24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系 课件(共36张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系 课件(共36张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 07:41:35 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.6.1 正多边形的概念及正多边形与圆的关系
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 定义 关联 性质 作图
配图：左侧为 “正六边形与内外切圆组合图”（标注中心 O、半径 R、边心距 d），右侧为 “正五边形尺规作图过程示意”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解正多边形的定义及判定条件，掌握正多边形与圆的双重关联（内接、外切），明确正多边形的中心、半径、边心距等核心元素的含义，熟记正多边形的性质及相关判定定理。
能力目标：能通过圆的等分操作推导正多边形的形成原理，运用尺规完成圆内接正多边形的作图，提升几何建模、逻辑推理与作图验证能力。
素养目标：体会 “化圆为方” 的转化思想，感受正多边形与圆的内在统一性，培养对称思维与严谨的几何表达习惯。
第 3 页：情境导入 正多边形的现实身影
生活情境（配图）：
建筑美学：蜂巢的正六边形结构、天坛祈年殿的正多边形檐角、埃及金字塔的正四棱锥底面；
工艺设计：正五边形徽章、正三角形螺帽、正八边形地砖拼接图案；
自然现象：雪花的正六边形结晶、向日葵花盘的正多边形种子排列。
思考提问：
这些图形的边和角有什么共同特征？为什么自然界和工程中常出现这类图形？
我们熟悉的圆，能否与这些规则图形建立联系？
第 4 页：核心模块 1 正多边形的概念与判定
1. 正多边形的定义
各边相等且各角也相等的多边形，叫做正多边形。
关键辨析（配图对比）：
图形示例
边的特征
角的特征
是否为正多边形
原因分析
菱形
四边相等
角不相等
否
缺少 “各角相等” 条件
矩形
角相等
边不相等
否
缺少 “各边相等” 条件
正五边形
五边相等
五角相等
是
同时满足两边条件
等腰梯形
两腰相等
两底角相等
否
非 “所有边、所有角” 相等
2. 正多边形的判定方法
定义判定法：直接验证多边形的所有边相等且所有角相等（适用于边数较少的多边形）；
圆内接判定法：若一个多边形的顶点是圆的n 等分点，则该多边形是圆的内接正 n 边形；
圆外切判定法：若一个多边形的各边是圆的n 等分切线，则该多边形是圆的外切正 n 边形。
第 5 页：核心模块 2 正多边形与圆的双向关联
1. 圆的内接正多边形
定义：顶点都在同一个圆上的正多边形，叫做圆的内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆。
形成原理：将圆分成 n（n≥3）等份，依次连接各分点，所得多边形即为圆的内接正 n 边形。
核心特征：正多边形的所有顶点共圆（外接圆唯一）。
2. 圆的外切正多边形
定义：各边都与同一个圆相切的正多边形，叫做圆的外切正多边形，这个圆叫做正多边形的内切圆。
形成原理：将圆分成 n（n≥3）等份，经过各分点作圆的切线，相邻切线的交点构成的多边形即为圆的外切正 n 边形。
核心特征：正多边形的所有边都与内切圆相切（内切圆唯一）。
3. 正多边形的 “双圆” 统一性
任意正多边形都同时存在唯一的外接圆和内切圆，且这两个圆是同心圆（圆心相同）。
推导逻辑：正多边形的对称性→各顶点到中心距离相等（外接圆半径）→各边到中心距离相等（内切圆半径）→圆心重合。
第 6 页：核心模块 3 正多边形的核心元素与性质
1. 正多边形的关键元素（以正 n 边形为例，配图标注）
中心（O）：外接圆与内切圆的公共圆心（正多边形的对称中心）；
半径（R）：外接圆的半径，即中心到正多边形顶点的距离（OA=OB=OC=R）；
边心距（d）：内切圆的半径，即中心到正多边形任意一边的垂直距离（OD⊥AB，OD=d），计算公式为\(d = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\)；
中心角（α）：正多边形相邻两顶点与中心连线的夹角，α=\(\frac{360^\circ}{n}\)；
边长（a）：正多边形任意一边的长度，在 Rt△AOD 中，a=2 AD=2R sin (\(\frac{180^\circ}{n}\))。
2. 正多边形的核心性质
对称性：正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴（每条对称轴过中心且垂直于边或过顶点）；当 n 为偶数时，还是中心对称图形，对称中心为中心 O。
角度性质：
中心角 α=\(\frac{360^\circ}{n}\)；
内角 β=\(\frac{(n-2) 180^\circ}{n}\)；
内角与中心角关系：β + 2×(\(\frac{ ±}{2}\))=180°（互补关系）。
面积性质：正多边形的面积 S=\(\frac{1}{2} ¨é è è· \)（类比三角形面积公式，将正 n 边形分为 n 个等腰三角形求和）。
第 7 页：核心模块 4 正多边形的尺规作图（圆内接正多边形）
1. 理论依据
基于 “圆的等分” 原理：通过尺规作特殊角度（如 60°、90°）等分圆，再连接分点得到正多边形。
2. 常见正多边形作图步骤
例 1：作圆内接正六边形（最简单的正多边形）
作⊙O，任取一点 A 为起点；
以 OA 为半径，在圆上依次截取 AB=BC=CD=DE=EF=OA；
连接 A、B、C、D、E、F，六边形 ABCDEF 即为⊙O 的内接正六边形。
关键结论：正六边形的边长等于其外接圆半径（AB=OA=R）。
例 2：作圆内接正三角形（基于正六边形）
按上述步骤作出正六边形 ABCDEF；
依次连接隔一个顶点的 A、C、E（或 B、D、F）；
△ACE 即为⊙O 的内接正三角形。
例 3：作圆内接正方形
作⊙O 的直径 AC，作 AC 的垂直平分线交圆于 B、D；
连接 A、B、C、D，四边形 ABCD 即为⊙O 的内接正方形。
关键结论：正方形的对角线等于其外接圆直径（AC=2R）。
第 8 页：典例精讲 正多边形与圆的综合计算
例题 1：正六边形的元素计算
已知⊙O 的半径 R=4cm，求其内接正六边形的边长、边心距和面积。
解答步骤：
求边长：正六边形边长 a=R=4cm（正六边形性质）；
求边心距：中心角 α=360°/6=60°，在 Rt△AOD 中，d=R cos (30°)=4×\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)=2√3≈3.46cm；
求面积：周长 C=6a=24cm，S=\(\frac{1}{2} C d\)=\(\frac{1}{2} 24 2 3\)=24√3≈41.57cm 。
例题 2：正多边形的判定与角度计算
如图，⊙O 的内接多边形各边相等，且∠AOB=72°，判断该多边形的形状并求其内角。
解答步骤：
判断多边形形状：中心角 α=72°，边数 n=360°/72°=5，故为正五边形；
求内角：方法一（公式法）：内角 β=(5-2)×180°/5=108°；
方法二（互补关系）：β=180° - α/2×2=180°-72°=108°；
验证：正五边形各边相等→顶点等分圆→符合圆内接正多边形判定条件，结论成立。
第 9 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
概念混淆：
误将 “边相等” 或 “角相等” 单一条件当作正多边形的判定依据（如菱形、矩形均非正多边形）；
混淆正多边形的 “半径” 与 “边心距”（半径是顶点到中心的距离，边心距是边到中心的距离，前者大于后者）。
公式误用：
计算边心距时，误将中心角当作 “180°/n” 的余角（正确公式为 d=R cos (180°/n)，而非 sin）；
正多边形面积计算漏乘 “1/2”（正确公式为 S=1/2× 周长 × 边心距）。
作图误区：
作正多边形时，未基于 “圆的等分” 原理，直接用直尺画等长线段拼接（无法保证角相等）；
认为所有正多边形都可尺规作图（如正七边形无法用尺规作出）。
避坑技巧：
判定正多边形牢记 “双等” 原则：必须同时满足 “各边相等” 和 “各角相等”；
计算时画 “核心直角三角形”（由半径、边心距、半边长构成），利用三角函数推导关系；
尺规作图紧扣 “等分圆” 核心，优先通过直径、垂直平分线等作特殊边数正多边形（3、4、6 边）。
第 10 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）下列图形中是正多边形的是______（填序号）。①菱形 ②正方形 ③正五边形 ④矩形 （答案：②③）
（2）已知正三角形的外接圆半径 R=2cm，其边心距 d=______cm，面积 S=______cm 。（答案：1，3√3，提示：d=R cos60°=1，S=1/2×6×1=3√3）
中档题：
如图，⊙O 的内接正四边形 ABCD，对角线 AC=8cm，求⊙O 的半径、正方形的边长及边心距。（答案：R=4cm，a=4√2cm，d=2√2cm，提示：正方形对角线 = 2R）
提升题：
已知正 n 边形的中心角为 30°，求该正多边形的边数 n、内角和及面积（若外接圆半径 R=6cm）。（答案：n=12，内角和 = 1800°，S=108√3cm ，提示：n=360/30=12，d=6 cos15°，C=12×2×6 sin15°，S=1/2×C×d）
第 11 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心定义：正多边形需 “各边相等且各角相等”，与圆存在内接（顶点共圆）和外切（边切圆）双重关联，且双圆同心；
关键元素：中心、半径（外接圆）、边心距（内切圆）、中心角，可通过直角三角形建立数量关系；
核心方法：判定用 “双等” 或 “圆等分”，计算靠 “三角函数 + 面积公式”，作图依 “圆等分原理”。
作业：
基础作业：教材习题 24.6 第 1、3、5 题（正多边形概念辨析、元素计算）；
拓展作业：用尺规作半径为 3cm 的圆内接正六边形，并测量其边心距，验证公式 d=R cos30° 的正确性；
实践作业：观察生活中的正多边形物体（如地砖、钟表），记录 3 种并分析其采用正多边形的原因（从对称性、拼接性角度）。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗
图片引入
正多边形的概念及相关计算
问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
各边相等，各角也相等.
观察与思考
知识要点
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
问题2 n 边形的内角和为多少？正 n 边形的每个内角的度数如何计算？
n 边形的内角和为
正 n 边形的每个内角的度数为
问题3 n 边形的外角和为多少？已知正 n 边形的内角为 α 度，如何求 n 的值？
n 边形的外角和为 360°.
正 n 边形的内角为 α 度，则它的外角为 (180 - α) 度.
故
1. 若一个正 n 边形的每个内角为 144°，则 n = ____.
10
练一练
2. 一个正多边形的内角和为 540°，则这个正多边形的每一个外角都等于 （ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
C
例1 如图，点 G，H 分别是正六边形 ABCDEF 的边 BC，CD 上的点，且 BG = CH，AG 交 BH 于点 P．
（1）求证：△ABG≌△BCH；
典例精析
证明：∵在正六边形 ABCDEF 中，
AB = BC，∠ABC =∠C = 120°.
∵ BG = CH，
∴ △ABG≌△BCH.
解：由（1）知 △ABG≌△BCH，
∴∠BAG =∠CBH．
∴∠BPG =∠ABG = 120°．
∴∠APH =∠BPG = 120°．
（2）求∠APH 的度数．
正多边形与圆的关系
问题 如图，把 ☉O 进行 5 等分，依次连接各等分点得到五边形 ABCDE. 分别过点 A，B，C，D，E 作☉O 的切线，切线交于点 P，Q，R，S，T，依次连接各交点，得到五边形 PQRST. 则五边形
ABCDE 及五边形 PQRST 是正多边
形吗？
·
A
O
E
D
C
B
P
Q
R
S
T
探究1 五边形 ABCDE 是正五边形吗？简要说明理由.
①
② AB____BC____CD____DE____AE.
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
④ ∠A___∠B___∠C___∠D___∠E.
＝
＝
＝
＝
③
＝
＝
＝
＝
∵ 顶点 A，B，C，D，E 都在 ☉O 上，
∴ 五边形 ABCDE 是 ☉O 的内接正五边形.
·
A
O
E
D
C
B
把圆分成 n（n＞2）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的一个内接正 n 边形.
归纳总结
·
A
O
E
D
C
B
P
Q
R
S
T
探究2 五边形 PQRST 是正五边形吗？简要说明理由.
五边形 ABCDE 是 ☉O 的内接正五边形.连接 OA，OB，OC.
则∠OAB =∠OBA =∠OBC =∠OCB．
∵ TP，PQ，QR 分别是以点 A，B，C 为切点的 ☉O 的切线，
∴∠OAP =∠OBP =∠OBQ =∠OCQ．
∴∠PAB =∠PBA =∠QBC =∠QCB．
又∵AB = BC，
∴ △PAB≌△QBC．
∴ ∠P =∠Q，PQ = 2PA.
同理，得
∠Q =∠R =∠S =∠T，
QR = RS = ST = TP = 2PA.
∵五边形 PQRST 的各边与 ☉O 相切，
∴五边形 PQRST 是 ☉O 的外切正五边形.
·
A
O
E
D
C
B
P
Q
R
S
T
把圆分成 n（n＞2）等份，依次连接过等分点作圆的切线，各切线相交所得的多边形就是这个圆的一个外切正 n 边形.
归纳总结
例2 利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形.
解：（1）内接正方形的作法：
① 用直尺作圆的一条直径 AC；
A
C
O
② 作与 AC 垂直的直径 BD；
B
D
③ 顺次连接所得的圆上四点.
则四边形 ABCD 即为所求作的正方形.
再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等.
O
（2）内接正六边形的作法：
① 用直尺作圆的一条直径 AD；
② 以点 A 为圆心，OA 为半径作圆，
与 ⊙O 交于点 B、F；
④ 顺次连接所得的圆上六点.
则六边形 ABCDEF 即为所求作的正六边形.
A
D
B
F
③ 以点 D 为圆心，OD 为半径作圆，
与 ⊙O 交与点 C、E.
C
E
如果再逐次等分各边所对的弧，就可以作出正十二边形、正二十四边形等.
方法归纳：用等分圆周的方法作正多边形：①用量角
器等分圆周；②用尺规等分圆周(特殊正 n 边形).
例3 如图，⊙O 的内接正方形 ABCD，E 为边 CD 上一点，且 DE = CE，延长 BE 交 ⊙O 于 F，连接 FC，若正方形边长为 1，求弦 FC 的长．
解：连接 BD，如图．
在 Rt△CBD 中，
∵∠DBE =∠FCE，∠CFE =∠BDE，
∴△DEB∽△FEC.
2. 如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形，则图中∠1 的大小为______.
1. 如果一个正多边形的一个外角为 30°，那么这个正多边形的边数是 （ ）
A．6 B．11 C．12 D．18
C
108°
3. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为____.
解析：连接 BE、AE，如图所示. ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠BAF =∠AFE = 120°，
FA = FE. ∴∠FAE =∠FEA = 30°.
∴∠BAE = 90°. ∴ BE 是正六边形
ABCDEF 的外接圆的直径. ∵正六
边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，
∴ BE = 8.
8
4.如图，以正六边形 ABCDEF 的边 AB 为边，在形内作正方形 ABMN，连接 MC．求∠BCM 的大小．
解：∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形，
∴∠ABC = 120°，AB = BC．
∵ 四边形 ABMN 为正方形，
∴∠ABM = 90°，AB = BM．
∴∠MBC = 120° - 90°=30°，BM = BC．
∴∠BCM =∠BMC．
∴∠BCM = 75°．
5. 如图，已知正五边形 ABCDE，AF∥CD 交 DB 的延长线于点 F，交 DE 的延长线于点 G，求∠G 的度数．
解：∵ ABCDE 是正五边形，
∴∠C =∠CDE = 108°，CD = CB.
∴∠1 = 36°.
∴∠2 = 108° - 36° = 72°.
∵ AF∥CD，
∴∠F =∠1 = 36°.
∴∠G = 180° -∠2 -∠F = 72°.
）
）
1．给出下列说法：
①各边相等的圆内接多边形是正多边形；
②各边相等的圆外切多边形是正多边形；
③各角相等的圆内接多边形是正多边形；
④各角相等的圆外切多边形是正多边形．
其中正确的是( )
A．①④ B．②③ C．①②③④ D．都不正确
返回
【点拨】①各边相等的圆内接多边形是正多边形，正确；②各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，如菱形，故②错误；③圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故③错误；④各角相等的圆外切多边形是正多边形，正确；∴正确的为①④.故选A.
【答案】 A
2．求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．
已知：如图，多边形ABCDE…是⊙O的内接多边形，AB＝BC＝CD＝DE＝….求证：多边形ABCDE…是正多边形.
返回
3．下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O.
求作：⊙O的内接正方形．
作法：(1)作⊙O的直径AB；
【解】如图，四边形ACBD即为所作.
证明：由作图知CD为AB的垂直平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝
∠AOD＝90°，且CD经过圆心O，
∴AC＝BC＝BD＝AD，
∴四边形ACBD是菱形．由AB为⊙O的直径，
知∠ACB＝90°，∴四边形ACBD是正方形.
返回
4．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下面的方法近似地作出一个正七边形：
如图，已知AB为⊙O的直径．
步骤一：作出半径OB的垂直平分线，与⊙O交于E，F两点，垂足为D.
步骤二：以ED为半径，在⊙O上依次
截取BG＝GH＝HM＝MN＝NP＝PQ＝ED.
步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形BGHMNPQ.
请根据上面的方法，用直尺(没有刻度)和圆规在已知⊙O中作出正七边形BGHMNPQ.要求：不写作法，但要保留作图痕迹．
返回
【解】如图所示，七边形BGHMNPQ为所要作的正七边形.
正多边形与圆
正多边形
正多边形与圆的关系
各边相等
各角相等
缺一不可
内接正多边形
外切正多边形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：24.6.1 正多边形的概念及正多边形与圆的关系
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 定义 关联 性质 作图
配图：左侧为 “正六边形与内外切圆组合图”（标注中心 O、半径 R、边心距 d），右侧为 “正五边形尺规作图过程示意”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解正多边形的定义及判定条件，掌握正多边形与圆的双重关联（内接、外切），明确正多边形的中心、半径、边心距等核心元素的含义，熟记正多边形的性质及相关判定定理。
能力目标：能通过圆的等分操作推导正多边形的形成原理，运用尺规完成圆内接正多边形的作图，提升几何建模、逻辑推理与作图验证能力。
素养目标：体会 “化圆为方” 的转化思想，感受正多边形与圆的内在统一性，培养对称思维与严谨的几何表达习惯。
第 3 页：情境导入 正多边形的现实身影
生活情境（配图）：
建筑美学：蜂巢的正六边形结构、天坛祈年殿的正多边形檐角、埃及金字塔的正四棱锥底面；
工艺设计：正五边形徽章、正三角形螺帽、正八边形地砖拼接图案；
自然现象：雪花的正六边形结晶、向日葵花盘的正多边形种子排列。
思考提问：
这些图形的边和角有什么共同特征？为什么自然界和工程中常出现这类图形？
我们熟悉的圆，能否与这些规则图形建立联系？
第 4 页：核心模块 1 正多边形的概念与判定
1. 正多边形的定义
各边相等且各角也相等的多边形，叫做正多边形。
关键辨析（配图对比）：
图形示例
边的特征
角的特征
是否为正多边形
原因分析
菱形
四边相等
角不相等
否
缺少 “各角相等” 条件
矩形
角相等
边不相等
否
缺少 “各边相等” 条件
正五边形
五边相等
五角相等
是
同时满足两边条件
等腰梯形
两腰相等
两底角相等
否
非 “所有边、所有角” 相等
2. 正多边形的判定方法
定义判定法：直接验证多边形的所有边相等且所有角相等（适用于边数较少的多边形）；
圆内接判定法：若一个多边形的顶点是圆的n 等分点，则该多边形是圆的内接正 n 边形；
圆外切判定法：若一个多边形的各边是圆的n 等分切线，则该多边形是圆的外切正 n 边形。
第 5 页：核心模块 2 正多边形与圆的双向关联
1. 圆的内接正多边形
定义：顶点都在同一个圆上的正多边形，叫做圆的内接正多边形，这个圆叫做正多边形的外接圆。
形成原理：将圆分成 n（n≥3）等份，依次连接各分点，所得多边形即为圆的内接正 n 边形。
核心特征：正多边形的所有顶点共圆（外接圆唯一）。
2. 圆的外切正多边形
定义：各边都与同一个圆相切的正多边形，叫做圆的外切正多边形，这个圆叫做正多边形的内切圆。
形成原理：将圆分成 n（n≥3）等份，经过各分点作圆的切线，相邻切线的交点构成的多边形即为圆的外切正 n 边形。
核心特征：正多边形的所有边都与内切圆相切（内切圆唯一）。
3. 正多边形的 “双圆” 统一性
任意正多边形都同时存在唯一的外接圆和内切圆，且这两个圆是同心圆（圆心相同）。
推导逻辑：正多边形的对称性→各顶点到中心距离相等（外接圆半径）→各边到中心距离相等（内切圆半径）→圆心重合。
第 6 页：核心模块 3 正多边形的核心元素与性质
1. 正多边形的关键元素（以正 n 边形为例，配图标注）
中心（O）：外接圆与内切圆的公共圆心（正多边形的对称中心）；
半径（R）：外接圆的半径，即中心到正多边形顶点的距离（OA=OB=OC=R）；
边心距（d）：内切圆的半径，即中心到正多边形任意一边的垂直距离（OD⊥AB，OD=d），计算公式为\(d = R \cdot \cos\left(\frac{180^\circ}{n}\right)\)；
中心角（α）：正多边形相邻两顶点与中心连线的夹角，α=\(\frac{360^\circ}{n}\)；
边长（a）：正多边形任意一边的长度，在 Rt△AOD 中，a=2 AD=2R sin (\(\frac{180^\circ}{n}\))。
2. 正多边形的核心性质
对称性：正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴（每条对称轴过中心且垂直于边或过顶点）；当 n 为偶数时，还是中心对称图形，对称中心为中心 O。
角度性质：
中心角 α=\(\frac{360^\circ}{n}\)；
内角 β=\(\frac{(n-2) 180^\circ}{n}\)；
内角与中心角关系：β + 2×(\(\frac{ ±}{2}\))=180°（互补关系）。
面积性质：正多边形的面积 S=\(\frac{1}{2} ¨é è è· \)（类比三角形面积公式，将正 n 边形分为 n 个等腰三角形求和）。
第 7 页：核心模块 4 正多边形的尺规作图（圆内接正多边形）
1. 理论依据
基于 “圆的等分” 原理：通过尺规作特殊角度（如 60°、90°）等分圆，再连接分点得到正多边形。
2. 常见正多边形作图步骤
例 1：作圆内接正六边形（最简单的正多边形）
作⊙O，任取一点 A 为起点；
以 OA 为半径，在圆上依次截取 AB=BC=CD=DE=EF=OA；
连接 A、B、C、D、E、F，六边形 ABCDEF 即为⊙O 的内接正六边形。
关键结论：正六边形的边长等于其外接圆半径（AB=OA=R）。
例 2：作圆内接正三角形（基于正六边形）
按上述步骤作出正六边形 ABCDEF；
依次连接隔一个顶点的 A、C、E（或 B、D、F）；
△ACE 即为⊙O 的内接正三角形。
例 3：作圆内接正方形
作⊙O 的直径 AC，作 AC 的垂直平分线交圆于 B、D；
连接 A、B、C、D，四边形 ABCD 即为⊙O 的内接正方形。
关键结论：正方形的对角线等于其外接圆直径（AC=2R）。
第 8 页：典例精讲 正多边形与圆的综合计算
例题 1：正六边形的元素计算
已知⊙O 的半径 R=4cm，求其内接正六边形的边长、边心距和面积。
解答步骤：
求边长：正六边形边长 a=R=4cm（正六边形性质）；
求边心距：中心角 α=360°/6=60°，在 Rt△AOD 中，d=R cos (30°)=4×\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)=2√3≈3.46cm；
求面积：周长 C=6a=24cm，S=\(\frac{1}{2} C d\)=\(\frac{1}{2} 24 2 3\)=24√3≈41.57cm 。
例题 2：正多边形的判定与角度计算
如图，⊙O 的内接多边形各边相等，且∠AOB=72°，判断该多边形的形状并求其内角。
解答步骤：
判断多边形形状：中心角 α=72°，边数 n=360°/72°=5，故为正五边形；
求内角：方法一（公式法）：内角 β=(5-2)×180°/5=108°；
方法二（互补关系）：β=180° - α/2×2=180°-72°=108°；
验证：正五边形各边相等→顶点等分圆→符合圆内接正多边形判定条件，结论成立。
第 9 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
概念混淆：
误将 “边相等” 或 “角相等” 单一条件当作正多边形的判定依据（如菱形、矩形均非正多边形）；
混淆正多边形的 “半径” 与 “边心距”（半径是顶点到中心的距离，边心距是边到中心的距离，前者大于后者）。
公式误用：
计算边心距时，误将中心角当作 “180°/n” 的余角（正确公式为 d=R cos (180°/n)，而非 sin）；
正多边形面积计算漏乘 “1/2”（正确公式为 S=1/2× 周长 × 边心距）。
作图误区：
作正多边形时，未基于 “圆的等分” 原理，直接用直尺画等长线段拼接（无法保证角相等）；
认为所有正多边形都可尺规作图（如正七边形无法用尺规作出）。
避坑技巧：
判定正多边形牢记 “双等” 原则：必须同时满足 “各边相等” 和 “各角相等”；
计算时画 “核心直角三角形”（由半径、边心距、半边长构成），利用三角函数推导关系；
尺规作图紧扣 “等分圆” 核心，优先通过直径、垂直平分线等作特殊边数正多边形（3、4、6 边）。
第 10 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）下列图形中是正多边形的是______（填序号）。①菱形 ②正方形 ③正五边形 ④矩形 （答案：②③）
（2）已知正三角形的外接圆半径 R=2cm，其边心距 d=______cm，面积 S=______cm 。（答案：1，3√3，提示：d=R cos60°=1，S=1/2×6×1=3√3）
中档题：
如图，⊙O 的内接正四边形 ABCD，对角线 AC=8cm，求⊙O 的半径、正方形的边长及边心距。（答案：R=4cm，a=4√2cm，d=2√2cm，提示：正方形对角线 = 2R）
提升题：
已知正 n 边形的中心角为 30°，求该正多边形的边数 n、内角和及面积（若外接圆半径 R=6cm）。（答案：n=12，内角和 = 1800°，S=108√3cm ，提示：n=360/30=12，d=6 cos15°，C=12×2×6 sin15°，S=1/2×C×d）
第 11 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心定义：正多边形需 “各边相等且各角相等”，与圆存在内接（顶点共圆）和外切（边切圆）双重关联，且双圆同心；
关键元素：中心、半径（外接圆）、边心距（内切圆）、中心角，可通过直角三角形建立数量关系；
核心方法：判定用 “双等” 或 “圆等分”，计算靠 “三角函数 + 面积公式”，作图依 “圆等分原理”。
作业：
基础作业：教材习题 24.6 第 1、3、5 题（正多边形概念辨析、元素计算）；
拓展作业：用尺规作半径为 3cm 的圆内接正六边形，并测量其边心距，验证公式 d=R cos30° 的正确性；
实践作业：观察生活中的正多边形物体（如地砖、钟表），记录 3 种并分析其采用正多边形的原因（从对称性、拼接性角度）。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.6.1正多边形的概念及正多边形与圆的关系
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
下图的这些图案，都是我们在日常生活中经常能看到的.你能从这些图案中找出类似的图形吗
图片引入
正多边形的概念及相关计算
问题1 观察下面多边形，它们的边、角有什么特点？
各边相等，各角也相等.
观察与思考
知识要点
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
正多边形
各边相等
各角相等
缺一不可
问题2 n 边形的内角和为多少？正 n 边形的每个内角的度数如何计算？
n 边形的内角和为
正 n 边形的每个内角的度数为
问题3 n 边形的外角和为多少？已知正 n 边形的内角为 α 度，如何求 n 的值？
n 边形的外角和为 360°.
正 n 边形的内角为 α 度，则它的外角为 (180 - α) 度.
故
1. 若一个正 n 边形的每个内角为 144°，则 n = ____.
10
练一练
2. 一个正多边形的内角和为 540°，则这个正多边形的每一个外角都等于 （ ）
A．108° B．90° C．72° D．60°
C
例1 如图，点 G，H 分别是正六边形 ABCDEF 的边 BC，CD 上的点，且 BG = CH，AG 交 BH 于点 P．
（1）求证：△ABG≌△BCH；
典例精析
证明：∵在正六边形 ABCDEF 中，
AB = BC，∠ABC =∠C = 120°.
∵ BG = CH，
∴ △ABG≌△BCH.
解：由（1）知 △ABG≌△BCH，
∴∠BAG =∠CBH．
∴∠BPG =∠ABG = 120°．
∴∠APH =∠BPG = 120°．
（2）求∠APH 的度数．
正多边形与圆的关系
问题 如图，把 ☉O 进行 5 等分，依次连接各等分点得到五边形 ABCDE. 分别过点 A，B，C，D，E 作☉O 的切线，切线交于点 P，Q，R，S，T，依次连接各交点，得到五边形 PQRST. 则五边形
ABCDE 及五边形 PQRST 是正多边
形吗？
·
A
O
E
D
C
B
P
Q
R
S
T
探究1 五边形 ABCDE 是正五边形吗？简要说明理由.
①
② AB____BC____CD____DE____AE.
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝
④ ∠A___∠B___∠C___∠D___∠E.
＝
＝
＝
＝
③
＝
＝
＝
＝
∵ 顶点 A，B，C，D，E 都在 ☉O 上，
∴ 五边形 ABCDE 是 ☉O 的内接正五边形.
·
A
O
E
D
C
B
把圆分成 n（n＞2）等份，依次连接各分点所得的多边形就是这个圆的一个内接正 n 边形.
归纳总结
·
A
O
E
D
C
B
P
Q
R
S
T
探究2 五边形 PQRST 是正五边形吗？简要说明理由.
五边形 ABCDE 是 ☉O 的内接正五边形.连接 OA，OB，OC.
则∠OAB =∠OBA =∠OBC =∠OCB．
∵ TP，PQ，QR 分别是以点 A，B，C 为切点的 ☉O 的切线，
∴∠OAP =∠OBP =∠OBQ =∠OCQ．
∴∠PAB =∠PBA =∠QBC =∠QCB．
又∵AB = BC，
∴ △PAB≌△QBC．
∴ ∠P =∠Q，PQ = 2PA.
同理，得
∠Q =∠R =∠S =∠T，
QR = RS = ST = TP = 2PA.
∵五边形 PQRST 的各边与 ☉O 相切，
∴五边形 PQRST 是 ☉O 的外切正五边形.
·
A
O
E
D
C
B
P
Q
R
S
T
把圆分成 n（n＞2）等份，依次连接过等分点作圆的切线，各切线相交所得的多边形就是这个圆的一个外切正 n 边形.
归纳总结
例2 利用尺规作图，作出已知圆的内接正方形和内接正六边形.
解：（1）内接正方形的作法：
① 用直尺作圆的一条直径 AC；
A
C
O
② 作与 AC 垂直的直径 BD；
B
D
③ 顺次连接所得的圆上四点.
则四边形 ABCD 即为所求作的正方形.
再逐次平分各边所对的弧，就可以作出正八边形、正十六边形等.
O
（2）内接正六边形的作法：
① 用直尺作圆的一条直径 AD；
② 以点 A 为圆心，OA 为半径作圆，
与 ⊙O 交于点 B、F；
④ 顺次连接所得的圆上六点.
则六边形 ABCDEF 即为所求作的正六边形.
A
D
B
F
③ 以点 D 为圆心，OD 为半径作圆，
与 ⊙O 交与点 C、E.
C
E
如果再逐次等分各边所对的弧，就可以作出正十二边形、正二十四边形等.
方法归纳：用等分圆周的方法作正多边形：①用量角
器等分圆周；②用尺规等分圆周(特殊正 n 边形).
例3 如图，⊙O 的内接正方形 ABCD，E 为边 CD 上一点，且 DE = CE，延长 BE 交 ⊙O 于 F，连接 FC，若正方形边长为 1，求弦 FC 的长．
解：连接 BD，如图．
在 Rt△CBD 中，
∵∠DBE =∠FCE，∠CFE =∠BDE，
∴△DEB∽△FEC.
2. 如图是一枚“八一”建军节纪念章，其外轮廓是一个正五边形，则图中∠1 的大小为______.
1. 如果一个正多边形的一个外角为 30°，那么这个正多边形的边数是 （ ）
A．6 B．11 C．12 D．18
C
108°
3. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，则 B、E 两点间的距离为____.
解析：连接 BE、AE，如图所示. ∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，∴∠BAF =∠AFE = 120°，
FA = FE. ∴∠FAE =∠FEA = 30°.
∴∠BAE = 90°. ∴ BE 是正六边形
ABCDEF 的外接圆的直径. ∵正六
边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，
∴ BE = 8.
8
4.如图，以正六边形 ABCDEF 的边 AB 为边，在形内作正方形 ABMN，连接 MC．求∠BCM 的大小．
解：∵ 六边形 ABCDEF 为正六边形，
∴∠ABC = 120°，AB = BC．
∵ 四边形 ABMN 为正方形，
∴∠ABM = 90°，AB = BM．
∴∠MBC = 120° - 90°=30°，BM = BC．
∴∠BCM =∠BMC．
∴∠BCM = 75°．
5. 如图，已知正五边形 ABCDE，AF∥CD 交 DB 的延长线于点 F，交 DE 的延长线于点 G，求∠G 的度数．
解：∵ ABCDE 是正五边形，
∴∠C =∠CDE = 108°，CD = CB.
∴∠1 = 36°.
∴∠2 = 108° - 36° = 72°.
∵ AF∥CD，
∴∠F =∠1 = 36°.
∴∠G = 180° -∠2 -∠F = 72°.
）
）
1．给出下列说法：
①各边相等的圆内接多边形是正多边形；
②各边相等的圆外切多边形是正多边形；
③各角相等的圆内接多边形是正多边形；
④各角相等的圆外切多边形是正多边形．
其中正确的是( )
A．①④ B．②③ C．①②③④ D．都不正确
返回
【点拨】①各边相等的圆内接多边形是正多边形，正确；②各边相等的圆外切多边形的角不一定相等，如菱形，故②错误；③圆内接矩形，各角相等，但不是正多边形，故③错误；④各角相等的圆外切多边形是正多边形，正确；∴正确的为①④.故选A.
【答案】 A
2．求证：各边相等的圆内接多边形是正多边形．
已知：如图，多边形ABCDE…是⊙O的内接多边形，AB＝BC＝CD＝DE＝….求证：多边形ABCDE…是正多边形.
返回
3．下面是“作已知圆的内接正方形”的尺规作图过程．
已知：如图，⊙O.
求作：⊙O的内接正方形．
作法：(1)作⊙O的直径AB；
【解】如图，四边形ACBD即为所作.
证明：由作图知CD为AB的垂直平分线，
∴∠AOC＝∠BOC＝∠BOD＝
∠AOD＝90°，且CD经过圆心O，
∴AC＝BC＝BD＝AD，
∴四边形ACBD是菱形．由AB为⊙O的直径，
知∠ACB＝90°，∴四边形ACBD是正方形.
返回
4．用尺规作图法作正多边形是数学史上很经典的几何问题，在边数小于10的正多边形中，可以用尺规作图法作出的有正三角形、正四边形、正五边形、正六边形和正八边形，德国数学家高斯已经证明不能用尺规作图法作出正七边形和正九边形，但是我们可以用下面的方法近似地作出一个正七边形：
如图，已知AB为⊙O的直径．
步骤一：作出半径OB的垂直平分线，与⊙O交于E，F两点，垂足为D.
步骤二：以ED为半径，在⊙O上依次
截取BG＝GH＝HM＝MN＝NP＝PQ＝ED.
步骤三：顺次连接各分点，即可得到一个近似的正七边形BGHMNPQ.
请根据上面的方法，用直尺(没有刻度)和圆规在已知⊙O中作出正七边形BGHMNPQ.要求：不写作法，但要保留作图痕迹．
返回
【解】如图所示，七边形BGHMNPQ为所要作的正七边形.
正多边形与圆
正多边形
正多边形与圆的关系
各边相等
各角相等
缺一不可
内接正多边形
外切正多边形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！