24.3.1圆周角定理及其推论 课件(共46张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册

(共46张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.2.4 圆的确定
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 过点画圆 三点定圆 外接圆
配图：左侧为 “过不同点数画圆” 对比图（过 1 点无数圆、过 2 点无数圆、过 3 点 1 个圆），右侧为 “三角形外接圆” 示意图（△ABC 外接于⊙O，标注外心、半径）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解 “过一点、两点、三点画圆” 的规律，掌握 “不在同一直线上的三点确定一个圆” 的定理，明确三角形外接圆、外心的定义与性质（外心是三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等）。
能力目标：能通过尺规完成 “过不在同一直线上的三点画圆” 的作图，运用定理解决 “找圆心、求外接圆半径” 等问题，提升几何作图与逻辑推理能力。
素养目标：体会 “从特殊到一般” 的探究过程，感受 “确定圆” 的条件与圆的性质的关联，培养数形结合与分类讨论思想，规范几何语言表达。
第 3 页：情境导入 过点画圆的生活思考
生活情境（配图）：
钉钉子：在墙上钉 1 颗钉子，用绳子绕钉子画圆，能画出多少个不同的圆？（无数个，绳子长度可变化）；
固定木框：用 2 颗钉子固定一个圆形木框，木框仍能转动，说明过 2 颗钉子（点）的圆有多少个？（无数个，圆心位置可变化）；
修复车轮：自行车轮损坏，仅剩一段圆弧，如何找到原车轮的圆心和半径？（需在圆弧上找 3 个点，确定唯一圆）。
思考提问：
过 1 个点、2 个点分别能画多少个圆？这些圆的圆心和半径有什么特点？
过 3 个点能画多少个圆？是否存在 “无论 3 个点如何分布，都能确定唯一圆” 的情况？
第 4 页：核心探究 1 过一点、两点画圆的规律
1. 过一个点画圆
动手操作：在纸上画一点 A，用圆规以不同点为圆心、不同长度为半径画圆，使圆经过点 A。
观察结论：过一个点 A 可以画无数个圆。
圆心特征：圆心可以是平面内任意一点（除 A 外，若圆心为 A，半径为任意正数）；
半径特征：半径为圆心到点 A 的距离（圆心不同，半径不同）。
图示：以 A 为公共点，画出多个圆心 O 、O 、O …，半径 r =O A、r =O A… 的圆，体现 “无数个圆” 的分布。
2. 过两个点画圆
动手操作：在纸上画两点 A、B，用圆规尝试画圆，使圆经过 A、B 两点。
关键分析：要使圆经过 A、B，圆心 O 到 A、B 的距离必须相等（OA=OB=r），即圆心 O 需在 AB 的垂直平分线上（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
观察结论：过两个点 A、B 可以画无数个圆。
圆心特征：圆心在 AB 的垂直平分线上（任意一点）；
半径特征：半径为圆心到 A（或 B）的距离（圆心在垂直平分线上的位置不同，半径不同）。
图示：画出 AB 的垂直平分线 l，在 l 上取不同点 O 、O 、O …，分别以 O A、O A、O A 为半径画圆，均经过 A、B 两点。
第 5 页：核心探究 2 过三点画圆的规律（三点定圆定理）
1. 分类讨论三点位置
（1）三点在同一直线上（共线三点）
动手尝试：在纸上画三点 A、B、C，且 A、B、C 共线，尝试画圆经过这三点。
逻辑推理：
假设存在⊙O 经过 A、B、C，则 OA=OB=OC，故 O 在 AB 的垂直平分线 l 和 BC 的垂直平分线 l 上；
但 A、B、C 共线，l 与 l 均垂直于同一直线，故 l ∥l （无交点），矛盾；
结论：过同一直线上的三点不能画圆（不存在这样的圆）。
（2）三点不在同一直线上（不共线三点）
动手操作：
画三点 A、B、C，且 A、B、C 不共线；
连接 AB、BC，分别作 AB 的垂直平分线 l 和 BC 的垂直平分线 l ，设 l 与 l 交于点 O；
以 O 为圆心、OA（或 OB、OC）为半径画圆，观察圆是否经过 A、B、C 三点。
逻辑推理：
∵ O 在 AB 的垂直平分线上，∴ OA=OB；
∵ O 在 BC 的垂直平分线上，∴ OB=OC；
∴ OA=OB=OC，故⊙O 经过 A、B、C 三点；
又∵ 不共线三点的两条垂直平分线交于唯一一点 O（两条直线不平行、不重合，仅有一个交点），∴ 这样的圆只有一个。
结论（三点定圆定理）：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
“确定” 指 “有且只有一个”（存在性 + 唯一性）；
前提条件：“不在同一直线上”（共线三点无法确定圆）。
第 6 页：核心概念 三角形的外接圆与外心
1. 定义关联
三角形的外接圆：经过三角形三个顶点的圆，叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形。
外心的本质：三角形三条边垂直平分线的交点（由 “三点定圆定理” 推导，外心即过三角形三个顶点的圆的圆心）。
2. 外心的性质
位置性质：外心的位置由三角形的形状决定（配图对比）：
锐角三角形：外心在三角形内部；
直角三角形：外心在斜边的中点（斜边为外接圆直径，半径 = 斜边 / 2）；
钝角三角形：外心在三角形外部。
距离性质：外心到三角形三个顶点的距离相等（均等于外接圆半径 R），即 OA=OB=OC=R。
3. 作图步骤（画三角形的外接圆）
画△ABC（锐角、直角、钝角均可）；
分别作 AB、BC 的垂直平分线 l 、l ，交于外心 O（若三角形为直角三角形，外心在斜边中点，可直接取中点）；
以 O 为圆心、OA 为半径画圆，即为△ABC 的外接圆。
第 7 页：典例精讲 圆的确定与外接圆应用
例题 1：找圆弧的圆心（实际应用）
如图，一段破损的圆形玻璃，仅剩一段圆弧，如何确定原圆形玻璃的圆心和半径？
解答步骤：
在圆弧上任意取三点 A、B、C（确保 A、B、C 不共线）；
连接 AB、BC，分别作 AB 的垂直平分线 l 和 BC 的垂直平分线 l ，交于点 O；
点 O 即为原圆形玻璃的圆心，OA（或 OB、OC）即为半径。
思路提炼：利用 “三点定圆定理”，通过圆弧上的三点确定唯一圆，进而找到圆心和半径。
例题 2：求直角三角形的外接圆半径
已知 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，求△ABC 的外接圆半径 R。
解答步骤：
由勾股定理得斜边 AB=√(AC +BC )=√(3 +4 )=5cm；
∵ 直角三角形的外心在斜边中点（性质），∴ 外接圆半径 R=AB/2=5/2=2.5cm。
结论：直角三角形的外接圆半径等于斜边的一半，这是 “三点定圆定理” 在特殊三角形中的重要应用。
例题 3：判断三角形外心位置与外接圆作图
已知△ABC 中，AB=AC=5cm，BC=6cm，判断外心 O 的位置，并画出其外接圆，求外接圆半径 R。
解答步骤：
判断外心位置：△ABC 为锐角三角形（AB=AC=5，BC=6，底边上的高 AD=4cm>0，三个角均为锐角），故外心 O 在△ABC 内部；
作图：作 AB、BC 的垂直平分线，交于 O；
求半径 R：设 O 在 AD 上（等腰三角形对称性），OD=AD - AO=4 - R，BD=BC/2=3cm；在 Rt△OBD 中，OB =OD + BD →R =(4 - R) + 3 →R =16 - 8R + R + 9→8R=25→R=25/8=3.125cm。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
忽略 “三点不共线” 的前提：误说 “三点确定一个圆”，未强调 “不在同一直线上”（共线三点无法确定圆）；
外心位置判断错误：误认为所有三角形的外心都在内部（钝角三角形外心在外部，直角三角形外心在斜边中点）；
作图步骤错误：找外心时仅作一条边的垂直平分线，或未用尺规规范作垂直平分线（如未以线段两端为圆心画弧，导致垂直平分线位置偏差）。
避坑技巧：
表述 “三点定圆” 时，必须补充 “不在同一直线上”，可结合 “共线三点无交点” 的反例强化记忆；
判断外心位置前，先确定三角形类型（锐角 / 直角 / 钝角），再对应位置特征（内部 / 斜边中点 / 外部）；
作垂直平分线时，严格遵循 “以线段两端为圆心、大于线段一半为半径画弧，找两个交点连线” 的尺规步骤，确保垂直平分线准确。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）过平面内一点 P 可以画______个圆；过两点 A、B 可以画______个圆，圆心在______上。（答案：无数，无数，AB 的垂直平分线）
（2）Rt△ABC 中，斜边 AB=10cm，则其外接圆的半径为______cm，外心在______。（答案：5，斜边 AB 的中点）
中档题：
如图，△ABC 中，AB=AC=6cm，BC=8cm，求△ABC 的外接圆半径 R。（答案：R=9/2=4.5cm，提示：作 BC 的垂直平分线 AD，AD=2√5 cm，设 OD=2√5 - R，在 Rt△OBD 中列方程求解）
提升题：
已知△ABC 的外心在△ABC 的外部，判断△ABC 的形状，并说明理由。（答案：钝角三角形，理由：锐角三角形外心在内部，直角三角形外心在斜边中点，仅钝角三角形外心在外部）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
过点画圆的规律：过 1 点 / 2 点有无数个圆，过不在同一直线上的 3 点有且只有 1 个圆（三点定圆定理）；
三角形外接圆与外心：外心是三边垂直平分线的交点，到三顶点距离相等，位置由三角形类型决定；
核心应用：通过三点定圆找圆心、求半径，直角三角形外接圆半径 = 斜边 / 2。
作业：
基础作业：教材习题 24.2 第 10、11、12 题（圆的确定、外接圆半径计算）；
拓展作业：画一个钝角三角形，作出其外接圆，测量外心到三个顶点的距离，验证 “外心到三顶点距离相等”；
实践作业：寻找生活中 “确定圆” 的实例（如修复破损圆形物件、确定圆形场地的圆心），记录操作步骤，下节课分享。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
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24.3.1圆周角定理及其推论
第24章　圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 什么是圆心角？
顶点在圆心的角叫圆心角.
问题2 圆心角的度数与它所对弧的度数是什么关系？
圆心角的度数和它所对的弧的度数相等.
复习引入
.
O
B
C
像∠A 这样，顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点
的角叫做圆周角.
圆周角的定义
一个三角形，当它内接于一个圆时，它的任一个角都与圆有着特殊的位置关系.
观察图中的∠A，它
有什么特点？
观察与思考
O
A
B
C
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
·
C
O
A
B
·
C
O
B
·
C
O
B
A
A
判断下列各图中的∠BAC 是否为圆周角，并简述理由.
顶点 A 不在圆上
顶点 A 不在圆上
边 AC 没有和圆相交
是
是
是
如图，∠BAC 是⊙O 的一个圆周角，连接 BO，CO，得圆心角∠BOC. 试猜想∠BAC 与∠BOC 存在怎样的数量关系.
观察与思考
你能证明吗？
圆周角定理及其推论
圆心 O 在∠BAC
的内部
圆心 O 在∠BAC
的一边上
圆心 O 在∠BAC
的外部
下面给出猜想的证明：
以⊙O 上任一点 A 为顶点的圆周角，按圆心 O 与圆周角的位置关系，存在以下三种情况：
(1) 圆心 O 在∠BAC 的一边上（特殊情形）
OA = OC
∠A = ∠C
∠BOC =∠ A+ ∠C
O
A
B
D
O
A
C
D
O
A
B
C
D
(2) 圆心 O 在∠BAC 的内部
O
A
C
D
O
A
B
D
(3) 圆心 O 在∠BAC 的外部
O
A
B
D
O
C
A
D
O
A
B
D
C
O
A
D
C
O
A
B
D
C
O
A
D
O
A
B
D
一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.
圆周角定理
O
A1
A2
A3
知识要点
A
C
B
如图，点 A、B、C、D 在☉O 上，点 A 与点 D 在点 B、C 所在直线的同侧，∠BAC = 35°.
(1)∠BOC = °，理由是 .
；
(2)∠BDC = °，理由是
.
70
35
同上
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
练一练
典例精析
例1 如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 为圆上两点，∠AOC = 130°，则∠D 等于 (　　)
A．25°
B．30°
C．35°
D．50°
解析：∵∠AOC = 130°，∠AOB = 180°，∴∠BOC = 50°，∴∠D = 25°.
A
圆周角定理的推论
问题1 如图，OB，OC 都是⊙O 的半径，点A ，D 是圆上任意两点，连接 AB，AC，BD，CD. ∠BAC 与∠BDC 相等吗？请说明理由.
D
∴∠BAC =∠BDC.
解：相等. 理由如下：
合作探究
∵
问题2 如图，若 ∠A 与∠B 相等吗？
解：相等.
想一想：反过来，如果∠A =∠B，那么 成立吗？
D
A
B
O
C
E
F
∠CAD 和∠CGD 均是 所对的圆周角
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等.
圆周角定理推论1
几何语言
知识要点
D
A
B
O
C
E
F
G
完成下列填空：
∠1 = ；
∠2 = ；
∠3 = ；
∠5 = .
如图，点 A、B、C、D 在同一个圆上，AC、BD 为四边形 ABCD 的对角线，
∠4
∠8
∠6
∠7
A
B
C
D
O
1
(
(
(
(
(
(
(
(
2
3
4
5
6
7
8
练一练
思考：如图，AC 是⊙O 的直径，
则∠ADC = °，
∠ABC = °.
90
90
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90° 的圆周角所对的弦是直径.
O
A
C
B
D
例2 如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD 交 AB 于点 P， ∠ACD = 60°，∠ADC = 70°. 求∠APC 的度数.
O
A
D
C
P
B
解：连接 BC，如图，则∠ACB = 90°，
∠DCB =∠ACB－∠ACD = 90°－60° = 30°.
又∵∠BAD =∠DCB = 30°，
∴∠APC =∠BAD +∠ADC = 30° + 70°
= 100°.
方法总结：在圆中，如果有直径，可考虑找直径所对的圆周角，构造直角三角形解题．
如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD = 30°，则∠A 的度数为 ( )
A．30° B．45° C．60° D．75°
解析：∵ BD 是⊙O 的直径，
∴∠BCD = 90°.
∵∠CBD＝30°，
∴∠D＝60°.
∴∠A＝∠D＝60°.
练一练
C
B
.
A
D
C
O
例3 如图，⊙O 的直径 AC 为 10 cm，弦 AD 为 6 cm.
(1) 求 DC 的长；
B
解：∵ AC 是⊙O 的直径，
∴ ∠ADC = 90°.
在 Rt△ADC 中，
B
.
O
A
D
C
又∵∠ACB =∠ADB，∠BAC =∠BDC，
∴∠BAC =∠ACB.
∴ AB = BC.
∴△ABC 为等腰直角三角形.
∴
(2) 若∠ADC 的平分线交⊙O 于 B，求 AB、BC 的长．
解：∵ AC 是⊙O 的直径，∴∠ABC = 90°.
∵ DB 平分∠ADC，∴∠ADB =∠CDB.
B
.
O
A
D
C
1. 判断正误：
（1）同一个圆中等弧所对的圆周角相等. （ ）
（2）相等的弦所对的圆周角也相等. （ ）
（3）同弦所对的圆周角相等. （ ）
√
×
×
2. 已知 △ABC 的三个顶点在 ⊙O 上，∠BAC = 50°，
∠ABC = 47°，则∠AOB = °．
B
A
C
O
166
3. 如图，△ABC 的顶点 A、B、C 都在 ⊙O 上，∠C = 30°，AB = 2，则 ⊙O 的半径是 .
C
A
B
O
2
4. 如图，已知 BD 是 ⊙O 的直径，⊙O 的弦 AC⊥BD 于
点 E，若∠AOD = 60°，则∠DBC的度数为 .
方法总结：解决圆周角和圆心角的计算和证明问题，要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角，然后再灵活运用圆周角定理及其推论.
30°
5. 如图，边长为 1 的小正方形构成的网格中，半径为
1 的 ⊙O 的圆心 O 在格点上，则 ∠AED 的正切值
等于 .
_______
∴∠ACB = 2∠BAC.
证明：
6. 如图，OA，OB，OC 都是 ⊙O 的半径，∠AOB =
2∠BOC. 求证：∠ACB = 2∠BAC.
∠AOB = 2∠BOC，
∵
A
O
B
C
7. 如图，在△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的圆交
BC 于 D，交 AC 于 E.
(1) BD 与 CD 的大小有什么关系 为什么
∵ AB 是圆的直径，点 D 在圆上，
∴∠ADB = 90°.
∴ AD⊥BC.
又∵ AB = AC，
∴ 在等腰△ABC 中，BD = CD.
解：BD = CD. 理由如下：连接 AD，如图.
A
B
C
D
E
O
(2) 求证： .
证明：
∵ △ABC 为等腰三角形，AD⊥BC，
∴∠BAD =∠CAD.
∴
A
B
C
D
E
O
8. 已知 ⊙O 的弦 AB 的长等于 ⊙O 的半径，求此弦 AB
所对的圆周角的度数．
解：分下面两种情况：
(1) 如图①所示，连接 OA，OB，在优弧 上任取
一点 C，连接 CA，CB.
∵ AB＝OA＝OB，
∴ 在等边△AOB 中，∠AOB＝60°．
∴∠ACB＝ ∠AOB＝30°.
即弦 AB 所对的圆周角等于 30°.
图①
图②
(2) 如图②所示，连接 OA，OB，在劣弧 上任取一点
D，连接 AD，OD，BD.
则∠BAD＝ ∠BOD，∠ABD＝ ∠AOD.
∴∠BAD＋∠ABD＝ (∠BOD＋∠AOD)＝ ∠AOB.
同 (1) 可知∠AOB＝60°，
∴∠BAD＋∠ABD＝30°.
∴∠ADB＝180°－(∠BAD＋∠ABD)＝150°，
即弦 AB 所对的圆周角为 150°.
综上，弦 AB 所对的圆周角的度数是 30° 或 150°.
返回
1．下列各图中，∠BAC为圆周角的是(　　)
D
2．[2024·湖南]如图，AB，AC为⊙O的两条弦，连接OB，OC，若∠A＝45°，则∠BOC的度数为(　　)
A．60°
B．75°
C．90°
D．135°
返回
C
返回
D
3．如图，AB是⊙O的直径，∠E＝35°，则∠BOD＝(　　)
A．80°
B．100°
C．120°
D．110°
4．[2024·温州模拟]如图，△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠B＝70°，则∠OCB＝(　　)
A．40°
B．50°
C．60°
D．65°
返回
【答案】 B
5．[2023·枣庄]如图，在⊙O中，弦AB，CD相交于点P.若∠A＝48°，∠APD＝80°，则∠B的大小为(　　)
A．32°
B．42°
C．52°
D．62°
返回
A
返回
6．如图，△ABC内接于⊙O，AD是⊙O的直径．若∠B＝20°，则∠CAD的度数是(　　)
A．60°
B．65°
C．70°
D．75°
C
7．如图，点A，B，C，D在⊙O上，∠CAD＝30°，∠ABD＝50°，则∠ADC＝________．
100°
【点拨】∵∠ABD＝50°，
∴∠ACD＝∠ABD＝50°.
又∵∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°－∠CAD－∠ACD＝180°－30°－50°＝100°.
返回
【点拨】如图，延长AO交⊙O于点E，连接DE，
∵AE是直径，∴∠ADE＝90°.
∵OA与OB互相垂直，
∴∠AOC＝90°＝∠ADE.
返回
9．有一题目：“已知点O为△ABC的外心，∠BOC＝130°，求∠A.”嘉嘉的解答为：画△ABC以及它的外接圆⊙O，连接OB，OC.如图，由∠BOC＝2∠A＝130°，得∠A＝65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，∠A还应有另一个不同的值．”下列判断正确的是(　　)
A．淇淇说的对，且∠A的另一个值是115°
B．淇淇说的不对，∠A就是65°
C．嘉嘉求的结果不对，∠A应得50°
D．两人都不对，∠A应有3个不同的值
A
返回
圆
周
角
定义
定理
推论
1. 顶点在圆上；
2. 两边都与圆相交的角
二者必须同时具备
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
半圆或直径所对的圆周角是直角；
90° 的圆周角所对的弦是直径
在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！