24.6.2正多边形的性质 课件(共47张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 24.6.2正多边形的性质 课件(共47张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 07:41:14 | ||
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文档简介
(共47张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.6.2 正多边形的性质
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 对称 角度 度量 应用
配图：左侧为 “正五边形对称轴与中心对称示意”，右侧为 “正六边形核心直角三角形（半径、边心距、半边长）标注图”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标与知识衔接
1. 前置回顾（24.6.1 核心要点）
正多边形定义：各边相等且各角相等的多边形；
双重关联：任意正多边形有唯一外接圆与内切圆，且双圆同心；
关键元素：中心、半径（R）、边心距（d）、中心角（α）。
2. 本课时学习目标
知识目标：掌握正多边形的对称性（轴对称、中心对称、旋转对称）、角度性质（内角、外角、中心角关系）及度量性质（边长、周长、面积计算），能灵活运用性质解决几何问题。
能力目标：通过性质推导与实例计算，提升几何推理、公式应用及多维度建模能力。
素养目标：深化 “数形结合” 思想，理解正多边形性质的内在统一性，培养严谨的逻辑表达习惯。
第 3 页：情境导入 性质的现实应用
生活中的性质体现（配图）：
机械设计：正六边形螺帽利用 “中心对称” 实现双向拧紧，正三角形支架依托 “内角稳定性” 承载重量；
艺术创作：剪纸中正五边形的 “轴对称” 图案设计，钟表表盘正十二边形的 “等角度分割” 计时原理；
建筑施工：正八边形地砖通过 “外角和 360°” 实现无缝拼接，蜂巢正六边形以 “最小周长最大面积” 节省材料。
思考提问：这些实际应用分别利用了正多边形的哪些隐藏性质？不同性质之间是否存在内在联系？
第 4 页：核心模块 1 正多边形的对称性（三大维度）
1. 轴对称性（所有正多边形共有的基本性质）
性质表述：正 n 边形是轴对称图形，且有n 条对称轴。
对称轴特征（配图示意）：
当 n 为奇数时：每条对称轴均过一个顶点和其对边的中点（如正三角形、正五边形）；
当 n 为偶数时：对称轴分为两类，一类过相对顶点，一类过相对边的中点（如正方形、正六边形）。
2. 中心对称性（特殊正多边形的附加性质）
性质表述：当正 n 边形的边数 n 为偶数时，它是中心对称图形，其对称中心即为正多边形的中心（外接圆与内切圆的圆心）。
验证示例（配图对比）：
正四边形（正方形）：绕中心旋转 180° 与原图形重合；
正六边形：绕中心旋转 180° 与原图形重合；
正五边形：绕中心旋转任意角度（非 360°/n 的整数倍）不重合，无中心对称性。
3. 旋转对称性（所有正多边形共有的深层性质）
性质表述：任意正 n 边形绕其中心旋转360°/n 的整数倍后，均能与原图形完全重合。
量化分析：
正三角形：最小旋转角 120°（360°/3）；
正方形：最小旋转角 90°（360°/4）；
正 n 边形：最小旋转角 θ=360°/n，旋转 θ、2θ、…、(n-1)θ 后均重合。
第 5 页：核心模块 2 正多边形的角度性质（三大角度关系）
1. 三大角度的基础计算公式
角度类型
计算公式
推导依据
适用范围
内角（β）
β=(n-2)×180°/n 或 β=180°-360°/n
多边形内角和公式：(n-2)×180°，正多边形各内角相等
所有正 n 边形（n≥3）
外角（γ）
γ=360°/n
任意多边形外角和恒为 360°，正多边形各外角相等
所有正 n 边形（n≥3）
中心角（α）
α=360°/n
正多边形顶点等分外接圆，圆心角均分 360°
所有正 n 边形（n≥3）
2. 角度之间的关键关联
核心等价关系：外角（γ）= 中心角（α）= 360°/n；
互补关系：内角（β）+ 外角（γ）= 180°（平角定义）；
推导验证（以正五边形为例）：
内角 β=(5-2)×180°/5=108°，外角 γ=360°/5=72°，中心角 α=360°/5=72°；
验证：108°+72°=180°，γ=α，关系成立。
第 6 页：核心模块 3 正多边形的度量性质（计算体系）
1. 核心元素的数量关系（基于 Rt△AOD，配图标注）
设正 n 边形的外接圆半径为 R，边长为 a，边心距为 d，半边长为 a/2，则：
勾股定理：\(R^2 = d^2 + (a/2)^2\)；
三角函数表达：
边长：\(a = 2R ·\sin(180 °/n)\)；
边心距：\(d = R ·\cos(180 °/n)\)。
2. 周长与面积的计算公式
周长（C）：\(C = n ·a = 2nR ·\sin(180 °/n)\)（边长 × 边数）；
面积（S）：
基本公式：\(S = \frac{1}{2} C d\)（类比三角形面积，周长为底，边心距为高）；
代入推导：\(S = \frac{1}{2} 2nR ·\sin(180 °/n) R ·\cos(180 °/n) = \frac{1}{2}nR^2 ·\sin(360 °/n)\)；
特殊结论：正六边形面积\(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2\)（因 a=R，d=\(\frac{\sqrt{3}}{2}R\)，C=6R）。
3. 对角线数量性质
计算公式：\( è§ ° = \frac{n(n-3)}{2}\)；
推导逻辑：每个顶点可与除相邻 2 个顶点外的 (n-3) 个顶点连对角线，n 个顶点共 n (n-3) 条，去除重复计算后除以 2；
示例验证：正五边形对角线数 =\(\frac{5 2}{2}=5\)（实际可数 5 条），正六边形 =\(\frac{6 3}{2}=9\)（实际可数 9 条）。
第 7 页：典例精讲 性质的综合应用
例题 1：对称性与角度综合问题
已知一个正多边形绕中心旋转 45° 后与原图形重合，且有 8 条对称轴，求该正多边形的边数、内角及对角线总数。
解答步骤：
求边数 n：最小旋转角 = 360°/n=45°→n=8（正八边形）；
求内角 β：β=(8-2)×180°/8=135°（或 β=180°-45°=135°）；
求对角线数：\(\frac{8 5}{2}=20\)条；
验证：正八边形有 8 条对称轴，符合题意，结论成立。
例题 2：度量性质的实际计算
某广场要铺设正六边形地砖，已知地砖的外接圆半径为 20cm，求一块地砖的边长、边心距及面积。
解答步骤：
求边长 a：正六边形边长 a=R=20cm（特殊性质）；
求边心距 d：d=R cos (30°)=20×\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)=10√3≈17.32cm；
求面积 S：C=6×20=120cm，S=\(\frac{1}{2} 120 10 3=600 3 1039.23cm \)；
应用意义：可据此计算 1 平方米需地砖数量（10000÷1039.23≈9 块）。
第 8 页：易错警示与深化技巧
1. 常见易错点剖析
对称性误区：
误判 “所有正多边形都有中心对称性”（忽略 n 为奇数时无中心对称性）；
混淆正多边形对称轴的数量（牢记对称轴数 = 边数 n）。
角度计算误区：
误用内角公式（漏乘 (n-2) 或错除以 n）；
混淆中心角与内角的关系（中心角 = 外角≠内角，内角与中心角互补）。
度量计算误区：
面积计算漏乘 “1/2”（正确公式 S=1/2× 周长 × 边心距）；
对角线数量计算未除以 2（重复计数问题）。
2. 深化解题技巧
“三角转化” 法：涉及正多边形计算时，优先构造 “半径、边心距、半边长” 组成的直角三角形，将多边形问题转化为直角三角形问题；
“特殊值记忆” 法：牢记常见正多边形的关键参数（如下表）：
正多边形
内角
中心角
边长与 R 关系
边心距与 R 关系
正三角形
60°
120°
a=√3 R
d=R/2
正方形
90°
90°
a=√2 R
d=√2 R/2
正六边形
120°
60°
a=R
d=√3 R/2
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）正十二边形的中心角为____°，内角为____°，外角为____°。（答案：30，150，30）
（2）若正 n 边形的内角为 144°，则 n=____，其对角线有____条。（答案：10，35，提示：144=180-360/n→n=10，对角线 = 10×7/2=35）
中档题：
已知正五边形的外接圆半径为 5cm，求其边长、边心距及面积（结果保留根号）。（答案：a=2×5×sin36°≈5.88cm，d=5×cos36°≈4.05cm，S=1/2×5a×d≈59.44cm ）
提升题：
一个正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，且内角和为 1800°，求该多边形的边数、最小旋转角及边心距（若外接圆半径为 6cm）。（答案：n=12，旋转角 30°，d=6×cos15°≈5.796cm，提示：(n-2)×180=1800→n=12）
第 10 页：课堂小结与作业布置
1. 核心知识梳理
对称性：轴对称（n 条轴）、中心对称（n 偶）、旋转对称（最小角 360°/n）；
角度性质：内角 =(n-2)×180°/n，外角 = 中心角 = 360°/n，内角 + 外角 = 180°；
度量计算：依托直角三角形建立 R、a、d 关系，面积 = 1/2× 周长 × 边心距，对角线 = n (n-3)/2。
2. 作业布置
基础作业：教材习题 24.6 第 2、4、6 题（角度计算、度量性质应用）；
拓展作业：用硬纸板制作正三角形、正方形、正六边形模型，标注对称轴、中心、半径、边心距，验证对称性与度量关系；
实践作业：测量家中正多边形物体（如钟表、地砖）的边长，估算其外接圆半径与面积，写出计算过程。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.6.2正多边形的性质
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 什么是正多边形？
问题2 如何作出正多边形？
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
将一个圆 n 等分，就可以作出这个圆的内接或外切正 n 边形.
复习引入
正多边形的性质
O
A
B
C
D
问题1 以正方形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
E
F
G
H
∵ EF 是边 AB、CD 的垂直平分线，∴ OA = OB，OD = OC.
同理，OA = OD，OB = OC.
∴OA = OB = OC = OD.
∴正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的外接圆.
观察与思考
O
A
B
C
D
E
F
G
H
∵ AC 是∠DAB 和∠DCB 的平分线，BD 是∠ABC 和∠ADC 的平分线，
∴ OE = OH = OF = OG.
∴ 正方形 ABCD 还有一个以点 O 为圆心的内切圆.
所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
想一想：
O
A
B
C
D
E
F
G
H
R
r
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
知识要点
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于 .
正多边形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
60°
120°
120°
90°
90°
90°
120°
60°
60°
正多边形的外角=中心角
完成下面的表格：
练一练
如图，已知半径为 4 的圆内接正六边形 ABCDEF：
① 它的中心角等于 度；
② OC BC(填＞、＜或＝）；
③ △OBC 是 三角形；
④ 圆内接正六边形的面积是 △OBC 面积
的 倍.
⑤ 圆内接正 n 边形面积公式：___________________.
C
D
O
B
E
F
A
P
60
=
等边
6
正多边形的有关计算
二
探究归纳
S正多边形 =
例1 有一个亭子,它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的面积(精确到 0.1 m2).
抽象成
典例精析
C
D
O
E
F
A
P
B
利用勾股定理，可得边心距
则亭子地基的面积
4m
O
A
B
C
D
E
F
M
r
解：过点 O 作 OM⊥BC 于 M. 易得 △OBC 为正三角形.
∴ BC = OB = 4，
例2 求边长为 a 的正六边形的周长和面积.
解：如图，过正六边形 ABCDEF 的中心 O 作 OG⊥BC，垂足为 G，连接 OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为 l 和 S.
F
A
B
C
D
E
O
G
在正六边形 ABCDEF 中，∠BOC = 60°，OB = OC，
∴ △BOC 是等边三角形.
则 l = 6BC = 6a.
在△BOC 中，
∴
(1) 正 n 边形的中心角怎么计算？
C
D
O
B
E
F
A
P
(2) 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距
r 之间有什么关系？
a
R
r
(3) 边长为 a，边心距为 r 的正 n 边形的面积是多少？
其中 l 为正 n 边形的周长.
想一想：
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE 的度数是 （ ）
A．60° B．45° C．36° D．30°
·
A
B
C
D
E
O
练一练
C
2. 作边心距，构造直角三角形.
1. 连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形中常见的辅助线作法
方法归纳
O
边心距 r
边长一半
半径 R
B
M
中心角的一半
画一画：画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结论？
正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴，且这些对称轴都通过正多边形的中心. 如果 n 为偶数，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
要点归纳
例3 如图，AG 是正八边形 ABCDEFGH 的一条对角线.
(1) 在剩余的顶点 B、C、D、E、F、H 中，连接两个顶
点，使连接的线段与 AG 平行，并说明理由；
解：连接 BF，CE，则 BF∥AG，CE∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH 是正八边形，
∴ 它的内角都为 135°．
又∵ HA = HG，∴∠HAG = 22.5°.
∴∠GAB = 135° -∠HAG = 112.5°.
∵ 正八边形 ABCDEFGH 关于直线 BF 对称，
即∠BAG +∠ABF = 180°，故 BF∥AG．
同理，可得 CE∥BF，
∴ CE∥AG.
(2) 两边延长 AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点 P、Q、M、N，若AB = 2，求四边形 PQMN 的面积．
P
N
M
Q
解：由题意可知∠PHA =∠PAH = 45°，
∴∠P = 90°. 同理可得∠Q =∠M = 90°，
∴ 四边形 PQMN 是矩形．
∵∠PHA =∠PAH =∠QBC =∠QCB =
∠MDE =∠MED = 45°，AH = BC = DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE．
∴ PA = QB = QC = MD．
∴ PQ = QM．
故四边形 PQMN 是正方形．
P
N
M
Q
在 Rt△PAH 中，
∵∠PAH = 45°，AB = 2，
故 S四边形PQMN =
P
N
M
Q
2. 若正多边形的边心距与半径的比为 1∶2，则这个
正多边形的边数是 .
正多边形边数 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
1. 填表：
2
1
2
8
4
2
2
12
3
4. 要用圆形铁片截出边长为 4 cm 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小为 cm.
也就是要找这个正方形外接圆的直径
3. 如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状可近似
看作是正七边形，则一个内角为 度.（不取
近似值）
5. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接正方形，若正方形的面积等于 4，求 ⊙O 的面积．
解：∵ 正方形的面积等于 4，
则半径为
∴ ⊙O 的面积为
∴ 正方形的边长 AB = 2.
A
B
C
D
E
F
P
6. 如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 ，点 P 为六边形内任一点，则点 P 到各边的距离之和是多少？
解：过 P 作 AB 的垂线，分别交 AB、DE于 H、K，连接 BD，作 CG⊥BD 于 G.
G
H
K
∴ P 到 AF 与 CD 的距离之和，及 P 到 EF、BC 的距离之和，均为 HK 的长.
∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴ AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF.
G
A
B
C
D
E
F
P
∴ 点 P 到各边的距离之和为 3BD = 3×6 = 18.
G
H
K
∵ BC = CD，∠BCD =∠ABC =∠CDE = 120°，
∴∠CBD =∠BDC = 30°，BD∥HK，且 BD = HK.
∵ CG⊥BD，
∴ BD = 2BG = 2BC·cos∠CBD = 6.
G
拓广探索
7.如图,M,N分别是☉O内接正多边形的边AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)图①中∠MON =______°，图②中∠MON = °，
图③中∠MON = °；
(2)试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系.
90
72
120
.
A
B
C
M
N
O
图①
A
B
C
D
M
N
O
图②
A
B
C
D
E
M
N
O
图③
【答案】C
返回
返回
2．[2024·福州期中]如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF，则∠FDC的度数是( )
A．18°
B．30°
C．36°
D．40°
C
3．[2024·宜宾]如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是________．
【点拨】连接BE交AC于点O，如图.
∵正五边形ABCDE的边长为4，∴AB＝BC＝4.
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CBA＝∠BAE＝(5－2)×180°÷5＝108°，
BC＝AB＝AE. ∴∠BCA＝∠BAC＝
∠ABE＝∠AEB＝(180°－108°)÷2＝36°.
∴∠CBO＝∠ABC－∠ABE＝108°－36°＝72°.
返回
【答案】C
返回
【答案】D
返回
6. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图①，由圆内接正六边形可算出π≈3.若利用圆内接正十二边形(图②)来计算圆周率，则圆周率π约为( )
A．12sin 30° B．12cos 30°
C．12sin 15° D．12cos 15°
【点拨】如图，连接OA6，OA7，过点O作OM⊥A6A7，
则在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°.
设⊙O的半径为R，则A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°.
【答案】C
返回
7. 我们学习了，在多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形．观察如图所示的每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：
(1)将下面的表格补充完整：
60°
正多边形的边数 3 4 5 6 …
∠α的度数 … 10 °
45°
36°
30°
18
(2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝25°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
返回
正多边形的性质
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形的对称性
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：24.6.2 正多边形的性质
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 对称 角度 度量 应用
配图：左侧为 “正五边形对称轴与中心对称示意”，右侧为 “正六边形核心直角三角形（半径、边心距、半边长）标注图”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标与知识衔接
1. 前置回顾（24.6.1 核心要点）
正多边形定义：各边相等且各角相等的多边形；
双重关联：任意正多边形有唯一外接圆与内切圆，且双圆同心；
关键元素：中心、半径（R）、边心距（d）、中心角（α）。
2. 本课时学习目标
知识目标：掌握正多边形的对称性（轴对称、中心对称、旋转对称）、角度性质（内角、外角、中心角关系）及度量性质（边长、周长、面积计算），能灵活运用性质解决几何问题。
能力目标：通过性质推导与实例计算，提升几何推理、公式应用及多维度建模能力。
素养目标：深化 “数形结合” 思想，理解正多边形性质的内在统一性，培养严谨的逻辑表达习惯。
第 3 页：情境导入 性质的现实应用
生活中的性质体现（配图）：
机械设计：正六边形螺帽利用 “中心对称” 实现双向拧紧，正三角形支架依托 “内角稳定性” 承载重量；
艺术创作：剪纸中正五边形的 “轴对称” 图案设计，钟表表盘正十二边形的 “等角度分割” 计时原理；
建筑施工：正八边形地砖通过 “外角和 360°” 实现无缝拼接，蜂巢正六边形以 “最小周长最大面积” 节省材料。
思考提问：这些实际应用分别利用了正多边形的哪些隐藏性质？不同性质之间是否存在内在联系？
第 4 页：核心模块 1 正多边形的对称性（三大维度）
1. 轴对称性（所有正多边形共有的基本性质）
性质表述：正 n 边形是轴对称图形，且有n 条对称轴。
对称轴特征（配图示意）：
当 n 为奇数时：每条对称轴均过一个顶点和其对边的中点（如正三角形、正五边形）；
当 n 为偶数时：对称轴分为两类，一类过相对顶点，一类过相对边的中点（如正方形、正六边形）。
2. 中心对称性（特殊正多边形的附加性质）
性质表述：当正 n 边形的边数 n 为偶数时，它是中心对称图形，其对称中心即为正多边形的中心（外接圆与内切圆的圆心）。
验证示例（配图对比）：
正四边形（正方形）：绕中心旋转 180° 与原图形重合；
正六边形：绕中心旋转 180° 与原图形重合；
正五边形：绕中心旋转任意角度（非 360°/n 的整数倍）不重合，无中心对称性。
3. 旋转对称性（所有正多边形共有的深层性质）
性质表述：任意正 n 边形绕其中心旋转360°/n 的整数倍后，均能与原图形完全重合。
量化分析：
正三角形：最小旋转角 120°（360°/3）；
正方形：最小旋转角 90°（360°/4）；
正 n 边形：最小旋转角 θ=360°/n，旋转 θ、2θ、…、(n-1)θ 后均重合。
第 5 页：核心模块 2 正多边形的角度性质（三大角度关系）
1. 三大角度的基础计算公式
角度类型
计算公式
推导依据
适用范围
内角（β）
β=(n-2)×180°/n 或 β=180°-360°/n
多边形内角和公式：(n-2)×180°，正多边形各内角相等
所有正 n 边形（n≥3）
外角（γ）
γ=360°/n
任意多边形外角和恒为 360°，正多边形各外角相等
所有正 n 边形（n≥3）
中心角（α）
α=360°/n
正多边形顶点等分外接圆，圆心角均分 360°
所有正 n 边形（n≥3）
2. 角度之间的关键关联
核心等价关系：外角（γ）= 中心角（α）= 360°/n；
互补关系：内角（β）+ 外角（γ）= 180°（平角定义）；
推导验证（以正五边形为例）：
内角 β=(5-2)×180°/5=108°，外角 γ=360°/5=72°，中心角 α=360°/5=72°；
验证：108°+72°=180°，γ=α，关系成立。
第 6 页：核心模块 3 正多边形的度量性质（计算体系）
1. 核心元素的数量关系（基于 Rt△AOD，配图标注）
设正 n 边形的外接圆半径为 R，边长为 a，边心距为 d，半边长为 a/2，则：
勾股定理：\(R^2 = d^2 + (a/2)^2\)；
三角函数表达：
边长：\(a = 2R ·\sin(180 °/n)\)；
边心距：\(d = R ·\cos(180 °/n)\)。
2. 周长与面积的计算公式
周长（C）：\(C = n ·a = 2nR ·\sin(180 °/n)\)（边长 × 边数）；
面积（S）：
基本公式：\(S = \frac{1}{2} C d\)（类比三角形面积，周长为底，边心距为高）；
代入推导：\(S = \frac{1}{2} 2nR ·\sin(180 °/n) R ·\cos(180 °/n) = \frac{1}{2}nR^2 ·\sin(360 °/n)\)；
特殊结论：正六边形面积\(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2\)（因 a=R，d=\(\frac{\sqrt{3}}{2}R\)，C=6R）。
3. 对角线数量性质
计算公式：\( è§ ° = \frac{n(n-3)}{2}\)；
推导逻辑：每个顶点可与除相邻 2 个顶点外的 (n-3) 个顶点连对角线，n 个顶点共 n (n-3) 条，去除重复计算后除以 2；
示例验证：正五边形对角线数 =\(\frac{5 2}{2}=5\)（实际可数 5 条），正六边形 =\(\frac{6 3}{2}=9\)（实际可数 9 条）。
第 7 页：典例精讲 性质的综合应用
例题 1：对称性与角度综合问题
已知一个正多边形绕中心旋转 45° 后与原图形重合，且有 8 条对称轴，求该正多边形的边数、内角及对角线总数。
解答步骤：
求边数 n：最小旋转角 = 360°/n=45°→n=8（正八边形）；
求内角 β：β=(8-2)×180°/8=135°（或 β=180°-45°=135°）；
求对角线数：\(\frac{8 5}{2}=20\)条；
验证：正八边形有 8 条对称轴，符合题意，结论成立。
例题 2：度量性质的实际计算
某广场要铺设正六边形地砖，已知地砖的外接圆半径为 20cm，求一块地砖的边长、边心距及面积。
解答步骤：
求边长 a：正六边形边长 a=R=20cm（特殊性质）；
求边心距 d：d=R cos (30°)=20×\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)=10√3≈17.32cm；
求面积 S：C=6×20=120cm，S=\(\frac{1}{2} 120 10 3=600 3 1039.23cm \)；
应用意义：可据此计算 1 平方米需地砖数量（10000÷1039.23≈9 块）。
第 8 页：易错警示与深化技巧
1. 常见易错点剖析
对称性误区：
误判 “所有正多边形都有中心对称性”（忽略 n 为奇数时无中心对称性）；
混淆正多边形对称轴的数量（牢记对称轴数 = 边数 n）。
角度计算误区：
误用内角公式（漏乘 (n-2) 或错除以 n）；
混淆中心角与内角的关系（中心角 = 外角≠内角，内角与中心角互补）。
度量计算误区：
面积计算漏乘 “1/2”（正确公式 S=1/2× 周长 × 边心距）；
对角线数量计算未除以 2（重复计数问题）。
2. 深化解题技巧
“三角转化” 法：涉及正多边形计算时，优先构造 “半径、边心距、半边长” 组成的直角三角形，将多边形问题转化为直角三角形问题；
“特殊值记忆” 法：牢记常见正多边形的关键参数（如下表）：
正多边形
内角
中心角
边长与 R 关系
边心距与 R 关系
正三角形
60°
120°
a=√3 R
d=R/2
正方形
90°
90°
a=√2 R
d=√2 R/2
正六边形
120°
60°
a=R
d=√3 R/2
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）正十二边形的中心角为____°，内角为____°，外角为____°。（答案：30，150，30）
（2）若正 n 边形的内角为 144°，则 n=____，其对角线有____条。（答案：10，35，提示：144=180-360/n→n=10，对角线 = 10×7/2=35）
中档题：
已知正五边形的外接圆半径为 5cm，求其边长、边心距及面积（结果保留根号）。（答案：a=2×5×sin36°≈5.88cm，d=5×cos36°≈4.05cm，S=1/2×5a×d≈59.44cm ）
提升题：
一个正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，且内角和为 1800°，求该多边形的边数、最小旋转角及边心距（若外接圆半径为 6cm）。（答案：n=12，旋转角 30°，d=6×cos15°≈5.796cm，提示：(n-2)×180=1800→n=12）
第 10 页：课堂小结与作业布置
1. 核心知识梳理
对称性：轴对称（n 条轴）、中心对称（n 偶）、旋转对称（最小角 360°/n）；
角度性质：内角 =(n-2)×180°/n，外角 = 中心角 = 360°/n，内角 + 外角 = 180°；
度量计算：依托直角三角形建立 R、a、d 关系，面积 = 1/2× 周长 × 边心距，对角线 = n (n-3)/2。
2. 作业布置
基础作业：教材习题 24.6 第 2、4、6 题（角度计算、度量性质应用）；
拓展作业：用硬纸板制作正三角形、正方形、正六边形模型，标注对称轴、中心、半径、边心距，验证对称性与度量关系；
实践作业：测量家中正多边形物体（如钟表、地砖）的边长，估算其外接圆半径与面积，写出计算过程。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.6.2正多边形的性质
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题1 什么是正多边形？
问题2 如何作出正多边形？
各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
将一个圆 n 等分，就可以作出这个圆的内接或外切正 n 边形.
复习引入
正多边形的性质
O
A
B
C
D
问题1 以正方形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
E
F
G
H
∵ EF 是边 AB、CD 的垂直平分线，∴ OA = OB，OD = OC.
同理，OA = OD，OB = OC.
∴OA = OB = OC = OD.
∴正方形 ABCD 有一个以点 O 为圆心的外接圆.
观察与思考
O
A
B
C
D
E
F
G
H
∵ AC 是∠DAB 和∠DCB 的平分线，BD 是∠ABC 和∠ADC 的平分线，
∴ OE = OH = OF = OG.
∴ 正方形 ABCD 还有一个以点 O 为圆心的内切圆.
所有的正多边形是不是都有一个外接圆和一个内切圆？
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
想一想：
O
A
B
C
D
E
F
G
H
R
r
正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心.
外接圆的半径叫做正多边形的半径.
内切圆的半径叫做正多边形的边心距.
知识要点
正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角.每个中心角都等于 .
正多边形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
60°
120°
120°
90°
90°
90°
120°
60°
60°
正多边形的外角=中心角
完成下面的表格：
练一练
如图，已知半径为 4 的圆内接正六边形 ABCDEF：
① 它的中心角等于 度；
② OC BC(填＞、＜或＝）；
③ △OBC 是 三角形；
④ 圆内接正六边形的面积是 △OBC 面积
的 倍.
⑤ 圆内接正 n 边形面积公式：___________________.
C
D
O
B
E
F
A
P
60
=
等边
6
正多边形的有关计算
二
探究归纳
S正多边形 =
例1 有一个亭子,它的地基是半径为 4 m 的正六边形，求地基的面积(精确到 0.1 m2).
抽象成
典例精析
C
D
O
E
F
A
P
B
利用勾股定理，可得边心距
则亭子地基的面积
4m
O
A
B
C
D
E
F
M
r
解：过点 O 作 OM⊥BC 于 M. 易得 △OBC 为正三角形.
∴ BC = OB = 4，
例2 求边长为 a 的正六边形的周长和面积.
解：如图，过正六边形 ABCDEF 的中心 O 作 OG⊥BC，垂足为 G，连接 OB，OC，设该正六边形的周长和面积分别为 l 和 S.
F
A
B
C
D
E
O
G
在正六边形 ABCDEF 中，∠BOC = 60°，OB = OC，
∴ △BOC 是等边三角形.
则 l = 6BC = 6a.
在△BOC 中，
∴
(1) 正 n 边形的中心角怎么计算？
C
D
O
B
E
F
A
P
(2) 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距
r 之间有什么关系？
a
R
r
(3) 边长为 a，边心距为 r 的正 n 边形的面积是多少？
其中 l 为正 n 边形的周长.
想一想：
如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE 的度数是 （ ）
A．60° B．45° C．36° D．30°
·
A
B
C
D
E
O
练一练
C
2. 作边心距，构造直角三角形.
1. 连半径，得中心角；
O
A
B
C
D
E
F
R
M
r
·
圆内接正多边形中常见的辅助线作法
方法归纳
O
边心距 r
边长一半
半径 R
B
M
中心角的一半
画一画：画出下列各正多边形的对称轴，看看能发现什么结论？
正 n 边形都是轴对称图形，都有 n 条对称轴，且这些对称轴都通过正多边形的中心. 如果 n 为偶数，那么它又是中心对称图形，它的中心就是对称中心.
要点归纳
例3 如图，AG 是正八边形 ABCDEFGH 的一条对角线.
(1) 在剩余的顶点 B、C、D、E、F、H 中，连接两个顶
点，使连接的线段与 AG 平行，并说明理由；
解：连接 BF，CE，则 BF∥AG，CE∥AG．
理由如下：
∵ABCDEFGH 是正八边形，
∴ 它的内角都为 135°．
又∵ HA = HG，∴∠HAG = 22.5°.
∴∠GAB = 135° -∠HAG = 112.5°.
∵ 正八边形 ABCDEFGH 关于直线 BF 对称，
即∠BAG +∠ABF = 180°，故 BF∥AG．
同理，可得 CE∥BF，
∴ CE∥AG.
(2) 两边延长 AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点 P、Q、M、N，若AB = 2，求四边形 PQMN 的面积．
P
N
M
Q
解：由题意可知∠PHA =∠PAH = 45°，
∴∠P = 90°. 同理可得∠Q =∠M = 90°，
∴ 四边形 PQMN 是矩形．
∵∠PHA =∠PAH =∠QBC =∠QCB =
∠MDE =∠MED = 45°，AH = BC = DE，
∴△PAH≌△QCB≌△MDE．
∴ PA = QB = QC = MD．
∴ PQ = QM．
故四边形 PQMN 是正方形．
P
N
M
Q
在 Rt△PAH 中，
∵∠PAH = 45°，AB = 2，
故 S四边形PQMN =
P
N
M
Q
2. 若正多边形的边心距与半径的比为 1∶2，则这个
正多边形的边数是 .
正多边形边数 半径 边长 边心距 周长 面积
3
4 1
6
1. 填表：
2
1
2
8
4
2
2
12
3
4. 要用圆形铁片截出边长为 4 cm 的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小为 cm.
也就是要找这个正方形外接圆的直径
3. 如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状可近似
看作是正七边形，则一个内角为 度.（不取
近似值）
5. 如图，四边形 ABCD 是 ⊙O 的内接正方形，若正方形的面积等于 4，求 ⊙O 的面积．
解：∵ 正方形的面积等于 4，
则半径为
∴ ⊙O 的面积为
∴ 正方形的边长 AB = 2.
A
B
C
D
E
F
P
6. 如图，正六边形 ABCDEF 的边长为 ，点 P 为六边形内任一点，则点 P 到各边的距离之和是多少？
解：过 P 作 AB 的垂线，分别交 AB、DE于 H、K，连接 BD，作 CG⊥BD 于 G.
G
H
K
∴ P 到 AF 与 CD 的距离之和，及 P 到 EF、BC 的距离之和，均为 HK 的长.
∵ 六边形 ABCDEF 是正六边形，
∴ AB∥DE，AF∥CD，BC∥EF.
G
A
B
C
D
E
F
P
∴ 点 P 到各边的距离之和为 3BD = 3×6 = 18.
G
H
K
∵ BC = CD，∠BCD =∠ABC =∠CDE = 120°，
∴∠CBD =∠BDC = 30°，BD∥HK，且 BD = HK.
∵ CG⊥BD，
∴ BD = 2BG = 2BC·cos∠CBD = 6.
G
拓广探索
7.如图,M,N分别是☉O内接正多边形的边AB,BC上的点,且BM=CN.
(1)图①中∠MON =______°，图②中∠MON = °，
图③中∠MON = °；
(2)试探究∠MON 的度数与正 n 边形的边数 n 的关系.
90
72
120
.
A
B
C
M
N
O
图①
A
B
C
D
M
N
O
图②
A
B
C
D
E
M
N
O
图③
【答案】C
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2．[2024·福州期中]如图，在正五边形ABCDE中，连接AC，以点A为圆心，AB为半径画圆弧交AC于点F，连接DF，则∠FDC的度数是( )
A．18°
B．30°
C．36°
D．40°
C
3．[2024·宜宾]如图，正五边形ABCDE的边长为4，则这个正五边形的对角线AC的长是________．
【点拨】连接BE交AC于点O，如图.
∵正五边形ABCDE的边长为4，∴AB＝BC＝4.
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠CBA＝∠BAE＝(5－2)×180°÷5＝108°，
BC＝AB＝AE. ∴∠BCA＝∠BAC＝
∠ABE＝∠AEB＝(180°－108°)÷2＝36°.
∴∠CBO＝∠ABC－∠ABE＝108°－36°＝72°.
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【答案】C
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【答案】D
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6. 我国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”：通过圆内接正多边形割圆，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长．如图①，由圆内接正六边形可算出π≈3.若利用圆内接正十二边形(图②)来计算圆周率，则圆周率π约为( )
A．12sin 30° B．12cos 30°
C．12sin 15° D．12cos 15°
【点拨】如图，连接OA6，OA7，过点O作OM⊥A6A7，
则在正十二边形中，∠A6OM＝360°÷24＝15°.
设⊙O的半径为R，则A6M＝sin15°×OA6＝R×sin15°.
【答案】C
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7. 我们学习了，在多边形中，如果各条边都相等，各个内角都相等，这样的多边形叫做正多边形．观察如图所示的每个正多边形中∠α的变化情况，解答下列问题：
(1)将下面的表格补充完整：
60°
正多边形的边数 3 4 5 6 …
∠α的度数 … 10 °
45°
36°
30°
18
(2)根据规律，是否存在一个正n边形，使其中的∠α＝25°？若存在，直接写出n的值；若不存在，请说明理由．
返回
正多边形的性质
正多边形的
有关概念
正多边形的
有关计算
添加辅助线的方法：
连半径，作边心距
中心
半径
边心距
中心角
正多边形的对称性
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！