24.4.3切线长定理 课件(共31张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册

(共31张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.4.3 切线长定理
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 定理推导 性质延伸 综合应用
配图：左侧为 “切线长定理核心图形”（点 P 在⊙O 外，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，标注 PA=PB、OP 平分∠APB），右侧为 “三角形内切圆应用图”（⊙I 内切于△ABC，标注切线长 AD=AF、BD=BE、CE=CF）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解切线长的定义，掌握切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角），能结合定理解决 “线段相等”“角度计算”“三角形内切圆” 等问题。
能力目标：通过定理推导培养逻辑推理能力，运用切线长定理与三角形内切圆知识结合，解决 “切线长求解”“三角形周长关联” 等综合问题，提升几何分析与空间想象能力。
素养目标：体会 “从具体图形到抽象定理” 的推导过程，感受切线长定理在几何证明与计算中的桥梁作用，培养数形结合与转化思想，规范几何语言表达。
第 3 页：情境导入 切线长的现实原型与概念
生活情境（配图）：
园林修剪：园丁用剪刀修剪圆形灌木，剪刀的两个刀刃与灌木边缘（圆）相切，刀刃接触点到剪刀轴（圆外一点）的距离相等；
机械加工：工人用卡钳测量圆形零件的直径，卡钳的两个钳口与零件边缘（圆）相切，钳口接触点到卡钳转轴（圆外一点）的距离相等。
概念引入：
从圆外一点引圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。
示例：点 P 在⊙O 外，PA 切⊙O 于 A，PB 切⊙O 于 B，则线段 PA、PB 的长度均为点 P 到⊙O 的切线长（注意：切线是直线，切线长是线段长度，二者不可混淆）。
思考提问：
从圆外同一点引圆的两条切线，它们的切线长有什么关系？
圆心与这一点的连线，对两条切线和两条半径有什么作用？
第 4 页：核心模块 1 切线长定理的推导与证明
1. 定理探究（动手操作 + 测量验证）
操作步骤：
画⊙O，在⊙O 外取一点 P；
用尺规作⊙O 的两条切线 PA、PB，切点分别为 A、B；
用刻度尺测量 PA、PB 的长度，用量角器测量∠APO、∠BPO 的度数（O 为圆心）。
观察结论：PA=PB，∠APO=∠BPO（圆心和圆外一点的连线平分两条切线的夹角）。
2. 切线长定理内容
从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
符号语言（如图，P 在⊙O 外，PA、PB 切⊙O 于 A、B）：
PA = PB（切线长相等）；
∠APO = ∠BPO（OP 平分∠APB，OP 为圆心和圆外一点的连线）。
3. 定理证明（逻辑推理，基于全等三角形）
已知：如图，点 P 在⊙O 外，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，连接 OA、OB、OP。
求证：PA=PB，OP 平分∠APB。
证明：
∵ PA、PB 是⊙O 的切线，OA、OB 是⊙O 的半径，∴ OA⊥PA，OB⊥PB（切线性质定理），即∠OAP=∠OBP=90°；
在 Rt△OAP 和 Rt△OBP 中，OA=OB（同圆半径相等），OP=OP（公共边）；
∴ Rt△OAP ≌ Rt△OBP（HL 全等判定定理）；
∴ PA=PB（全等三角形对应边相等），∠APO=∠BPO（全等三角形对应角相等）。
4. 定理延伸（结合圆的对称性）
由 Rt△OAP≌Rt△OBP，可进一步推出：
∠AOP=∠BOP（对应角相等），即 OP 平分∠AOB；
OP 垂直平分 AB（等腰三角形三线合一，△PAB 为等腰三角形，PA=PB，OP 平分∠APB）。
结论：从圆外一点到圆的两条切线，其连线（AB）被圆心与该点的连线（OP）垂直平分，且 OP 同时平分∠APB 和∠AOB。
第 5 页：核心模块 2 切线长定理的基础应用
例题 1：利用定理求切线长与角度
如图，PA、PB 分别切⊙O 于 A、B，∠APB=60°，OP=12cm，求：
（1）⊙O 的半径 OA；（2）切线长 PA。
解答步骤：
由切线长定理知：PA=PB，OP 平分∠APB，∴ ∠APO=∠APB/2=30°；
∵ OA⊥PA（切线性质），∴ △OAP 是直角三角形（∠OAP=90°）；
（1）在 Rt△OAP 中，∠APO=30°，OP=12cm，∠30° 角所对的直角边等于斜边的一半，∴ OA=OP/2=6cm；
（2）由勾股定理得：PA=√(OP - OA )=√(12 - 6 )=√(144-36)=√108=6√3 cm。
例题 2：利用定理证明线段关系
如图，PA、PB 切⊙O 于 A、B，CD 切⊙O 于 E，分别交 PA、PB 于 C、D，求证：△PCD 的周长 = PA + PB。
证明：
由切线长定理得：从点 C 引⊙O 的切线 CA、CE，切线长相等→ CA=CE；
从点 D 引⊙O 的切线 DB、DE，切线长相等→ DB=DE；
从点 P 引⊙O 的切线 PA、PB，切线长相等→ PA=PB；
△PCD 的周长 = PC + CD + PD=PC + (CE + DE) + PD；
代入 CA=CE、DB=DE，得：周长 = PC + CA + DB + PD=(PC + CA) + (PD + DB)=PA + PB；
又∵ PA=PB，故△PCD 的周长 = 2PA（或 2PB）。
结论：圆外一点引圆的两条切线，若有另一条切线与这两条切线相交，则所构成的三角形周长等于该点到圆的两条切线长之和。
第 6 页：核心模块 3 切线长定理与三角形内切圆的综合应用
1. 三角形内切圆与内心的关联
回顾概念：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心（内心是三角形三条角平分线的交点，到三边距离相等，等于内切圆半径 r）。
切线长关系：设△ABC 的内切圆⊙I 与三边 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，根据切线长定理：
从 A 引⊙I 的切线：AD=AF（记为 x）；
从 B 引⊙I 的切线：BD=BE（记为 y）；
从 C 引⊙I 的切线：CE=CF（记为 z）。
2. 切线长与三角形边长的关系推导
设△ABC 的三边长度为：AB=c，BC=a，AC=b，则：
AB=AD + BD=x + y=c；
BC=BE + CE=y + z=a；
AC=AF + CF=x + z=b；
三式相加得：2 (x + y + z)=a + b + c→ x + y + z=(a + b + c)/2（记为 p，即三角形半周长）；
解得：
x=AD=AF=p - a；
y=BD=BE=p - b；
z=CE=CF=p - c。
结论：三角形的顶点到内切圆切点的切线长，等于该顶点所在两边之和减去第三边的一半（或半周长减去第三边）。
例题 3：三角形内切圆的切线长与半径计算
已知△ABC 中，AB=5cm，BC=6cm，AC=7cm，求其内切圆⊙I 与各边的切点到顶点的切线长及内切圆半径 r。
解答步骤：
计算半周长 p=(AB + BC + AC)/2=(5 + 6 + 7)/2=9cm；
求切线长：
AD=AF=p - BC=9 - 6=3cm；
BD=BE=p - AC=9 - 7=2cm；
CE=CF=p - AB=9 - 5=4cm；
求内切圆半径 r：
先用海伦公式求△ABC 的面积 S=√[p (p - a)(p - b)(p - c)]=√[9×(9-6)×(9-7)×(9-5)]=√(9×3×2×4)=√216=6√6 cm ；
由三角形面积与内切圆半径的关系 S=r×p（S=△IAB + △IBC + △IAC=1/2×AB×r + 1/2×BC×r + 1/2×AC×r=1/2×r×(AB+BC+AC)=r×p），得：
r=S/p=6√6 / 9=2√6 / 3≈1.63cm。
第 7 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
概念混淆：
误将 “切线”（直线）与 “切线长”（线段长度）混淆，如表述 “PA 是切线长” 正确，表述 “直线 PA 是切线长” 错误；
混淆 “三角形内心” 与 “外心”，内心是角平分线交点（到三边距离相等），外心是垂直平分线交点（到三顶点距离相等），切线长计算需用内心。
定理应用条件遗漏：
忽略 “从圆外一点” 的前提，误将 “圆上一点引切线” 套用定理（圆上一点只能引 1 条切线，不存在 “两条切线长”）；
计算三角形内切圆切线长时，记错公式（如将 AD=p - a 记为 AD=p - b），导致结果错误。
辅助线作法错误：
解决切线长问题时，未连接 “圆心与切点”（构造直角三角形）或 “圆心与圆外一点”（利用定理平分夹角），无法建立等量关系。
避坑技巧：
表述时明确 “切线是直线，切线长是线段的长”，可在图中标注线段符号（如 PA 为切线长，用线段表示）；
应用定理前先判断 “点的位置”（必须是圆外一点），计算三角形内切圆切线长时，牢记 “切线长 = 半周长 - 对边长度”（如 AD 对应对边 BC，故 AD=p - BC）；
复杂题目中，优先连接 “圆心与切点”“圆心与圆外一点”，构造 Rt△OAP、Rt△OBP 等直角三角形，结合勾股定理、全等三角形知识求解。
第 8 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）从圆外一点 P 引⊙O 的两条切线 PA、PB，若 PA=8cm，则 PB=cm，理由是。（答案：8，切线长定理）
（2）△ABC 的内切圆⊙I 与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，若 AB=9cm，BC=10cm，AC=11cm，则 AD=______cm，BE=______cm，CF=______cm。（答案：5，4，6，提示：p=15cm，AD=p - BC=5，BE=p - AC=4，CF=p - AB=6）
中档题：
如图，PA、PB 切⊙O 于 A、B，∠APB=40°，求⊙O 的圆心角∠AOB 的度数。（答案：140°，提示：∠OAP=∠OBP=90°，四边形 OAPB 内角和 360°，∠AOB=360°-90°-90°-40°=140°）
提升题：
如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=6cm，BC=8cm，求其内切圆半径 r 及从 C 点到内切圆的切线长。（答案：r=2cm，切线长 = 4cm，提示：AB=10cm，p=12cm，r=S/p=24/12=2cm，切线长 CF=p - AB=12-10=4cm）
第 9 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心定理：切线长定理（圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，圆心与该点连线平分夹角），本质是 “直角三角形全等” 的体现；
关键关联：与三角形内切圆结合时，切线长 = 半周长 - 对边长度，内切圆半径 r=S/p（S 为三角形面积，p 为半周长）；
应用技巧：遇切线长问题，优先连接 “圆心与切点”（构直角）、“圆心与圆外一点”（用定理），复杂问题结合勾股定理、三角形面积公式求解。
作业：
基础作业：教材习题 24.4 第 7、8、9 题（切线长计算、角度证明、三角形内切圆应用）；
拓展作业：如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 为切点，CD 切⊙O 于 E，△PCD 的周长为 20cm，求 PA 的长（答案：10cm，提示：周长 = 2PA）；
实践作业：用硬纸板制作一个三角形模型，画出其内切圆，测量各顶点到内切圆切点的切线长，验证 “切线长 = 半周长 - 对边长度” 的关系。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
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24.4.3切线长定理
第24章　圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
同学们玩过抖空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
切线长定理及应用
问题1 我们已经学习了如何过圆上一点作已知圆的切线. 那么，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？
O.
P
A
B
合作探究
你可以作几条？
作法：1. 连接 OP；
2. 以 OP 为直径作圆，设此
圆交 ⊙O 于点 A，B；
3. 连接 PA，PB.
则直线 PA，PB 即为所作.
切线上一点到切点之间的线段长叫做这点到圆的切线长．
知识要点
O.
P
A
B
过圆外任意一点能够作出圆的两条切线.
①切线是直线，不能度量；
②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是
圆外一点和切点，可以度量．
切线长与切线的区别
O，A，P，B 四点共圆哦！
问题2 沿直线 PO 将图形折叠，你有什么发现？
O
P
A
B
PA = PB，∠APO =∠BPO.
试着自己证明.
证明：连接 OA，OB，如图.
∵ PA，PB 切 ☉O 于点 A，B，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP.
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
切线长定理：
过圆外一点作圆的两条切线，两条切线长相等，圆心与这一点的连线平分两条切线的夹角.
∵ PA、PB 分别切☉O 于 A、B，
∴ PA = PB，
∠OPA =∠OPB.
几何语言：
O
P
A
B
知识要点
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
1. 若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出
什么新的结论 请给出证明.
解：OP 垂直平分 AB.
证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点，
∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
∴ △PAB 是等腰三角形，
PM 为顶角的平分线.
∴ OP 垂直平分 AB.
M
想一想：
O
P
A
B
2. 若 PO 的延长线交 ⊙O 于点 C，连接 CA、CB，你又
能得出什么新的结论 请给出证明.
证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点，
∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
又∵ PC = PC，
∴ △PCA≌△PCB.
∴ CA = CB，∠ACP =∠BCP.
解：CA = CB，∠ACP =∠BCP.
C
O
P
A
B
如图，PA、PB 是 ☉O 的两条切线，A、B 为切点，直线 OP 交 ☉O 于点 D、E，交 AB 于 C.
(1) 写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB⊥PB，AB⊥OP.
(3) 写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌△BOP，△AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.
(4) 写出图中所有的等腰三角形.
△ABP，△AOB.
(2) 写出图中与∠OAC相等的角；
∠OAC =∠OBC =∠APC =∠BPC.
B
P
O
A
C
E
D
练一练
例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、
DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H.
求证：AB + CD = AD + BC.
证明：∵ AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H，
·
A
B
C
D
O
E
F
G
H
∴ AE = AH，BE = BF，CG = CF，DG
= DH.
∴ AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH，
即 AB + CD = AD + BC.
典例精析
例2 如图，PA、PB 分别与 ⊙O 相切于点 A、B，⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点 C 在弧 AB上.若 PA 长为 2，则 △PEF 的周长是_____．
解析：因为 PA、PB 分别与 ⊙O 相切于点 A、B，所以 PA＝PB. 因为 ⊙O 的切线 EF 分别交 PA、PB 于点 E、F，切点为 C，所以 EA＝EC，CF＝BF，所以 △PEF 的周长是 PE＋EF＋PF＝PE＋EC＋CF＋PF＝PA＋PB＝2＋2＝4.
4
解析：如图，连接 OA、OB. ∠AOB＝2∠ACB＝140°. ∵ PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B，
∴ O，A，P，B 四点共圆，OP 平分∠APB.
∴∠APB＝180°－∠AOB
＝180°－140°
＝40°＝2∠OPA.
∴∠OPA＝20°.
例3 如图，PA、PB 是 ⊙O 的切线，切点分别为 A、B，点 C 在 ⊙O 上，如果 ∠ACB＝70°，那么 ∠OPA 的度数是____度．
20
如图，PA、PB 是 ☉O 的两条切线，点 A、B是切点，在弧 AB 上任取一点 C，过点 C 作 ☉O 的切线，分别交 PA、PB 于点 D、E. 已知 △PDE 的周长为 14，∠P = 40°. 则
(2) ∠DOE = °.
(1) PA = ；
7
O
P
A
B
C
E
D
70
练一练
例4 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30° 的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径.若三角板与圆相切且测得 PA = 5 cm，求铁环的半径．
O
解：设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA，过 O 作 OQ⊥AB 于 Q.
∵ AP、AQ 为 ⊙O 的切线，
∴ ∠PAO＝∠QAO.
Q
B
C
5 cm
在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°，
又∵∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.
即铁环的半径为
∴
O
Q
B
C
5 cm
1．如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B是切点，若∠APB＝60°，PO＝2，则⊙O的半径等于________．
1
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2．[2024·淮南七中月考]如图，直线PA，PB，MN分别与⊙O相切于点A，B，D，PA＝PB＝4 cm，△PMN的周长是________．
8 cm
【点拨】∵直线PA，PB，MN分别与⊙O相切于点A，B，D，∴AM＝DM，BN＝DN.
∵PA＝PB＝4 cm，
∴△PMN的周长是PM＋PN＋MN＝PM＋PN＋DM＋DN＝(PM＋DM)＋(PN＋DN)＝(PM＋AM)＋(PN＋BN)＝AP＋BP＝8 cm.故答案为8 cm.
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3．[2024·常州钟楼区月考]如图，PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，AC是⊙O的直径．若∠P＝60°，BC＝2，则PA的长为________．
【点拨】如图，连接AB.
∵PA，PB是⊙O的切线，切点分别是点A和B，
∴PA⊥AC，PA＝PB.∴∠PAC＝90°.
∵∠P＝60°，∴△PAB为等边三角形.
∴AB＝PA，∠PAB＝60°.∴∠BAC＝30°.
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4. 如图，EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，点B，C在⊙O上，若∠BAE＋∠BCD＝236°，则∠E＝(　　)
A．56°
B．60°
C．68°
D．70°
【点拨】如图，连接AD.
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
∵∠BAE＋∠BCD＝236°，
∴∠EAD＋∠BAD＋∠BCD＝∠EAD＋180°＝236°.
∴∠EAD＝56°.
∵EA，ED是⊙O的切线，切点为A，D，
∴EA＝ED.∴∠EDA＝∠EAD＝56°.
∴∠E＝180°－∠EDA－∠EAD＝180°－56°－56°＝68°.
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【答案】 C
5．如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点，线段OP交⊙O于点M.给出下列四种说法：①PA＝PB；②OP⊥AB；③四边形OAPB有外接圆；④M是△AOP外接圆的圆心．其中正确说法的个数是(　　)
A．1
B．2
C．3
D．4
【点拨】∵ PA，PB是⊙O的两条切线，
∴PA＝PB，∠APO＝∠BPO, 故①正确.
∴PO⊥AB, 故②正确.
∵ PA，PB是⊙O的两条切线，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°.
∴点A，B在以OP为直径的圆上.
∴四边形OAPB有外接圆，故③正确.
∵只有当∠APO＝30°时，OP＝2OA，此时PM＝OM，
∴M不一定是△AOP外接圆的圆心，故④错误.
故选C.
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【答案】 C
切线长
切线长定理
作用
图形的轴对称性/全等
原理
提供了证明线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！