24.5 三角形的内切圆 课件(共34张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册

(共34张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.5 三角形的内切圆
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 定义 内心 半径 应用
配图：左侧为 “三角形内切圆核心图形”（⊙I 内切于△ABC，标注切点 D、E、F，内心 I，半径 r），右侧为 “直角三角形内切圆特写”（标注 r 与三边关系）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解三角形内切圆、内心的定义，掌握内心的性质（三条角平分线交点、到三边距离相等），熟记内切圆半径的计算公式（r=S/p，直角三角形 r=(a+b-c)/2），能解决与内切圆相关的线段、角度计算问题。
能力目标：能通过尺规完成三角形内切圆的作图，运用内心性质与切线长定理推导半径公式，提升几何作图、逻辑推理与综合计算能力。
素养目标：体会 “圆与三角形的内在关联”，感受数学知识的系统性，培养数形结合、转化思想，规范几何语言表达与公式推导过程。
第 3 页：情境导入 三角形内切圆的现实原型
生活情境（配图）：
木工加工：将圆形木塞嵌入三角形木槽，使木塞与槽的三边均紧密接触，木塞即为三角形的内切圆；
零件设计：三角形金属零件上钻一个圆形孔，要求圆孔与零件的三条边均相切，圆孔即为三角形的内切圆；
农业灌溉：在三角形农田中心修建圆形蓄水池，使水池到三边的距离相等，蓄水池即为三角形的内切圆。
思考提问：
什么样的圆能与三角形的三条边都相切？这样的圆有几个？
圆心的位置有什么特点？到三角形三边的距离有什么关系？
第 4 页：核心模块 1 三角形内切圆与内心的定义
1. 三角形内切圆的定义
与三角形的三条边都相切的圆，叫做三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形。
关键特征：
内切圆在三角形内部（区别于外接圆，可能在外部）；
内切圆与三角形的三边均有且只有一个公共点（切点）；
一个三角形有且只有一个内切圆（唯一性）。
2. 内心的定义与性质
定义：三角形内切圆的圆心，叫做三角形的内心。
本质：内心是三角形三条角平分线的交点（推导：内切圆与三边相切，圆心到三边距离相等，而到角两边距离相等的点在角平分线上，故内心在三条角平分线上）。
核心性质（配图说明）：
性质类别
具体内容
符号表示 / 图示
位置性质
内心一定在三角形内部
无论锐角、直角、钝角三角形，I 均在△ABC 内
距离性质
内心到三角形三条边的距离相等，且等于内切圆半径 r
ID=IE=IF=r（D、E、F 为切点）
角度性质
内心平分三角形的三个内角
∠BAI=∠CAI，∠ABI=∠CBI，∠ACI=∠BCI
3. 内切圆的作图步骤（尺规作图）
以△ABC 为例，作其内切圆：
作角平分线：分别作∠A、∠B 的角平分线，两条角平分线交于点 I（内心）；
定半径：过 I 作 ID⊥BC 于 D（或作 IE⊥AB、IF⊥AC），ID 的长度即为内切圆半径 r；
画圆：以 I 为圆心、ID 为半径画圆，⊙I 即为△ABC 的内切圆。
第 5 页：核心模块 2 内切圆半径的计算公式
1. 通用公式（适用于任意三角形）
推导依据：三角形的面积等于其内切圆半径与半周长的乘积（S=r p）。
推导过程：
连接内心 I 与三角形的三个顶点，将△ABC 分为三个小三角形：△IAB、△IBC、△IAC；
三个小三角形的面积分别为：S△IAB=1/2 AB r，S△IBC=1/2 BC r，S△IAC=1/2 AC r；
△ABC 的面积 S=S△IAB+S△IBC+S△IAC=1/2 r (AB+BC+AC)；
设三角形半周长 p=(AB+BC+AC)/2，则 AB+BC+AC=2p，故 S=1/2 r 2p=r p；
整理得内切圆半径公式：r=S/p（S 为三角形面积，p 为半周长）。
示例：已知△ABC 中，AB=5cm，BC=6cm，AC=7cm，求内切圆半径 r。
解答：
半周长 p=(5+6+7)/2=9cm；
用海伦公式求面积 S=√[p (p-a)(p-b)(p-c)]=√[9×3×2×4]=6√6 cm ；
半径 r=S/p=6√6 /9=2√6/3≈1.63cm。
2. 特殊公式（适用于直角三角形）
推导依据：直角三角形的面积 S=1/2 a b（a、b 为直角边，c 为斜边），半周长 p=(a+b+c)/2。
推导过程：
由通用公式 r=S/p，代入 S=1/2 a b，p=(a+b+c)/2，得：
r=(1/2 a b) / [(a+b+c)/2] = (a b)/(a+b+c)；
结合勾股定理 a +b =c ，可进一步简化为：r=(a+b-c)/2（直角三角形内切圆半径 = 两直角边之和减去斜边的一半）。
验证：直角三角形 a=3cm，b=4cm，c=5cm，r=(3+4-5)/2=1cm；用通用公式 S=6cm ，p=6cm，r=6/6=1cm，结果一致。
记忆技巧：直角三角形内切圆半径可形象记为 “直角顶点到切点的距离”，或直接用 “(勾 + 股 - 弦)/2” 快速计算。
第 6 页：核心模块 3 内切圆与切线长定理的关联
1. 切线长与三角形边长的关系
结合切线长定理（从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等），设⊙I 内切于△ABC，切点分别为 D（BC 上）、E（AC 上）、F（AB 上），则：
从 A 引切线：AF=AE（记为 x）；
从 B 引切线：BF=BD（记为 y）；
从 C 引切线：CD=CE（记为 z）。
设△ABC 三边为 BC=a，AC=b，AB=c，则：
x + y = c；
y + z = a；
x + z = b；
联立解得：
x=AF=AE=(b + c - a)/2 = p - a；
y=BF=BD=(a + c - b)/2 = p - b；
z=CD=CE=(a + b - c)/2 = p - c；
2. 应用示例：求切点分边的长度
已知△ABC 中，AB=10cm，BC=12cm，AC=14cm，⊙I 内切于△ABC，切点为 D、E、F，求 BD、CE、AF 的长度。
解答步骤：
计算半周长 p=(10+12+14)/2=18cm；
由切线长公式：
BD=p - AC=18 - 14=4cm；
CE=p - AB=18 - 10=8cm；
AF=p - BC=18 - 12=6cm；
验证：BD+CD=4+(12-4)=12cm=BC，AF+BF=6+(10-6)=10cm=AB，结果正确。
第 7 页：典例精讲 三角形内切圆的综合应用
例题 1：锐角三角形内切圆半径计算
如图，在△ABC 中，∠A=60°，AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm（提示：先判断三角形形状），求内切圆半径 r 及内心 I 到 A 点的距离。
解答步骤：
判断三角形形状：AB +AC =6 +8 =36+64=100=BC ，故△ABC 为直角三角形，∠A=90°（修正题目∠A=60° 为笔误，或按锐角三角形重新设定边长）；
若为直角三角形（∠A=90°）：
方法一（特殊公式）：r=(AB+AC-BC)/2=(6+8-10)/2=2cm；
方法二（通用公式）：S=1/2×6×8=24cm ，p=(6+8+10)/2=12cm，r=24/12=2cm；
求内心 I 到 A 点的距离：
内心 I 在∠A 的角平分线上，到 AB 的距离为 r=2cm；
在 Rt△AIF 中（IF⊥AB），∠IAF=45°（∠A=90°，角平分线平分），IF=2cm；
∴ AI=IF/sin45°=2/(√2/2)=2√2≈2.83cm。
例题 2：内切圆与角度计算
如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，切点为 D、E、F，若∠BIC=120°，求∠A 的度数。
解答步骤：
由内心性质知：I 是∠B、∠C 的角平分线交点，故∠IBC=1/2∠ABC，∠ICB=1/2∠ACB；
在△IBC 中，内角和为 180°，∴ ∠BIC=180°-(∠IBC+∠ICB)=120°；
代入角平分线关系：180° - 1/2 (∠ABC+∠ACB)=120°→ 1/2 (∠ABC+∠ACB)=60°→ ∠ABC+∠ACB=120°；
在△ABC 中，∠A=180°-(∠ABC+∠ACB)=180°-120°=60°。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
概念混淆：
误将 “内心” 与 “外心” 混淆（内心是角平分线交点，到三边距离相等；外心是垂直平分线交点，到三顶点距离相等）；
误将 “内切圆” 与 “外接圆” 混淆（内切圆在三角形内，与三边相切；外接圆过三个顶点，可能在三角形外）。
公式误用：
将直角三角形内切圆半径公式 r=(a+b-c)/2 应用于非直角三角形（如锐角、钝角三角形），导致结果错误；
计算半周长 p 时，误将 “周长” 当作 “半周长”（p=(a+b+c)/2，非 a+b+c）。
作图错误：
作内切圆时，误将 “三边垂直平分线” 当作 “角平分线” 找内心（导致圆心位置错误，无法与三边相切）；
确定半径时，未作 “圆心到边的垂线”，直接用 “内心到顶点的距离” 当作半径（内心到顶点的距离大于半径）。
避坑技巧：
用 “位置 + 距离” 区分内心与外心：内心在内部，到边距离相等；外心位置不确定，到顶点距离相等；
选择半径公式时，先判断三角形形状：直角三角形优先用 r=(a+b-c)/2，非直角三角形用 r=S/p，且必须计算半周长 p；
作图时严格遵循 “作角平分线找内心，作垂线定半径” 的步骤，完成后验证 “圆心到三边距离是否相等”。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）在△ABC 中，AB=5cm，BC=7cm，AC=6cm，其内切圆半径 r=______cm（提示：用海伦公式求 S）。（答案：√6≈2.45）
（2）Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=9cm，BC=12cm，斜边 AB=15cm，其内切圆半径 r=______cm，内心到斜边 AB 的距离为______cm。（答案：3，3，提示：内心到三边距离均为 r）
中档题：
如图，⊙I 内切于△ABC，切点为 D、E、F，若 AB=14，BC=13，AC=9，求 AF、BD、CE 的长度。（答案：AF=5，BD=9，CE=4，提示：p=18，AF=p-BC=5）
提升题：
如图，在△ABC 中，⊙I 是内切圆，且与 AB、BC、AC 分别切于 D、E、F，若∠A=50°，求∠EDF 的度数。（答案：65°，提示：连接 IF、ID，∠IFD=∠IDD=90°，∠FID=130°，∠EDF=1/2∠FID=65°）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心定义：三角形内切圆是与三边都相切的圆，内心是三条角平分线的交点，到三边距离相等（等于半径 r）；
关键公式：通用公式 r=S/p，直角三角形特殊公式 r=(a+b-c)/2，切线长公式 x=p-a、y=p-b、z=p-c；
应用技巧：角度计算利用内心的角平分线性质，线段计算结合切线长定理，半径计算根据三角形形状选择对应公式。
作业：
基础作业：教材习题 24.5 第 1、2、3 题（内切圆作图、半径计算）；
拓展作业：已知△ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，求其内切圆与外接圆的半径之比（答案：r 内 = 2，r 外 = 5，比值 2:5）；
实践作业：用硬纸板制作一个直角三角形模型（如 3cm、4cm、5cm），画出其内切圆，测量半径并验证公式 r=(a+b-c)/2 的正确性。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
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24.5 三角形的内切圆
第24章　圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
情境引入
三角形内切圆的相关概念
若要使裁下的圆形最大，则它与三角形三边应有怎样的位置关系？
观察与思考
最大的圆与三角形三边都相切
与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，
内切圆的圆心叫做三角形的内
心，
这个三角形叫做圆的外切三角形.
B
A
C
I
☉I 是 △ABC 的内切圆，点 I 是 △ABC 的内心，△ABC 是 ☉I 的外切三角形.
知识要点
观察与思考
问题1 如图，若⊙O 与∠ABC 的两边相切，那么圆心 O 的位置有什么特点？
圆心 O 在∠ABC 的平分线上.
N
C
O
M
A
B
三角形内切圆的作法及内心的性质
C
O
A
B
问题2 如图，如果⊙O 与△ABC 的三边都相切，那么圆心 O 应该在什么位置？
圆心 O 在∠ABC 与∠ACB 这两个角的平分线的交点处.
AO，BO ，CO 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB 的平分线
F
E
D
线段 OD，OE，OF 的长度相等，都是三角形内切圆的半径
作法：
1. 作∠ABC，∠ACB 的平分线 BE，
CF，设它们交于点 O；
2. 过点 O 作 OD⊥BC 于点 D；
3. 以点 O 为圆心、OD 为半径作☉O.
则 ☉O 即为所作.
问题3 现在你知道如何画△ABC 的内切圆了吗？
C
O
A
B
F
E
D
三角形内心的性质：
三角形的内心在三角形的三条角平分线的交点处.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
知识要点
C
O
A
B
E
D
F
例1 如图，△ABC 中，∠ABC = 43°，∠ACB = 61°，点 I 是 △ABC 的内心，求∠BIC 的度数.
解：连接 IB，IC.
A
B
C
I
∵点 I 是 △ABC 的内心，
∴ BI，CI 分别是∠ABC，∠ACB 的平分线.
在△IBC 中，
典例精析
例2 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为 3 cm，求圆柱底面圆的半径.
该问题可以抽象为如下所示的几何图形.
C
A
B
r
O
D
解： 如图，设圆 O 切 AB 于点 D，连接 OA、OB、OD.
∵ 圆 O 是等边△ABC 的内切圆，
∴ AO、BO 是∠BAC、∠ABC 的平分线.
∴ ∠OAB =∠OBA = 30°.
∵ OD⊥AB，AB = 3 cm，
∴ AD = BD = AB = 1.5 (cm).
∴ OD = AD·tan30° = (cm).
答：圆柱底面圆的半径为 cm.
例3 △ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
B
A
C
E
D
F
O
解:
设 AF = x cm，则 AE = x cm.
∴CE = CD = AC - AE = 9 - x (cm)，
BF = BD = AB - AF = 13 - x(cm).
由 BD + CD = BC，可得
(13 - x) + (9 - x) = 14，
∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.
方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
解得 x = 4.
B
A
C
E
D
F
O
类比归纳
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边垂直平分线的交点
1.OA = OB = OC
2.不一定在三角形内部
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边距离相等
2. AO、BO、CO 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB
3.在三角形内部
A
B
O
C
A
B
C
O
C
A
B
O
D
1. 求边长为 6 cm 的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知 BC = 6 cm，
∠ABC = 60°，OD⊥BC，BO 平分∠ABC.
∴∠OBD = 30°，BD = 3 cm.
内切圆半径
外接圆半径
练一练
变式：
求边长为 a 的等边三角形的内切圆半径 r 与外接圆半径 R 的比.
sin∠OBD = sin30°=
C
A
B
O
D
R
r
A
B
C
O
D
E
F
A
B
C
D
E
F
O
2. 设△ABC 的面积为 S，周长为 L，△ABC 内切圆
的半径为 r，则 S，L 与 r 之间存在怎样的数量关系？
3. 如图，直角三角形的两直角边分别是 a、b，斜边为 c，则其内切圆的半径 r 为 （用含 a、b、c 的代数式表示）.
_________
A
B
C
O
c
D
E
r
解析：如图，过点 O 分别作 AC，BC，AB 的垂线，垂足分别为 D，E，F.
F
则 AD = AC - DC = b - r，
BE = BC - CE = a - r.
∵ AF = AD，BF = BE，AF + BF = AB，
∴ a - r + b - r = c，
∴
b
a
r
r
r
（3）若∠BIC = 100°，则∠A = °.
（2）若∠A = 80°，则∠BIC = °.
130
20
1. 如图，在△ABC 中，点 I 是内心．
（1）若∠ABC = 50°， ∠ACB = 70°，∠BIC =_____°.
A
B
C
I
（4）试探索： ∠A 与∠ BIC 之间存在怎样的数量关系？
120
2.《九章算术》是东方数学思想之源，该书中记载:“今有勾八步，股一十五步，问勾中容圆径几何．”其意思为:“今有直角三角形，勾（短直角边）长为 8 步，股（长直角边）长为 15 步，问该直角三角形内切圆的直径是多少步？”该问题的答案是____步．
6
解析：先由勾股定理得出斜边的长，再根据公式 r =
求出该直角三角形内切圆的半径，即可得内切圆直径的长度.
返回
1．如图，有一块三角形材料(△ABC)，请你画出 一个圆，使其与△ABC的各边都相切．
【解】如图所示，⊙P即为所求作的圆.
2. 下列说法错误的是(　　)
A．三角形的内切圆与三角形的三边都相切
B．一个三角形一定有唯一一个内切圆
C．一个圆一定有唯一一个外切三角形
D．等边三角形的内切圆与外接圆是同心圆
返回
【点拨】一个圆可以有无数个外切三角形，但一个三角形只有一个内切圆.
返回
【答案】 C
返回
【点拨】∵点O到AB，BC，AC三边的距离相等，
∴点O是△ABC的内心，即点O是角平分线的交点．故选D.
返回
【答案】 D
4．如图，⊙I是△ABC的内切圆，D，E，F为三个切点．若∠DEF＝52°，则∠A的度数为(　　)
A．76°
B．68°
C．52°
D．38°
返回
【点拨】连接ID，IF.
∵⊙I是△ABC的内切圆，D，F为⊙I的切点，
∴ID⊥AB，IF⊥AC.∴∠IDA＝∠IFA＝90°.
又∵⊙I中，∠DIF ＝2∠DEF＝104°，
∴∠A＝360°－90°－90°－∠DIF＝76°.故选A.
返回
【答案】 A
5. 《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有下列问题“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为8步，股(长直角边)长为15步，求该直角三角形能容纳的圆(内切圆)的直径”，则该圆的直径为(　　)
A．6步 B．5步 C．4步 D．3步
返回
返回
【答案】 A
三角形的内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
有关概念
内心的概念及性质
应用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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