26.2.2用树状图法求概率 课件(共41张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册

(共41张PPT)
第 1 页：封面页
标题：26.2.2 用树状图法求概率
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 树状图构建 结果列举 概率计算
配图：左侧为 “两次摸球的树状图完整示意图（标注分支与结果）”，右侧为 “树状图法解题步骤流程图”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标与知识衔接
1. 前置回顾（26.2.1 核心关联点）
概率基本公式：\(P(A)=\frac{\text{ }A\text{ è °}}{\text{ è °}}\)；
适用局限：上节课的直接列举法仅适用于 “一步随机事件”（如单次摸球、单次掷骰子），多步事件易出现结果重复或遗漏。
2. 本课时学习目标
知识目标：理解树状图法的原理，掌握用树状图列举多步随机事件所有等可能结果的方法，能结合概率公式计算目标事件的概率。
能力目标：能根据事件步数（两步、三步）正确绘制树状图，通过结果分析提升 “有序列举、不重不漏” 的逻辑思维能力。
素养目标：体会树状图法在复杂事件中的直观性优势，培养严谨的数学思维，理解 “有序列举” 对概率计算准确性的重要性。
第 3 页：情境导入 为何需要树状图法？
认知冲突展示（配图对比）：
一步事件（简单）：从装有 2 个红球（R）、1 个白球（W）的袋子中摸 1 个球，结果仅 3 种（R 、R 、W），直接列举即可；
两步事件（复杂）：从同一袋子中 “摸出 1 个球后放回，再摸 1 个球”，可能结果有多少种？直接列举易漏 “R →R ”“R →R ” 等结果。
思考提问：
多步随机事件的结果如何做到 “不重复、不遗漏” 地列举？（树状图可按 “步骤分支” 有序呈现）
树状图的 “分支” 和 “终点” 分别对应事件的什么特征？（分支对应每一步的可能结果，终点对应所有步骤的组合结果）
第 4 页：核心概念 树状图法的原理与结构
1. 树状图法的定义
树状图法是通过 “树状分支” 的形式，有序列举多步随机事件所有等可能结果的方法，因图形像树枝分叉而得名。
2. 树状图的基本结构（以 “两步摸球” 为例，配标注图）
第一步（初始分支）：对应事件的第一步操作（如第一次摸球），从起点出发，每一条分支代表第一步的一种可能结果（如 R 、R 、W）；
第二步（次级分支）：在第一步每一条分支的末端，延伸出第二步操作的所有可能结果（如第一次摸 R 后，第二次仍可能摸 R 、R 、W）；
终点（结果）：每一条次级分支的末端为一个 “完整结果”（如 R →R 、R →R 、R →W），所有终点的数量即为 “所有等可能结果的总数”。
3. 核心优势
有序性：按 “步骤先后” 分支，避免结果重复（如先 R 后 R 与先 R 后 R 会作为两个不同终点）；
直观性：图形化呈现所有结果，清晰易数，减少遗漏；
通用性：适用于两步、三步甚至更多步的随机事件（如 “三次掷硬币”“两次抽卡再放回”）。
第 5 页：核心模块 1 两步随机事件的树状图应用（重点）
1. 典型场景 1：“放回型” 两步事件（摸球后放回）
例题：不透明袋子中有 2 个红球（R 、R ）和 1 个白球（W），从中随机摸出 1 个球后放回，再摸 1 个球，求 “两次都摸到红球” 的概率。
解题步骤：
画树状图（分步画图）：
第一步（第一次摸球）：3 条分支（R 、R 、W）；
第二步（第二次摸球）：因放回，每一条第一步分支后均延伸 3 条分支（R 、R 、W）；
终点结果：共 3×3=9 种等可能结果（R →R 、R →R 、R →W、R →R 、R →R 、R →W、W→R 、W→R 、W→W）。
找目标事件结果：“两次都摸到红球” 的结果有 4 种（R →R 、R →R 、R →R 、R →R ）。
算概率：\(P(\text{ ¤ é })=\frac{\text{ °}}{\text{ °}}=\frac{4}{9}\)。
2. 典型场景 2：“不放回型” 两步事件（摸球后不放回）
例题：同上袋子，摸出 1 个球后不放回，再摸 1 个球，求 “两次都摸到红球” 的概率。
解题关键差异：
第二步分支数减少：因不放回，第一次摸出 R 后，第二次只剩 R 、W（2 条分支）；
总结果数：3×2=6 种（R →R 、R →W、R →R 、R →W、W→R 、W→R ）；
目标结果数：2 种（R →R 、R →R ）；
概率：\(P(\text{ ¤ é })=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}\)。
3. 两步事件树状图总结
事件类型
分支特点
总结果数计算
示例总结果数
放回型
每一步分支数相同（结果可重复）
第一步分支数 × 第二步分支数（分步乘法计数原理）
3×3=9
不放回型
后续步骤分支数比前一步少 1（结果不重复）
第一步分支数 ×（第一步分支数 - 1）
3×2=6
第 6 页：核心模块 2 三步随机事件的树状图应用（拓展）
1. 典型场景：三次掷硬币
例题：连续掷 3 次均匀硬币，求 “恰好两次正面朝上” 的概率。
解题步骤：
画树状图：
第一步（第一次掷）：2 条分支（正、反）；
第二步（第二次掷）：每条分支后延伸 2 条分支（正、反），共 2×2=4 条二级分支；
第三步（第三次掷）：每条二级分支后延伸 2 条分支（正、反），共 4×2=8 种总结果。
列总结果：正正正、正正反、正反正、正反反、反正正、反正反、反反正、反反反（共 8 种）。
找目标结果：“恰好两次正面朝上” 的结果有 3 种（正正反、正反正、反正正）。
算概率：\(P(\text{ ° ¤ é })=\frac{3}{8}\)。
2. 关键提醒
三步及以上事件的树状图，需严格按 “步骤顺序” 分支，每一步的分支数由 “当前剩余可能结果数” 决定（放回则不变，不放回则递减）；
总结果数可通过 “分步乘法计数原理” 快速计算（如 n 步，每步 k 种结果，总结果数 = k ，放回型），再用树状图验证是否一致。
第 7 页：核心模块 3 树状图法解题的通用步骤
1. 四步解题法（配流程图）
定事件：明确随机事件的 “步骤数”（两步、三步）和 “每一步的可能结果”（如摸球的颜色、掷骰子的点数）；
画树状图：
从左到右，按步骤顺序画分支，第一步结果为一级分支，第二步结果为二级分支，以此类推；
标注每一条分支的结果（如 R 、正、1 点）；
数结果：
数出树状图中 “终点” 的总数（所有等可能结果数 N）；
数出目标事件 A 包含的终点数（目标结果数 M）；
算概率：代入概率公式\(P(A)=\frac{M}{N}\)，化简结果（若为分数，需约分为最简形式）。
2. 易错点专项指导
分支标注错误：未区分 “相同类型但不同个体” 的结果（如红球 R 、R ，误标为 “红、红”，导致结果重复计数）；
结果数错数：漏数或重复数终点（可通过 “分步乘法计数原理” 先算总数，再核对树状图）；
目标事件判断错误：混淆 “至少”“恰好”“都” 等关键词（如 “至少一次红球”≠“两次都红球”，需仔细审题）。
第 8 页：典例精讲 复杂场景的树状图应用
例题：综合型两步事件（不同类型结果）
同时掷两枚均匀骰子，求 “两枚骰子的点数之和为 7” 的概率。
解题步骤：
定事件：两步事件（掷第一枚骰子、掷第二枚骰子），每步有 6 种结果（1-6 点），放回型（两枚骰子独立，结果可重复）；
画树状图：
第一步（第一枚）：6 条分支（1、2、3、4、5、6）；
第二步（第二枚）：每条分支后延伸 6 条分支（1-6），总结果数 = 6×6=36 种；
找目标结果：点数之和为 7 的结果有 6 种（1→6、2→5、3→4、4→3、5→2、6→1）；
算概率：\(P(\text{ 7})=\frac{6}{36}=\frac{1}{6}\)。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）从 1、2、3 三个数字中随机取一个数，放回后再取一个数，用树状图法求 “两次取出的数之和为 4” 的概率。（答案：\(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)，总结果 9 种，目标结果 3 种：1→3、2→2、3→1）
（2）不透明袋子中有 1 红 1 白 2 个球，不放回摸两次，求 “第一次摸红、第二次摸白” 的概率。（答案：\(\frac{1}{2}\)，总结果 2 种，目标结果 1 种：红→白）
中档题：
三张卡片分别写有数字 1、2、3，将卡片洗匀后随机抽取一张，记下数字后放回，再抽取一张，求 “两次抽取的数字之积为偶数” 的概率。（答案：\(\frac{5}{9}\)，总结果 9 种，目标结果 5 种：1→2、2→1、2→2、2→3、3→2）
提升题：
甲、乙、丙三人依次投篮，甲投中的概率为\(\frac{1}{2}\)，乙投中的概率为\(\frac{1}{3}\)，丙投中的概率为\(\frac{1}{4}\)，用树状图法求 “三人中恰好两人投中” 的概率。（答案：\(\frac{1}{4}\)，总结果 8 种，目标结果 2 种：甲中乙中丙不中、甲中乙不中丙中、甲不中乙中丙中，计算得概率\(\frac{3}{24}=\frac{1}{8}\)？ 修正：树状图分支为甲（中 / 不中）→乙（中 / 不中）→丙（中 / 不中），总结果 8 种，目标结果 3 种：中中不、中不中、不中中，概率\(\frac{3}{8}\)，需结合概率乘法计算）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
树状图法核心：按步骤有序列举多步随机事件的所有等可能结果，解决 “直接列举易漏 / 重复” 的问题；
关键差异：放回型事件每步分支数相同，不放回型分支数递减；
解题步骤：定事件→画树状图→数结果→算概率，需注意分支标注、结果计数、目标事件判断。
作业：
基础作业：教材习题 26.2 第 5、6 题（两步事件树状图求解）；
拓展作业：设计一个 “三步随机事件”（如三次抽牌），用树状图法计算某目标事件的概率；
实践作业：模拟 “两次掷硬币” 试验，重复 20 次，记录 “两次都正面” 的次数，计算频率，与树状图法求得的概率（\(\frac{1}{4}\)）对比，观察频率是否接近概率。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.2.2用树状图法求概率
第26章 概率初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
某校举办“汉字听写”大赛，现要从 A、B 两位男生和 C、D 两位女生中，选派学生代表本班参加大赛．如果随机选派两位学生参赛，求四人中恰好选派一男一女两位同学参赛的概率．
问题引入
问题1 抛掷一枚均匀的硬币，出现正面向上的概率是多少？
P (正面向上) =
问题2 同时抛掷两枚均匀的硬币，出现两者都正面向上的概率是多少？
可能出现的结果有
(反，反)
P (正面向上) =
还有别的方法求问题 2 的概率吗？
(正，正)
(正，反)
(反，正)
合作探究
利用画树状图法求概率
同时抛掷两枚均匀的硬币，出现正面向上的概率是多少？
开始
第 2 枚
第 1 枚
正
反
正
反
正
反
结果
(反，反）
(正，正）
(正，反）
(反，正）
P (正面向上) =
列树状图法求概率
树状图的画法
一个试验
第一个因素
第二个因素
若一个试验中涉及两个因素，第一个因素中有 2 种可能情况，第二个因素中有 3 种可能的情况，
A
B
1
2
3
1
2
3
则其树状图如图所示.
等可能的结果总数 n = 6
树状图法：按事件发生的次序，列出事件可能出现的结果
知识要点
问题 见教材 P99 例 5.
尝试用树状图法列出小明和小华所玩游戏中所有可能出现的结果，并求出事件 A，B，C 的概率.
A：“小明胜” B：“小华胜” C：“平局”
合作探究
解:
小明
小华
结果
开始
共有 9 种可能的结果，而且它们出现的可能性相等.
因此，P(A) =
事件 C 发生的所有可能结果：
（石头，石头）（剪刀，剪刀）（布，布）.
事件 A 发生的所有可能结果：
（石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头）；
事件 B 发生的所有可能结果：
（石头，剪刀）（剪刀，布）（布，石头）；
P(B) =
P(C) =
画树状图求概率的基本步骤：
方法归纳
（1）明确一次试验的几个步骤和顺序；
（2）画树状图列举一次试验的所有可能结果；
（3）数出随机事件 A 包含的结果数 m，试验的所有可能结果数 n；
（4）用概率公式进行计算.
典例精析
例1 某班有 1 名男生、2 名女生在校文艺演出中获演唱奖，另有 2 名男生、2 名女生获演奏奖. 从获演唱奖和演奏奖的学生中各任选一人去领奖，求两人都是女生的概率.
解：设两名领奖学生都是女生的事件为 A，两种奖项各任选 1 人的结果用“树状图”来表示如下：
开始
获演唱奖的
获演奏奖的
男
女''
女'
女1
男2
男1
女2
女1
男2
男1
女1
男2
男1
女2
女2
共有 12 种等可能的结果，其中 2 名都是女生的结果有 4 种，所以事件 A 发生的概率为 P(A) = .
计算等可能情形下概率的关键是确定所有可能性相等的结果总数 n 和事件 A 发生的结果总数 m，“树状图”能帮助我们有序的思考，不重复，不遗漏地求出 n 和 m.
例2 甲、乙、丙三人做传球的游戏，开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球任意传给其余两人中的一人，如此传球三次.
(1) 写出三次传球的所有可能结果 (即传球的方式)；
解：
第二次
第三次
结果
开始：甲
共有 8 种可能的结果，每种结果出现的可能性相同.
乙
丙
第一次
甲
甲
丙
乙
甲
甲
丙
丙
乙
乙
乙
丙
(丙，乙，丙)
(乙，甲，丙)
(乙，丙，甲)
(乙，丙，乙)
(丙，甲，乙)
(丙，甲，丙)
(丙，乙，甲)
(乙，甲，乙)
解：传球三次后，球又回到甲手中，事件 A 发生可能出现的结果有（乙，丙，甲），（丙，乙，甲）2 种.
(2) 指定事件 A：“传球三次后，球又回到甲的手中”，
写出 A 发生的所有可能结果；
(3) 求 P (A).
解：P (A) = .
练一练
1. 经过某十字路口的汽车,可能直行，也可能向左转或向右转. 如果这三种可能性大小相同，求三辆汽车经过这个十字路口时，下列事件的概率：
（1）三辆车全部继续直行；
（2）两车向右，一车向左；
（3）至少两车向左.
第一辆
左
右
左
右
第二辆
直
直
左
右
直
左
右
直
共有 27 种行驶方向
(1) P (全部继续直行) = ；
(2) P (两车向右，一车向左) = ；
(3) P (至少两车向左) =
左直右
第三辆
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
左直右
2. 现在学校决定由甲同学代表学校参加全县的诗歌朗诵比赛，甲同学有 3 件上衣，分别为红色 (R)、黄色 (Y)、蓝色 (B)，有 2 条裤子，分别为蓝色 (B) 和棕色 (b)．甲同学想要穿蓝色上衣和蓝色裤子参加比赛，你知道甲同学任意拿出 1 件
上衣和 1 条裤子，
恰好是蓝色上衣和
蓝色裤子的概率是
多少吗？
上衣：
裤子：
解:“树状图”如右：
开始
上衣
裤子
所有可能出现的结果
每种结果的出现是等可能的. “取出 1 件蓝色上衣和 1 条蓝色裤子”记为事件 A，那么事件 A 发生的概率是 P (A)＝ .
1. a、b、c、d 四本不同的书放入一个书包，至少放一
本，最多放 2 本，共有 种不同的放法.
2. 三女一男四人同行，从中任意选出两人，其性别不
同的概率为 ( )
3. 在一个不透明的布袋中装有 2 个白球和 n 个黄球，它
们除颜色外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，
摸到黄球的概率为 ，则 n = .
10
C
8
A. B. C. D.
4. 在一个不透明的袋子里，装有三个分别写有数字 6，
-2，7 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同.
先从袋子里随机取出一个小球，记下数字后放回袋子
里，摇匀后再随机取出一个小球，记下数字. 请你用
列表或画树状图的方法求下列事件的概率.
（1）两次取出的小球上的数字相同；
（2）两次取出的小球上的数字之和大于 10.
6
-2
7
(1)两次取出的小球上的数字相同的可能性只有 3 种，
所以 P (数字相同) =
(2)两次取出的小球上的数字之和大于 10 可能性只有
4 种，所以 P (数字之和大于10) =
解：根据题意，画出树状图如下：
第一个数字
第二个数字
6
6
-2
7
-2
6
-2
7
7
6
-2
7
5. 现有 A、B、C 三盘包子，已知 A 盘中有两个酸菜包和一个糖包，B 盘中有一个酸菜包和一个糖包和一个韭菜包，C 盘中有一个酸菜包和一个糖包以及一个馒头.老师就爱吃酸菜包，如果老师从每个盘中各选一个包子(馒头除外)，那请你帮老师算算选的包子全部是酸菜包的概率是多少.
A
B
C
解：根据题意，画出树状图如下：
由树状图得，所有可能出现的结果有 18 种，它们出现的可能性相等.选的包子全部是酸菜包有 2 种，所以选的包子全部是酸菜包的概率是
A 盘
B 盘
C 盘
酸
酸
糖
韭
酸
糖
酸
酸
糖
韭
酸
糖
酸
糖
酸
糖
糖
酸
糖
韭
酸
糖
酸
糖
酸
糖
酸
酸
酸
酸
糖
酸
酸
糖
酸
酸
糖
酸
糖
酸
糖
糖
酸
韭
酸
酸
韭
糖
酸
酸
酸
酸
酸
糖
酸
糖
酸
酸
糖
糖
酸
韭
酸
酸
韭
糖
糖
酸
酸
糖
酸
糖
糖
糖
酸
糖
糖
糖
糖
韭
酸
糖
韭
糖
6. 甲、乙、丙三个盒子中分别装有大小、形状、质地相同的小球若干，甲盒中装有 2 个小球，分别写有字母 A 和 B；乙盒中装有 3 个小球，分别写有字母 C、D 和 E；丙盒中装有 2 个小球，分别写有字母 H 和 I. 现要从 3 个盒子中各随机取出 1 个小球．
I
H
D
E
C
A
B
甲 乙 丙
(1) 取出的 3 个小球中恰好有 1 个，2 个，3 个写有元音
字母的概率各是多少？
甲
乙
丙
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
解：由树状图知所有可能出现的结果有 12 个，它们出现的可能性相等.
满足只有一个元音字母的结果有 5 个，则P (一个元音) =
满足三个全部为元音字母的结果有 1 个，则 P (三个元音) =
满足只有两个元音字母的结果有 4 个，则 P (两个元音) = =
甲
乙
丙
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
(2) 取出的 3 个小球上全是辅音字母的概率是多少？
解：满足全是辅音字母的结果有 2 个，则 P (三个辅音) = = .
甲
乙
丙
A
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
D
E
H
I
H
I
H
I
B
C
H
A
C
H
A
C
I
A
D
H
A
D
I
A
E
H
A
E
I
B
C
I
B
D
H
B
D
I
B
E
H
B
E
I
1．[2024·重庆] 重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从A，B，C三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点B的概率为________．
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【答案】 D
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【答案】 B
5．吉林省以“绿水青山就是金山银山，冰天雪地也是金山银山”为指引，不断加大冰雪旅游的宣传力度，推出各种优惠活动，“小土豆”“小砂糖橘”等成为一道靓丽的风景线，某滑雪场为吸引游客，每天抽取一定数量的幸运游客，每名幸运游客可以从“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目中随机抽取一个免费游玩．
若三个项目被抽中的可能性相等，用画树状图的方法，求幸运游客小明与小亮恰好抽中同一个项目的概率．
【解】将抽中“滑雪”“滑雪圈”“雪地摩托”三个项目分别记为事件A，B，C，可画树状图为：
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树状图法求概率
步骤
用法
是一种解决试验有多步（或涉及多个因素）的好方法.
注意
弄清试验涉及因素的个数或试验步骤分几步；
在摸球试验一定要弄清“放回”还是“不放回”.
关键要弄清楚每一步有几种结果；
在树状图下面对应写着所有可能的结果，并找出事件所包含的结果数；
利用概率公式进行计算.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！