24.4.2切线的性质和判定 课件(共39张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 24.4.2切线的性质和判定 课件(共39张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 07:42:54 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.4.2 切线的性质和判定
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 性质体系 判定定理 综合应用
配图：左侧为 “切线性质示意图”（切线 l⊥过切点 P 的半径 OP，标注辅助线作法），右侧为 “切线判定示意图”（直线 l 过半径 OA 外端 A 且 l⊥OA，标注判定条件）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：掌握切线的完整性质（切线垂直过切点的半径、切线到圆心距离等于半径等），理解并能证明切线的两个判定定理（距离法、垂直法），明确性质与判定的区别与联系。
能力目标：能运用切线性质解决 “线段计算、角度证明” 问题，能根据不同条件选择合适的判定方法证明直线是圆的切线，提升几何推理与综合分析能力。
素养目标：体会 “性质与判定的互逆关系”，感受切线在几何证明中的核心作用，培养数形结合、分类讨论思想，规范几何证明的语言表达。
第 3 页：情境导入 切线的性质与判定关联
复习回顾：
上节课学习了切线的初步性质（切线垂直于过切点的半径）和位置关系判定（d=r 时直线与圆相切），思考：如何反向证明一条直线是圆的切线？切线还有哪些隐含性质？
生活情境（配图）：
工人检测圆形工件：用直角三角板的一条直角边紧贴工件边缘（直线），另一条直角边过圆心，若直角顶点与工件边缘重合，则直线是切线；
雨伞伞骨：伞面边缘的直线（伞骨延长线）与伞面的圆形轮廓相切，伞骨（过圆心）与边缘直线垂直。
思考提问：
除了 “d=r”，还有哪些条件能判定直线是圆的切线？
切线除了 “垂直过切点的半径”，还有哪些衍生性质？
第 4 页：核心模块 1 切线的完整性质体系
1. 核心性质（已学深化）
性质 1：切线垂直于过切点的半径
符号语言：若直线 l 是⊙O 的切线，P 是切点，则 OP⊥l（OP 为⊙O 半径）。
延伸理解：这是切线最根本的性质，所有其他性质均由此推导而来，且该性质具备 “唯一性”—— 过圆心垂直于切线的直线必过切点，过切点垂直于切线的直线必过圆心。
2. 衍生性质（拓展补充）
性质类别
具体内容
符号语言 / 图示
应用场景
距离性质
切线到圆心的距离等于圆的半径
若 l 是⊙O 切线，则 d=OP=r（d 为 O 到 l 的距离）
计算半径、距离
线段性质
从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等
点 P 在⊙O 外，PA、PB 是切线，则 PA=PB
线段相等证明、周长计算
角度性质
从圆外一点引圆的两条切线，圆心和该点的连线平分两条切线的夹角
点 P 在⊙O 外，PA、PB 是切线，则∠APO=∠BPO
角度平分、对称问题
3. 性质应用技巧（辅助线作法）
遇切线问题，优先作 “过切点的半径”，构造直角（90° 角），为计算或证明提供条件；
若已知圆外一点引两条切线，连接 “圆心与该点”“圆心与两个切点”，形成等腰三角形（如△PAB，PA=PB）和直角三角形（如 Rt△OPA）。
第 5 页：核心模块 2 切线的判定定理
1. 判定定理 1：距离法（从位置关系推导）
定理内容：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线。
符号语言：设⊙O 半径为 r，O 到直线 l 的距离为 d，若 d=r，则 l 是⊙O 的切线。
证明思路：
过 O 作 OP⊥l 于 P，则 OP=d=r；
点 P 在⊙O 上（到圆心距离等于半径的点在圆上）；
直线 l 过圆上点 P 且 OP⊥l，故 l 与⊙O 有且只有一个公共点 P，即 l 是⊙O 的切线。
适用场景：已知或可计算 “圆心到直线的距离”，且直线与圆的公共点不明确时（无需确定切点）。
2. 判定定理 2：垂直法（从线线垂直推导）
定理内容：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
关键词解析：
“经过半径的外端”：直线与半径的垂足在圆上（排除 “垂足在圆内” 的情况，确保直线与圆有公共点）；
“垂直于这条半径”：直线与半径的夹角为 90°（满足切线的核心性质）。
符号语言：若 OA 是⊙O 半径，直线 l 经过 A 点且 l⊥OA，则 l 是⊙O 的切线。
证明（反证法）：
假设 l 不是⊙O 的切线，则 l 与⊙O 有两个交点或无交点；
若有两个交点，A 为其中一点，OA=r，过 O 作 OQ⊥l 于 Q，则 OQ若无交点，则 OQ>r，也与 OQ=OA=r 矛盾；故假设不成立，l 是⊙O 的切线。
适用场景：已知直线过圆上某一点（可连接该点与圆心形成半径），需证明直线与该半径垂直。
3. 判定方法对比与选择
判定方法
适用条件
关键步骤
优点
距离法
直线与圆公共点不明确，可计算距离 d
1. 计算 d；2. 比较 d 与 r；3. 得出结论
无需找公共点，计算简洁
垂直法
直线过圆上已知点（如 A 点）
1. 连接 OA（半径）；2. 证明 l⊥OA；3. 得出结论
直接利用线线垂直，逻辑清晰
第 6 页：典例精讲 1 切线性质的综合应用
例题 1：切线性质与勾股定理结合
如图，PA、PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A、B，OP=10cm，∠APB=60°，求⊙O 的半径 OA 和切线长 PA。
解答步骤：
由切线性质知：PA=PB，OP 平分∠APB，OA⊥PA；
∴ ∠APO=∠APB/2=30°，△OPA 是直角三角形（∠OAP=90°）；
在 Rt△OPA 中，∠APO=30°，OP=10cm，∴ OA=OP/2=5cm（30° 角所对直角边等于斜边一半）；
由勾股定理得：PA=√(OP - OA )=√(10 - 5 )=5√3 cm。
例题 2：切线性质与圆周角定理结合
如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为 C，CD∥AB，连接 AC，求证：∠BAC=45°。
解答步骤：
连接 OC（过切点 C 的半径），由切线性质得：OC⊥CD；
∵ CD∥AB，∴ OC⊥AB（若一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条）；
∵ OA=OC（⊙O 半径），∴ △OAC 是等腰直角三角形（∠AOC=90°）；
∴ ∠BAC=∠OCA=(180°-90°)/2=45°。
第 7 页：典例精讲 2 切线判定的两种方法应用
例题 3：距离法判定切线
如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以 C 为圆心、r=4.8 为半径画圆，求证：AB 是⊙C 的切线。
解答步骤：
过 C 作 CD⊥AB 于 D（D 为垂足），需证明 CD=r=4.8；
由勾股定理得 AB=√(AC +BC )=√(6 +8 )=10；
由三角形面积公式：S△ABC=(1/2) AC×BC=(1/2) AB×CD；
代入数据：(1/2)×6×8=(1/2)×10×CD→ CD=48/10=4.8=r；
∴ 圆心 C 到 AB 的距离 d=CD=r，故 AB 是⊙C 的切线。
例题 4：垂直法判定切线
如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，BD=BA，点 C 在 AB 的延长线上，且∠BCD=∠BDA，求证：CD 是⊙O 的切线。
解答步骤：
连接 OD（需证明 CD⊥OD，且 D 在⊙O 上，即 OD 是半径）；
∵ BD=BA，∴ △ABD 是等腰三角形，∠BDA=∠BAD；
∵ AB 是⊙O 直径，∴ ∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角），故∠BAD=∠BDA=45°；
∵ OA=OD（半径），∴ ∠ODA=∠BAD=45°，∴ ∠DOB=∠ODA+∠BAD=90°；
已知∠BCD=∠BDA=45°，∠DBC=∠ABD=45°（对顶角或等腰三角形性质），∴ △BCD 是等腰直角三角形，∠CDB=90°；
∵ ∠DOB=90°，∠CDB=90°，四边形 ODBC 内角和 360°，∴ ∠ODC=360°-90°-90°-90°=90°（或通过角度转化直接证明 OD⊥CD）；
∵ OD 是⊙O 半径，CD⊥OD，且 D 在⊙O 上，故 CD 是⊙O 的切线。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
切线判定条件遗漏：
用垂直法时，仅证明 “直线垂直于半径”，忽略 “直线过半径外端”（如直线垂直于半径但垂足在圆内，不是切线）；
用距离法时，误将 “圆心到直线上某点的距离” 当作 d（d 必须是垂线段长度）。
切线性质应用混淆：
误将 “切线垂直于任意半径” 当作性质（仅垂直于 “过切点” 的半径，其他半径不垂直）；
从圆外一点引切线时，忘记 “切线长相等” 的性质，导致线段计算错误。
辅助线作法错误：
证明切线时，未连接 “过已知点的半径”（垂直法必备步骤）；
利用切线性质时，未作 “过切点的半径”，无法构造直角三角形。
避坑技巧：
判定切线时，按 “条件分类”：已知公共点用垂直法（连半径、证垂直），未知公共点用距离法（算距离、比半径）；
应用性质时，牢记 “三要素”：切线、过切点的半径、垂直关系，三者缺一不可；
复杂题目中，用 “标注法”：在图中标注已知条件（如直角符号、相等线段），明确辅助线作法（如 “连接 OA”“作 OD⊥AB”）。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）已知 PA 是⊙O 的切线，切点为 A，OA=5cm，则 OP 的最小值为______cm（P 为直线 PA 上任意一点），理由是______。（答案：5，垂线段最短，OA⊥PA）
（2）如图，直线 l 过⊙O 半径 OA 的外端 A，且 l⊥OA，若 OA=3cm，则圆心 O 到直线 l 的距离为______cm，直线 l 与⊙O 的位置关系是______。（答案：3，相切）
中档题：
如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作⊙O，交 BC 于 D，过 D 作 DE⊥AC 于 E，求证：DE 是⊙O 的切线。（提示：连接 OD，证明 OD⊥DE，OD∥AC，DE⊥AC→ OD⊥DE）
提升题：
如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，BC 是⊙O 的直径，连接 AB、AC、OP，若∠APB=60°，PA=2√3，求 AC 的长。（答案：AC=2，提示：先求⊙O 半径 OA=2，BC=4，△ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，∠ABC=30°→ AC=BC/2=2）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
切线性质：核心是 “切线垂直过切点的半径”，衍生出 “距离等于半径、切线长相等、圆心连线平分夹角” 等性质，辅助线关键是 “连过切点的半径”；
切线判定：两种方法 —— 距离法（d=r）、垂直法（过半径外端且垂直半径），需根据公共点是否明确选择；
核心关联：切线的性质与判定是互逆关系，性质是 “已知切线推垂直”，判定是 “已知垂直 / 距离推切线”。
作业：
基础作业：教材习题 24.4 第 4、5、6 题（切线性质计算、判定证明）；
拓展作业：如图，AB 是⊙O 的直径，点 E 在 AB 的延长线上，EC 切⊙O 于 C，若∠AEC=30°，EC=3，求⊙O 的半径和 AE 的长（答案：半径 =√3，AE=3√3）；
实践作业：用硬纸板制作一个圆形模型，用直尺模拟切线，验证 “切线垂直过切点的半径” 性质，并记录验证过程。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.4.2切线的性质和判定
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为圆的切线呢？学完这节课，你就都会明白.
如图，如果直线 l 是 ⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？如何证明？
A
l
O
切线的性质定理
观察与思考
证明：当直线 l 与⊙O 相切时，设切点为 A，连接 OA.
在直线 l 上任取一个不同于点 A 的点 B，连接 OB.
因为点 B 在 ⊙O 外，所以 OB＞OA.
这就是说，OA 是点 O 到直线 l 上
任一点的连线中最短的，
所以 OA 是点 O 到直线 l 的垂线段，
即 OA⊥l.
于是我们可以得到：
切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径.
B
A
O
l
A
l
O
∵ 直线 l 是 ⊙O 的切线，A 是切点，
∴ l⊥OA.
切线性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式：
知识要点
如图，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线 MN 与⊙O 相切于点 B，若∠ABN = 30°，则∠AOB = °.
60
练一练
A
B
N
O
M
典例精析
例1 如图，点 O 是∠BAC 的边 AC 上的一点，⊙O 与边 AB 相切于点 D，与线段 AO 相交于点 E，若点 P 是⊙O 上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC 的度数为 ( )
A．20° B．35° C．55° D．70°
解析：连接 OD，如图.
∵⊙O 与边 AB 相切于点 D，
∴ OD⊥AD. ∴∠ADO＝90°.
∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°.
∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.
A
例2 如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O 交于 B、C 两点，∠P＝30°，连接 AO、AB、AC.
(1) 求证：△ACB≌△APO；
O
A
B
P
C
∴△ACB≌△APO（ASA）.
证明：∵ PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点，
∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°.
又∵ OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形.
∴ AB＝AO，∠ABO＝∠AOB.
又∵ BC 为 ⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°＝∠OAP.
∴∠OAP＝90°.
(2) 若 AP＝ ，求 ⊙O 的半径．
∴ AO＝AP·tan30°＝1，
即 ⊙O 的半径为 1.
解：在 Rt△AOP 中，∠P＝30°，AP＝ ，
O
A
B
P
C
已知 ⊙O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作 ⊙O 的切线？
作法：1. 连接 OA；
2. 过点 A 作直线 BC⊥OA.
则直线 BC 即为所作.
观察与思考
为什么直线 BC 即为所作呢？
B
C
.A
O
切线的判定定理
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
∵ OA 为⊙O 的半径，
BC⊥OA 于 A，
∴ BC 为⊙O 的切线.
A
B
C
切线判定定理
应用格式
O
知识要点
利用切线的判定定理，判断下列各直线是不是圆的切线，如果不是，请说明理由.
O.
O
O
(1)
(2)
(3)
(1) 不是，因为没有垂直.
(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点.
练一练
“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
判断一条直线是一个圆的切线有三种方法：
1. 定义法：直线和圆只有一个公共点
时，我们说这条直线是圆的切线.
2. 数量关系法：圆心到这条直线的距
离等于半径 (即 d = r) 时，直线与
圆相切.
3. 判定定理：经过半径外端点且垂直
于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
知识要点
例3 如图,∠ABC = 45°，AB 是☉O 的直径，AB = AC.
求证：AC 是 ☉O 的切线.
提示：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证出 AB 垂直于 AC 即可.
证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°，
∴∠ACB =∠ABC = 45°.
∴∠BAC =180° -∠ABC -∠ACB = 90°.
∴ AC⊥OA.
∴ AC 是 ☉O 的切线.
A
O
C
B
∵ OA 是 ☉O 的半径，
例4 已知：直线 AB 经过☉O 上的点 C，并且 OA = OB，CA = CB. 求证：直线 AB 是☉O 的切线.
O
B
A
C
提示：由于 AB 过☉O 上的点 C，所以连接 OC，只要证明 OC⊥AB 即可.
证明：连接 OC，如图.
∵ OA＝OB，CA＝CB，
∴ 在等腰△OAB 中，OC⊥AB.
∵ OC 是⊙O 的半径，
∴ AB 是⊙O 的切线.
例5 如图，△ABC 中，AB＝AC ，O 是 BC 的中点，⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线．
B
O
C
E
A
提示：根据切线的判定定理，要证明 AC 是 ⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OF 是 ⊙O 的半径就可以了，而 OE 是 ⊙O 的半径，因此只需要证明 OF = OE.
F
证明：连接 OE ，OA，过 O 作 OF⊥AC，如图.
∵ ⊙O 与 AB 相切于 E，∴ OE⊥AB.
在△ABC 中，∵ AB＝AC ，O 是 BC 的中点．
∴ AO 平分∠BAC.
∴ OE＝OF.
∴ AC 是 ⊙O 的切线．
又∵ OE⊥AB ，OF⊥AC，
∵ OE 为 ⊙O 的半径，
∴ OF 为 ⊙O 的半径.
B
O
C
E
A
F
如图，已知直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA＝OB，CA＝CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
C
B
A
O
如图，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O 的直径为 6. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
C
B
A
O
通过对比，你能得出什么结论？
作垂直
连接
方法归纳
(1) 有公共点，连圆心，证垂直 (如：例 4)；
(2) 无公共点，作垂直，证半径 (如：例 5).
证切线时辅助线的添加方法：
已知切线时常见辅助线的添加方法：
见切线，连切点，得垂直 (如：例 1).
要点归纳
1. 判断下列命题是否正确.
(1) 经过半径外端点的直线是圆的切线. （ ）
(2) 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
(3) 过直径的端点并且垂直于这条直径的直线是圆
的切线. （ ）
(4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
(5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（ ）
×
×
√
√
√
2. 如图，A 是 ☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP =
12，则 PA 与 ☉O 的位置关系是 .
A
P
O
相切
3. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，
∠BCD = 120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于
点 P，则∠ADP 的度数为 （ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
C
P
O
D
A
B
C
4. 如图，PB 切 ☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O
的半径是多少？
O
P
B
A
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则
OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
在 Rt△OBP 中，
OB2 + PB2 = PO2，
即 r2 + 42 = (2 + r)2.
解得 r = 3，
即 ⊙O 的半径为 3.
O
A
B
C
E
P
5. 如图，△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是⊙O 的切线.
证明：连接 OP，如图.
∵ AB = AC，∴∠B =∠C.
∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB.
∴∠OPB =∠C.
∴ OP∥AC.
∵ PE⊥AC， ∴ PE⊥OP.
∴ PE为⊙O 的切线.
6. 如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为
圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M. 求证：
CD 与⊙O相切.
证明：连接 OM，过点 O 作 ON⊥ CD 于点 N，如图.
∵ ⊙O 与 BC 相切于点 M，
∴ OM⊥BC.
又∵ ON⊥CD，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，∴ OM＝ON.
∴ CD 与 ⊙O 相切．
M
N
7. 已知：△ABC 内接于 ☉O，过点 A 作直线 EF.
(1) 如图1，AB 为直径，要使 EF 为☉O 的切线，还需
添加的一个条件是（只需写出两种情况）：
① ___________；② ____________.
(2) 如图2，AB 是非直径的弦，
∠CAE =∠B，求证：EF
是☉O 的切线.
BA⊥EF
∠CAE =∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
证明：如图，连接 AO 并延长交 ☉O 于 D，连接 CD，则 AD 为 ☉O 的直径.
∴ ∠D +∠DAC = 90°.
∵ ∠D 和 ∠B 都是 所对的圆周角，
∴ ∠D =∠B.
又∵ ∠CAE =∠B，
∴ ∠D = ∠CAE.
∴ ∠CAE + ∠DAC = 90°，即 AD⊥EF.
∴ EF 是 ☉O 的切线.
A
F
E
O
B
C
图2
D
1．[2024·浙江]如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC.已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为________．
40°
115
返回
【点拨】如图，连接OC.
∵DC切⊙O于C，∴∠DCO＝90°.
又∵∠D＝40°，∴∠COB＝∠D＋∠DCO＝130°.
2
返回
4．[2024·合肥蜀山区二模]如图，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若AM＝1，BM＝5则AD＝________．
1.5
【点拨】如图，连接CO.
∵AM＝1，BM＝5，
∴AB＝6.∴OA＝OB＝OC＝3.
∵CD为⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠DCO＝∠CMO＝90°.
返回
5．如图，已知△POM，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线是( )
A．∠O＋∠P＝90°
B．∠O＋∠P＝∠OMP
C．OM2＋PM2＝OP2
D．点N是OP的中点
切线的
判定
定义法
数量关系法
判定定理
1 个公共点，则相切
d = r，则相切
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的
性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连圆心，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径
有 1 个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线添加方法：
见切线，连切点，得垂直
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：24.4.2 切线的性质和判定
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 性质体系 判定定理 综合应用
配图：左侧为 “切线性质示意图”（切线 l⊥过切点 P 的半径 OP，标注辅助线作法），右侧为 “切线判定示意图”（直线 l 过半径 OA 外端 A 且 l⊥OA，标注判定条件）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：掌握切线的完整性质（切线垂直过切点的半径、切线到圆心距离等于半径等），理解并能证明切线的两个判定定理（距离法、垂直法），明确性质与判定的区别与联系。
能力目标：能运用切线性质解决 “线段计算、角度证明” 问题，能根据不同条件选择合适的判定方法证明直线是圆的切线，提升几何推理与综合分析能力。
素养目标：体会 “性质与判定的互逆关系”，感受切线在几何证明中的核心作用，培养数形结合、分类讨论思想，规范几何证明的语言表达。
第 3 页：情境导入 切线的性质与判定关联
复习回顾：
上节课学习了切线的初步性质（切线垂直于过切点的半径）和位置关系判定（d=r 时直线与圆相切），思考：如何反向证明一条直线是圆的切线？切线还有哪些隐含性质？
生活情境（配图）：
工人检测圆形工件：用直角三角板的一条直角边紧贴工件边缘（直线），另一条直角边过圆心，若直角顶点与工件边缘重合，则直线是切线；
雨伞伞骨：伞面边缘的直线（伞骨延长线）与伞面的圆形轮廓相切，伞骨（过圆心）与边缘直线垂直。
思考提问：
除了 “d=r”，还有哪些条件能判定直线是圆的切线？
切线除了 “垂直过切点的半径”，还有哪些衍生性质？
第 4 页：核心模块 1 切线的完整性质体系
1. 核心性质（已学深化）
性质 1：切线垂直于过切点的半径
符号语言：若直线 l 是⊙O 的切线，P 是切点，则 OP⊥l（OP 为⊙O 半径）。
延伸理解：这是切线最根本的性质，所有其他性质均由此推导而来，且该性质具备 “唯一性”—— 过圆心垂直于切线的直线必过切点，过切点垂直于切线的直线必过圆心。
2. 衍生性质（拓展补充）
性质类别
具体内容
符号语言 / 图示
应用场景
距离性质
切线到圆心的距离等于圆的半径
若 l 是⊙O 切线，则 d=OP=r（d 为 O 到 l 的距离）
计算半径、距离
线段性质
从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等
点 P 在⊙O 外，PA、PB 是切线，则 PA=PB
线段相等证明、周长计算
角度性质
从圆外一点引圆的两条切线，圆心和该点的连线平分两条切线的夹角
点 P 在⊙O 外，PA、PB 是切线，则∠APO=∠BPO
角度平分、对称问题
3. 性质应用技巧（辅助线作法）
遇切线问题，优先作 “过切点的半径”，构造直角（90° 角），为计算或证明提供条件；
若已知圆外一点引两条切线，连接 “圆心与该点”“圆心与两个切点”，形成等腰三角形（如△PAB，PA=PB）和直角三角形（如 Rt△OPA）。
第 5 页：核心模块 2 切线的判定定理
1. 判定定理 1：距离法（从位置关系推导）
定理内容：若圆心到直线的距离等于圆的半径，则这条直线是圆的切线。
符号语言：设⊙O 半径为 r，O 到直线 l 的距离为 d，若 d=r，则 l 是⊙O 的切线。
证明思路：
过 O 作 OP⊥l 于 P，则 OP=d=r；
点 P 在⊙O 上（到圆心距离等于半径的点在圆上）；
直线 l 过圆上点 P 且 OP⊥l，故 l 与⊙O 有且只有一个公共点 P，即 l 是⊙O 的切线。
适用场景：已知或可计算 “圆心到直线的距离”，且直线与圆的公共点不明确时（无需确定切点）。
2. 判定定理 2：垂直法（从线线垂直推导）
定理内容：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
关键词解析：
“经过半径的外端”：直线与半径的垂足在圆上（排除 “垂足在圆内” 的情况，确保直线与圆有公共点）；
“垂直于这条半径”：直线与半径的夹角为 90°（满足切线的核心性质）。
符号语言：若 OA 是⊙O 半径，直线 l 经过 A 点且 l⊥OA，则 l 是⊙O 的切线。
证明（反证法）：
假设 l 不是⊙O 的切线，则 l 与⊙O 有两个交点或无交点；
若有两个交点，A 为其中一点，OA=r，过 O 作 OQ⊥l 于 Q，则 OQ
适用场景：已知直线过圆上某一点（可连接该点与圆心形成半径），需证明直线与该半径垂直。
3. 判定方法对比与选择
判定方法
适用条件
关键步骤
优点
距离法
直线与圆公共点不明确，可计算距离 d
1. 计算 d；2. 比较 d 与 r；3. 得出结论
无需找公共点，计算简洁
垂直法
直线过圆上已知点（如 A 点）
1. 连接 OA（半径）；2. 证明 l⊥OA；3. 得出结论
直接利用线线垂直，逻辑清晰
第 6 页：典例精讲 1 切线性质的综合应用
例题 1：切线性质与勾股定理结合
如图，PA、PB 是⊙O 的切线，切点分别为 A、B，OP=10cm，∠APB=60°，求⊙O 的半径 OA 和切线长 PA。
解答步骤：
由切线性质知：PA=PB，OP 平分∠APB，OA⊥PA；
∴ ∠APO=∠APB/2=30°，△OPA 是直角三角形（∠OAP=90°）；
在 Rt△OPA 中，∠APO=30°，OP=10cm，∴ OA=OP/2=5cm（30° 角所对直角边等于斜边一半）；
由勾股定理得：PA=√(OP - OA )=√(10 - 5 )=5√3 cm。
例题 2：切线性质与圆周角定理结合
如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为 C，CD∥AB，连接 AC，求证：∠BAC=45°。
解答步骤：
连接 OC（过切点 C 的半径），由切线性质得：OC⊥CD；
∵ CD∥AB，∴ OC⊥AB（若一条直线垂直于一组平行线中的一条，必垂直于另一条）；
∵ OA=OC（⊙O 半径），∴ △OAC 是等腰直角三角形（∠AOC=90°）；
∴ ∠BAC=∠OCA=(180°-90°)/2=45°。
第 7 页：典例精讲 2 切线判定的两种方法应用
例题 3：距离法判定切线
如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以 C 为圆心、r=4.8 为半径画圆，求证：AB 是⊙C 的切线。
解答步骤：
过 C 作 CD⊥AB 于 D（D 为垂足），需证明 CD=r=4.8；
由勾股定理得 AB=√(AC +BC )=√(6 +8 )=10；
由三角形面积公式：S△ABC=(1/2) AC×BC=(1/2) AB×CD；
代入数据：(1/2)×6×8=(1/2)×10×CD→ CD=48/10=4.8=r；
∴ 圆心 C 到 AB 的距离 d=CD=r，故 AB 是⊙C 的切线。
例题 4：垂直法判定切线
如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在⊙O 上，BD=BA，点 C 在 AB 的延长线上，且∠BCD=∠BDA，求证：CD 是⊙O 的切线。
解答步骤：
连接 OD（需证明 CD⊥OD，且 D 在⊙O 上，即 OD 是半径）；
∵ BD=BA，∴ △ABD 是等腰三角形，∠BDA=∠BAD；
∵ AB 是⊙O 直径，∴ ∠ADB=90°（直径所对圆周角为直角），故∠BAD=∠BDA=45°；
∵ OA=OD（半径），∴ ∠ODA=∠BAD=45°，∴ ∠DOB=∠ODA+∠BAD=90°；
已知∠BCD=∠BDA=45°，∠DBC=∠ABD=45°（对顶角或等腰三角形性质），∴ △BCD 是等腰直角三角形，∠CDB=90°；
∵ ∠DOB=90°，∠CDB=90°，四边形 ODBC 内角和 360°，∴ ∠ODC=360°-90°-90°-90°=90°（或通过角度转化直接证明 OD⊥CD）；
∵ OD 是⊙O 半径，CD⊥OD，且 D 在⊙O 上，故 CD 是⊙O 的切线。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
切线判定条件遗漏：
用垂直法时，仅证明 “直线垂直于半径”，忽略 “直线过半径外端”（如直线垂直于半径但垂足在圆内，不是切线）；
用距离法时，误将 “圆心到直线上某点的距离” 当作 d（d 必须是垂线段长度）。
切线性质应用混淆：
误将 “切线垂直于任意半径” 当作性质（仅垂直于 “过切点” 的半径，其他半径不垂直）；
从圆外一点引切线时，忘记 “切线长相等” 的性质，导致线段计算错误。
辅助线作法错误：
证明切线时，未连接 “过已知点的半径”（垂直法必备步骤）；
利用切线性质时，未作 “过切点的半径”，无法构造直角三角形。
避坑技巧：
判定切线时，按 “条件分类”：已知公共点用垂直法（连半径、证垂直），未知公共点用距离法（算距离、比半径）；
应用性质时，牢记 “三要素”：切线、过切点的半径、垂直关系，三者缺一不可；
复杂题目中，用 “标注法”：在图中标注已知条件（如直角符号、相等线段），明确辅助线作法（如 “连接 OA”“作 OD⊥AB”）。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）已知 PA 是⊙O 的切线，切点为 A，OA=5cm，则 OP 的最小值为______cm（P 为直线 PA 上任意一点），理由是______。（答案：5，垂线段最短，OA⊥PA）
（2）如图，直线 l 过⊙O 半径 OA 的外端 A，且 l⊥OA，若 OA=3cm，则圆心 O 到直线 l 的距离为______cm，直线 l 与⊙O 的位置关系是______。（答案：3，相切）
中档题：
如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作⊙O，交 BC 于 D，过 D 作 DE⊥AC 于 E，求证：DE 是⊙O 的切线。（提示：连接 OD，证明 OD⊥DE，OD∥AC，DE⊥AC→ OD⊥DE）
提升题：
如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，BC 是⊙O 的直径，连接 AB、AC、OP，若∠APB=60°，PA=2√3，求 AC 的长。（答案：AC=2，提示：先求⊙O 半径 OA=2，BC=4，△ABC 是直角三角形，∠BAC=90°，∠ABC=30°→ AC=BC/2=2）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
切线性质：核心是 “切线垂直过切点的半径”，衍生出 “距离等于半径、切线长相等、圆心连线平分夹角” 等性质，辅助线关键是 “连过切点的半径”；
切线判定：两种方法 —— 距离法（d=r）、垂直法（过半径外端且垂直半径），需根据公共点是否明确选择；
核心关联：切线的性质与判定是互逆关系，性质是 “已知切线推垂直”，判定是 “已知垂直 / 距离推切线”。
作业：
基础作业：教材习题 24.4 第 4、5、6 题（切线性质计算、判定证明）；
拓展作业：如图，AB 是⊙O 的直径，点 E 在 AB 的延长线上，EC 切⊙O 于 C，若∠AEC=30°，EC=3，求⊙O 的半径和 AE 的长（答案：半径 =√3，AE=3√3）；
实践作业：用硬纸板制作一个圆形模型，用直尺模拟切线，验证 “切线垂直过切点的半径” 性质，并记录验证过程。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.4.2切线的性质和判定
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
转动雨伞时飞出的雨滴，用砂轮磨刀时擦出的火花，都是沿着什么方向飞出的？
都是沿切线方向飞出的.
生活中常看到切线的实例，如何判断一条直线是否为圆的切线呢？学完这节课，你就都会明白.
如图，如果直线 l 是 ⊙O 的切线，点 A 为切点，那么 OA 与 l 垂直吗？如何证明？
A
l
O
切线的性质定理
观察与思考
证明：当直线 l 与⊙O 相切时，设切点为 A，连接 OA.
在直线 l 上任取一个不同于点 A 的点 B，连接 OB.
因为点 B 在 ⊙O 外，所以 OB＞OA.
这就是说，OA 是点 O 到直线 l 上
任一点的连线中最短的，
所以 OA 是点 O 到直线 l 的垂线段，
即 OA⊥l.
于是我们可以得到：
切线性质 圆的切线垂直于经过切点的半径.
B
A
O
l
A
l
O
∵ 直线 l 是 ⊙O 的切线，A 是切点，
∴ l⊥OA.
切线性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径．
应用格式：
知识要点
如图，在⊙O 中，OA、OB 为半径，直线 MN 与⊙O 相切于点 B，若∠ABN = 30°，则∠AOB = °.
60
练一练
A
B
N
O
M
典例精析
例1 如图，点 O 是∠BAC 的边 AC 上的一点，⊙O 与边 AB 相切于点 D，与线段 AO 相交于点 E，若点 P 是⊙O 上一点，且∠EPD＝35°，则∠BAC 的度数为 ( )
A．20° B．35° C．55° D．70°
解析：连接 OD，如图.
∵⊙O 与边 AB 相切于点 D，
∴ OD⊥AD. ∴∠ADO＝90°.
∵∠EPD＝35°，∴∠EOD＝2∠EPD＝70°.
∴∠BAC＝90°－∠EOD＝20°.
A
例2 如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点．直线 PO 与 ⊙O 交于 B、C 两点，∠P＝30°，连接 AO、AB、AC.
(1) 求证：△ACB≌△APO；
O
A
B
P
C
∴△ACB≌△APO（ASA）.
证明：∵ PA 为 ⊙O 的切线，A 为切点，
∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°.
又∵ OA＝OB，∴△AOB 为等边三角形.
∴ AB＝AO，∠ABO＝∠AOB.
又∵ BC 为 ⊙O 的直径，
∴∠BAC＝90°＝∠OAP.
∴∠OAP＝90°.
(2) 若 AP＝ ，求 ⊙O 的半径．
∴ AO＝AP·tan30°＝1，
即 ⊙O 的半径为 1.
解：在 Rt△AOP 中，∠P＝30°，AP＝ ，
O
A
B
P
C
已知 ⊙O 上一点 A，怎样根据圆的切线定义过点 A 作 ⊙O 的切线？
作法：1. 连接 OA；
2. 过点 A 作直线 BC⊥OA.
则直线 BC 即为所作.
观察与思考
为什么直线 BC 即为所作呢？
B
C
.A
O
切线的判定定理
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
∵ OA 为⊙O 的半径，
BC⊥OA 于 A，
∴ BC 为⊙O 的切线.
A
B
C
切线判定定理
应用格式
O
知识要点
利用切线的判定定理，判断下列各直线是不是圆的切线，如果不是，请说明理由.
O.
O
O
(1)
(2)
(3)
(1) 不是，因为没有垂直.
(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点.
练一练
“经过半径的外端点”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
判断一条直线是一个圆的切线有三种方法：
1. 定义法：直线和圆只有一个公共点
时，我们说这条直线是圆的切线.
2. 数量关系法：圆心到这条直线的距
离等于半径 (即 d = r) 时，直线与
圆相切.
3. 判定定理：经过半径外端点且垂直
于这条半径的直线是圆的切线.
l
A
l
O
l
r
d
知识要点
例3 如图,∠ABC = 45°，AB 是☉O 的直径，AB = AC.
求证：AC 是 ☉O 的切线.
提示：直线 AC 经过半径的一端，因此只要证出 AB 垂直于 AC 即可.
证明：∵ AB = AC，∠ABC = 45°，
∴∠ACB =∠ABC = 45°.
∴∠BAC =180° -∠ABC -∠ACB = 90°.
∴ AC⊥OA.
∴ AC 是 ☉O 的切线.
A
O
C
B
∵ OA 是 ☉O 的半径，
例4 已知：直线 AB 经过☉O 上的点 C，并且 OA = OB，CA = CB. 求证：直线 AB 是☉O 的切线.
O
B
A
C
提示：由于 AB 过☉O 上的点 C，所以连接 OC，只要证明 OC⊥AB 即可.
证明：连接 OC，如图.
∵ OA＝OB，CA＝CB，
∴ 在等腰△OAB 中，OC⊥AB.
∵ OC 是⊙O 的半径，
∴ AB 是⊙O 的切线.
例5 如图，△ABC 中，AB＝AC ，O 是 BC 的中点，⊙O 与 AB 相切于 E.求证：AC 是⊙O 的切线．
B
O
C
E
A
提示：根据切线的判定定理，要证明 AC 是 ⊙O 的切线，只要证明由点 O 向 AC 所作的垂线段 OF 是 ⊙O 的半径就可以了，而 OE 是 ⊙O 的半径，因此只需要证明 OF = OE.
F
证明：连接 OE ，OA，过 O 作 OF⊥AC，如图.
∵ ⊙O 与 AB 相切于 E，∴ OE⊥AB.
在△ABC 中，∵ AB＝AC ，O 是 BC 的中点．
∴ AO 平分∠BAC.
∴ OE＝OF.
∴ AC 是 ⊙O 的切线．
又∵ OE⊥AB ，OF⊥AC，
∵ OE 为 ⊙O 的半径，
∴ OF 为 ⊙O 的半径.
B
O
C
E
A
F
如图，已知直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA＝OB，CA＝CB. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
C
B
A
O
如图，OA＝OB＝5，AB＝8，⊙O 的直径为 6. 求证：直线 AB 是 ⊙O 的切线.
C
B
A
O
通过对比，你能得出什么结论？
作垂直
连接
方法归纳
(1) 有公共点，连圆心，证垂直 (如：例 4)；
(2) 无公共点，作垂直，证半径 (如：例 5).
证切线时辅助线的添加方法：
已知切线时常见辅助线的添加方法：
见切线，连切点，得垂直 (如：例 1).
要点归纳
1. 判断下列命题是否正确.
(1) 经过半径外端点的直线是圆的切线. （ ）
(2) 垂直于半径的直线是圆的切线. （ ）
(3) 过直径的端点并且垂直于这条直径的直线是圆
的切线. （ ）
(4) 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. （ ）
(5) 过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线.
（ ）
×
×
√
√
√
2. 如图，A 是 ☉O 上一点，且 AO = 5，PO = 13， AP =
12，则 PA 与 ☉O 的位置关系是 .
A
P
O
相切
3. 如图，在☉O 的内接四边形 ABCD 中，AB 是直径，
∠BCD = 120°，过 D 点的切线 PD 与直线 AB 交于
点 P，则∠ADP 的度数为 （ ）
A．40° B．35° C．30° D．45°
C
P
O
D
A
B
C
4. 如图，PB 切 ☉O 于点 B，PB = 4，PA = 2，则 ☉O
的半径是多少？
O
P
B
A
解：连接 OB，如图. 则∠OBP = 90°.
设⊙O 的半径为 r，则
OA = OB = r，OP = OA + PA = r + 2.
在 Rt△OBP 中，
OB2 + PB2 = PO2，
即 r2 + 42 = (2 + r)2.
解得 r = 3，
即 ⊙O 的半径为 3.
O
A
B
C
E
P
5. 如图，△ABC 中，AB = AC，以 AB 为直径的 ⊙O 交边 BC 于 P，PE⊥AC 于 E. 求证：PE 是⊙O 的切线.
证明：连接 OP，如图.
∵ AB = AC，∴∠B =∠C.
∵ OB = OP，∴∠B =∠OPB.
∴∠OPB =∠C.
∴ OP∥AC.
∵ PE⊥AC， ∴ PE⊥OP.
∴ PE为⊙O 的切线.
6. 如图，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，以 O 为
圆心，OA 长为半径的 ⊙O 与 BC 相切于点 M. 求证：
CD 与⊙O相切.
证明：连接 OM，过点 O 作 ON⊥ CD 于点 N，如图.
∵ ⊙O 与 BC 相切于点 M，
∴ OM⊥BC.
又∵ ON⊥CD，O 为正方形 ABCD 对角线 AC 上一点，∴ OM＝ON.
∴ CD 与 ⊙O 相切．
M
N
7. 已知：△ABC 内接于 ☉O，过点 A 作直线 EF.
(1) 如图1，AB 为直径，要使 EF 为☉O 的切线，还需
添加的一个条件是（只需写出两种情况）：
① ___________；② ____________.
(2) 如图2，AB 是非直径的弦，
∠CAE =∠B，求证：EF
是☉O 的切线.
BA⊥EF
∠CAE =∠B
A
F
E
O
A
F
E
O
B
C
B
C
图1
图2
证明：如图，连接 AO 并延长交 ☉O 于 D，连接 CD，则 AD 为 ☉O 的直径.
∴ ∠D +∠DAC = 90°.
∵ ∠D 和 ∠B 都是 所对的圆周角，
∴ ∠D =∠B.
又∵ ∠CAE =∠B，
∴ ∠D = ∠CAE.
∴ ∠CAE + ∠DAC = 90°，即 AD⊥EF.
∴ EF 是 ☉O 的切线.
A
F
E
O
B
C
图2
D
1．[2024·浙江]如图，AB是⊙O的直径，AC与⊙O相切，A为切点，连接BC.已知∠ACB＝50°，则∠B的度数为________．
40°
115
返回
【点拨】如图，连接OC.
∵DC切⊙O于C，∴∠DCO＝90°.
又∵∠D＝40°，∴∠COB＝∠D＋∠DCO＝130°.
2
返回
4．[2024·合肥蜀山区二模]如图，AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，若AM＝1，BM＝5则AD＝________．
1.5
【点拨】如图，连接CO.
∵AM＝1，BM＝5，
∴AB＝6.∴OA＝OB＝OC＝3.
∵CD为⊙O的切线，CE⊥AB，
∴∠DCO＝∠CMO＝90°.
返回
5．如图，已知△POM，点M在⊙O上，点P在⊙O外，OP交⊙O于点N，以下条件不能判定PM是⊙O的切线是( )
A．∠O＋∠P＝90°
B．∠O＋∠P＝∠OMP
C．OM2＋PM2＝OP2
D．点N是OP的中点
切线的
判定
定义法
数量关系法
判定定理
1 个公共点，则相切
d = r，则相切
经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
切线的
性质
证切线时常用辅助线添加方法：
①有公共点，连圆心，证垂直；
②无公共点，作垂直，证半径
有 1 个公共点
d=r
性质定理
圆的切线垂直于经过切点的半径
有切线时常用辅助线添加方法：
见切线，连切点，得垂直
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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