EQ＝EP，由EQ2＋EP2＝PQ2，得EQ2＋EP2＝(120)2，∴EQ＝120 m，∵120 m＜130 m，∴学校会受到噪声影响，设M，N在AP上，且QM＝QN＝130 m，由勾股定理得EM＝EN＝＝50(m)，∴MN＝100 m＝0.1 km，学校受影响时间为×3600＝10(秒)
26．(12分)如图，我渔政船从广州起程开赴南海执行维权护渔、渔政管理的任务，渔政船位于南海的O处执行任务，一艘外国渔船从点O正东方向25海里的A处，以20海里/时的速度沿AB方向航行，随即我渔政船对其实行雷达跟踪监控．
(1)已知渔政船到AB的距离OD长为7海里，那么外国渔船从A点行驶到D点经过多长时间？
(2)若在A，D之间的点C处，渔政船测控系统显示两船间的距离与外国渔船所行驶的路程相等，此时C，D两处相距多远？
(3)如果渔政船周围8海里的圆形区域内为危禁区域，那么外国渔船会在我渔政船禁区内行驶多长时间？
解：(1)AD＝＝24海里，外国渔船从A点行驶到D点经过的时间为24÷20＝1.2(小时) (2)设CD＝x海里，则OC＝AC＝(24－x)海里，由x2＋72＝(24－x)2，解得x＝，∴C，D两处相距海里 (3)在AB上取E，F两点，使OE＝OF＝8海里，E点为外国渔船进入禁区地点，F点为外国渔船驶离禁区地点，由三线合一得DE＝DF，∵DE＝＝(海里)，∴EF＝2海里，所以外国渔船会在我渔政船禁区内行驶＝(小时)
课件10张PPT。第十四章 勾股定理14.1.1 探索直角三角形三边的关系14.1.1 探索直角三角形三边的关系探 究 新 知活动1 知识准备62° 10 3.5 14.1.1 探索直角三角形三边的关系活动2 教材导学14.1.1 探索直角三角形三边的关系新 知 梳 理14.1.1 探索直角三角形三边的关系? 知识点 勾股定理S3＝S1＋S2斜边的平方a2＋b2＝c2重难互动探究14.1.1 探索直角三角形三边的关系探究问题一 理解勾股定理14.1.1 探索直角三角形三边的关系14.1.1 探索直角三角形三边的关系14.1.1 探索直角三角形三边的关系探究问题二 应用勾股定理进行计算14.1.1 探索直角三角形三边的关系课件17张PPT。第十四章 勾股定理14.1.2 勾股定理的验证及简单应用14.1.2 勾股定理的验证及简单应用探 究 新 知活动1 知识准备a2＋2ab＋b2(a＋b)(a＋b)214.1.2 勾股定理的验证及简单应用活动2 教材导学14.1.2 勾股定理的验证及简单应用a2＋b2＝c2AC⊥CF且 AC＝CFABGF14.1.2 勾股定理的验证及简单应用ACF a2＋b2＝c2 14.1.2 勾股定理的验证及简单应用新 知 梳 理14.1.2 勾股定理的验证及简单应用? 知识点 用拼图的方法说明勾股定理14.1.2 勾股定理的验证及简单应用重难互动探究14.1.2 勾股定理的验证及简单应用探究问题一 勾股定理的证明14.1.2 勾股定理的验证及简单应用14.1.2 勾股定理的验证及简单应用14.1.2 勾股定理的验证及简单应用探究问题二 勾股定理的应用 14.1.2 勾股定理的验证及简单应用14.1.2 勾股定理的验证及简单应用14.1.2 勾股定理的验证及简单应用14.1.2 勾股定理的验证及简单应用14.1.2 勾股定理的验证及简单应用课件13张PPT。第十四章 勾股定理14.1.2 直角三角形的判定14.1.2 直角三角形的判定探 究 新 知活动1 知识准备540°直角14.1.2 直角三角形的判定活动2 教材导学[答案] (1)都满足 (2)略新 知 梳 理14.1.2 直角三角形的判定? 知识点一 勾股定理的逆定理 a2＋b2＝c2 ? 知识点二 勾股数重难互动探究14.1.2 直角三角形的判定探究问题一 直角三角形的判定14.1.2 直角三角形的判定14.1.2 直角三角形的判定14.1.2 直角三角形的判定14.1.2 直角三角形的判定14.1.2 直角三角形的判定探究问题二 勾股定理及其逆定理的应用14.1.2 直角三角形的判定14.1.2 直角三角形的判定14.1.2 直角三角形的判定课件9张PPT。第十四章 勾股定理14.1.3 反证法14.1.3 反证法探 究 新 知活动1 知识准备直线及直线外一点 过这个点只有一条直线与已知直线平行 14.1.3 反证法活动2 教材导学∠A，∠B，∠C都大于60°只有一个交点不止一个交点∠A，∠B，∠C中至少有一个角不大于60°新 知 梳 理14.1.3 反证法? 知识点一 反证法的定义? 知识点二 反证法证明命题的一般步骤矛盾反面反面 重难互动探究14.1.3 反证法探究问题 用反证法进行证明14.1.3 反证法14.1.3 反证法14.1.3 反证法14.1.3 反证法课件11张PPT。第十四章 勾股定理14.2.1 勾股定理在生活中的应用14.2.1 勾股定理在生活中的应用探 究 新 知活动1 知识准备线段长方形14.2.1 勾股定理在生活中的应用活动2 教材导学14.2.1 勾股定理在生活中的应用AC′2＝(2πr)2＋h2AB2＝(πr)2＋h2AB2＝(2r)2＋h2 实际问题转化为数学问题后，不能直接求出线段的长，则应根据题中与直角三角形有关的信息，考虑添加辅助线，构造直角三角形进行求解．新 知 梳 理14.2.1 勾股定理在生活中的应用? 知识点一 直接应用型? 知识点二 间接应用型 求几何体表面两点之间的最短距离，通常将几何体的表面展开，把立体图形转化为_ ___，再根据“两点之间，线段最短”这个公理找到最短距离，然后利用勾股定理进行计算求解．? 知识点三 最短路线型平面图形重难互动探究14.2.1 勾股定理在生活中的应用探究问题一 立体图形表面最短路径问题14.2.1 勾股定理在生活中的应用14.2.1 勾股定理在生活中的应用14.2.1 勾股定理在生活中的应用14.2.1 勾股定理在生活中的应用探究问题二 实际问题14.2.1 勾股定理在生活中的应用课件12张PPT。第十四章 勾股定理14.2.2 勾股定理在数学中的应用14.2.2 勾股定理在数学中的应用探 究 新 知活动1 知识准备B14.2.2 勾股定理在数学中的应用活动2 教材导学勾股不是3034≠ 14.2.2 勾股定理在数学中的应用 在直角三角形中，已知任意两边长，利用勾股定理可求第三边长．有时不是已知直角三角形的两边长，而是已知一边长和另两边长的关系，或者已知三边长的关系要求每一条边长，则常需要设未知数，再结合勾股定理列方程．新 知 梳 理14.2.2 勾股定理在数学中的应用? 知识点一 常规计算型? 知识点二 综合型 把勾股定理与平方差公式、两数和(差)的平方公式、方程和轴对称等相结合，运用数形结合思想可以解决许多难度较大的综合型题目，在几何图形中，创造条件，把非直角三角形转化为直角三角形则是解决问题之根本．重难互动探究14.2.2 勾股定理在数学中的应用探究问题一 利用勾股定理进行计算 14.2.2 勾股定理在数学中的应用14.2.2勾股定理在数学中的应用14.2.2 勾股定理在数学中的应用14.2.2 勾股定理在数学中的应用探究问题二 折叠计算 C14.2.2 勾股定理在数学中的应用14.2.2 勾股定理在数学中的应用课件13张PPT。14．1 勾股定理第14章 勾股定理第1课时 直角三角形三边的关系DB45．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，以点A为圆心，AC长为半径画弧，交AB于点D，则BD＝__ __．
6．根据所给条件，求下列图形中的未知边的长度．
(1)求图①中的BC的长；
(2)求图②中的BC的长．
解：(1)15 (2)1227．在△ABC中，若AB＝13，AC＝15，高AD＝12，则BC的长是( )
A．14 B．4
C．14或4 D．以上都不对
8．(复习题5变式)如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A，B，C，D的边长分别是3，5，2，3，则最大正方形E的面积是( )
A．13 B．26 C．47 D．94CCC4.811．如图，分别以直角三角形的三边为边向外作正方形，则正方形A的面积是__ __，正方形B的面积是__ __．62514415．(1)如图，正方形由四个边长为a，b，c的直角三角形拼成，请从面积关系出发，写出一个关于a，b，c的等式；(要化简)
(2)请用四个边长为a，b，c的直角三角形拼出另一个图形验证(1)中所写的等式，并写出验证过程；
(3)若a＋b＝7，ab＝12，求c的值．课件16张PPT。14．1 勾股定理第14章 勾股定理第2课时 勾股定理的简单应用A知识点? 勾股定理的简单应用
1．如图，要从电线杆离地面15米处向地面拉一条17米的电缆，则地面固定点A到电线杆底部B的距离为( )
A．8米 B．15米 C．17米 D．32米173．如图，两个正方形的面积分别为64，49，则AC＝__ __．4．如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“近路”，践踏了花草，真是不应该呀！
(1)求这条“近路”AB的长；
(2)若正常步行时，每步的步长为0.5米，则他们仅仅少走了几步？
解：(1)AB＝10 m (2)8步知识点? 方程思想在勾股定理中的运用
5．如图，将边长为8 cm的正方形ABCD折叠，使点D落在BC边的中点E处，点A落在F处，折痕为MN，则线段CN的长是( )
A．3 cm B．4 cm C．5 cm D．6 cm
点拨：设CN＝x cm，则DN＝EN＝(8－x) cm，又CE＝4 cm，由CN2＋CE2＝EN2得x2＋42＝(8－x)2，解得x＝3A6．在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c.
(1)若a∶b＝3∶4，c＝25，则a＝____，b＝____；
(2)若∠A＝45°，c＝7，则a＝____，b＝____．1520778．(例题5变式)如图，小颖同学折叠一个直角三角形纸片，使A与B重合，折痕为DE，已知AC＝10 cm，BC＝6 cm，求CE的长．
解：CE＝3.2 cm9．如图，点E在正方形ABCD内，满足∠AEB＝90°，AE＝6，BE＝8，则阴影部分的面积是( )
A．48 B．60 C．76 D．80
10．如图，已知长方形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( )
A．6 B．5 C．4 D．3
点拨：由AD∥BC，得∠ADB＝∠CBD＝∠C′BD，∴DE＝BE，设DE＝BE＝x，则AE＝8－x，由AB2＋AE2＝BE2得42＋(8－x)2＝x2，解得x＝5CB13．如图，某会展中心在会展期间准备将高(BC)5 m，长(AB)13 m，宽2 m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼梯至少需要多少元钱？
解：AC＝12 m，地毯面积为(12＋5)×2＝34(m2)，费用30×34＝1020(元)
14．(练习题2变式)小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的城门，他先横着拿进不去，又竖起来拿，结果竹竿比城门高1米，当他把竹竿斜着时，两端刚好顶着城门的对角，问竹竿长多少？
解：设竹竿长x米，则32＋(x－1)2＝x2，解得x＝5，即竹竿长5米16．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为( )
A．4 B．6 C．16 D．55C方法技能：
1．若题中无直角三角形，通常作垂线，构造直角三角形，运用勾股定理求解．
2．若题中有直角三角形，但已知线段的长不完全是直角三角形的边长，通常设未知数，在某个直角三角形中，根据勾股定理列方程求解．
易错提示：
勾股定理只适用于直角三角形，不能用于钝角三角形或锐角三角形． 课件14张PPT。14．1 勾股定理第14章 勾股定理第3课时 直角三角形的判定BCC3．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，其中正确的是( )
4．已知三角形的三边长为9，12，15，则这个三角形的最大角是____度；△ABC的三边长为9，40，41，则△ABC的面积为_______．90180知识点? 勾股数
6．请完成以下未完成的勾股数：
(1)8，15，____；(2)10，____，26.
7．满足条件a2＋b2＝c2的一组正整数a，b，c称为勾股数，下列各组数中，不是勾股数的是( )
A．5，12，13 B．6，8，10
C．7，24，25 D．9，30，31
8．若正整数a，b，c是一组勾股数，则下列各组数一定还是勾股数的是( )
A．a＋2，b＋2，c＋2 B．a2，b2，c2
C．3a，3b，3c D．a－2，b－2，c－21724DC9．对于任意两个正整数m，n(m＞n)，下列各组三个数为勾股数的一组是( )
A．m2＋mn，m2－1，2mn
B．m2－n2，2mn，m2＋n2
C．m＋n，m－n，2mn
D．n2－1，n2＋mn，2mn
10．在下列条件中：①在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；②三角形三边长分别为32，42，52；③在△ABC中，三边a，b，c满足(a＋b)(a－b)＝c2；④三角形三边长分别为m－1，2m，m＋1(m为大于1的整数)，能确定△ABC是直角三角形的条件有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个BB11．(复习题10变式)已知a，b，c为△ABC的三边长，且满足a2c2－b2c2＝a4－b4，则它的形状为( )
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等腰三角形或直角三角形D12．如图，P是正△ABC内一点，且PA＝6，PB＝8，PC＝10，若将△PAC绕点A逆时针旋转后，得到△P′AB，则点P与P′之间的距离为PP′＝__ __，∠APB＝__ __度．
点拨：连结PP′，易知△AP′P是等边三角形，∴P′P＝6，∠APP′＝60°，由△PAC≌△P′AB得P′B＝PC＝10，在△PP′B中，易知有P′P2＋PB2＝P′B2，∴∠BPP′＝90°，∴∠APB＝60°＋90°＝150°615013．(复习题7变式)如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，AD＝12，CD＝13，求四边形ABCD的面积．
解：36
14．(例题4变式)如图，正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且BE＝3CE.试判断△AEF的形状，并说明理由．
解：△AEF是直角三角形，设CE＝a，则BE＝3a，正方形ABCD的边长为4a，DF＝CF＝2a，∵AF2＋EF2＝(AD2＋DF2)＋(CE2＋CF2)＝[(4a)2＋(2a)2]＋[a2＋(2a)2]＝25a2，AE2＝AB2＋BE2＝(4a)2＋(3a)2＝25a2，∴AF2＋EF2＝AE2，∴∠AFE＝90°，即△AEF是直角三角形16．张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：
(1)请你分别探究a，b，c与n之间的关系，并且用含自然数n(n＞1)的式子表示：a＝________，b＝____，c＝________；n2－12nn2＋1(2)猜想以a，b，c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想．
解：以a，b，c为边的三角形是直角三角形．证明：∵(n2－1)2＋(2n)2＝n4－2n2＋1＋4n2＝n4＋2n2＋1＝(n2＋1)2，即符合a2＋b2＝c2，∴以a，b，c为边(即以n2－1，2n，n2＋1为边)的三角形一定是直角三角形方法技能：
1．运用勾股定理的逆定理来判断一个三角形是否为直角三角形时，应首先确定最大边，再看两条较小边的平方和是否等于最大边的平方；如果事先不知道最大边，应考虑任意两边的平方和是否等于第三边的平方，切不可只作一次判断就断定该三角形不是直角三角形．
2．记住下面一些常见的勾股数组(k是正整数)：{3k，4k，5k}，{5k，12k，13k}，{7k，24k，25k}，{8k，15k，17k}，{9k，40k，41k}等．
易错提示：
勾股定理中假设直角边分别为a，b，斜边为c，在解题时不要误认为a，b一定表示直角边，c表示斜边．课件13张PPT。14．1 勾股定理第14章 勾股定理第4课时 反证法C知识点? 反证法的假设
1．已知：在△ABC中，AB≠AC，求证：∠B≠∠C，若用反证法来证明这个结论，可以假设( )
A．∠A＝∠B B．AB＝BC
C．∠B＝∠C D．∠A＝∠C
2．用反证法证明“在同一平面内，若a⊥c，b⊥c，则a∥b”时，应假设( )
A．a不垂直于c B．a，b都不垂直于c
C．a⊥b D．a与b相交D3．用反证法证明命题“在一个三角形中，至少有一个内角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中( )
A．有一个内角大于60°
B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60°
D．每一个内角都小于60°
4．用反证法证明“△ABC中，若∠A＞∠B＞∠C，则∠A＞60°”，第一步应假设( )
A．∠A＜60° B．∠A≤60°
C．∠A≠60° D．∠A＝60°DB5．用反证法证明“在△ABC中，∠C＝90°，求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设( )
A．∠A＞45°，∠B＞45° B．∠A≥45°，∠B≥45°
C．∠A＜45°，∠B＜45° D．∠A≤45°，∠B≤45°A知识点? 反证法的证明步骤
7．(练习题2变式)已知：如图，直线a，b被c所截，∠1，∠2是同位角，且∠1≠∠2，求证：a不平行b.
证明：假设_______，则___________，这与____________相矛盾，所以________不成立，所以a不平行b.a∥b∠1＝∠2∠1≠∠2a∥b8．(练习题2变式)用反证法证明：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角不互补，那么这两条直线不平行．
已知：如图，直线l1，l2被l3所截，∠1＋∠2≠180°.
求证：l1与l2不平行．
解：假设l1∥l2，那么∠1＋∠2＝180°，这与已知∠1＋∠2≠180°相矛盾，因此假设l1∥l2不成立，所以l1与l2不平行9．(例题5变式)已知直线a，b，c满足a∥b，c与a相交．求证：c与b相交．
解：假设c∥b，因为a∥b，所以a∥c，这与已知c与a相交矛盾．因此假设不成立，所以c与b相交10．用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设( )
A．一个三角形中至少有两个钝角
B．一个三角形中至多有一个钝角
C．一个三角形中至少有一个钝角
D．一个三角形中没有钝角
11．证明“在△ABC中，至少有两个锐角”时，第一步应假设这个三角形中( )
A．没有锐角 B．都是直角
C．最多有一个锐角 D．有三个锐角AC12．用反证法证明：“多边形的内角中锐角的个数最多有三个”的第一步应该是_____________________________________．
13．阅读下列文字，回答问题：
求证：在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠A≠45°，则AC≠BC.
证明：假设AC＝BC，因为∠A≠45°，∠C＝90°，所以∠A≠∠B，所以AC≠BC，这与假设矛盾，所以AC≠BC.
上面的证明有没有错误？若没有错误，指出其证明的方法；若有错误，请予以纠正．
解：有错误．改正：假设AC＝BC，则∠A＝∠B，又∠C＝90°，所以∠B＝∠A＝45°，这与∠A≠45°矛盾，所以AC＝BC不成立，所以AC≠BC假设多边形的内角中锐角的个数最少有4个14．(例题6变式)求证：等腰三角形的底角必为锐角．
已知：在△ABC中，AB＝AC，求证：∠B，∠C均为锐角．
解：假设∠B≥90°，∠C≥90°，那么∠A＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和定理相矛盾，因此假设不成立，所以∠B，∠C均为锐角15．证明：如果两个整数的积是偶数，那么这两个整数中至少有一个是偶数．
解：假设这两个整数都是奇数，其中一个奇数为2n＋1，另一个奇数为2p＋1，(n，p为整数)，则(2n＋1)(2p＋1)＝2(2np＋n＋p)＋1，∵无论n，p取何整数值，2(2np＋n＋p)＋1都是奇数，这与已知中两个整数的乘积为偶数相矛盾，所以假设不成立，∴这两个整数中至少有一个是偶数16．如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB和AC上，CD，BE相交于点O，求证：CD，BE不可能互相平分．
解：假设CD，BE互相平分，即OB＝OE，OC＝OD，又∠BOD＝∠EOC，∴△BOD≌△EOC，∴∠OBD＝∠OEC，∴AB∥AC，这与AB，AC相交于点A矛盾，∴CD，BE互相平分不成立，∴CD，BE不可能互相平分方法技能：
运用反证法证题时，应从假设出发，把假设当做已知条件，经过推理论证，得出与定义、基本事实、定理或已知相矛盾，从而判定假设不成立，肯定结论成立，而非推出结论与假设相矛盾．
易错提示：
用反证法证明命题时，不要找错结论的反面，常见结论词的反面如下：课件14张PPT。14．2 勾股定理的应用 第14章 勾股定理第1课时 最短路径问题与实际问题知识点? 最短路径问题
1．如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行( )
A．8米 B．10米 C．12米 D．14米
2．小明同学先向北行进了4 km，再向东行进了8 km，最后又向北行进了2 km，此时小明离出发点的距离是( )
A．6 km B．8 km C．10 km D．12 kmBC知识点? 勾股定理的实际应用
4．如图，小张为测量校园内池塘A，B两点之间的距离，他在池塘边定一点C，使∠ABC＝90°，并测得AC长为26 m，BC长为24 m，则A，B两点间的距离为( )
A．5 m B．8 m C．10 m D．12 m
5．如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一根到达底部的直吸管在罐内部分a的长度(罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计)范围是( )
A．12≤a≤13 B．12≤a≤15
C．5≤a≤12 D．5≤a≤13CA6．如图，有一长、宽、高分别为12 cm，4 cm，3 cm的木箱，在它里面放入一根细木条(木条的粗细忽略不计)，要求木条不能露出木箱，请你算一算，能放入的细木条的最大长度是( )
A．13 cm B．14 cm C．15 cm D．16 cmA8．如图，一段台阶，每级台阶的高度均为30 cm，宽度均为60 cm，则A，B两点间相距_______ cm.390AB12．(例题1变式)如图，一个圆柱的高为10 cm，底面圆的周长为24 cm，一只蚂蚁从下底面圆周上一点A开始爬行，绕这个圆柱爬了一圈，到达上底面圆周上一点B，B在A的正上方，这只蚂蚁爬行的最短路程是多少？
解：26 cm13．如图，这是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20 dm，3 dm，2 dm，A与B是这个台阶两个相对的端点，B点有一只蚂蚁，想到点A去吃可口的食物，蚂蚁沿着台阶面爬到A点的最短路程是多少？
解：25 dm方法技能：
求最短路程常用的方法有：
1．根据“两点之间，线段最短”求最短路程；
2．利用“垂线段最短”求最短路程；
3．利用轴对称求最短路程；
4．利用立体图形的平面展开图求最短路程．
易错提示：
实际问题常以文字叙述，而非以数学语言表达，所以将文字叙述转化为图形中的等量关系时不要出错．课件12张PPT。14．2 勾股定理的应用 第14章 勾股定理第2课时 勾股定理及其逆定理的综合运用2．如图，在4×5网格中，每个小正方形的顶点都叫做格点，点A是其中的一个格点，若B，C也是网格中的格点，且△ABC是以BC为底边，腰长为的等腰直角三角形，那么符合条件的△ABC一共有( )
A．6个 B．7个
C．8个 D．9个C3．(例题3变式)(2015·吉林)图①，图②，图③都是4×4的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1.在图①，图②中已画出线段AB，在图③中已画出点A.按下列要求画图：
(1)在图①中，以格点为顶点，AB为一边画一个等腰三角形；
(2)在图②中，以格点为顶点，AB为一边画一个正方形；
(3)在图③中，以点A为一个顶点，另外三个顶点也在格点上，画一个面积最大的正方形．知识点? 勾股定理及其逆定理的综合运用
4．如图，每个小正方形的边长为1，A，B，C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数为( )
A．90° B．60° C．45° D．30°
5．(习题5变式)如图，在一块四边形ABCD的空地上种植草皮，测得AB＝3 m，BC＝4 m，DA＝13 m，CD＝12 m，且∠ABC＝90°，若每平方米草皮需要200元，则需要投入( )
A．16800元 B．7200元
C．5100元 D．无法确定CBA7．如图，甲、乙两船从港口A同时出发，甲船以30海里/h的速度向北偏东35°的方向航行，乙船以40海里/h的速度向另一方向航行，2 h后，甲船到达C岛，乙船到达B岛，若C，B两岛相距100海里，求乙船航行的方向．
解：南偏东55°10．如图，居民楼A与马路l相距60米，在距离载重汽车P100米处就可受到噪音影响，试求在马路上以18千米/时的速度行驶的载重汽车给A楼的居民带来多长时间的噪音？
解：作AQ⊥l于Q，以点A为圆心，AP的长为半径画弧交l于点P′，连结AP，AP′，由勾股定理得PQ＝80米，同理P′Q＝80米，∴PP′＝160米，又18千米/时＝5米/秒，∴160÷5＝32(秒)，即给A楼居民带来32秒的噪音12．为筹备迎新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图，已知圆筒高108 cm，其平行底面的截面周长为36 cm，如果在表面缠绕油纸4圈，应裁剪多长的油纸．课件17张PPT。专题课堂(五) 勾股定理第14章 勾股定理勾股定理与拼图
类型 (1)利用拼图证明勾股定理；
(2)利用勾股定理求拼图中的面积；
(3)利用勾股定理求拼图中的边长．
例1 (2015·株洲)如图是“赵爽弦图”，△ABH，△BCG，△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，求AH的长．2．(2015·遵义)我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”，如图由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3.若正方形EFGH的边长为2，则S1＋S2＋S3＝____．12利用勾股定理证明线段的平方关系
类型 (1)利用多个直角三角形进行边的代换证明平方关系；
(2)将平方关系中的三条线段转移到一个直角三角形进行证明．
例3 如图，在△ABC中，∠A＝90°，点D是BC的中点，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，连结EF，求证：BE2＋CF2＝EF2.分析：由中线倍长法构造全等三角形，将BE，CF，EF转移到一个直角三角形中即可得证．
解：证明：延长FD至M，使DM＝DF，连结BM，EM.易证△BDM≌△CDF，∴BM＝CF，∠DBM＝∠C，∴∠EBM＝∠EBD＋∠DBM＝∠EBD＋∠C＝90°，∵∠EDF＝90°，∴ED是FM的垂直平分线，∴EM＝EF.在Rt△BEM中，BE2＋BM2＝EM2，∴BE2＋CF2＝EF2【对应训练】
4．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是BC边上的中线，DE⊥AB，垂足为E.求证：AC2＝AE2－BE2.
解：证明：AC2＝AD2－CD2＝AE2＋DE2－BD2＝AE2－(BD2－DE2)＝AE2－BE2勾股定理及其逆定理的综合运用
类型 (1)判断三角形是直角三角形；
(2)求角的度数；
(3)求图形的面积．
例5 如图，点E是正方形ABCD内的一点，连结AE，BE，CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置，若AE＝1，BE＝2，CE＝3，求∠BE′C的度数．分析：连结E′E，易知△BEE′是等腰三角形，可得E′E2＝8，根据勾股定理的逆定理，可得出∠CE′E＝90°，从而可求出∠BE′C的度数．
解：连结E′E，由题意知△BEE′是等腰直角三角形，∴∠BE′E＝45°，E′E2＝EB2＋E′B2＝22＋22＝8，∵E′C2＋E′E2＝12＋8＝9，CE2＝32＝9，E′C2＋E′E2＝CE2，∴∠CE′E＝90°，∴∠BE′C＝45°＋90°＝135°【对应训练】
6．如图，P是等边三角形ABC内的一点，连结PA，PB，PC，以BP为边作∠PBQ＝60°，且BQ＝BP，连结CQ.
(1)观察并猜想AP与CQ之间的大小关系，并证明你的结论；
(2)若PA∶PB∶PC＝3∶4∶5，连结PQ，试判断△PQC的形状，并说明理由．
解：(1)AP＝CQ，证△ABP≌△CBQ (2)设PA＝3a，PB＝4a，PC＝5a，易知△BPQ为等边三角形，∴PQ＝PB＝4a，又CQ＝PA＝3a，易知CQ2＋PQ2＝PC2，∴△PQC是直角三角形课件16张PPT。单元复习(四) 勾股定理第14章 勾股定理一、选择题
1．(2015·桂林)下列各组线段能构成直角三角形的一组是( )
A．30，40，50 B．5，9，12
C．7，12，13 D．3，4，6
2．用反证法证明：在四边形中，至少有一个内角不小于90°，应先假设( )
A．四边形中每一个内角都小于90°
B．四边形中每一个内角都大于90°
C．四边形中每一个内角都大于或等于90°
D．四边形中每一个内角都小于或等于90°AA3．在△ABC中，有下列条件：①∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3；②a∶b∶c＝3∶4∶5；③a2∶b2∶c2＝1∶2∶3；④a2－b2＝c2.其中能判定△ABC为直角三角形的条件有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4．如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直角边分别为6 m和8 m，按照输油中心O到三条支路的距离相等来连结管道，则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心O为点)是( )
A．2 m B．3 m C．6 m D．9 mAC5．如图，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边(x＞y)，下列四个说法：①x2＋y2＝49，②x－y＝2，③2xy＋4＝49，④x＋y＝9.其中说法正确的是( )
A．①② B．①②③
C．①②④ D．①②③④B6．如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为7，2号、3号两个正方形的面积和为4，则a，b，c三个正方形的面积和为( )
A．11 B．15 C．10 D．22
点拨：Sa＝S1＋S2，Sb＝S2＋S3，Sc＝S3＋S4，∴Sa＋Sb＋Sc＝S1＋S4＋2(S2＋S3)＝7＋4×2＝15BA9．如图的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的直角三角形斜边长为9 cm，则四个阴影正方形的面积和是____ cm2.8110．如图，一根竹子，原来高8米，虫伤之后，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处与原竹子底部距离2米，折断处离地高_______米．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在AB边的C′点，那么△ADC′的面积是__ __．3.75613．如图，是一个长方形零件，根据所给尺寸(单位：mm)，求两孔中心A，B之间的距离．14．已知△ABC中，AB＝17 cm，BC＝30 cm，BC边上的中线AD＝8 cm，求证：△ABC为等腰三角形．
解：∵AD2＋BD2＝82＋152＝289＝AB2，∴∠ADB＝90°，又∵AD是△ABC的中线，∴AD垂直平分BC，∴AB＝AC，即△ABC为等腰三角形16．如图，在△ABC中，AB＞AC，AD是内角平分线，AM是BC边上的中线，求证：点M不与点D重合．
解：假设点M与点D重合，如图，
∵AB＞AC，∴在AB上截取AE＝AC，连结DE，易证△ADC≌△ADE，∴∠2＝∠C，CD＝ED，又∵D是BC的中点，∴BD＝CD，∴BD＝ED，∴∠B＝∠1，∵∠1＋∠2＝180°，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠BAC＋∠B＋∠C＞180°，这与三角形内角和是180°相矛盾，∴假设不成立，即点M不与点D重合17．(2015·泰州)如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，且OE＝OD，求AP的长．
解：∵四边形ABCD是长方形，∴∠D＝∠A＝∠C＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，根据题意得：△ABP≌△EBP，∴EP＝AP，∠E＝∠A＝90°，BE＝AB＝8，在△ODP和△OEG中，∠ODP＝∠OEB，OD＝OE，∠DOP＝∠EOC，∴△ODP≌△OEG(ASA)，∴OP＝OG，PD＝GE，∴DG＝EP，设AP＝EP＝x，则PD＝GE＝6－x，DG＝x，∴CG＝8－x，BG＝8－(6－x)＝2＋x，根据勾股定理得：BC2＋CG2＝BG2，即62＋(8－x)2＝(x＋2)2，解得：x＝4.8，∴AP＝4.8课件7张PPT。易错课堂(四) 勾股定理 第14章 勾股定理用反证法证明命题时，第一步假设易出错
例? 用反证法证明“一个三角形的三个外角中(每个顶点只取一个)，至少有两个钝角”，第一步应假设________________．
错因分析：易错在没有弄清楚“至少有两个”的反面是什么，实际“至少有n个”的反面是“至多有(n－1)个．”
【对应训练】
1．用反证法证明某个方程“至多有两个解”，第一步应假设这个方程( )
A．有一个解 B．有两个解
C．至少有三个解 D．至少有两个解至多有一个钝角C不考虑直角边、斜边而出错
例? 一个三角形三边的平方分别为32，42，x2，当x2＝_______时，此三角形是直角三角形．
错因分析：斜边没有确定，可能是x，也可能是4.
【对应训练】
2．一个直角三角形的三边长为a，b，c，且满足a2＋b2－12a－16b＋100＝0，求c2的值．
解：由已知得(a－6)2＋(b－8)2＝0.∴a＝6，b＝8，若c为斜边，则c2＝a2＋b2＝100；若c为直角边，则c2＝b2－a2＝28.故c2＝100或2825或7【对应训练】
3．如图所示，等腰三角形ABC的底边BC为8 cm，腰长为5 cm，一动点P在底边上从点B向点C以0.25 cm/s的速度移动，请你探究：当P运动几秒时，P点与顶点A的连线PA与腰垂直？
