25.1.2正投影 课件(共41张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 25.1.2正投影 课件(共41张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 00:00:00 | ||
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文档简介
(共41张PPT)
第 1 页：封面页
标题：25.1.2 正投影
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 特征 作图 三视图基础
配图：左侧为 “正投影示意图”（平行光线垂直投影面，长方体投影为等大长方形），右侧为 “正投影应用图”（机械零件图纸局部，标注尺寸）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：精准理解正投影的定义，掌握 “真实性、积聚性、类似性” 三大核心特征，明确正投影与三视图的内在关联。
能力目标：能根据物体与投影面的位置关系判断正投影形状，初步掌握简单几何体的正投影作图方法，提升空间几何转化能力。
素养目标：体会正投影在工程、建筑中的精准性价值，培养严谨的作图习惯与数形结合思想，理解 “数学原理服务实际生产” 的意义。
第 3 页：情境导入 为何需要正投影？
矛盾情境展示（配图对比）：
问题场景：用倾斜的平行光线投射长方体零件，得到的平行投影是变形的平行四边形，无法准确标注长度、宽度（普通平行投影的局限）；
解决场景：用垂直于投影面的平行光线投射同一零件，投影为长方形，与零件的长、宽尺寸完全一致（正投影的优势）。
思考提问：
正投影与上节课提到的普通平行投影有何本质区别？（光线与投影面的位置关系）
为什么建筑图纸、机械零件图都必须采用正投影绘制？（保证尺寸精准，满足施工 / 加工需求）
第 4 页：核心概念 正投影的定义与本质
1. 正投影的严格定义
由平行光线垂直于投影面照射物体形成的投影，叫做正投影。
三大核心要素（配标注模型图）：
光线：必须是平行光线（区别于中心投影）；
角度：光线与投影面必须呈 90° 垂直（区别于普通平行投影）；
结果：投影能准确反映物体的实际形状与尺寸（核心价值）。
2. 正投影与相关概念的关系
（配集合关系图：投影 平行投影 正投影）
从属关系：正投影是特殊的平行投影，特殊之处在于 “光线垂直投影面”；
本质差异：普通平行投影仅保证 “相似不变形”，正投影可实现 “全等不变形”（当物体与投影面平行时）。
第 5 页：核心模块 1 正投影的三大特征
1. 特征总览（以长方体为例，配多角度投影图）
特征名称
物体与投影面的位置关系
投影表现
实例验证
真实性
物体的某一平面与投影面平行
投影与该平面的形状、大小完全相同（全等图形）
水平放置的正方形纸板，正投影为等大正方形
积聚性
物体的某条棱 / 某个平面与投影面垂直
棱的投影积聚为一个点，平面的投影积聚为一条线段
直立的铅笔（棱垂直投影面），正投影为一个点
类似性
物体的某一平面与投影面倾斜（不平行也不垂直）
投影与该平面形状相似但尺寸缩小（对应线段比例不变，角度可能改变）
倾斜放置的长方形木板，正投影为相似的平行四边形
2. 特征辨析与应用
关键提醒：正投影的特征由 “物体与投影面的夹角” 唯一决定，三者不会同时出现（如某平面满足 “真实性” 就不可能同时满足 “积聚性”）；
工程价值：利用 “真实性” 绘制零件的标准面尺寸，利用 “积聚性” 简化垂直棱的投影，利用 “类似性” 反映倾斜结构的形状特征。
第 6 页：核心模块 2 简单几何体的正投影作图
1. 作图核心原则
光线方向：始终假定平行光线垂直于投影面（作图时可标注 “⊥” 符号示意）；
位置摆放：尽量使几何体的主要平面与投影面平行或垂直，优先呈现 “真实性” 特征；
线条规范：可见轮廓线用实线，不可见轮廓线用虚线（初步渗透三视图作图规范）。
2. 典型几何体作图示例（分步配图）
（1）正方体的正投影
当正方体一个面平行于投影面时：正投影为正方形（体现真实性）；
当正方体一条棱垂直于投影面时：正投影为正方形（此时相邻面均倾斜，仍保持类似性）。
（2）圆柱体的正投影
当圆柱轴线垂直于投影面时：正投影为圆形（上下底面平行投影面，体现真实性）；
当圆柱轴线平行于投影面时：正投影为长方形（侧面展开的正投影，上下底面积聚为线段）。
（3）圆锥体的正投影
当圆锥轴线垂直于投影面时：正投影为圆形（底面体现真实性，顶点投影为圆心）；
当圆锥轴线平行于投影面时：正投影为等腰三角形（底面积聚为线段，侧面体现类似性）。
第 7 页：核心模块 3 正投影与三视图的衔接
1. 三视图的本质：多面正投影
三投影面体系建立（配立体示意图）：
正面（V 面）：正对着观察者的垂直投影面；
水平面（H 面）：水平放置的投影面；
侧面（W 面）：右侧立的垂直投影面；
三个投影面互相垂直，交点为投影原点。
2. 三视图与正投影的对应关系
视图名称
投射方向
正投影面
反映的尺寸
主视图
由前向后投射
正面（V 面）
物体的长和高
俯视图
由上向下投射
水平面（H 面）
物体的长和宽
左视图
由左向右投射
侧面（W 面）
物体的宽和高
3. 核心投影规律（预习铺垫）
三视图的 “三等关系”：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等（正投影的真实性保证尺寸对应）。
第 8 页：典例精讲 正投影的判断与作图
例题 1：正投影特征判断
如图，将直角三角形纸板分别按以下方式摆放，其正投影形状对应正确的是（ ）：
① 纸板与投影面平行；② 纸板的斜边与投影面平行，直角边与投影面垂直；③ 纸板与投影面倾斜。
A. ①直角三角形 ②线段 ③钝角三角形 B. ①直角三角形 ②点 ③锐角三角形
解答：选 A
解析：①满足真实性，投影与原三角形全等（直角三角形）；②直角边垂直投影面，纸板积聚为线段（积聚性）；③倾斜放置，投影为类似的钝角三角形（类似性）。
例题 2：长方体的正投影作图
已知长方体的长 5cm、宽 3cm、高 4cm，当它的长 × 宽面平行于投影面时，画出其正投影，并标注尺寸。
解答步骤：
确定光线方向：平行光线垂直于长 × 宽所在的投影面；
依据真实性特征：正投影为长方形，长 = 5cm，宽 = 3cm；
作图：绘制长方形，标注长 5cm、宽 3cm（高在该投影面不体现）。
第 9 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
混淆 “正投影” 与 “普通平行投影”：误将 “平行光线投射的投影” 都当作正投影（忽略 “垂直投影面” 的关键条件）；
误解 “积聚性” 适用场景：认为所有垂直于投影面的物体都投影为点（仅棱垂直时投影为点，平面垂直时投影为线段）；
作图漏标关键尺寸：正投影的核心价值是 “尺寸精准”，作图时未标注对应长度、宽度（如长方体投影漏标长或宽）。
避坑技巧：
判断正投影的两步法：先看光线是否平行（排除中心投影），再看光线是否垂直投影面（区分普通平行投影）；
分析投影形状时：先确定物体表面与投影面的位置关系（平行→真实，垂直→积聚，倾斜→类似）；
作图规范：用直尺画实线 / 虚线，尺寸标注在投影轮廓外侧，保证清晰准确。
第 10 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）正投影的投影线必须满足______且______（答案：互相平行，垂直于投影面）；
（2）当圆柱体的轴线与投影面垂直时，其正投影是______（答案：圆形）。
中档题：
一个棱长为 4cm 的正方体，分别将它的一个面、一条棱、一个顶点正对投影面，画出三种情况下的正投影，并说明对应的特征。（答案：面正对→正方形，真实性；棱正对→长方形，类似性；顶点正对→正方形，类似性）
提升题：
已知圆锥的底面半径 2cm、高 5cm，当它的底面平行于投影面时，正投影的面积是多少？（答案：4π cm ，提示：底面正投影为等大圆形，面积 =π×2 =4π）
第 11 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心定义：正投影是垂直于投影面的平行投影，是 “精准反映尺寸” 的特殊平行投影；
关键特征：真实性（平行时全等）、积聚性（垂直时聚为点 / 线）、类似性（倾斜时相似）；
知识关联：三视图本质是物体在三个互相垂直投影面上的正投影，核心遵循 “长对正、高平齐、宽相等”。
作业：
基础作业：教材习题 25.1 第 3、4 题（正投影特征判断、简单几何体作图）；
拓展作业：观察家中的长方体包装盒（如鞋盒），分别从正面、上面、左面用手机垂直拍摄（模拟正投影），对比三张照片的尺寸关系；
实践作业：用硬纸板制作一个长 6cm、宽 4cm、高 3cm 的长方体模型，将其长 × 高面平行于墙面（投影面），用手电筒（模拟平行光线）垂直墙面照射，测量投影的长和高，验证真实性特征。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.1.2正投影
第25章 投影与视图
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
1. 说一说什么是投影、投射线、投影面.
照射光线叫做投射线，
一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.
投影面
投影
投射线
投影所在的平面叫做投影面．
2. 什么是平行投影和中心投影？它们有什么区别和联系？
区别 联系
平行投影
中心投影 投射线互相平行，
形成平行投影
投射线发自一点，形成中心投影
都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子. (即都是投影)
3. 做一做：
(1) 物体的影子在正东方，则太阳在物体的 ( )
A. 正北 B. 正南 C. 正西 D. 正东
(2) 太阳发出的光照在物体上是 ，车灯发出
的光照在物体上是 ．
C
平行投影
中心投影
线段的正投影
三角板在光线照射下形成投影，观察下图，它们有什么相同点和不同点？
观察与思考
在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影.
知识要点
投影
平行投影
中心投影
正投影
斜投影
投射线集中于一点
投射线互相平行，且斜着照射投影面
投射线垂直于投影面
准备素材：铅笔，矩形纸板，长方体纸盒
问题1 用一束平行光垂直于水平桌面照射一支铅笔，改变铅笔的位置，观察它在桌面上投影的形状，你能发现线段的正投影的规律吗？
合作探究
H
A
B
A
B
A
B
铅笔可看作线段 AB
A'
B'
A'
B'
A' (B')
H 为投影面
A'B' = AB
A'B'＜AB
A'B' = 0
平行
倾斜
垂直
线段的正投影有如下规律：
平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点.
知识要点
2. 在同一时刻，两根长度不等的木杆置于阳光下，但
它们的影长相等，则它们的相对位置是 （ ）
A．两根垂直于地面 B．两根都平行斜插在地面上
C．两根木杆不平行 D．一根倒在地上
C
1. 木棒长为 1 m，则它的正投影的长一定 （ ）
A．大于 1 m B．小于 1 m
C．等于 1 m D．小于或等于 1 m
D
练一练
H
问题2 用一束平行光垂直于水平桌面照射一张矩形纸板 ABCD，改变纸板的位置，观察它在桌面上投影的形状，你能发现矩形 ABCD 正投影的规律吗？
A
B
D
C
平面图形的正投影
H
A
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A'
B'
C'
D'
A
B
D
C
平行
倾斜
垂直
D'(A')
C'(B')
A
B
D
C
四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 重合
四边形 A'B'C'D' 在大小和形状上已发生改变
四边形 A'B'C'D'变为线段 C'D'
(或 A'B')
平面图形的正投影有如下规律：
平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.
知识要点
1. 皮皮拿着一块正方形纸板在阳光下做投影实验，该
纸板在投影面上形成的投影不可能是 （ ）
A
B
C
D
D
练一练
2. 小明同学拿着一个三角形木架在太阳光下玩，他不断
变换着木架的位置，则该木架在地上出现的影子可能
是 ______（填序号）.
①点；②线段；③三角形；④四边形．
②③
H
立体图形的正投影
问题3 根据平面图形正投影的规律，你能说出长方体ABCD-A1B1C1D1 在投影面 H 上的正投影是什么图形吗？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
长方体在投影面
H 上的正投影就是矩形 A'B'C'D'
H
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
想一想：若将长方体 ABCD-A1B1C1D1 倾斜放置，它在投影面 H 上的正投影是什么图形？
长方体的两个面 ABB1A1 与 DCC1D1 垂直于投影面，故这两个面在投影面上的投影为两条线段.
长方体的另外四个面在投影面上的投影都是平面图形.
几何体的正投影有如下规律：
一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形.
一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图.
知识要点
1. 如图，箭头表示投射线的方向，则图中圆柱的正
投影是 （ ）
A．圆 B．圆柱
C．梯形 D．矩形
D
2. 底面与投影面垂直的圆锥的正投影是 （ ）
A．圆 B．三角形 C．矩形 D．正方形
B
练一练
例 圆柱的轴截面平行于投影面，它的正投影是边长为 4 的正方形，则这个圆柱的表面积是______.
4
4
圆柱的底面直径为 4
圆柱的高为 4
典例精析
1. 圆形物体在阳光下的投影不可能是 （ ）
A．圆形 B．线段 C．矩形 D．椭圆形
C
2. 直铁丝长 1.2 m，则它的正投影的长一定 （ ）
A. 大于 1.2 m B. 小于 1.2 m
C. 等于 1.2 m D. 小于或等于 1.2 m
D
3. 下列说法正确的有 （ ）
①线段 a 垂直于投影面 P，则线段 a 在投影面 P 上的
正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，
则长方形在投影面上的正投影是一条线段；③正方体
的一侧面与投影面平行，则该正方体有 4 个面的正投
影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在
投影面上的正投影是等腰三角形．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
D
4. 下图水杯的杯口与投影面平行，投射线的方向如箭
头所示，它的正投影是 （ ）
D
5. 画出投射线从上方射向下列立体图形下方的正投影．
解：如图所示.
6. 如图①，已知一根长 8 cm 的木棒 AB 平行于投影面
α，投影线垂直于 α.
(1) 求影子 A1B1 的长度；
(2) 如图②，若将木棒绕其端点 A 逆时针旋转 30°，求旋转后木棒的影长 A2B2 ．
答案：(1) A1B1 = 8 cm.
E
(2) A2B2 = cm.
返回
1．把一个正六棱柱如图摆放，当光线由正前方射到后方时，它的正投影是( )
B
返回
2．[2024·滁州模拟]由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是( )
A
返回
3．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小________(填 “相同”“不一定相同”或“不相同”)．
相同
4．[2024·宿州宿城第一初级中学期末]物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是( )
A．一条线段
B．一个与原正方形全等的正方形
C．一个邻边不等的平行四边形
D．一个等腰梯形
D
返回
【点拨】 如图，过点B作BC⊥AA1于点C，
∴∠ACB＝90°.∵A1B1是线段AB
在投影面上的正投影，
∴AA1⊥A1B1，BB1⊥A1B1.
∴四边形A1B1BC为矩形.
∴BC＝A1B1，∠B1BC＝90°.
∴∠ABC＝∠ABB1－∠CBB1＝20°.∴BC＝AB·cos20°.
∴A1B1＝AB·cos20°＝a·cos20° cm.
【答案】 A
返回
返回
7．如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置，三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
(1)铁丝平行于投影面；(2)铁丝倾斜于投影面；
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有交点)．
通过观察，我们可以发现：
(1)当线段AB平行于投影面α时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB________A1B1；
(2)当线段AB倾斜于投影面α时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB______A2B2；
(3)当线段AB垂直于投影面α时，它的正投影是一个________．
＝
返回
＞
点
8．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是( )
返回
C
正投影及其性质
线段的正投影
平面图形的正投影
几何体的正投影
平行长不变，倾斜长变短，垂直成一点
影长≤线段长
平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段
平面图形
视图
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：25.1.2 正投影
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 特征 作图 三视图基础
配图：左侧为 “正投影示意图”（平行光线垂直投影面，长方体投影为等大长方形），右侧为 “正投影应用图”（机械零件图纸局部，标注尺寸）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：精准理解正投影的定义，掌握 “真实性、积聚性、类似性” 三大核心特征，明确正投影与三视图的内在关联。
能力目标：能根据物体与投影面的位置关系判断正投影形状，初步掌握简单几何体的正投影作图方法，提升空间几何转化能力。
素养目标：体会正投影在工程、建筑中的精准性价值，培养严谨的作图习惯与数形结合思想，理解 “数学原理服务实际生产” 的意义。
第 3 页：情境导入 为何需要正投影？
矛盾情境展示（配图对比）：
问题场景：用倾斜的平行光线投射长方体零件，得到的平行投影是变形的平行四边形，无法准确标注长度、宽度（普通平行投影的局限）；
解决场景：用垂直于投影面的平行光线投射同一零件，投影为长方形，与零件的长、宽尺寸完全一致（正投影的优势）。
思考提问：
正投影与上节课提到的普通平行投影有何本质区别？（光线与投影面的位置关系）
为什么建筑图纸、机械零件图都必须采用正投影绘制？（保证尺寸精准，满足施工 / 加工需求）
第 4 页：核心概念 正投影的定义与本质
1. 正投影的严格定义
由平行光线垂直于投影面照射物体形成的投影，叫做正投影。
三大核心要素（配标注模型图）：
光线：必须是平行光线（区别于中心投影）；
角度：光线与投影面必须呈 90° 垂直（区别于普通平行投影）；
结果：投影能准确反映物体的实际形状与尺寸（核心价值）。
2. 正投影与相关概念的关系
（配集合关系图：投影 平行投影 正投影）
从属关系：正投影是特殊的平行投影，特殊之处在于 “光线垂直投影面”；
本质差异：普通平行投影仅保证 “相似不变形”，正投影可实现 “全等不变形”（当物体与投影面平行时）。
第 5 页：核心模块 1 正投影的三大特征
1. 特征总览（以长方体为例，配多角度投影图）
特征名称
物体与投影面的位置关系
投影表现
实例验证
真实性
物体的某一平面与投影面平行
投影与该平面的形状、大小完全相同（全等图形）
水平放置的正方形纸板，正投影为等大正方形
积聚性
物体的某条棱 / 某个平面与投影面垂直
棱的投影积聚为一个点，平面的投影积聚为一条线段
直立的铅笔（棱垂直投影面），正投影为一个点
类似性
物体的某一平面与投影面倾斜（不平行也不垂直）
投影与该平面形状相似但尺寸缩小（对应线段比例不变，角度可能改变）
倾斜放置的长方形木板，正投影为相似的平行四边形
2. 特征辨析与应用
关键提醒：正投影的特征由 “物体与投影面的夹角” 唯一决定，三者不会同时出现（如某平面满足 “真实性” 就不可能同时满足 “积聚性”）；
工程价值：利用 “真实性” 绘制零件的标准面尺寸，利用 “积聚性” 简化垂直棱的投影，利用 “类似性” 反映倾斜结构的形状特征。
第 6 页：核心模块 2 简单几何体的正投影作图
1. 作图核心原则
光线方向：始终假定平行光线垂直于投影面（作图时可标注 “⊥” 符号示意）；
位置摆放：尽量使几何体的主要平面与投影面平行或垂直，优先呈现 “真实性” 特征；
线条规范：可见轮廓线用实线，不可见轮廓线用虚线（初步渗透三视图作图规范）。
2. 典型几何体作图示例（分步配图）
（1）正方体的正投影
当正方体一个面平行于投影面时：正投影为正方形（体现真实性）；
当正方体一条棱垂直于投影面时：正投影为正方形（此时相邻面均倾斜，仍保持类似性）。
（2）圆柱体的正投影
当圆柱轴线垂直于投影面时：正投影为圆形（上下底面平行投影面，体现真实性）；
当圆柱轴线平行于投影面时：正投影为长方形（侧面展开的正投影，上下底面积聚为线段）。
（3）圆锥体的正投影
当圆锥轴线垂直于投影面时：正投影为圆形（底面体现真实性，顶点投影为圆心）；
当圆锥轴线平行于投影面时：正投影为等腰三角形（底面积聚为线段，侧面体现类似性）。
第 7 页：核心模块 3 正投影与三视图的衔接
1. 三视图的本质：多面正投影
三投影面体系建立（配立体示意图）：
正面（V 面）：正对着观察者的垂直投影面；
水平面（H 面）：水平放置的投影面；
侧面（W 面）：右侧立的垂直投影面；
三个投影面互相垂直，交点为投影原点。
2. 三视图与正投影的对应关系
视图名称
投射方向
正投影面
反映的尺寸
主视图
由前向后投射
正面（V 面）
物体的长和高
俯视图
由上向下投射
水平面（H 面）
物体的长和宽
左视图
由左向右投射
侧面（W 面）
物体的宽和高
3. 核心投影规律（预习铺垫）
三视图的 “三等关系”：主视图与俯视图长对正，主视图与左视图高平齐，俯视图与左视图宽相等（正投影的真实性保证尺寸对应）。
第 8 页：典例精讲 正投影的判断与作图
例题 1：正投影特征判断
如图，将直角三角形纸板分别按以下方式摆放，其正投影形状对应正确的是（ ）：
① 纸板与投影面平行；② 纸板的斜边与投影面平行，直角边与投影面垂直；③ 纸板与投影面倾斜。
A. ①直角三角形 ②线段 ③钝角三角形 B. ①直角三角形 ②点 ③锐角三角形
解答：选 A
解析：①满足真实性，投影与原三角形全等（直角三角形）；②直角边垂直投影面，纸板积聚为线段（积聚性）；③倾斜放置，投影为类似的钝角三角形（类似性）。
例题 2：长方体的正投影作图
已知长方体的长 5cm、宽 3cm、高 4cm，当它的长 × 宽面平行于投影面时，画出其正投影，并标注尺寸。
解答步骤：
确定光线方向：平行光线垂直于长 × 宽所在的投影面；
依据真实性特征：正投影为长方形，长 = 5cm，宽 = 3cm；
作图：绘制长方形，标注长 5cm、宽 3cm（高在该投影面不体现）。
第 9 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
混淆 “正投影” 与 “普通平行投影”：误将 “平行光线投射的投影” 都当作正投影（忽略 “垂直投影面” 的关键条件）；
误解 “积聚性” 适用场景：认为所有垂直于投影面的物体都投影为点（仅棱垂直时投影为点，平面垂直时投影为线段）；
作图漏标关键尺寸：正投影的核心价值是 “尺寸精准”，作图时未标注对应长度、宽度（如长方体投影漏标长或宽）。
避坑技巧：
判断正投影的两步法：先看光线是否平行（排除中心投影），再看光线是否垂直投影面（区分普通平行投影）；
分析投影形状时：先确定物体表面与投影面的位置关系（平行→真实，垂直→积聚，倾斜→类似）；
作图规范：用直尺画实线 / 虚线，尺寸标注在投影轮廓外侧，保证清晰准确。
第 10 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）正投影的投影线必须满足______且______（答案：互相平行，垂直于投影面）；
（2）当圆柱体的轴线与投影面垂直时，其正投影是______（答案：圆形）。
中档题：
一个棱长为 4cm 的正方体，分别将它的一个面、一条棱、一个顶点正对投影面，画出三种情况下的正投影，并说明对应的特征。（答案：面正对→正方形，真实性；棱正对→长方形，类似性；顶点正对→正方形，类似性）
提升题：
已知圆锥的底面半径 2cm、高 5cm，当它的底面平行于投影面时，正投影的面积是多少？（答案：4π cm ，提示：底面正投影为等大圆形，面积 =π×2 =4π）
第 11 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心定义：正投影是垂直于投影面的平行投影，是 “精准反映尺寸” 的特殊平行投影；
关键特征：真实性（平行时全等）、积聚性（垂直时聚为点 / 线）、类似性（倾斜时相似）；
知识关联：三视图本质是物体在三个互相垂直投影面上的正投影，核心遵循 “长对正、高平齐、宽相等”。
作业：
基础作业：教材习题 25.1 第 3、4 题（正投影特征判断、简单几何体作图）；
拓展作业：观察家中的长方体包装盒（如鞋盒），分别从正面、上面、左面用手机垂直拍摄（模拟正投影），对比三张照片的尺寸关系；
实践作业：用硬纸板制作一个长 6cm、宽 4cm、高 3cm 的长方体模型，将其长 × 高面平行于墙面（投影面），用手电筒（模拟平行光线）垂直墙面照射，测量投影的长和高，验证真实性特征。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
25.1.2正投影
第25章 投影与视图
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
1. 说一说什么是投影、投射线、投影面.
照射光线叫做投射线，
一般地，用光线照射物体，在某个平面 (地面、墙壁等) 上得到的影子叫做物体的投影.
投影面
投影
投射线
投影所在的平面叫做投影面．
2. 什么是平行投影和中心投影？它们有什么区别和联系？
区别 联系
平行投影
中心投影 投射线互相平行，
形成平行投影
投射线发自一点，形成中心投影
都是物体在光线的照射下，在某个平面内形成的影子. (即都是投影)
3. 做一做：
(1) 物体的影子在正东方，则太阳在物体的 ( )
A. 正北 B. 正南 C. 正西 D. 正东
(2) 太阳发出的光照在物体上是 ，车灯发出
的光照在物体上是 ．
C
平行投影
中心投影
线段的正投影
三角板在光线照射下形成投影，观察下图，它们有什么相同点和不同点？
观察与思考
在平行投影中，如果投射线垂直于投影面，那么这种投影称为正投影.
知识要点
投影
平行投影
中心投影
正投影
斜投影
投射线集中于一点
投射线互相平行，且斜着照射投影面
投射线垂直于投影面
准备素材：铅笔，矩形纸板，长方体纸盒
问题1 用一束平行光垂直于水平桌面照射一支铅笔，改变铅笔的位置，观察它在桌面上投影的形状，你能发现线段的正投影的规律吗？
合作探究
H
A
B
A
B
A
B
铅笔可看作线段 AB
A'
B'
A'
B'
A' (B')
H 为投影面
A'B' = AB
A'B'＜AB
A'B' = 0
平行
倾斜
垂直
线段的正投影有如下规律：
平行长不变，倾斜长缩短，垂直成一点.
知识要点
2. 在同一时刻，两根长度不等的木杆置于阳光下，但
它们的影长相等，则它们的相对位置是 （ ）
A．两根垂直于地面 B．两根都平行斜插在地面上
C．两根木杆不平行 D．一根倒在地上
C
1. 木棒长为 1 m，则它的正投影的长一定 （ ）
A．大于 1 m B．小于 1 m
C．等于 1 m D．小于或等于 1 m
D
练一练
H
问题2 用一束平行光垂直于水平桌面照射一张矩形纸板 ABCD，改变纸板的位置，观察它在桌面上投影的形状，你能发现矩形 ABCD 正投影的规律吗？
A
B
D
C
平面图形的正投影
H
A
B
D
C
A'
B'
C'
D'
A'
B'
C'
D'
A
B
D
C
平行
倾斜
垂直
D'(A')
C'(B')
A
B
D
C
四边形 ABCD 与四边形 A'B'C'D' 重合
四边形 A'B'C'D' 在大小和形状上已发生改变
四边形 A'B'C'D'变为线段 C'D'
(或 A'B')
平面图形的正投影有如下规律：
平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段.
知识要点
1. 皮皮拿着一块正方形纸板在阳光下做投影实验，该
纸板在投影面上形成的投影不可能是 （ ）
A
B
C
D
D
练一练
2. 小明同学拿着一个三角形木架在太阳光下玩，他不断
变换着木架的位置，则该木架在地上出现的影子可能
是 ______（填序号）.
①点；②线段；③三角形；④四边形．
②③
H
立体图形的正投影
问题3 根据平面图形正投影的规律，你能说出长方体ABCD-A1B1C1D1 在投影面 H 上的正投影是什么图形吗？
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
长方体在投影面
H 上的正投影就是矩形 A'B'C'D'
H
A1
B1
C1
D1
A
B
C
D
想一想：若将长方体 ABCD-A1B1C1D1 倾斜放置，它在投影面 H 上的正投影是什么图形？
长方体的两个面 ABB1A1 与 DCC1D1 垂直于投影面，故这两个面在投影面上的投影为两条线段.
长方体的另外四个面在投影面上的投影都是平面图形.
几何体的正投影有如下规律：
一般地，一个几何体在一个平面上的正投影是一个平面图形.
一个几何体在一个平面上的正投影叫做这个几何体的视图.
知识要点
1. 如图，箭头表示投射线的方向，则图中圆柱的正
投影是 （ ）
A．圆 B．圆柱
C．梯形 D．矩形
D
2. 底面与投影面垂直的圆锥的正投影是 （ ）
A．圆 B．三角形 C．矩形 D．正方形
B
练一练
例 圆柱的轴截面平行于投影面，它的正投影是边长为 4 的正方形，则这个圆柱的表面积是______.
4
4
圆柱的底面直径为 4
圆柱的高为 4
典例精析
1. 圆形物体在阳光下的投影不可能是 （ ）
A．圆形 B．线段 C．矩形 D．椭圆形
C
2. 直铁丝长 1.2 m，则它的正投影的长一定 （ ）
A. 大于 1.2 m B. 小于 1.2 m
C. 等于 1.2 m D. 小于或等于 1.2 m
D
3. 下列说法正确的有 （ ）
①线段 a 垂直于投影面 P，则线段 a 在投影面 P 上的
正投影是一个点；②长方形的对角线垂直于投影面，
则长方形在投影面上的正投影是一条线段；③正方体
的一侧面与投影面平行，则该正方体有 4 个面的正投
影是线段；④圆锥的轴截面与投影面平行，则圆锥在
投影面上的正投影是等腰三角形．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
D
4. 下图水杯的杯口与投影面平行，投射线的方向如箭
头所示，它的正投影是 （ ）
D
5. 画出投射线从上方射向下列立体图形下方的正投影．
解：如图所示.
6. 如图①，已知一根长 8 cm 的木棒 AB 平行于投影面
α，投影线垂直于 α.
(1) 求影子 A1B1 的长度；
(2) 如图②，若将木棒绕其端点 A 逆时针旋转 30°，求旋转后木棒的影长 A2B2 ．
答案：(1) A1B1 = 8 cm.
E
(2) A2B2 = cm.
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1．把一个正六棱柱如图摆放，当光线由正前方射到后方时，它的正投影是( )
B
返回
2．[2024·滁州模拟]由四个相同小立方体拼成的几何体如图所示，当光线由上向下垂直照射时，该几何体在水平投影面上的正投影是( )
A
返回
3．当物体的某个面平行于投影面时，这个面的正投影与这个面的形状、大小________(填 “相同”“不一定相同”或“不相同”)．
相同
4．[2024·宿州宿城第一初级中学期末]物体正投影的形状、大小与它相对于投影面的位置有关．一个正方形纸板的正投影不可能是( )
A．一条线段
B．一个与原正方形全等的正方形
C．一个邻边不等的平行四边形
D．一个等腰梯形
D
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【点拨】 如图，过点B作BC⊥AA1于点C，
∴∠ACB＝90°.∵A1B1是线段AB
在投影面上的正投影，
∴AA1⊥A1B1，BB1⊥A1B1.
∴四边形A1B1BC为矩形.
∴BC＝A1B1，∠B1BC＝90°.
∴∠ABC＝∠ABB1－∠CBB1＝20°.∴BC＝AB·cos20°.
∴A1B1＝AB·cos20°＝a·cos20° cm.
【答案】 A
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7．如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个不同位置，三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？
(1)铁丝平行于投影面；(2)铁丝倾斜于投影面；
(3)铁丝垂直于投影面(铁丝不一定要与投影面有交点)．
通过观察，我们可以发现：
(1)当线段AB平行于投影面α时，它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB________A1B1；
(2)当线段AB倾斜于投影面α时，它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB______A2B2；
(3)当线段AB垂直于投影面α时，它的正投影是一个________．
＝
返回
＞
点
8．如图，把正方体一个顶点朝上立放，在它下面放一张白纸，使纸面与太阳光垂直，则正方体在纸上的正投影是( )
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C
正投影及其性质
线段的正投影
平面图形的正投影
几何体的正投影
平行长不变，倾斜长变短，垂直成一点
影长≤线段长
平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段
平面图形
视图
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！