24.7.2 圆锥的侧面展开图 课件(共37张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 24.7.2 圆锥的侧面展开图 课件(共37张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 27.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 07:39:17 | ||
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文档简介
(共37张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.7.2 圆锥的面积
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 转化 推导 关联 应用
配图：左侧为 “圆锥实物图（标注母线、高、底面半径）”，右侧为 “圆锥侧面展开动态示意图（扇形→圆锥）”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标与知识衔接
1. 前置回顾（24.7.1 节核心关联点）
扇形核心公式：面积\(S_{\text{ }}=\frac{1}{2}lR\)（\(l\)为弧长，\(R\)为扇形半径）；
实践铺垫：上节课作业中 “扇形围成圆锥” 的操作，初步感知两者的转化关系；
基础度量：圆的周长\(C=2\pi r\)（将用于圆锥底面周长计算）。
2. 本课时学习目标
知识目标：掌握圆锥的母线、高、底面半径等概念，理解侧面积与全面积公式的推导逻辑，能灵活运用公式\(S_{\text{ §}}=\pi rl\)和\(S_{\text{ ¨}}=\pi r(l+r)\)解决计算问题。
能力目标：通过展开图推导培养 “立体问题平面化” 的转化能力，通过多量互求提升几何建模与运算能力。
素养目标：深化数形结合思想，体会平面图形与立体图形的度量关联，养成精准辨析概念、规范运算的习惯。
第 3 页：情境导入 生活中的圆锥面积需求
现实场景中的度量需求（配图）：
工艺制作：制作圆锥形漏斗需计算铁皮用料（侧面积 + 底面面积），确保材料精准；
建筑施工：圆锥形屋顶的瓦片铺设面积测算，需统计侧面积大小；
食品加工：圆锥形冰淇淋纸托的表面积设计，影响包装成本与容量匹配；
舞台设计：圆锥形灯罩的布料裁剪，需根据侧面积确定布料尺寸。
思考提问：这些场景中需要计算的 “圆锥表面面积”，如何通过我们熟悉的平面图形（如扇形）来量化？圆锥的侧面展开后是什么形状？
第 4 页：核心模块 1 圆锥的关键概念与性质
1. 圆锥的定义与构成（配标注图）
定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周形成的曲面（侧面）和平面（底面）围成的几何体；
核心元素：
底面：圆形，半径记为\(r\)（对应旋转轴的对边旋转形成）；
顶点：旋转轴的端点，记为\(S\)；
高：顶点到底面圆心的距离，记为\(h\)（即旋转轴的长度）；
母线：顶点与底面圆周上任意一点的连线，长度均相等，记为\(l\)（即直角三角形的斜边）。
2. 圆锥的重要性质
母线长、高、底面半径的勾股关系：\(l^2 = h^2 + r^2\)（轴截面为等腰三角形，可通过勾股定理关联三量）；
平行于底面的截面是圆，且半径与底面半径成比例；
侧面展开图为扇形，扇形的半径 = 圆锥母线长\(l\)，扇形的弧长 = 圆锥底面周长\(2\pi r\)。
第 5 页：核心模块 2 圆锥侧面积与全面积公式推导
1. 推导逻辑：立体→平面的转化
关键突破：圆锥侧面是曲面，无法直接度量，通过 “剪开母线展开为扇形”，将曲面面积转化为平面扇形面积计算；
推导依据（配展开对比图）：
扇形的半径 = 圆锥的母线长\(l\)；
扇形的弧长 = 圆锥底面的周长\(C = 2\pi r\)。
2. 公式推导过程
侧面积公式推导：
由扇形面积公式\(S_{\text{ }} = \frac{1}{2} \times \text{ §é } \times \text{ }\)，代入圆锥参数得：\(S_{\text{ §}} = \frac{1}{2} \times 2\pi r \times l = \pi rl\)；
全面积公式推导：
全面积 = 侧面积 + 底面面积（圆形面积），即：\(S_{\text{ ¨}} = S_{\text{ §}} + S_{\text{ }} = \pi rl + \pi r^2 = \pi r(l + r)\)。
3. 公式注解
\(S_{\text{ §}}\)：圆锥侧面积（仅曲面部分，无单位）；
\(S_{\text{ ¨}}\)：圆锥全面积（侧面积 + 底面，无单位）；
\(r\)：底面半径（带长度单位），\(l\)：母线长（带长度单位），两者需保持单位一致。
第 6 页：核心模块 3 展开图圆心角与三量互求
1. 展开图扇形圆心角公式推导
推导基础：扇形弧长 = 圆锥底面周长，即\(\frac{n\pi l}{180} = 2\pi r\)（\(n\)为扇形圆心角）；
化简得：\(n = 360^\circ \times \frac{r}{l}\)；
意义：建立圆锥底面半径\(r\)、母线长\(l\)与展开图圆心角\(n\)的关联，三量知二求一。
2. 多量互求示例（\(r=3cm\)，\(h=4cm\)）
已知条件
求解量
计算过程
\(r\)，\(h\)
母线\(l\)
由\(l^2=3^2+4^2=25\)得\(l=5cm\)
\(r\)，\(l\)
侧面积\(S_{\text{ §}}\)
\(S_{\text{ §}}=\pi\times3\times5=15\pi\approx47.1cm^2\)
\(r\)，\(l\)
展开图圆心角\(n\)
\(n=360^\circ\times\frac{3}{5}=216^\circ\)
\(l\)，\(n=180^\circ\)
底面半径\(r\)
由\(180^\circ=360^\circ\times\frac{r}{5}\)得\(r=2.5cm\)
第 7 页：典例精讲 公式的综合应用
例题 1：基础公式应用
一个圆锥的底面半径为 2cm，母线长为 5cm，求它的侧面积和全面积（结果保留\(\pi\)）。
解答步骤：
明确已知量：\(r=2cm\)，\(l=5cm\)；
计算侧面积：\(S_{\text{ §}}=\pi\times2\times5=10\pi cm^2\)；
计算全面积：\(S_{\text{ ¨}}=10\pi + \pi\times2^2=14\pi cm^2\)；
关键提醒：全面积需叠加底面圆形面积，勿漏算\(\pi r^2\)部分。
例题 2：实际场景与勾股定理结合
用铁皮制作一个圆锥形漏斗，漏斗的高为 8cm，底面直径为 12cm，求制作这个漏斗至少需要多少铁皮（结果保留整数）。
解答步骤：
拆解需求：求铁皮面积即圆锥侧面积（漏斗无底面）；
求底面半径：\(r=\frac{12}{2}=6cm\)；
求母线长：由\(l^2=8^2+6^2=100\)得\(l=10cm\)；
计算侧面积：\(S_{\text{ §}}=\pi\times6\times10=60\pi\approx188cm^2\)；
方法提炼：已知高和底面直径时，需先通过勾股定理求母线长，再用侧面积公式计算。
第 8 页：易错警示与解题技巧
1. 常见易错点剖析
概念混淆误区：
误将底面半径\(r\)当作母线长\(l\)代入公式（如算侧面积时用\(\pi l^2\)）；
混淆展开图圆心角与圆锥顶角（圆心角是扇形角度，顶角是轴截面等腰三角形的顶角）；
全面积计算漏加底面面积或多算侧面面积。
公式应用误区：
已知高和底面半径时，未求母线长直接用侧面积公式；
单位不统一（如\(r=2cm\)，\(l=0.1m\)未转化单位直接计算）。
2. 深化解题技巧
“四量定位” 法：遇到圆锥面积问题，先明确已知量（\(r\)、\(l\)、\(h\)、\(n\)中的两个），通过勾股定理（\(l^2=h^2+r^2\)）或圆心角公式（\(n=360^\circ\times\frac{r}{l}\)）衔接未知量，再选对应面积公式；
“场景辨析” 法：判断实际问题需计算侧面积还是全面积（如灯罩、漏斗无底面，算侧面积；容器、模型有底面，算全面积）；
“特殊值验证” 法：若展开图为半圆（\(n=180^\circ\)），则\(l=2r\)，轴截面为等边三角形（底角 60°），可快速验证计算结果。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）圆锥底面半径为 4cm，母线长为 5cm，则侧面积为____cm ，全面积为____cm 。（答案：20π，36π）
（2）圆锥高为 3cm，母线长为 5cm，则底面半径为____cm，展开图圆心角为____°。（答案：4，288，提示：由\(r=4\)得\(n=360^\circ\times\frac{4}{5}=288^\circ\)）
中档题：
一个圆锥侧面展开图是半径为 10cm 的半圆，求该圆锥的底面半径和高。（答案：\(r=5cm\)，\(h=5\sqrt{3}cm\)，提示：半圆弧长 = 底面周长，即\(\pi\times10=2\pi r\)得\(r=5\)，再求高）
提升题：
用一个圆心角为 120°、半径为 6cm 的扇形围成一个圆锥，求圆锥的侧面积和高。（答案：侧面积 = 12π cm ，高 = 4√2 cm，提示：侧面积 = 扇形面积\(\frac{120\pi\times6^2}{360}=12\pi\)，由\(120^\circ=360^\circ\times\frac{r}{6}\)得\(r=2\)，再求高）
第 10 页：知识拓展 圆锥与扇形的逆向转化
逆向问题：已知扇形参数，求围成圆锥的相关量（如练习 3），核心是 “扇形弧长 = 圆锥底面周长”“扇形半径 = 圆锥母线长”；
面积关联：扇形面积 = 圆锥侧面积（转化过程中面积不变），可直接用扇形面积公式求圆锥侧面积，无需重复计算；
实践验证：用半径 10cm、圆心角 90° 的扇形（上节课作业）围成圆锥，底面周长 = 扇形弧长\(\frac{90\pi\times10}{180}=5\pi\)，故底面半径\(r=\frac{5\pi}{2\pi}=2.5cm\)，与实际测量结果一致。
第 11 页：课堂小结与作业布置
1. 核心知识梳理
圆锥关键概念：母线\(l\)、底面半径\(r\)、高\(h\)，满足\(l^2=h^2+r^2\)；
面积公式：侧面积\(S_{\text{ §}}=\pi rl\)，全面积\(S_{\text{ ¨}}=\pi r(l+r)\)；
转化关系：扇形（半径\(l\)、弧长\(2\pi r\)） 圆锥（母线\(l\)、底面半径\(r\)），圆心角\(n=360^\circ\times\frac{r}{l}\)；
解题思想：立体问题平面化、未知量勾股衔接。
2. 作业布置
基础作业：教材习题 24.7 第 7、9、11 题（圆锥面积基本计算与实际应用）；
拓展作业：测量家中圆锥形物体（如漏斗、圣诞帽）的高和底面直径，计算其侧面积和全面积，写出步骤；
实践作业：用半径 12cm 的圆形纸片剪一个扇形，围成底面半径 3cm 的圆锥，计算需剪掉的扇形圆心角大小。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
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24.7.2 圆锥的侧面展开图
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
图片引入
与圆锥的侧面展开图相关的计算
顶点
母线
底面半径
侧面
高
圆锥的形成
观察与思考
圆锥的高
母线
S
A
O
B
r
我们把圆锥的顶点 S 和底面圆上任一点的连线 (如SA，SB 等) 叫做圆锥的母线．
圆锥的母线
圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高
从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．
知识要点
重要数量关系
如果用 r 表示圆锥底面的半径，h 表示圆锥的高，l 表示圆锥的母线长，那么 r、h、l 之间数量关系是：
r2 + h2 = 2
h
O
r
根据下列条件求值（其中 r、h、l 分别是圆锥的底面半径、高、母线长）.
(1) 若 l = 2，r =1，则 h =_______.
(2) 若 h = 3，r = 4，则 l =_______.
(3) 若 l = 10，h = 8，则 r =_______.
5
6
练一练
h
O
r
l
O
r
1. 圆锥的侧面展开图是什么图形？
扇形
想一想：
2. 沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到
一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么
关系？
3. 圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥
中的什么线段长相等？
相等
母线
l
o
侧面
展开图
l
r
其侧面展开图扇形的半径 =
母线的长 l
侧面展开图扇形的弧长 = 底
面周长
圆锥的侧面积计算公式
知识要点
例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120°、弧长为 20π 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.
解：设该圆锥的底面的半径为 r，母线长为 a，则
解得
r = 10.
∴
a = 30.
又
典例精析
例2 如图是圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为 80 cm，母线为 50 cm. 在一块大铁皮上剪裁时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积.
解：烟囱帽的侧面展开图是扇形，如图所示. 设该扇形的面积为 S. 由弧长的计算方法，可得
α
O
h
r
l
α
O
h
r
l
答：该侧面展开图的面积为 2000π cm2.
例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建 20 个底面积为 35 m2，高为 3.5 m，外围高为 1.5 m 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到 1 m2）？
解：如图是蒙古包的示意图．
根据题意，下面圆柱的底面积为 35 m2，高为 1.5 m；上面圆锥的高为 3.5－1.5 = 2(m).
圆柱的底面积半径为
圆锥的母线长为
侧面积为 2π×3.34×1.5 ≈ 31.46 (m2)，
侧面展开扇形的弧长为
圆锥的侧面积为
20×(31.46 + 40.81) ≈ 1446 (m2)．
答：至少需要 1446 m2 的毛毡.
如图所示的扇形中，半径 R = 10，圆心角 θ = 144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1) 这个圆锥的底面半径 r = ；
(2) 这个圆锥的高 h = .
θ
R = 10
4
练一练
A
O
r
B
C
当堂练习
1. 圆锥的底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm，则这个圆
锥侧面展开图扇形的圆心角度数是_____．
2. 一个扇形，半径为 30 cm，圆心角为 120°，用它做成
一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 .
3. 已知圆锥的底面的半径为 3 cm，高为 4 cm，则它的
侧面积是 ，全面积是 ．
180°
10 cm
15π cm2
24π cm2
4.（1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角
扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积；
A
B
C
①
②
③
O
解：如图，连接 BC，则 BC = 20.
∵∠BAC = 90°，BO = 10，AB = AC，
∴ S扇形=
∴ AB = AC =
（2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求
这个圆锥的底面圆的半径.
解：圆锥侧面展开图的弧长为
∵
A
B
C
①
②
③
O
（3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底
面？请说明理由．
解：延长 AO 交扇形于点 E，交 ⊙O 于点 F，
则 EF =
∵ 圆锥的底面直径为
∴ 不能从最大的余料③中剪出一个
圆做该圆锥的底面.
A
B
C
①
②
③
O
E
F
返回
1．若圆锥的底面半径为6 cm，母线长为8 cm，则圆锥的侧面积是( )
A．30π cm2 B．48π cm2
C．60π cm2 D．80π cm2
B
返回
2．[2023·东营]如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
A
返回
C
4．数学活动课上老师请同学们分组制作圆锥，并请不同小组同学根据已知数据求解相关量．如已知1组制作的圆锥母线长为60 cm，底面圆的半径为15 cm，这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是( )
A．90° B．15° C．96° D．180°
A
返回
返回
B
返回
【答案】A
返回
8．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝a，BC＝b，且a>b，将△ABC 绕边BC所在的直线旋转一周形成圆锥甲，再将△ABC绕边AB所在的直线旋转一周形成圆锥乙，记两个圆锥的全面积分别为S甲，S乙，则S甲 , S乙的大小关系为S甲________S乙．(选填“>”“<”或“＝”)
＞
返回
9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为________．
6 cm
返回
10. 蒙古包可以近似地看作由一个圆柱和一个圆锥组成．其中，底面圆半径为3 m，圆锥高为2 m，圆柱高为3 m，门的高和宽分别为2 m和1 m，若要给除门外的蒙古包的表面铺上一层羊毛毡(接缝忽略不计)，那么所需要羊毛毡的面积为_____________________．
r2 + h2 = l2
S圆锥侧面 = πrl
圆锥的高
母线
r
S
A
O
B
h
l
o
侧面
展开图
r
底面
①其侧面展开图扇形的半径 = 母线的长 l
②侧面展开图扇形的弧长 = 底面周长
重要图形
重要结论
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：24.7.2 圆锥的面积
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 转化 推导 关联 应用
配图：左侧为 “圆锥实物图（标注母线、高、底面半径）”，右侧为 “圆锥侧面展开动态示意图（扇形→圆锥）”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标与知识衔接
1. 前置回顾（24.7.1 节核心关联点）
扇形核心公式：面积\(S_{\text{ }}=\frac{1}{2}lR\)（\(l\)为弧长，\(R\)为扇形半径）；
实践铺垫：上节课作业中 “扇形围成圆锥” 的操作，初步感知两者的转化关系；
基础度量：圆的周长\(C=2\pi r\)（将用于圆锥底面周长计算）。
2. 本课时学习目标
知识目标：掌握圆锥的母线、高、底面半径等概念，理解侧面积与全面积公式的推导逻辑，能灵活运用公式\(S_{\text{ §}}=\pi rl\)和\(S_{\text{ ¨}}=\pi r(l+r)\)解决计算问题。
能力目标：通过展开图推导培养 “立体问题平面化” 的转化能力，通过多量互求提升几何建模与运算能力。
素养目标：深化数形结合思想，体会平面图形与立体图形的度量关联，养成精准辨析概念、规范运算的习惯。
第 3 页：情境导入 生活中的圆锥面积需求
现实场景中的度量需求（配图）：
工艺制作：制作圆锥形漏斗需计算铁皮用料（侧面积 + 底面面积），确保材料精准；
建筑施工：圆锥形屋顶的瓦片铺设面积测算，需统计侧面积大小；
食品加工：圆锥形冰淇淋纸托的表面积设计，影响包装成本与容量匹配；
舞台设计：圆锥形灯罩的布料裁剪，需根据侧面积确定布料尺寸。
思考提问：这些场景中需要计算的 “圆锥表面面积”，如何通过我们熟悉的平面图形（如扇形）来量化？圆锥的侧面展开后是什么形状？
第 4 页：核心模块 1 圆锥的关键概念与性质
1. 圆锥的定义与构成（配标注图）
定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴，旋转一周形成的曲面（侧面）和平面（底面）围成的几何体；
核心元素：
底面：圆形，半径记为\(r\)（对应旋转轴的对边旋转形成）；
顶点：旋转轴的端点，记为\(S\)；
高：顶点到底面圆心的距离，记为\(h\)（即旋转轴的长度）；
母线：顶点与底面圆周上任意一点的连线，长度均相等，记为\(l\)（即直角三角形的斜边）。
2. 圆锥的重要性质
母线长、高、底面半径的勾股关系：\(l^2 = h^2 + r^2\)（轴截面为等腰三角形，可通过勾股定理关联三量）；
平行于底面的截面是圆，且半径与底面半径成比例；
侧面展开图为扇形，扇形的半径 = 圆锥母线长\(l\)，扇形的弧长 = 圆锥底面周长\(2\pi r\)。
第 5 页：核心模块 2 圆锥侧面积与全面积公式推导
1. 推导逻辑：立体→平面的转化
关键突破：圆锥侧面是曲面，无法直接度量，通过 “剪开母线展开为扇形”，将曲面面积转化为平面扇形面积计算；
推导依据（配展开对比图）：
扇形的半径 = 圆锥的母线长\(l\)；
扇形的弧长 = 圆锥底面的周长\(C = 2\pi r\)。
2. 公式推导过程
侧面积公式推导：
由扇形面积公式\(S_{\text{ }} = \frac{1}{2} \times \text{ §é } \times \text{ }\)，代入圆锥参数得：\(S_{\text{ §}} = \frac{1}{2} \times 2\pi r \times l = \pi rl\)；
全面积公式推导：
全面积 = 侧面积 + 底面面积（圆形面积），即：\(S_{\text{ ¨}} = S_{\text{ §}} + S_{\text{ }} = \pi rl + \pi r^2 = \pi r(l + r)\)。
3. 公式注解
\(S_{\text{ §}}\)：圆锥侧面积（仅曲面部分，无单位）；
\(S_{\text{ ¨}}\)：圆锥全面积（侧面积 + 底面，无单位）；
\(r\)：底面半径（带长度单位），\(l\)：母线长（带长度单位），两者需保持单位一致。
第 6 页：核心模块 3 展开图圆心角与三量互求
1. 展开图扇形圆心角公式推导
推导基础：扇形弧长 = 圆锥底面周长，即\(\frac{n\pi l}{180} = 2\pi r\)（\(n\)为扇形圆心角）；
化简得：\(n = 360^\circ \times \frac{r}{l}\)；
意义：建立圆锥底面半径\(r\)、母线长\(l\)与展开图圆心角\(n\)的关联，三量知二求一。
2. 多量互求示例（\(r=3cm\)，\(h=4cm\)）
已知条件
求解量
计算过程
\(r\)，\(h\)
母线\(l\)
由\(l^2=3^2+4^2=25\)得\(l=5cm\)
\(r\)，\(l\)
侧面积\(S_{\text{ §}}\)
\(S_{\text{ §}}=\pi\times3\times5=15\pi\approx47.1cm^2\)
\(r\)，\(l\)
展开图圆心角\(n\)
\(n=360^\circ\times\frac{3}{5}=216^\circ\)
\(l\)，\(n=180^\circ\)
底面半径\(r\)
由\(180^\circ=360^\circ\times\frac{r}{5}\)得\(r=2.5cm\)
第 7 页：典例精讲 公式的综合应用
例题 1：基础公式应用
一个圆锥的底面半径为 2cm，母线长为 5cm，求它的侧面积和全面积（结果保留\(\pi\)）。
解答步骤：
明确已知量：\(r=2cm\)，\(l=5cm\)；
计算侧面积：\(S_{\text{ §}}=\pi\times2\times5=10\pi cm^2\)；
计算全面积：\(S_{\text{ ¨}}=10\pi + \pi\times2^2=14\pi cm^2\)；
关键提醒：全面积需叠加底面圆形面积，勿漏算\(\pi r^2\)部分。
例题 2：实际场景与勾股定理结合
用铁皮制作一个圆锥形漏斗，漏斗的高为 8cm，底面直径为 12cm，求制作这个漏斗至少需要多少铁皮（结果保留整数）。
解答步骤：
拆解需求：求铁皮面积即圆锥侧面积（漏斗无底面）；
求底面半径：\(r=\frac{12}{2}=6cm\)；
求母线长：由\(l^2=8^2+6^2=100\)得\(l=10cm\)；
计算侧面积：\(S_{\text{ §}}=\pi\times6\times10=60\pi\approx188cm^2\)；
方法提炼：已知高和底面直径时，需先通过勾股定理求母线长，再用侧面积公式计算。
第 8 页：易错警示与解题技巧
1. 常见易错点剖析
概念混淆误区：
误将底面半径\(r\)当作母线长\(l\)代入公式（如算侧面积时用\(\pi l^2\)）；
混淆展开图圆心角与圆锥顶角（圆心角是扇形角度，顶角是轴截面等腰三角形的顶角）；
全面积计算漏加底面面积或多算侧面面积。
公式应用误区：
已知高和底面半径时，未求母线长直接用侧面积公式；
单位不统一（如\(r=2cm\)，\(l=0.1m\)未转化单位直接计算）。
2. 深化解题技巧
“四量定位” 法：遇到圆锥面积问题，先明确已知量（\(r\)、\(l\)、\(h\)、\(n\)中的两个），通过勾股定理（\(l^2=h^2+r^2\)）或圆心角公式（\(n=360^\circ\times\frac{r}{l}\)）衔接未知量，再选对应面积公式；
“场景辨析” 法：判断实际问题需计算侧面积还是全面积（如灯罩、漏斗无底面，算侧面积；容器、模型有底面，算全面积）；
“特殊值验证” 法：若展开图为半圆（\(n=180^\circ\)），则\(l=2r\)，轴截面为等边三角形（底角 60°），可快速验证计算结果。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）圆锥底面半径为 4cm，母线长为 5cm，则侧面积为____cm ，全面积为____cm 。（答案：20π，36π）
（2）圆锥高为 3cm，母线长为 5cm，则底面半径为____cm，展开图圆心角为____°。（答案：4，288，提示：由\(r=4\)得\(n=360^\circ\times\frac{4}{5}=288^\circ\)）
中档题：
一个圆锥侧面展开图是半径为 10cm 的半圆，求该圆锥的底面半径和高。（答案：\(r=5cm\)，\(h=5\sqrt{3}cm\)，提示：半圆弧长 = 底面周长，即\(\pi\times10=2\pi r\)得\(r=5\)，再求高）
提升题：
用一个圆心角为 120°、半径为 6cm 的扇形围成一个圆锥，求圆锥的侧面积和高。（答案：侧面积 = 12π cm ，高 = 4√2 cm，提示：侧面积 = 扇形面积\(\frac{120\pi\times6^2}{360}=12\pi\)，由\(120^\circ=360^\circ\times\frac{r}{6}\)得\(r=2\)，再求高）
第 10 页：知识拓展 圆锥与扇形的逆向转化
逆向问题：已知扇形参数，求围成圆锥的相关量（如练习 3），核心是 “扇形弧长 = 圆锥底面周长”“扇形半径 = 圆锥母线长”；
面积关联：扇形面积 = 圆锥侧面积（转化过程中面积不变），可直接用扇形面积公式求圆锥侧面积，无需重复计算；
实践验证：用半径 10cm、圆心角 90° 的扇形（上节课作业）围成圆锥，底面周长 = 扇形弧长\(\frac{90\pi\times10}{180}=5\pi\)，故底面半径\(r=\frac{5\pi}{2\pi}=2.5cm\)，与实际测量结果一致。
第 11 页：课堂小结与作业布置
1. 核心知识梳理
圆锥关键概念：母线\(l\)、底面半径\(r\)、高\(h\)，满足\(l^2=h^2+r^2\)；
面积公式：侧面积\(S_{\text{ §}}=\pi rl\)，全面积\(S_{\text{ ¨}}=\pi r(l+r)\)；
转化关系：扇形（半径\(l\)、弧长\(2\pi r\)） 圆锥（母线\(l\)、底面半径\(r\)），圆心角\(n=360^\circ\times\frac{r}{l}\)；
解题思想：立体问题平面化、未知量勾股衔接。
2. 作业布置
基础作业：教材习题 24.7 第 7、9、11 题（圆锥面积基本计算与实际应用）；
拓展作业：测量家中圆锥形物体（如漏斗、圣诞帽）的高和底面直径，计算其侧面积和全面积，写出步骤；
实践作业：用半径 12cm 的圆形纸片剪一个扇形，围成底面半径 3cm 的圆锥，计算需剪掉的扇形圆心角大小。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
24.7.2 圆锥的侧面展开图
第24章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
图片引入
与圆锥的侧面展开图相关的计算
顶点
母线
底面半径
侧面
高
圆锥的形成
观察与思考
圆锥的高
母线
S
A
O
B
r
我们把圆锥的顶点 S 和底面圆上任一点的连线 (如SA，SB 等) 叫做圆锥的母线．
圆锥的母线
圆锥有无数条母线，它们都相等．
圆锥的高
从圆锥的顶点到圆锥底面圆心之间的距离是圆锥的高．
知识要点
重要数量关系
如果用 r 表示圆锥底面的半径，h 表示圆锥的高，l 表示圆锥的母线长，那么 r、h、l 之间数量关系是：
r2 + h2 = 2
h
O
r
根据下列条件求值（其中 r、h、l 分别是圆锥的底面半径、高、母线长）.
(1) 若 l = 2，r =1，则 h =_______.
(2) 若 h = 3，r = 4，则 l =_______.
(3) 若 l = 10，h = 8，则 r =_______.
5
6
练一练
h
O
r
l
O
r
1. 圆锥的侧面展开图是什么图形？
扇形
想一想：
2. 沿着圆锥的母线，把一个圆锥的侧面展开，得到
一个扇形，这个扇形的弧长与底面的周长有什么
关系？
3. 圆锥侧面展开图是扇形，这个扇形的半径与圆锥
中的什么线段长相等？
相等
母线
l
o
侧面
展开图
l
r
其侧面展开图扇形的半径 =
母线的长 l
侧面展开图扇形的弧长 = 底
面周长
圆锥的侧面积计算公式
知识要点
例1 一个圆锥的侧面展开图是一个圆心角为 120°、弧长为 20π 的扇形，试求该圆锥底面的半径及它的母线的长.
解：设该圆锥的底面的半径为 r，母线长为 a，则
解得
r = 10.
∴
a = 30.
又
典例精析
例2 如图是圆锥形的烟囱帽，它的底面直径为 80 cm，母线为 50 cm. 在一块大铁皮上剪裁时，如何画出这个烟囱帽的侧面展开图？求出该侧面展开图的面积.
解：烟囱帽的侧面展开图是扇形，如图所示. 设该扇形的面积为 S. 由弧长的计算方法，可得
α
O
h
r
l
α
O
h
r
l
答：该侧面展开图的面积为 2000π cm2.
例3 蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成，如果想用毛毡搭建 20 个底面积为 35 m2，高为 3.5 m，外围高为 1.5 m 的蒙古包，至少需要多少平方米的毛毡（精确到 1 m2）？
解：如图是蒙古包的示意图．
根据题意，下面圆柱的底面积为 35 m2，高为 1.5 m；上面圆锥的高为 3.5－1.5 = 2(m).
圆柱的底面积半径为
圆锥的母线长为
侧面积为 2π×3.34×1.5 ≈ 31.46 (m2)，
侧面展开扇形的弧长为
圆锥的侧面积为
20×(31.46 + 40.81) ≈ 1446 (m2)．
答：至少需要 1446 m2 的毛毡.
如图所示的扇形中，半径 R = 10，圆心角 θ = 144°，用这个扇形围成一个圆锥的侧面.
(1) 这个圆锥的底面半径 r = ；
(2) 这个圆锥的高 h = .
θ
R = 10
4
练一练
A
O
r
B
C
当堂练习
1. 圆锥的底面半径为 3 cm，母线长为 6 cm，则这个圆
锥侧面展开图扇形的圆心角度数是_____．
2. 一个扇形，半径为 30 cm，圆心角为 120°，用它做成
一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面半径为 .
3. 已知圆锥的底面的半径为 3 cm，高为 4 cm，则它的
侧面积是 ，全面积是 ．
180°
10 cm
15π cm2
24π cm2
4.（1）在半径为10的圆的铁片中，要裁剪出一个直角
扇形，求能裁剪出的最大的直角扇形的面积；
A
B
C
①
②
③
O
解：如图，连接 BC，则 BC = 20.
∵∠BAC = 90°，BO = 10，AB = AC，
∴ S扇形=
∴ AB = AC =
（2）若用这个最大的直角扇形恰好围成一个圆锥，求
这个圆锥的底面圆的半径.
解：圆锥侧面展开图的弧长为
∵
A
B
C
①
②
③
O
（3）能否从最大的余料③中剪出一个圆做该圆锥的底
面？请说明理由．
解：延长 AO 交扇形于点 E，交 ⊙O 于点 F，
则 EF =
∵ 圆锥的底面直径为
∴ 不能从最大的余料③中剪出一个
圆做该圆锥的底面.
A
B
C
①
②
③
O
E
F
返回
1．若圆锥的底面半径为6 cm，母线长为8 cm，则圆锥的侧面积是( )
A．30π cm2 B．48π cm2
C．60π cm2 D．80π cm2
B
返回
2．[2023·东营]如果圆锥侧面展开图的面积是15π，母线长是5，则这个圆锥的底面半径是( )
A．3 B．4 C．5 D．6
A
返回
C
4．数学活动课上老师请同学们分组制作圆锥，并请不同小组同学根据已知数据求解相关量．如已知1组制作的圆锥母线长为60 cm，底面圆的半径为15 cm，这个圆锥的侧面展开图的圆心角度数是( )
A．90° B．15° C．96° D．180°
A
返回
返回
B
返回
【答案】A
返回
8．如图，在 Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝a，BC＝b，且a>b，将△ABC 绕边BC所在的直线旋转一周形成圆锥甲，再将△ABC绕边AB所在的直线旋转一周形成圆锥乙，记两个圆锥的全面积分别为S甲，S乙，则S甲 , S乙的大小关系为S甲________S乙．(选填“>”“<”或“＝”)
＞
返回
9. 如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝9 cm，把它分割成正方形纸片ABFE和矩形纸片EFCD后，分别裁出扇形BAF和半径最大的圆，恰好能作为一个圆锥的侧面和底面，则AB的长为________．
6 cm
返回
10. 蒙古包可以近似地看作由一个圆柱和一个圆锥组成．其中，底面圆半径为3 m，圆锥高为2 m，圆柱高为3 m，门的高和宽分别为2 m和1 m，若要给除门外的蒙古包的表面铺上一层羊毛毡(接缝忽略不计)，那么所需要羊毛毡的面积为_____________________．
r2 + h2 = l2
S圆锥侧面 = πrl
圆锥的高
母线
r
S
A
O
B
h
l
o
侧面
展开图
r
底面
①其侧面展开图扇形的半径 = 母线的长 l
②侧面展开图扇形的弧长 = 底面周长
重要图形
重要结论
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！