24.7.1弧长与扇形面积 课件(共45张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册

(共45张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.6.2 正多边形的性质
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 对称 角度 度量 应用
配图：左侧为 “正五边形对称轴与中心对称示意”，右侧为 “正六边形核心直角三角形（半径、边心距、半边长）标注图”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标与知识衔接
1. 前置回顾（24.6.1 核心要点）
正多边形定义：各边相等且各角相等的多边形；
双重关联：任意正多边形有唯一外接圆与内切圆，且双圆同心；
关键元素：中心、半径（R）、边心距（d）、中心角（α）。
2. 本课时学习目标
知识目标：掌握正多边形的对称性（轴对称、中心对称、旋转对称）、角度性质（内角、外角、中心角关系）及度量性质（边长、周长、面积计算），能灵活运用性质解决几何问题。
能力目标：通过性质推导与实例计算，提升几何推理、公式应用及多维度建模能力。
素养目标：深化 “数形结合” 思想，理解正多边形性质的内在统一性，培养严谨的逻辑表达习惯。
第 3 页：情境导入 性质的现实应用
生活中的性质体现（配图）：
机械设计：正六边形螺帽利用 “中心对称” 实现双向拧紧，正三角形支架依托 “内角稳定性” 承载重量；
艺术创作：剪纸中正五边形的 “轴对称” 图案设计，钟表表盘正十二边形的 “等角度分割” 计时原理；
建筑施工：正八边形地砖通过 “外角和 360°” 实现无缝拼接，蜂巢正六边形以 “最小周长最大面积” 节省材料。
思考提问：这些实际应用分别利用了正多边形的哪些隐藏性质？不同性质之间是否存在内在联系？
第 4 页：核心模块 1 正多边形的对称性（三大维度）
1. 轴对称性（所有正多边形共有的基本性质）
性质表述：正 n 边形是轴对称图形，且有n 条对称轴。
对称轴特征（配图示意）：
当 n 为奇数时：每条对称轴均过一个顶点和其对边的中点（如正三角形、正五边形）；
当 n 为偶数时：对称轴分为两类，一类过相对顶点，一类过相对边的中点（如正方形、正六边形）。
2. 中心对称性（特殊正多边形的附加性质）
性质表述：当正 n 边形的边数 n 为偶数时，它是中心对称图形，其对称中心即为正多边形的中心（外接圆与内切圆的圆心）。
验证示例（配图对比）：
正四边形（正方形）：绕中心旋转 180° 与原图形重合；
正六边形：绕中心旋转 180° 与原图形重合；
正五边形：绕中心旋转任意角度（非 360°/n 的整数倍）不重合，无中心对称性。
3. 旋转对称性（所有正多边形共有的深层性质）
性质表述：任意正 n 边形绕其中心旋转360°/n 的整数倍后，均能与原图形完全重合。
量化分析：
正三角形：最小旋转角 120°（360°/3）；
正方形：最小旋转角 90°（360°/4）；
正 n 边形：最小旋转角 θ=360°/n，旋转 θ、2θ、…、(n-1)θ 后均重合。
第 5 页：核心模块 2 正多边形的角度性质（三大角度关系）
1. 三大角度的基础计算公式
角度类型
计算公式
推导依据
适用范围
内角（β）
β=(n-2)×180°/n 或 β=180°-360°/n
多边形内角和公式：(n-2)×180°，正多边形各内角相等
所有正 n 边形（n≥3）
外角（γ）
γ=360°/n
任意多边形外角和恒为 360°，正多边形各外角相等
所有正 n 边形（n≥3）
中心角（α）
α=360°/n
正多边形顶点等分外接圆，圆心角均分 360°
所有正 n 边形（n≥3）
2. 角度之间的关键关联
核心等价关系：外角（γ）= 中心角（α）= 360°/n；
互补关系：内角（β）+ 外角（γ）= 180°（平角定义）；
推导验证（以正五边形为例）：
内角 β=(5-2)×180°/5=108°，外角 γ=360°/5=72°，中心角 α=360°/5=72°；
验证：108°+72°=180°，γ=α，关系成立。
第 6 页：核心模块 3 正多边形的度量性质（计算体系）
1. 核心元素的数量关系（基于 Rt△AOD，配图标注）
设正 n 边形的外接圆半径为 R，边长为 a，边心距为 d，半边长为 a/2，则：
勾股定理：\(R^2 = d^2 + (a/2)^2\)；
三角函数表达：
边长：\(a = 2R ·\sin(180 °/n)\)；
边心距：\(d = R ·\cos(180 °/n)\)。
2. 周长与面积的计算公式
周长（C）：\(C = n ·a = 2nR ·\sin(180 °/n)\)（边长 × 边数）；
面积（S）：
基本公式：\(S = \frac{1}{2} C d\)（类比三角形面积，周长为底，边心距为高）；
代入推导：\(S = \frac{1}{2} 2nR ·\sin(180 °/n) R ·\cos(180 °/n) = \frac{1}{2}nR^2 ·\sin(360 °/n)\)；
特殊结论：正六边形面积\(S = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2\)（因 a=R，d=\(\frac{\sqrt{3}}{2}R\)，C=6R）。
3. 对角线数量性质
计算公式：\( è§ ° = \frac{n(n-3)}{2}\)；
推导逻辑：每个顶点可与除相邻 2 个顶点外的 (n-3) 个顶点连对角线，n 个顶点共 n (n-3) 条，去除重复计算后除以 2；
示例验证：正五边形对角线数 =\(\frac{5 2}{2}=5\)（实际可数 5 条），正六边形 =\(\frac{6 3}{2}=9\)（实际可数 9 条）。
第 7 页：典例精讲 性质的综合应用
例题 1：对称性与角度综合问题
已知一个正多边形绕中心旋转 45° 后与原图形重合，且有 8 条对称轴，求该正多边形的边数、内角及对角线总数。
解答步骤：
求边数 n：最小旋转角 = 360°/n=45°→n=8（正八边形）；
求内角 β：β=(8-2)×180°/8=135°（或 β=180°-45°=135°）；
求对角线数：\(\frac{8 5}{2}=20\)条；
验证：正八边形有 8 条对称轴，符合题意，结论成立。
例题 2：度量性质的实际计算
某广场要铺设正六边形地砖，已知地砖的外接圆半径为 20cm，求一块地砖的边长、边心距及面积。
解答步骤：
求边长 a：正六边形边长 a=R=20cm（特殊性质）；
求边心距 d：d=R cos (30°)=20×\(\frac{\sqrt{3}}{2}\)=10√3≈17.32cm；
求面积 S：C=6×20=120cm，S=\(\frac{1}{2} 120 10 3=600 3 1039.23cm \)；
应用意义：可据此计算 1 平方米需地砖数量（10000÷1039.23≈9 块）。
第 8 页：易错警示与深化技巧
1. 常见易错点剖析
对称性误区：
误判 “所有正多边形都有中心对称性”（忽略 n 为奇数时无中心对称性）；
混淆正多边形对称轴的数量（牢记对称轴数 = 边数 n）。
角度计算误区：
误用内角公式（漏乘 (n-2) 或错除以 n）；
混淆中心角与内角的关系（中心角 = 外角≠内角，内角与中心角互补）。
度量计算误区：
面积计算漏乘 “1/2”（正确公式 S=1/2× 周长 × 边心距）；
对角线数量计算未除以 2（重复计数问题）。
2. 深化解题技巧
“三角转化” 法：涉及正多边形计算时，优先构造 “半径、边心距、半边长” 组成的直角三角形，将多边形问题转化为直角三角形问题；
“特殊值记忆” 法：牢记常见正多边形的关键参数（如下表）：
正多边形
内角
中心角
边长与 R 关系
边心距与 R 关系
正三角形
60°
120°
a=√3 R
d=R/2
正方形
90°
90°
a=√2 R
d=√2 R/2
正六边形
120°
60°
a=R
d=√3 R/2
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）正十二边形的中心角为____°，内角为____°，外角为____°。（答案：30，150，30）
（2）若正 n 边形的内角为 144°，则 n=____，其对角线有____条。（答案：10，35，提示：144=180-360/n→n=10，对角线 = 10×7/2=35）
中档题：
已知正五边形的外接圆半径为 5cm，求其边长、边心距及面积（结果保留根号）。（答案：a=2×5×sin36°≈5.88cm，d=5×cos36°≈4.05cm，S=1/2×5a×d≈59.44cm ）
提升题：
一个正多边形既是轴对称图形又是中心对称图形，且内角和为 1800°，求该多边形的边数、最小旋转角及边心距（若外接圆半径为 6cm）。（答案：n=12，旋转角 30°，d=6×cos15°≈5.796cm，提示：(n-2)×180=1800→n=12）
第 10 页：课堂小结与作业布置
1. 核心知识梳理
对称性：轴对称（n 条轴）、中心对称（n 偶）、旋转对称（最小角 360°/n）；
角度性质：内角 =(n-2)×180°/n，外角 = 中心角 = 360°/n，内角 + 外角 = 180°；
度量计算：依托直角三角形建立 R、a、d 关系，面积 = 1/2× 周长 × 边心距，对角线 = n (n-3)/2。
2. 作业布置
基础作业：教材习题 24.6 第 2、4、6 题（角度计算、度量性质应用）；
拓展作业：用硬纸板制作正三角形、正方形、正六边形模型，标注对称轴、中心、半径、边心距，验证对称性与度量关系；
实践作业：测量家中正多边形物体（如钟表、地砖）的边长，估算其外接圆半径与面积，写出计算过程。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
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24.7.1弧长与扇形面积
第24章　圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如图，在运动会的 4×100 米比赛中，甲和乙分别在第 1 跑道和第 2 跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
怎样计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
情境引入
与弧长相关的计算
问题1 半径为 R 的圆，周长是多少？
O
R
问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别占圆周长的多少
O
R
90°
O
R
45°
O
R
n°
观察与思考
O
R
180°
(1) 圆心角是 180°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ；
______
(2) 圆心角是 90°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ；
(3) 圆心角是 45°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ；
(4) 圆心角是 n°，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的 ．
______
______
______
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的.
算一算 已知弧所对的圆心角为 60°，半径是 4，则弧长为 ．
知识要点
弧长公式
·
O
A
解：设半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的度数为 n°，则
解得 n ≈ 90°.
因此，半径 OA 旋转的角度约为 90°.
例1 一滑轮起重机装置(如图)，滑轮的半径 R = 10 cm，当重物上升 15.7 cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转多少度？（假设绳索
与滑轮之间没有滑动，π 取 3.14）
典例精析
例2 古希腊埃拉托塞尼曾给出一个估算地球周长（或子午圈长）的简单方法. 如图，点 S 和点 A 分别表示埃及的塞伊尼和亚历山大两地，亚历山大在塞伊尼的北方，两地的经度大致相同，两地的实际距离
为 5 000 希腊里 (1 希腊里 ≈ 0.1585 km).
当太阳光线在塞伊尼直射时，同一
时刻在亚历山大测量太阳光线偏离
直射方向的角为 α. 实际测得 α 是
7.2°，由此估算出了地球的周长，
你能进行计算吗？
O
α
A
S
）
解：∵ 太阳光线可看作平行的，
∴ 圆心角∠AOS = α = 7.2°.
设地球的周长为 C，则
答：地球的周长约为 39625 km.
= 250000 (希腊里)
≈ 39625 (km).
∴
O
α
A
S
）
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度 l. (单位：mm，精确到 1 mm)
解：弧 AB 的长为
因此所要求的展直长度 l ≈ 2×700 + 1570 = 2970 (mm).
答：管道的展直长度约为 2970 mm.
700mm
700mm
R = 900 mm
(
100°
A
C
B
D
O
练一练
圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
概念学习
与扇形面积相关的计算
判断：下列图形是扇形吗？
√
×
×
×
√
练一练
合作探究
问题1 半径为 r 的圆，面积是多少？
O
r
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
圆心角占
周角的比例 扇形面积占
圆面积的比例 扇形的
面积
=
半径为 r 的圆中，圆心角为 n° 的扇形的面积
①公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
注意
知识要点
●
O
A
B
D
C
E
F
●
O
A
B
C
D
问题 扇形的面积与哪些因素有关？
___大小不变时，对应的扇形面积与 有关，
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的 不变时，扇形面积与 有关，______越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
类比学习
例3 如图，圆心角为 60° 的扇形的半径为 10 cm. 求这个扇形的面积和周长.（精确到 0.01 cm2 和 0.01 cm）
O
r
60°
解：∵ n = 60，r = 10 cm，
∴ 扇形的面积为
扇形的周长为
1. 已知扇形的半径为 2 cm，其弧长为 ，则这个扇形的面积 S = ．
2. 已知扇形的圆心角为 120°，半径为 2，则这个扇形的面积 S = .
练一练
例4 如图，点 D 在 ⊙O 的直径 AB 的延长线上，点 C 在 ⊙O 上，AC = CD，∠ACD = 120°．
（1）求证：CD 是 ⊙O 的切线；
证明：连接 OC，如图．
∵ AC = CD，∠ACD = 120°，
∴∠A =∠D = 30°．
∵ OA = OC，∴∠ACO =∠A = 30°．
∴∠OCD = 180°-∠A -∠D -∠ACO = 90°，即 OC⊥CD.
∴ CD 是⊙O 的切线．
（2）若 ⊙O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积．
解：∵∠A = 30°，∴∠COB = 2∠A = 60°.
在 Rt△OCD 中，
例5 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积.（精确到 0.01 m2）
(1)
O.
B
A
分析：(1)截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
O.
B
A
D
(2)
O.
B
A
C
D
(3)
(2) 水面高 0.3 m 是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
线段 DC. 过点 O 作 OD⊥AB 并延长交圆 O 于 C.
(3) 要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
阴影部分面积 = S扇形 AOB - S△OAB
C
解：如图，连接 OA，OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交弧 AB 于点 C，连接 AC.
∵ OC＝0.6，DC＝0.3，
∴ OD＝OC - DC＝0.3.
∴ OD＝DC.
又 AD ⊥DC，
∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线.
∴ AC＝AO＝OC.
　从而 ∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.
O.
B
A
C
D
∴ 有水部分的面积为
　　S = S扇形AOB - S△OAB
O.
B
A
C
D
O
O
弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积
S弓形 = S扇形 - S三角形
S弓形 = S扇形 + S三角形
知识要点
弓形的面积公式
A
B
C
O
H
C1
A1
H1
O1
2. 如图，Rt△ABC 中，∠C = 90°，∠A = 30°，BC = 2，O、H 分别为 AB、AC 的中点，将 △ABC 绕点 B 按顺时针旋转 120° 到 △A1BC1 的位置，则整个旋转过程中线段 OH 所扫过的面积为 （ ）
B．
C. D.
1. 已知弧所对的圆周角为 90°，半径是 4，则弧长为 .
C
3. 如图，☉A、☉B、☉C、☉D 两两不相交，且半径都是 2 cm，则图中阴影部分的面积是 .
A
B
C
D
4. 如图，Rt△ABC 的边 BC 位于直线 l 上，AC＝ ，∠ACB＝90°，∠A＝30°. 若 Rt△ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点 A 第 3 次落在直线 l 上时，点 A 所经过的路线的长为________(结果用含 π 的式子表示)．
解析：点 A 所经过的路线的长为三个半径为 2，圆心角为 120° 的扇形弧长与两个半径为 ，圆心角为 90° 的扇形弧长之和，即
5. 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 cm，其中水面高 0.9 cm，求截面上有水部分的面积. (精确到 0.01 cm2）
O
A
B
D
C
E
解：
A
B
A'
B'
C
6. 如图，一个边长为 10 cm 的等边三角形模板 ABC 在水平桌面上绕顶点 C 按顺时针方向旋转到 △A'B'C 的位置，求顶点 A 从开始到结束所经过的路程.
解：由图可知，由于∠A'CB' = 60°，则等边三角形木板绕点 C 按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' = 120°，这说明顶点 A 经过的路程长等于弧 AA' 的长.
∵ 等边三角形 ABC 的边长为 10 cm，
∴ 弧 AA' 所在圆的半径为 10 cm.
∴ 所求路程为 l弧AA'
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【答案】 C
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【答案】 B
3．[2023·山西]中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图①是高铁线路在转向处所设计的圆曲线(即圆弧)，如图②，高铁列车在转弯时的曲线起点为A，曲线终点为B，过点A，B的两条切线相交于点C，列车在从A
到B行驶的过程中转
角α为60°.
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【答案】 B
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝3，将△ABC绕点C逆时针旋转到△EDC的位置，点B的对应点D首次落在斜边AB上，则点A的运动路径的长为________ .
返回
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【答案】C
6. 甘肃临夏砖雕是一种历史悠久的古建筑装饰艺术，是第一批国家级非物质文化遗产．如图①是一块扇面形的临夏砖雕作品，它的部分设计图如图②，其中扇形BOC和扇形AOD有相同的圆心O，且圆心角∠O＝100°，若OA＝120 cm，OB＝60 cm，
则阴影部分的面积是
______ cm2.(结果用π表示)
3 000 π
弧长
扇形
定义
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
公式
S弓形 = S扇形 - S三角形
S弓形 = S扇形 + S三角形
割补法
公式
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！