24.4.1直线与圆的位置关系 课件(共26张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册

(共26张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.4.1 直线与圆的位置关系
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 位置分类 判定方法 切线初探
配图：左侧并列展示 “直线与圆相离、相切、相交” 三种示意图（分别标注 0 个、1 个、2 个公共点，圆心到直线距离 d 与半径 r 的关系），右侧为 “切线特写图”（标注 d=r、切线与半径垂直）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），掌握两种判定方法（公共点数量法、圆心到直线距离与半径比较法），了解切线的初步性质（切线与过切点的半径垂直）。
能力目标：能根据公共点数量或距离与半径的关系判断直线与圆的位置，通过逻辑推理验证切线性质，提升几何直观与数学运算能力。
素养目标：体会 “形（公共点）与数（距离、半径）” 的对应统一，感受直线与圆位置关系在生活中的应用，培养数形结合与转化思想。
第 3 页：情境导入 生活中的直线与圆位置关系
生活实例展示（配图 + 动态描述）：
日出过程：太阳（圆）从地平线（直线）下升起，初始时 “圆在直线下方，无公共点”（相离）→ 太阳边缘与地平线接触（1 个公共点，相切）→ 太阳部分露出（2 个公共点，相交）；
直尺与硬币：将直尺（直线）逐渐靠近圆形硬币（圆），初始时 “无接触（相离）”→ 刚好接触（相切）→ 直尺穿过硬币（相交）；
车轮与地面：正常行驶时，车轮（圆）与地面（直线）“刚好接触（相切）”，刹车时车轮滑动，可能出现 “部分重叠（相交）”。
思考提问：
直线与圆的公共点数量有几种可能？分别对应什么位置关系？
除了公共点数量，还能通过什么数量关系判断直线与圆的位置？
第 4 页：核心模块 1 直线与圆的位置关系分类（按公共点数量）
1. 三种位置关系定义
位置关系
公共点数量
定义
图形特征
对应名称
相离
0 个
直线与圆没有公共点，叫做直线与圆相离
直线在圆外，无交点
无（直线仅为普通直线）
相切
1 个
直线与圆有唯一公共点，叫做直线与圆相切
直线与圆 “刚好接触”，仅 1 个交点
直线叫做圆的切线，公共点叫做切点
相交
2 个
直线与圆有两个公共点，叫做直线与圆相交
直线穿过圆，有 2 个交点
直线叫做圆的割线，两个公共点间的线段叫做弦
2. 关键说明
“唯一公共点” 指 “有且只有一个公共点”，区别于 “最多一个公共点”（相离或相切）；
切线是 “与圆相切的直线”，是无限延伸的，切点是 “直线与圆的唯一公共点”，是一个点；
割线是 “与圆相交的直线”，割线在圆内的部分是弦（线段）。
3. 实例辨析
例 1：用直尺测量圆形纸片，若直尺与纸片无接触→ 相离；
例 2：用铅笔尖（模拟直线）轻轻接触圆形瓶盖，仅一个接触点→ 相切；
例 3：将细铁丝穿过圆形珠子，铁丝与珠子有两个接触点→ 相交。
第 5 页：核心模块 2 直线与圆位置关系的判定（按数量关系）
1. 核心概念：圆心到直线的距离
从圆的圆心到直线的垂线段的长度，叫做圆心到直线的距离，用字母 d 表示。
作图方法：过圆心 O 作直线 l 的垂线，垂足为 P，则线段 OP 的长度即为 d（d=OP）；
注意：d 是 “垂线段的长度”，非 “圆心到直线上任意一点的距离”（后者可能大于 d）。
2. 数量关系判定法则（设圆的半径为 r）
直线与圆的位置关系可通过 “圆心到直线的距离 d” 与 “圆的半径 r” 的大小比较来判定，具体对应关系如下：
位置关系
数量关系
逆判定（已知位置关系推数量关系）
相离
d > r
若直线与圆相离，则 d > r
相切
d = r
若直线与圆相切，则 d = r
相交
d < r
若直线与圆相交，则 d < r
3. 推导验证（以相切为例）
若 d = r：圆心到直线的距离等于半径，说明直线与圆有且只有一个公共点（垂足 P），故直线与圆相切；
若 d < r：圆心到直线的距离小于半径，说明直线与圆有两个公共点，故直线与圆相交；
若 d > r：圆心到直线的距离大于半径，说明直线与圆无公共点，故直线与圆相离。
4. 实例应用
例 1：⊙O 的半径 r=5cm，圆心 O 到直线 l 的距离 d=3cm→ d < r→ 直线 l 与⊙O 相交；
例 2：⊙O 的半径 r=4cm，直线 l 与⊙O 相切→ d = r=4cm；
例 3：⊙O 的半径 r=6cm，圆心 O 到直线 l 的距离 d=7cm→ d > r→ 直线 l 与⊙O 相离。
第 6 页：核心模块 3 切线的初步性质（相切位置的特殊性质）
1. 性质探究（动手操作 + 推理）
操作步骤：
画⊙O，作切线 l 切⊙O 于点 P（确保 l 与⊙O 仅 1 个公共点 P）；
连接 OP（过切点的半径），用三角板测量∠OPL 的度数（L 为直线 l 上任意一点，非 P）。
观察结论：∠OPL=90°，即 OP⊥l（过切点的半径与切线垂直）。
2. 切线的性质定理（初步）
圆的切线垂直于过切点的半径。
符号语言：如图，直线 l 是⊙O 的切线，P 是切点，OP 是⊙O 的半径，则 OP⊥l。
证明（反证法）：
假设 OP 与 l 不垂直，过 O 作 OQ⊥l 于 Q，则 OQ < OP（垂线段最短）；
∵ OP=r，∴ OQ 故假设不成立，OP⊥l。
3. 推论（切线性质的延伸）
经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点（若直线过 O 且⊥l，则直线过 P）；
经过切点且垂直于切线的直线，必经过圆心（若直线过 P 且⊥l，则直线过 O）。
应用：可用于 “找圆心”（已知切线和切点，作切线的垂线即过圆心）或 “找切点”（已知圆心和切线，作圆心到切线的垂线即得切点）。
第 7 页：典例精讲 直线与圆位置关系的判定与应用
例题 1：根据距离与半径判断位置关系
已知⊙O 的半径 r=5，圆心 O 到直线 l 的距离 d 分别为以下值，判断直线 l 与⊙O 的位置关系：
（1）d=4；（2）d=5；（3）d=6。
解答：
（1）∵ d=4 < r=5→ 直线 l 与⊙O 相交；
（2）∵ d=5 = r=5→ 直线 l 与⊙O 相切；
（3）∵ d=6 > r=5→ 直线 l 与⊙O 相离。
例题 2：结合几何图形求距离与半径
如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以 C 为圆心、r 为半径画圆，当 r 为何值时，⊙C 与 AB 相切？
解答步骤：
求圆心 C 到直线 AB 的距离 d（即 AB 边上的高）；
由勾股定理得 AB=√(AC +BC )=√(3 +4 )=5；
由三角形面积公式：S△ABC=(1/2) AC×BC=(1/2) AB×d→ d=(3×4)/5=12/5=2.4；
∵ 直线 AB 与⊙C 相切 d=r→ r=2.4。
例题 3：切线性质的应用（求线段长度）
如图，直线 l 切⊙O 于点 P，OP=6cm（半径），OQ⊥l 于 Q，且 OQ=10cm，求 PQ 的长。
解答步骤：
∵ 直线 l 是⊙O 的切线，P 是切点，∴ OP⊥l（切线性质定理）；
又∵ OQ⊥l，∴ OP 与 OQ 在同一条直线上（过一点有且只有一条直线与已知直线垂直）；
在 Rt△OPQ 中，OP=6cm，OQ=10cm，由勾股定理得 PQ=√(OQ -OP )=√(10 -6 )=8cm。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
混淆 “切线” 与 “切点”：误将 “切点”（点）当作 “切线”（直线），或反之（如 “直线 P 是切线” 表述错误，应为 “直线 l 是切线，P 是切点”）；
距离计算错误：误将 “圆心到直线上某点的距离” 当作 d（d 必须是 “垂线段长度”，非任意线段长度）；
切线性质条件遗漏：误说 “切线垂直于圆的任意半径”（仅垂直于 “过切点” 的半径，其他半径不垂直于切线）。
避坑技巧：
表述时明确 “切线是直线，切点是点”，避免概念混淆；
计算 d 时，严格遵循 “过圆心作直线的垂线，垂线段长度即为 d” 的定义，必要时用面积法或勾股定理计算；
应用切线性质时，强调 “过切点的半径”，可在图中标注 “半径与切线垂直的直角符号”。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）⊙O 的半径 r=3cm，圆心 O 到直线 l 的距离 d=2cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系是______，公共点数量为______个。（答案：相交，2）
（2）直线 l 是⊙O 的切线，切点为 P，⊙O 的半径为 5cm，则圆心 O 到直线 l 的距离为______cm。（答案：5）
中档题：
如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的圆心在原点 (0,0)，半径 r=4，直线 l 的解析式为 y=x+4√2，判断直线 l 与⊙O 的位置关系，并说明理由。（答案：相切，理由：圆心 O 到直线 l 的距离 d=|0-0+4√2|/√(1 +(-1) )=4√2/√2=4=r）
提升题：
如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，B 为切点，OC 交⊙O 于 D，连接 AD，若∠OCB=40°，求∠A 的度数。（答案：25°，提示：BC 是切线→ OB⊥BC→ ∠OBC=90°，∠BOC=50°，∠A=1/2∠BOC=25°）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
直线与圆的三种位置关系：相离（d>r，0 个公共点）、相切（d=r，1 个公共点，切线与过切点的半径垂直）、相交（d两种判定方法：公共点数量法（直观）、距离与半径比较法（精确）；
切线初步性质：切线垂直于过切点的半径，推论可用于找圆心或切点。
作业：
基础作业：教材习题 24.4 第 1、2、3 题（位置关系判定、切线性质应用）；
拓展作业：如图，在△ABC 中，AB=AC=5cm，BC=6cm，以 A 为圆心、r 为半径画圆，当 r 为何值时，⊙A 与 BC 相切？（答案：r=4cm，提示：作 AD⊥BC 于 D，AD=4cm）；
实践作业：观察生活中的切线现象（如刀刃与圆形食材、车轮与地面），记录 3 个实例，并指出切线与半径的位置关系。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
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24.4.1直线与圆的位置关系
第24章　圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
点和圆的位置关系有几种？
复习引入
点 P 在⊙O 内
r
P
d
d
＜
r
P
r
d
点 P 在⊙O 上
d
r
=
P
r
d
点 P 在⊙O 外
d
＞
r
O
O
O
用定义判断直线与圆的位置关系
在纸上画一条直线 l，把圆形瓶盖的边缘看作圆，在纸上移动瓶盖，直线和圆的公共点的个数是否发生变化？公共点的个数最少时有几个？最多时有几个？
●
●
●
l
观察与思考
直线与圆在不同位置关系下的公共点个数 图形
公共点个数
2 个
1 个
0 个
位置关系
公共点个数
根据你的发现填表：
知识要点
(2) 如果直线与圆只有一个公共点，
这时直线与圆的位置关系叫做相
切，这条直线叫做圆的切线，这
个公共点叫做切点.
(1) 如果直线与圆有两个公共点，这
时直线与圆的位置关系叫做相交，
这条直线叫做圆的割线.
(3) 如果直线与圆没有公共点，这时
直线与圆的位置关系叫做相离.
O
O
O
1. 直线与圆最多有两个公共点.
2. 若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上.
3. 若 A 是⊙O 上一点，则直线 AB 与⊙O 相切.
4. 若 C 为⊙O 外一点，则过点 C 的直线与⊙O 相交
或相离.
5. 直线 a 和⊙O 有公共点，则直线 a 与⊙O 相交.
判断正误：
√
×
×
×
×
练一练
圆与直线从相交到相离的过程中，除了公共点的个数发生了变化外，还有什么量在改变？
用数量关系判断直线与圆的位置关系
观察与思考
它与圆的半径有什么样的数量关系呢？
O
O
O
l
l
l
怎样用圆心到直线的距离 d 来判定直线 l 与⊙O 的位置关系呢？
O
思考：
d
l
直线和圆相交
d < r
直线和圆相切
d = r
直线和圆相离
d > r
r
d
r
d
r
d
位置关系
数量关系
用圆心 O 到直线 l 的距离 d 与圆的半径 r 的关系来判断直线与圆的位置关系：
o
o
o
知识要点
l
l
l
1. 已知圆的半径为 6 cm，设直线和圆心的距离为 d ：
(3) 若 d = 8 cm，则直线与圆______，直线与圆有____
个公共点.
(2) 若 d = 6 cm，则直线与圆______，直线与圆有____
个公共点；
(1) 若 d = 4 cm，则直线与圆　　　，直线与圆有____
个公共点；
相交
相切
相离
2
1
0
练一练
2. 已知⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O 与直线 AB 的距离
为 d，根据条件填写 d 的取值范围：
(1) 若 AB 和⊙O 相离，则 ；
(2) 若 AB 和⊙O 相切，则 ；
(3) 若 AB 和⊙O 相交，则 .
d > 5 cm
d = 5 cm
0 cm ≤ d < 5 cm
例1 如图，Rt△ABC 的斜边 AB = 10 cm，∠A = 30°.
(1) 以点 C 为圆心，当半径为多少时，AB 与☉C 相切？
解： 过点 C 作边 AB 上的高 CD.
D
∵∠A = 30°，AB = 10 cm，
在 Rt△BCD中，
∴当半径为 时，AB 与☉C 相切.
A
C
B
典例精析
∴∠B = 60°，
(2) 以点 C 为圆心、半径 r 分别为 4 cm 和 5 cm 作两个
圆，这两个圆与直线 AB 分别有怎样的位置关系？
当 r = 4 cm 时，d＞r，故⊙C 与直线 AB 相离；
当 r = 5 cm 时，d＜r，故⊙C 与直线 AB 相交.
解：由 (1) 可知圆心 C 到 AB 的距离
B
C
A
4
3
1. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，
以 C 为圆心，r 为半径的圆与 AB 有怎样的位置关系？
(1) r = 2 cm； (2) r = 2.4 cm； (3) r = 3 cm．
D
练一练
解：过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.
在△ABC 中，
AB =
5.
由面积公式，得
∴
(1) 当 r = 2 cm 时，
d > r，
故⊙C 和 AB 相离；
(2) 当 r = 2.4 cm 时，d = r，
故⊙C 和 AB 相切；
(3) 当 r = 3 cm 时，d < r，
故⊙C 和 AB 相交.
即圆心 C 到 AB 的距离 d = 2.4 cm.
B
C
A
4
3
D
A
B
C
A
D
2. Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以
C 为圆心画圆.
(1) 当半径 r 为何值时，⊙C 与线段 AB 有一个公共点？
(2) 当半径 r 为何值时，⊙C 与线段 AB 有两个公共点？
(3) 当半径 r 为何值时，⊙C 与线段 AB 没有公共点？
(3) 当 0 cm＜r＜2.4 cm 或 r＞4 cm 时，⊙C与线段 AB 没有公共点.
解：(1) 当 r = 2.4 cm 或 3 cm≤r＜4 cm 时，
⊙C 与线段 AB 有一个公共点.
(2) 当 2.4 cm＜r≤3 cm 时，⊙C 与线段 AB有两个公共点.
例2 如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与 y 轴相切于原点 O，平行于 x 轴的直线交 ⊙A 于 M、N 两点．若点 M的坐标是 (－4，－2)，则点 N 的坐标为 (　　)
A．(－1，－2) B．(1，－2)
C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)
解析：过点 A 作 AQ⊥MN 于点 Q，连
接 AN，设半径为 r，则有 AQ＝2，AN
＝AO＝r，NQ＝MQ＝4－r．由勾股定
理得 r2＝4＋(4－r)2，解得 r＝2.5．故
NQ＝4－2.5＝1.5．2.5－1.5＝1，所以点 N (－1，－2)．
A
Q
.O
.
O
.O
.O
.O
1. 看图判断直线 l 与☉O 的位置关系：
相离
相交
相切
相交

相交
l
l
l
l
l
2. 直线和圆相交，圆的半径为 r，且圆心到直线的距离
为 5，则有 （ ）
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
3. ☉O 的半径为 5，直线 l 上的一点 P 到圆心 O 的距离
是 5，则直线 l 与☉O 的位置关系是 （ ）
A. 相交或相切 B. 相交或相离
C. 相切或相离 D. 上三种情况都有可能
B
A
解析：分两种情况讨论：(1)OP⊥l，则圆心到直线 l 的距离为 5，此时直线 l 与⊙O 相切；(2)OP 与直线 l 不垂直，则圆心到直线的距离小于 5，此时 l 与⊙O 相交.
5. ☉O 的最大弦长为 8，若圆心 O 到直线 l 的距离 d =
5，则直线 l 与☉O 的位置关系是 .
相离
4. 已知圆的半径等于 5，直线 l 与圆没有公共点，则圆
心到直线 l 的距离 d 的取值范围是________．
d ＞5
6. 如图，∠ABC＝80°，O 为射线 BC 上一点，以点 O 为
圆心， OB 长为半径作 ⊙O，要使射线 BA 与⊙O 相
切，应将射线 BA 绕点 B 按
顺时针方向旋转 (　　)
A．40° 或 80°
B．50° 或 100°
C．50° 或 110°
D．60° 或 120°
C
7. 如图，M 是 OB 上的一点，且 OM = 5 cm，以 M 为
圆心，半径 r = 2.5 cm 作⊙M. 试问：过 O 的射线 OA
与 OB（OA 在 OB 的上方）所夹的锐角 α 取什么值时
射线 OA 与⊙M (1) 相离；(2) 相切；(3) 相交？
O
B
A
M
5
α
解：(1)30°＜α＜90°.
(2) α = 30°.
(3) α＜30°.
8. 已知 ⊙O 的半径为 R，点 O 到直线 m 的距离为 d，R、
d 是方程 x2－2x＋a＝0 的两根，当直线 m 与⊙O 相切
时，求 a 的值．
解：∵直线 m 与 ⊙O 相切，
∴ d ＝R，即方程 x2－2x＋a＝0 有两个相等的根.
∴ Δ＝4－4a＝0．
∴ a＝1.
直线与圆的位置关系
定义
性质
判定
相离
相切
相交
公共点的个数
d 与 r 的数量关系
定义法
性质法
特别提醒：若图中没有 d 要先作出该垂线段
相离：0个
相切：1个
相交：2个
相离：d>r 相切：d=r
相交：d0个：相离；1个：相切；2个：相交
d>r：相离
d=r：相切
d必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！