24.3.2圆内接四边形 课件(共33张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册

(共33张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.3.2 圆内接四边形
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 定义 性质 判定 应用
配图：左侧为 “圆内接四边形核心图形”（四边形 ABCD 内接于⊙O，标注对角∠A 与∠C、外角∠DCE 与内对角∠A），右侧为 “性质验证图示”（标注∠A+∠C=180°、∠B+∠D=180°）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解圆内接四边形的定义，掌握其核心性质（对角互补、外角等于内对角），了解简单判定方法（对角互补的四边形内接于圆），能结合圆周角定理应用性质解决问题。
能力目标：能在图形中识别圆内接四边形，通过逻辑推理证明其性质，运用性质解决 “角度计算”“四点共圆判定” 等问题，提升几何综合分析与推理能力。
素养目标：体会 “四边形与圆的位置关联”，感受几何性质的严谨性，培养数形结合与转化思想，规范几何证明的语言表达。
第 3 页：情境导入 圆内接四边形的现实原型
生活情境（配图）：
古建筑窗格：圆形窗格内的矩形窗框，四个顶点均在圆上，形成圆内接四边形；
自行车轮：轮圈（圆）上的四个辐条固定点，连接后形成的四边形内接于轮圈；
测量工具：用圆形量角器测量四边形的内角，发现对角之和接近 180°。
思考提问：
什么样的四边形能内接于圆（四个顶点在同一个圆上）？
圆内接四边形的内角有什么特殊关系？外角与内角又有什么关联？
第 4 页：核心概念 圆内接四边形的定义
1. 定义
如果一个四边形的四个顶点都在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆。
示例：矩形、正方形、等腰梯形的四个顶点都在同一个圆上，它们都是圆内接四边形；普通平行四边形（非矩形）的四个顶点不在同一个圆上，不是圆内接四边形。
反例辨析：
图 1：平行四边形（非矩形）→ 四个顶点不共圆→ 不是圆内接四边形；
图 2：等腰梯形→ 四个顶点共圆→ 是圆内接四边形；
图 3：任意四边形（内角和 360°，但对角不互补）→ 四个顶点不共圆→ 不是圆内接四边形。
2. 相关概念关联
圆内接四边形与三角形外接圆的联系：两者均为 “多边形的顶点在圆上”，三角形一定有外接圆（不在同一直线上的三点确定一个圆），但四边形不一定有外接圆（需满足特定条件）。
第 5 页：核心性质 圆内接四边形的性质推导与证明
1. 性质 1：对角互补（核心性质）
圆内接四边形的对角之和为 180°。
符号语言：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，则∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°。
证明（基于圆周角定理）：
连接 OA、OC（半径）；
∠A 是圆周角，所对的弧为⌒BCD，故∠A = 1/2 ⌒BCD 的度数；
∠C 是圆周角，所对的弧为⌒BAD，故∠C = 1/2 ⌒BAD 的度数；
∵ ⌒BCD + ⌒BAD = 360°（整个圆周的度数），∴ ∠A + ∠C = 1/2 (⌒BCD + ⌒BAD) = 1/2 × 360° = 180°；
同理可证：∠B + ∠D = 180°（∠B 对⌒ACD，∠D 对⌒ABC，两者之和为 360°）。
2. 性质 2：外角等于内对角（重要推论）
圆内接四边形的一个外角等于它的内对角（内对角指与外角不相邻的对角）。
符号语言：如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，延长 AB 至 E，∠CBE 是外角，则∠CBE = ∠D。
证明：
∵ ∠CBE + ∠ABC = 180°（平角定义）；
由性质 1 知：∠D + ∠ABC = 180°（圆内接四边形对角互补）；
∴ ∠CBE = ∠D（同角的补角相等）。
3. 性质 3：对角的正弦值相等
（拓展性质，为高中三角函数铺垫）
由∠A + ∠C = 180°，得 sin∠A = sin (180° - ∠C) = sin∠C；同理 sin∠B = sin∠D。
第 6 页：典例精讲 圆内接四边形性质的应用
例题 1：角度计算（基础应用）
如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，已知∠A = 110°，∠B = 80°，求∠C 和∠D 的度数。
解答：
由 “对角互补” 得：∠C = 180° - ∠A = 180° - 110° = 70°；
∠D = 180° - ∠B = 180° - 80° = 100°。
思路提炼：直接应用 “对角互补” 性质，将已知角代入计算未知角，注意角度和为 180° 的验证。
例题 2：外角与内对角的应用
如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，延长 AD 至 E，若∠CDE = 120°，∠B = 70°，求∠A 和∠C 的度数。
解答步骤：
∠CDE 是圆内接四边形的外角，其对应内对角为∠B（不相邻的对角），由 “外角等于内对角” 得：∠CDE = ∠B？ 修正：∠CDE 的内对角是∠B 吗？ 重新分析：延长 AD 至 E，∠CDE 是∠ADC 的邻补角，故∠ADC = 180° - 120° = 60°；
由 “对角互补” 得：∠B + ∠ADC = 180°？ 不对，∠B 的对角是∠ADC，故∠B + ∠ADC = 180°→ 70° + 60° = 130°≠180°，说明内对角判断错误。 正确：∠CDE 的内对角是∠B（延长 AD 至 E，∠CDE 与∠CAB 是内对角？ 重新梳理：圆内接四边形的外角是指 “一边延长后与另一边形成的角”，如延长 AB 至 E，∠CBE 是外角，对应内对角∠D；本题延长 AD 至 E，∠CDE 是外角，对应内对角是∠B（因∠CDE 与∠B 不相邻，且∠CDE + ∠CDA = 180°，∠B + ∠CDA = 180°，故∠CDE = ∠B）；
故∠B = ∠CDE = 120°？ 题目中∠B=70°，矛盾，说明题目条件需调整：若∠CDE=110°，则∠B=110°，∠ADC=180°-110°=70°，∠A=180°-∠C，∠C=180°-∠A，需补充条件。 修正题目：四边形 ABCD 内接于⊙O，延长 AB 至 E，∠CBE=50°，∠D=130°，求∠A 的度数。
修正解答：
∠CBE 是外角，对应内对角∠D，故∠CBE=∠D=50°（题目中∠D=130°，矛盾，重新设定：∠CBE=50°，则∠D=50°）；
由 “对角互补” 得：∠A + ∠C = 180°，∠B + ∠D = 180°→ ∠B = 180° - 50° = 130°；
∠CBE 是∠B 的邻补角，故∠CBE + ∠B = 180°→ 50° + 130° = 180°，验证正确；
若已知∠A=100°，则∠C=180°-100°=80°。
例题 3：综合应用（结合圆周角定理）
如图，AB 是⊙O 的直径，四边形 ABCD 内接于⊙O，∠BCD=130°，求∠ABD 的度数。
解答步骤：
∵ AB 是直径，∴ ∠ADB=90°（直径所对的圆周角为直角）；
由 “圆内接四边形对角互补” 得：∠A + ∠BCD = 180°→ ∠A = 180° - 130° = 50°；
在 Rt△ABD 中，∠ABD = 90° - ∠A = 90° - 50° = 40°。
思路提炼：融合 “直径所对圆周角为直角” 与 “圆内接四边形对角互补”，先求∠A，再利用直角三角形内角和求目标角，体现知识的综合关联。
第 7 页：拓展内容 圆内接四边形的判定（基础方法）
1. 判定方法 1：定义法
若四边形的四个顶点都在同一个圆上，则该四边形是圆内接四边形（需证明四点共圆，可通过 “不在同一直线上的三点确定一个圆，再证明第四点在圆上”）。
2. 判定方法 2：对角互补法（重要判定定理）
若一个四边形的对角互补（即一组对角之和为 180°），则该四边形内接于圆（四点共圆）。
证明思路：反证法，假设四边形不内接于圆，推出与 “对角互补” 矛盾的结论，故假设不成立，四边形内接于圆。
3. 判定方法 3：外角等于内对角法
若一个四边形的一个外角等于它的内对角，则该四边形内接于圆。
推导：由外角等于内对角，可推出对角互补，进而用 “判定方法 2” 证明四点共圆。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
对角判断错误：误将 “邻角互补” 当作圆内接四边形的性质（实际是对角互补，邻角不一定互补，如矩形邻角互补，但普通圆内接四边形邻角可能不互补）；
外角对应内对角混淆：误将 “外角的邻补角” 当作内对角（如延长 AB 至 E，∠CBE 的内对角是∠D，不是∠A）；
判定条件滥用：误将 “任意四边形都有外接圆” 当作真命题（实际只有对角互补的四边形才有外接圆）。
避坑技巧：
记忆性质时，用 “对角标序号”（如∠1 与∠3、∠2 与∠4 为对角），直观区分对角与邻角；
判断外角的内对角时，遵循 “外角不相邻的对角” 原则（延长某边后，与外角没有公共顶点的对角）；
判定四边形是否为圆内接四边形时，优先验证 “对角之和是否为 180°”，避免主观臆断。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）圆内接四边形 ABCD 中，∠A=85°，则∠C=°；若∠B=100°，则∠D=°。（答案：95，80）
（2）四边形 ABCD 内接于⊙O，延长 BC 至 E，若∠DCE=75°，则∠A=°，理由是。（答案：75，圆内接四边形的外角等于内对角）
中档题：
如图，圆内接四边形 ABCD 中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D 的度数。（答案：90°，提示：设∠A=2x，∠B=3x，∠C=4x，由∠A+∠C=180° 得 2x+4x=180°→x=30°，∠B=90°，∠D=180°-∠B=90°）
提升题：
如图，在△ABC 中，∠A=60°，以 BC 为直径作⊙O，若 AB、AC 分别交⊙O 于 D、E 两点，求证：四边形 BCED 是圆内接四边形，并求∠DOE 的度数。（答案：∠DOE=120°，提示：BC 为直径，∠BDC=∠BEC=90°，∠A+∠BDC+∠BEC+∠DCE=360°→∠DCE=120°，∠DOE=2∠DCE=240°？ 修正：∠DOE 是圆心角，对⌒DE，∠DCE 是圆周角，对⌒DE，故∠DOE=2∠DCE，∠DCE=180°-∠A=120°，故∠DOE=240°，或∠DOE=360°-240°=120°，需结合图形判断）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心定义：圆内接四边形是 “四个顶点共圆” 的四边形，需与 “三角形外接圆” 区分（三角形必共圆，四边形不一定）；
关键性质：对角互补（∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°）、外角等于内对角（外角 = 不相邻的对角）；
应用技巧：角度计算直接用 “对角互补”，外角问题优先找 “对应内对角”，综合题结合圆周角定理、直径性质等。
作业：
基础作业：教材习题 24.3 第 4、5、6 题（角度计算、性质证明）；
拓展作业：如图，圆内接四边形 ABCD 中，AB=AD，∠BAD=60°，求∠BCD 的度数（答案：120°，提示：△ABD 为等边三角形，∠ABD=∠ADB=60°，∠BCD=180°-∠BAD=120°）；
实践作业：用圆形纸片剪出一个圆内接四边形，测量四个内角的度数，验证 “对角互补” 性质，并记录测量结果。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
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24.3.2圆内接四边形
第24章　圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 什么是圆周角？
顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
O
A
B
C
复习引入
2. 什么是圆周角定理？
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.
圆内接四边形及其性质
观察图中的四边形，它有什么特点？
观察与思考
O
A
C
B
D
如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，那么这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
O
A
C
B
D
如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，⊙O 为四边形 ABCD 的外接圆. ∠A 与∠C，∠B 与∠D 之间
有什么关系？
问题1
猜想：
∠A +∠C = 180 ，
∠B +∠D = 180 .
如何证明你的猜想？
证明：
由于 和 所对的圆心角之和是周角为 360°，
故∠A＋∠C＝180°.
同理，得∠B＋∠D＝180°.
O
A
C
B
D
如图，延长 DC 到 E，∠A 与∠BCE 有什么关系？
问题2
O
A
C
B
D
E
解：∠A =∠BCE，理由如下：
∵∠A＋∠BCD = 180°，
∠BCE＋∠BCD = 180°，
∴∠A =∠BCE.
归纳总结
圆内接四边形的性质：
圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.
O
A
C
B
D
E
如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接四边形，∠A =
110°，∠B = 80°，则∠BCD = °，∠D = °，∠DCE = °.
70
100
练一练
A
E
C
D
B
110
O
解：设∠A，∠B，∠C 的度数分别等于 2x，3x，6x.
例1 在圆内接四边形 ABCD 中，∠A，∠B，∠C 的度数之比是 2︰3︰6. 求这个四边形各角的度数.
∵ 四边形 ABCD 内接于圆，
∴∠A +∠C =∠B +∠D = 180°，
∵ 2x + 6x = 180°，
∴ x = 22.5°.
∴∠A = 45°，∠B = 67.5°，∠C = 135°，
∠D = 180° - 67.5° = 112.5°.
典例精析
解析：∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形，
∴∠B＋∠ADC＝180°. ∵ 四边形 OABC
为平行四边形，∴∠AOC＝∠B. 又由题
意可知∠AOC＝2∠ADC，∴∠ADC＝
180°÷3＝60°. 连接 OD，则 AO＝OD＝
CO. ∴∠OAD＝∠ODA，∠OCD＝∠ODC.
∴∠OAD＋∠OCD＝∠ODA＋∠ODC＝∠ADC＝60°.
例2 如图，点 A，B，C，D 在⊙O 上，点 O 在∠D 的内部，四边形 OABC 为平行四边形，则∠OAD＋∠OCD = _____度．
60
如图，在⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠BOD＝120°，那么∠BCD＝ (　　)
A．120° B．100°
C．80° D．60°
解析：∵∠BOD＝120°，
∴∠A＝60°.
∴∠C＝180°－60°＝120°.
练一练
A
例3 如图，已知 A，B，C，D 是 ⊙O 上的四点，延长
DC，AB 相交于点 E. 若 BC＝BE. 求证：△ADE 是等腰三角形．
证明：∵ BC＝BE，∴∠BCE＝∠E.
∵ 四边形 ABCD 是圆内接四边形，
∴∠A＋∠DCB＝180°.
∵∠BCE＋∠DCB＝180°，
∴∠A＝∠BCE. ∴∠A＝∠E.
∴ AD＝DE.
∴△ADE 是等腰三角形.
1. 如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形，∠B = 70°，
则∠D 的度数是 ( )
A. 110° B. 90° C. 70° D. 50°
A
A
C
D
B
O
2. 若 ABCD 为圆内接四边形，则下列哪个选项可能成立
( )
A.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 1∶2∶3∶4
B.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 2∶1∶3∶4
C.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 3∶2∶1∶4
D.∠A∶∠B∶∠C∶∠D ＝ 4∶3∶2∶1
B
4. 若⊙O 的内接四边形 ABCD 中，∠A∶∠B∶∠C =
1∶2∶3 ，则∠D = °.
90
A
B
C
P
O
3. 如图，等边三角形 ABC 内接于
⊙O，P 是 上的一点，则
∠APC = °.
120
5. 在⊙O 中，∠CBD =30°，∠BDC =20°，求∠A.
O
A
B
D
C
解：∵∠CBD = 30°，∠BDC = 20°，
∴∠C = 180°－∠CBD－∠BDC = 130°.
∴∠A = 180°－∠C = 50°.
6. 如图，AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB 于 E，交⊙O 于
D，AF 交⊙O 于 G. 求证：∠FGD＝∠ADC.
证明：∵ 四边形 ACDG 内接于⊙O，
∴∠FGD＝∠ACD.
又∵ AB 为⊙O 的直径，CF⊥AB，
∴ AB 垂直平分 CD.
∴ AC＝AD.
∴∠ADC＝∠ACD.
∴∠FGD＝∠ADC.
7. 如图，⊙O 的内接四边形 ABCD 两组对边的延长线分
别交于点 E，F．
(1) 若∠E +∠F = α，求∠A 的度数(用含 α 的式子表示)；
∵∠E +∠F = α，
解：∵ 四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，
∴∠A =∠BCF .
∴∠A +∠E =∠EBF = 180°－∠BCF－∠F，
= 180°－∠A－∠F，
即 2∠A =180°－(∠E +∠F).
∴
(2) 若∠E +∠F = 60°，求∠A 的度数．
解：当 α = 60° 时，
返回
1．如图，点A，B，C，D都在⊙O上，顺次连接AB，BC，CD，DA，若∠C＝120°，则∠A的度数为(　　)
A．30°
B. 60°
C．90°
D．120°
B
A
返回
返回
C
3．[2024·吉林]如图，四边形ABCD内接于⊙O，过点B作BE∥AD，交CD于点E.若∠BEC＝50°，则∠ABC的度数是(　　)
A．50°
B. 100°
C. 130°
D. 150°
A
返回
5．[2024·盐城一模]如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点E在⊙O上，且∠ADC＝125°，则∠BEC的度数是(　　)
A．25°
B．55°
C．45°
D．35°
返回
【答案】 D
6．[2024·青岛一模]如图，⊙O的半径为2，四边形ADBC为⊙O的内接四边形，AB＝AC，∠D＝112.5°，则弦BC的长为________．
【点拨】如图所示，连接OB，OC，
∵四边形ADBC为⊙O的内接四边形，∠D＝112.5°，
∴∠ACB＝180°－∠D＝180°－112.5°＝67.5°.
返回
7．[2024·广元]如图，已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，E为AD延长线上的一点，∠AOC＝128°，则∠CDE＝(　　)
A．64°
B. 60°
C. 54°
D. 52°
A
返回
一个多边形所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角.
圆内接四边形
定义
定理
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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