26.2.3用列表法求概率 课件(共41张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 26.2.3用列表法求概率 课件(共41张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.3MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 22:02:15 | ||
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文档简介
(共41张PPT)
第 1 页：封面页
标题：26.2.3 用列表法求概率
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 表格构建 结果枚举 概率计算
配图：左侧为 “两次掷骰子的列表完整示意图（标注行、列与目标结果）”，右侧为 “列表法与树状图法适用场景对比表”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标与知识衔接
1. 前置回顾（26.2.2 核心关联点）
树状图法优势：适用于两步及以上随机事件，能直观呈现步骤分支；
树状图法局限：两步事件中若每步结果较多（如掷骰子每步 6 种结果），树状图分支会过于繁杂，易出现视觉混乱。
2. 本课时学习目标
知识目标：理解列表法的原理，掌握用表格有序列举两步随机事件所有等可能结果的方法，能结合概率公式准确计算目标事件概率，明确列表法与树状图法的适用场景差异。
能力目标：能根据两步事件的结果类型（如摸球颜色、掷骰子点数）正确构建表格，通过表格快速定位目标结果，提升 “有序枚举、高效计数” 的数学能力。
素养目标：体会列表法在两步复杂事件中的简洁性优势，培养灵活选择解题方法的思维，理解 “工具适配场景” 的数学应用逻辑。
第 3 页：情境导入 为何需要列表法？
认知冲突展示（配图对比）：
树状图的局限：同时掷两枚骰子（每步 6 种结果），用树状图需先画 6 条一级分支，每条分支再延伸 6 条二级分支，共 36 条分支，视觉上交错繁杂，数结果时易出错；
列表法的优势：用表格的行表示第一枚骰子的结果（1-6），列表示第二枚骰子的结果（1-6），单元格直接呈现 “点数组合”，36 种结果清晰排列，目标结果一目了然。
思考提问：
列表法的 “行”“列”“单元格” 分别对应两步事件的什么要素？（行 = 第一步结果，列 = 第二步结果，单元格 = 两步结果的组合）
什么样的随机事件更适合用列表法求解？（仅两步事件，且每步结果数量较多时，列表法比树状图更简洁）
第 4 页：核心概念 列表法的原理与结构
1. 列表法的定义
列表法是通过构建 “二维表格”，将两步随机事件的第一步结果作为行、第二步结果作为列，在单元格中记录两步结果的组合，从而有序列举所有等可能结果的方法。
2. 列表法的基本结构（以 “两次掷骰子” 为例，配标注表格）
结构要素
具体含义
示例（掷两枚骰子）
行（横向）
对应事件的第一步操作的所有可能结果，每行标注一个结果
行标题：第一枚骰子的点数（1、2、3、4、5、6）
列（纵向）
对应事件的第二步操作的所有可能结果，每列标注一个结果
列标题：第二枚骰子的点数（1、2、3、4、5、6）
单元格
每个单元格对应 “某一行结果 + 某一列结果” 的组合，即一个完整的等可能结果
第 2 行第 3 列单元格：（2，3），表示 “第一枚 2 点，第二枚 3 点”
总结果数
表格的行数 × 列数（分步乘法计数原理），即单元格总数（不重复、不遗漏）
6 行 ×6 列 = 36 个单元格，对应 36 种等可能结果
3. 核心优势
简洁性：二维表格直观呈现所有结果，避免树状图分支交错的混乱；
高效性：快速定位目标结果（如 “点数之和为 7” 的结果，可直接找单元格中两数之和为 7 的组合）；
局限性：仅适用于两步随机事件，三步及以上事件无法用二维表格呈现，仍需树状图。
第 5 页：核心模块 1 两步随机事件的列表法应用（重点）
1. 典型场景 1：“放回型” 两步事件（结果可重复）
例题：不透明袋子中有 2 个红球（R 、R ）和 1 个白球（W），摸出 1 个球后放回，再摸 1 个球，求 “两次摸出的球颜色不同” 的概率。
解题步骤：
建表格：
行（第一步）：第一次摸球的结果（R 、R 、W），共 3 行；
列（第二步）：第二次摸球的结果（R 、R 、W），共 3 列；
单元格：记录两次结果的组合（如（R ，R ）表示 “第一次 R ，第二次 R ”）。
| 第一次 \ 第二次 | R | R | W |
|---------------|----------|----------|----------|
| R | (R ,R ) | (R ,R ) | (R ,W) |
| R | (R ,R ) | (R ,R ) | (R ,W) |
| W | (W,R ) | (W,R ) | (W,W) |
| 4 | 5 | 6 |
|---------------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|
| 正 | (正，1) | (正，2) | (正，3) | (正，4) | (正，5) | (正，6) |
| 反 | (反，1) | (反，2) | (反，3) | (反，4) | (反，5) | (反，6) |
数结果：
总结果数：2×6=12 种；
目标结果（正 + 偶数）：(正，2)、(正，4)、(正，6)，共 3 种。
算概率：\(P(\text{ °})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)。
2. 关键提醒
当两步事件的 “结果类型不同”（如一步是硬币、一步是骰子），列表时需明确区分行和列对应的事件（通常将结果少的作为行，结果多的作为列，表格更紧凑）；
目标事件包含 “多个条件” 时（如 “正且偶数”），需在表格中同时满足所有条件的单元格，避免遗漏或误判。
第 7 页：核心模块 3 列表法与树状图法的对比与选择
1. 两种方法的核心差异
对比维度
列表法
树状图法
适用步数
仅两步随机事件
两步、三步及以上随机事件
结果呈现形式
二维表格（行 + 列 + 单元格）
分支图形（一级分支 + 次级分支 + 终点）
优势场景
两步事件且每步结果数量较多（如掷骰子）
多步事件或每步结果数量较少（如摸球）
视觉复杂度
简洁清晰，结果有序排列
多步或多结果时分支繁杂
计数效率
直接数单元格，目标结果易定位
需数终点，分支多时易漏数
2. 方法选择策略（配流程图）
判断事件步数：
三步及以上事件→ 必选树状图法；
两步事件→ 进入下一步判断；
判断每步结果数：
每步结果数较多（≥4 种，如掷骰子、抽卡片）→ 优选列表法；
每步结果数较少（≤3 种，如摸球、掷硬币）→ 列表法或树状图法均可（根据习惯选择）。
第 8 页：典例精讲 列表法的综合应用
例题：含 “关键词” 的两步事件概率计算
一个不透明的盒子里装有除数字外完全相同的 4 张卡片，分别标有数字 1、2、3、4，从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，再抽取一张卡片，求 “两次抽取的数字之和大于 5” 的概率。
解题步骤：
建表格：行 = 第一次抽卡结果（1、2、3、4），列 = 第二次抽卡结果（1、2、3、4）；
第一次 \ 第二次
1
2
3
4
1
(1,1)=2
(1,2)=3
(1,3)=4
(1,4)=5
2
(2,1)=3
(2,2)=4
(2,3)=5
(2,4)=6
3
(3,1)=4
(3,2)=5
(3,3)=6
(3,4)=7
4
(4,1)=5
(4,2)=6
(4,3)=7
(4,4)=8
数结果：
总结果数：4×4=16 种；
目标结果（和大于 5）：和为 6、7、8 的组合，共 (2,4)、(3,3)、(3,4)、(4,2)、(4,3)、(4,4)，共 6 种；
算概率：\(P(\text{ ¤§ 5})=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\)。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）从数字 1、2、3 中随机取一个数，放回后再取一个数，用列表法求 “两次取出的数之积为 3 的倍数” 的概率。（答案：\(\frac{5}{9}\)，总结果 9 种，目标结果 5 种：(1,3)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)）
（2）不透明袋子中有 1 红（R）、1 黄（Y）、1 蓝（B）3 个球，不放回摸两次，用列表法求 “第一次摸红球、第二次摸蓝球” 的概率。（答案：\(\frac{1}{6}\)，总结果 6 种，目标结果 1 种：(R,B)）
中档题：
同时掷两枚均匀骰子，用列表法求 “两枚骰子的点数之差的绝对值小于 2” 的概率。（答案：\(\frac{16}{36}=\frac{4}{9}\)，总结果 36 种，目标结果：点数相同（6 种）或差 1（10 种），共 16 种）
提升题：
甲、乙两人玩 “猜数字” 游戏，甲从 1、2、3 中选一个数字，乙也从 1、2、3 中选一个数字，若两人所选数字相同，则甲获胜；若数字不同，则乙获胜。用列表法判断游戏是否公平（公平标准：双方获胜概率相等）。（答案：不公平，甲获胜概率\(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)，乙获胜概率\(\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\)）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
列表法核心：用二维表格有序列举两步随机事件的所有等可能结果，行 = 第一步结果，列 = 第二步结果，单元格 = 结果组合；
方法对比：两步多结果事件选列表法（简洁），多步事件选树状图法（通用）；
解题步骤：建表格→ 填结果→ 数总数与目标数→ 代公式算概率，注意放回与不放回的表格差异（不放回需剔除重复单元格）。
作业：
基础作业：教材习题 26.2 第 7、8 题（两步事件列表法求解）；
拓展作业：设计一个 “两步随机事件”（如两次抽牌），分别用列表法和树状图法计算同一目标事件的概率，对比两种方法的效率；
实践作业：模拟 “同时掷两枚骰子” 试验，重复 36 次，记录 “点数之和为 6” 的次数，计算频率，与列表法求得的概率（\(\frac{5}{36}\)）对比，观察频率与概率的关系。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.2.3用列表法求概率
第26章 概率初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这是一个游戏双方获胜概率大小的问题.
思考：求概率大小有什么方法呢？
情境引入
做一做：小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票.三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影.游戏规则如下：连续抛掷两枚均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜.
问题引入
这个游戏公平吗？
互动探究
问题1 同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：
(1) 两枚硬币朝上的面一样；
(2) 一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.
开始
正
反
正
反
正
反
P (朝上的面一样) =
P (朝上的面不一样) =
还有别的方法求下列事件的概率吗？
用列表法求概率
第 1 枚硬币
第2枚硬币
反
正
正
反
正
正
反
正
正
反
反
反
还可以列表求概率！
问题2 怎样列表格？
一个因素所包含的可能情况
另一个因素所包含的可能情况
两个因素所组合的所有可能情况数，即 n.
列表法中表格构造特点：
说明：如果第一个因素包含 2 种情况，第二个因素包含 3 种情况，那么所有情况数 n = 2×3 = 6.
典例精析
例1 同时抛掷 2 枚均匀的骰子一次，骰子各面上的点数分别是 1，2，···，6. 试分别计算如下事件的概率.
(1)抛出的点数之和等于8；
(2)抛出的点数之和等于12.
分析：首先要弄清楚一共有多少个可能结果.第1枚骰子可能掷出 1，2，···，6 中的每一种情况，第2枚骰子也可能掷出 1，2，···，6 中的每一种情况. 用“列表法”表示出所有可能的结果如下：
第2枚
骰子
第1枚骰子
结
果
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
解：从上表可以看出，同时抛掷两枚骰子一次，所有可能出现的结果有 36 种. 由于骰子是均匀的，所以每个结果出现的可能性相等.
(1)抛出点数之和等于 8 的结果有 (2,6),(3,5),(4,4), (5,3) 和 (6,2) 这 5 种，所以抛出的点数之和等于 8 的这个事件发生的概率为
(2)抛出点数之和等于 12 的结果仅有 (6,6) 这 1 种，所以抛出的点数之和等于 12 的这个事件发生的概率为
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两枚骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.
归纳总结
例2 一只不透明的袋子中装有 1 个白球和 2 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？
1
2
结果
第一次
第二次
解：利用表格列出所有可能的结果：
白
红1
红2
白
红1
红2
（白，白）
（白，红1）
（白，红2）
（红1，白）
（红1，红1）
（红1，红2）
（红2，白）
（红2，红1）
（红2，红2）
变式：一只不透明的袋子中装有 1 个白球和 2 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后不再放回袋中，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？
1
2
解：利用表格列出所有可能的结果：
白
红1
红2
白
红1
红2
（白，红1）
（白，红2）
（红1，白）
（红1，红2）
（红2，白）
（红2，红1）
结果
第一次
第二次
例3 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两个骰子的点数相同；
（2）两个骰子的点数之和
是 9；
（3）至少有一个骰子的点
数为 2.
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
第
一
个
第
二
个
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结果有 36 个，它们出现的可能性相等.
（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件 A）的结果有 6 个，则 P (A) = = ．
（2）满足两个骰子的点数之和是 9（记为事件 B）的结果有 4 个，则 P (B) = = ．
（3）满足至少有一个骰子的点数为 2（记为事件 C）的结果有 11 个，则 P(C) = ．
当一次试验所有可能出现的结果较多时，用表格比较方便！
真知灼见源于实践
想一想：什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树状图”方便？
当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法.
当一次试验涉及 3 个或 3 个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树状图法.
例4 甲、乙两人要去风景区游玩，仅知道每天开往风景区有 3 辆汽车，并且舒适程度分别为上等、中等、下等 3 种，当不知道怎样区分这些车，也不知道它们会以怎样的顺序开来. 于是他们分别采用了不同的乘车办法：甲乘第 1 辆开来的车，乙不乘第 1 辆车，并且仔细观察第 2 辆车的情况，如果第 2 辆车的舒适程度比第 1 辆好，他就上第 2 辆车；如果第 2 辆不比第 1 辆好，他就上第 3 辆车. 试问甲、乙两人的乘车办法，哪一种更有利于乘上舒适度较好的车？
故乙的办法有利于乘上舒适度好的车.
解：易知 3 辆车开来的先后顺序有如下 6 种可能的情况：
(上中下)，
(上下中)，
(中上下)，
(中下上)，
(下上中)，
(下中上).
假定 6 种顺序出现的可能性相同， 在各种可能顺序之下，甲、乙两人分别乘坐的车列表如下：
顺序 甲 乙
上中下
上下中
中上下
中下上
下上中
下中上
上
下
上
中
中
上
中
上
下
上
下
中
甲乘到上、中、下等车的概率都是 ；
乙乘到上等车的概率是 ，乘到下等汽车的概率只有
1. 小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小明
赢的概率是 ( )
2. 某次考试中，每道单项选择题一般有 4 个选项，某同学有两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是 ( )
B
D
A. B. C. D.
A. B. C. D.
3. 如果有两组牌，它们的牌面数字分别是 1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张牌.
（1）摸出两张牌的数字之和为 4 的概率为多少？
（2）摸出两张牌的数字相等的概率为多少？
3
2
（3,2）
（3,3）
（2,3）
（1,3）
（2,2）
（1,2）
（3,1）
（2,1）
（1,1）
1
3
2
1
第二张牌
的牌面数字
第一张牌的
牌面数字
解：（1）P (数字之和为 4) = .
（2）P (数字相等) = .
4. 在 6 张卡片上分别写有 1 ~ 6 的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字
的概率是多少？
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
第
一
张
第
二
张
解：由列表得，两次抽取卡片后可能出现的等可能性结果有 36 个.
满足第一次取出的数字能够整除第二次取出的
数字（记为事件 A）的结果有 14 个，则
P(A) = = ．
【点拨】将步行、乘公交车、骑自行车三种出行方式分别记作事件：A，B，C，根据题意列表如下：
小明 A B C
小芳 A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
返回
【答案】 C
2．[2024·合肥模拟]在一次数学课上，老师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏，如图所示是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成三个大小一样的扇形，分别对应红、绿、蓝三种颜色，转动转盘
两次，记下两次指针指向的区域(若指针
指向扇形分界线，则需要重新转动)，
返回
【点拨】列表如下：
红 绿 蓝
红 (红，红) (红，绿) (红，蓝)
绿 (绿，红) (绿，绿) (绿，蓝)
蓝 (蓝，红) (蓝，绿) (蓝，蓝)
【答案】 A
3．[2024·临沂二模]“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一张(有放回)，
【点拨】将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”的邮票分别记为A，B，C，D.根据题意，列表如下：
A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
返回
【答案】 D
【点拨】列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁)
乙 (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁)
丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁)
丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙)
返回
【答案】 A
5．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
(1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是________；
列举法
基本步骤
前提条件
常用方法
直接列举法
列表法
画树状图法
列举 (列表或画树状图)；
确定 m、n 值，代入概率公式计算
确保试验中每种结果出现的可能性大小相等
涉及一个因素时直接利用公式计算
涉及两个或两个以上的因素
涉及两个因素且可能出现的结果数较多
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：26.2.3 用列表法求概率
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 表格构建 结果枚举 概率计算
配图：左侧为 “两次掷骰子的列表完整示意图（标注行、列与目标结果）”，右侧为 “列表法与树状图法适用场景对比表”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标与知识衔接
1. 前置回顾（26.2.2 核心关联点）
树状图法优势：适用于两步及以上随机事件，能直观呈现步骤分支；
树状图法局限：两步事件中若每步结果较多（如掷骰子每步 6 种结果），树状图分支会过于繁杂，易出现视觉混乱。
2. 本课时学习目标
知识目标：理解列表法的原理，掌握用表格有序列举两步随机事件所有等可能结果的方法，能结合概率公式准确计算目标事件概率，明确列表法与树状图法的适用场景差异。
能力目标：能根据两步事件的结果类型（如摸球颜色、掷骰子点数）正确构建表格，通过表格快速定位目标结果，提升 “有序枚举、高效计数” 的数学能力。
素养目标：体会列表法在两步复杂事件中的简洁性优势，培养灵活选择解题方法的思维，理解 “工具适配场景” 的数学应用逻辑。
第 3 页：情境导入 为何需要列表法？
认知冲突展示（配图对比）：
树状图的局限：同时掷两枚骰子（每步 6 种结果），用树状图需先画 6 条一级分支，每条分支再延伸 6 条二级分支，共 36 条分支，视觉上交错繁杂，数结果时易出错；
列表法的优势：用表格的行表示第一枚骰子的结果（1-6），列表示第二枚骰子的结果（1-6），单元格直接呈现 “点数组合”，36 种结果清晰排列，目标结果一目了然。
思考提问：
列表法的 “行”“列”“单元格” 分别对应两步事件的什么要素？（行 = 第一步结果，列 = 第二步结果，单元格 = 两步结果的组合）
什么样的随机事件更适合用列表法求解？（仅两步事件，且每步结果数量较多时，列表法比树状图更简洁）
第 4 页：核心概念 列表法的原理与结构
1. 列表法的定义
列表法是通过构建 “二维表格”，将两步随机事件的第一步结果作为行、第二步结果作为列，在单元格中记录两步结果的组合，从而有序列举所有等可能结果的方法。
2. 列表法的基本结构（以 “两次掷骰子” 为例，配标注表格）
结构要素
具体含义
示例（掷两枚骰子）
行（横向）
对应事件的第一步操作的所有可能结果，每行标注一个结果
行标题：第一枚骰子的点数（1、2、3、4、5、6）
列（纵向）
对应事件的第二步操作的所有可能结果，每列标注一个结果
列标题：第二枚骰子的点数（1、2、3、4、5、6）
单元格
每个单元格对应 “某一行结果 + 某一列结果” 的组合，即一个完整的等可能结果
第 2 行第 3 列单元格：（2，3），表示 “第一枚 2 点，第二枚 3 点”
总结果数
表格的行数 × 列数（分步乘法计数原理），即单元格总数（不重复、不遗漏）
6 行 ×6 列 = 36 个单元格，对应 36 种等可能结果
3. 核心优势
简洁性：二维表格直观呈现所有结果，避免树状图分支交错的混乱；
高效性：快速定位目标结果（如 “点数之和为 7” 的结果，可直接找单元格中两数之和为 7 的组合）；
局限性：仅适用于两步随机事件，三步及以上事件无法用二维表格呈现，仍需树状图。
第 5 页：核心模块 1 两步随机事件的列表法应用（重点）
1. 典型场景 1：“放回型” 两步事件（结果可重复）
例题：不透明袋子中有 2 个红球（R 、R ）和 1 个白球（W），摸出 1 个球后放回，再摸 1 个球，求 “两次摸出的球颜色不同” 的概率。
解题步骤：
建表格：
行（第一步）：第一次摸球的结果（R 、R 、W），共 3 行；
列（第二步）：第二次摸球的结果（R 、R 、W），共 3 列；
单元格：记录两次结果的组合（如（R ，R ）表示 “第一次 R ，第二次 R ”）。
| 第一次 \ 第二次 | R | R | W |
|---------------|----------|----------|----------|
| R | (R ,R ) | (R ,R ) | (R ,W) |
| R | (R ,R ) | (R ,R ) | (R ,W) |
| W | (W,R ) | (W,R ) | (W,W) |
| 4 | 5 | 6 |
|---------------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|
| 正 | (正，1) | (正，2) | (正，3) | (正，4) | (正，5) | (正，6) |
| 反 | (反，1) | (反，2) | (反，3) | (反，4) | (反，5) | (反，6) |
数结果：
总结果数：2×6=12 种；
目标结果（正 + 偶数）：(正，2)、(正，4)、(正，6)，共 3 种。
算概率：\(P(\text{ °})=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}\)。
2. 关键提醒
当两步事件的 “结果类型不同”（如一步是硬币、一步是骰子），列表时需明确区分行和列对应的事件（通常将结果少的作为行，结果多的作为列，表格更紧凑）；
目标事件包含 “多个条件” 时（如 “正且偶数”），需在表格中同时满足所有条件的单元格，避免遗漏或误判。
第 7 页：核心模块 3 列表法与树状图法的对比与选择
1. 两种方法的核心差异
对比维度
列表法
树状图法
适用步数
仅两步随机事件
两步、三步及以上随机事件
结果呈现形式
二维表格（行 + 列 + 单元格）
分支图形（一级分支 + 次级分支 + 终点）
优势场景
两步事件且每步结果数量较多（如掷骰子）
多步事件或每步结果数量较少（如摸球）
视觉复杂度
简洁清晰，结果有序排列
多步或多结果时分支繁杂
计数效率
直接数单元格，目标结果易定位
需数终点，分支多时易漏数
2. 方法选择策略（配流程图）
判断事件步数：
三步及以上事件→ 必选树状图法；
两步事件→ 进入下一步判断；
判断每步结果数：
每步结果数较多（≥4 种，如掷骰子、抽卡片）→ 优选列表法；
每步结果数较少（≤3 种，如摸球、掷硬币）→ 列表法或树状图法均可（根据习惯选择）。
第 8 页：典例精讲 列表法的综合应用
例题：含 “关键词” 的两步事件概率计算
一个不透明的盒子里装有除数字外完全相同的 4 张卡片，分别标有数字 1、2、3、4，从盒子中随机抽取一张卡片，记下数字后放回，再抽取一张卡片，求 “两次抽取的数字之和大于 5” 的概率。
解题步骤：
建表格：行 = 第一次抽卡结果（1、2、3、4），列 = 第二次抽卡结果（1、2、3、4）；
第一次 \ 第二次
1
2
3
4
1
(1,1)=2
(1,2)=3
(1,3)=4
(1,4)=5
2
(2,1)=3
(2,2)=4
(2,3)=5
(2,4)=6
3
(3,1)=4
(3,2)=5
(3,3)=6
(3,4)=7
4
(4,1)=5
(4,2)=6
(4,3)=7
(4,4)=8
数结果：
总结果数：4×4=16 种；
目标结果（和大于 5）：和为 6、7、8 的组合，共 (2,4)、(3,3)、(3,4)、(4,2)、(4,3)、(4,4)，共 6 种；
算概率：\(P(\text{ ¤§ 5})=\frac{6}{16}=\frac{3}{8}\)。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）从数字 1、2、3 中随机取一个数，放回后再取一个数，用列表法求 “两次取出的数之积为 3 的倍数” 的概率。（答案：\(\frac{5}{9}\)，总结果 9 种，目标结果 5 种：(1,3)、(2,3)、(3,1)、(3,2)、(3,3)）
（2）不透明袋子中有 1 红（R）、1 黄（Y）、1 蓝（B）3 个球，不放回摸两次，用列表法求 “第一次摸红球、第二次摸蓝球” 的概率。（答案：\(\frac{1}{6}\)，总结果 6 种，目标结果 1 种：(R,B)）
中档题：
同时掷两枚均匀骰子，用列表法求 “两枚骰子的点数之差的绝对值小于 2” 的概率。（答案：\(\frac{16}{36}=\frac{4}{9}\)，总结果 36 种，目标结果：点数相同（6 种）或差 1（10 种），共 16 种）
提升题：
甲、乙两人玩 “猜数字” 游戏，甲从 1、2、3 中选一个数字，乙也从 1、2、3 中选一个数字，若两人所选数字相同，则甲获胜；若数字不同，则乙获胜。用列表法判断游戏是否公平（公平标准：双方获胜概率相等）。（答案：不公平，甲获胜概率\(\frac{3}{9}=\frac{1}{3}\)，乙获胜概率\(\frac{6}{9}=\frac{2}{3}\)）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
列表法核心：用二维表格有序列举两步随机事件的所有等可能结果，行 = 第一步结果，列 = 第二步结果，单元格 = 结果组合；
方法对比：两步多结果事件选列表法（简洁），多步事件选树状图法（通用）；
解题步骤：建表格→ 填结果→ 数总数与目标数→ 代公式算概率，注意放回与不放回的表格差异（不放回需剔除重复单元格）。
作业：
基础作业：教材习题 26.2 第 7、8 题（两步事件列表法求解）；
拓展作业：设计一个 “两步随机事件”（如两次抽牌），分别用列表法和树状图法计算同一目标事件的概率，对比两种方法的效率；
实践作业：模拟 “同时掷两枚骰子” 试验，重复 36 次，记录 “点数之和为 6” 的次数，计算频率，与列表法求得的概率（\(\frac{5}{36}\)）对比，观察频率与概率的关系。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.2.3用列表法求概率
第26章 概率初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这是一个游戏双方获胜概率大小的问题.
思考：求概率大小有什么方法呢？
情境引入
做一做：小明、小凡和小颖都想去看周末电影，但只有一张电影票.三人决定一起做游戏，谁获胜谁就去看电影.游戏规则如下：连续抛掷两枚均匀的硬币，若两枚正面朝上，则小明获胜；若两枚反面朝上，则小颖获胜；若一枚正面朝上、一枚反面朝上，则小凡获胜.
问题引入
这个游戏公平吗？
互动探究
问题1 同时掷两枚硬币，试求下列事件的概率：
(1) 两枚硬币朝上的面一样；
(2) 一枚硬币正面朝上，一枚硬币反面朝上.
开始
正
反
正
反
正
反
P (朝上的面一样) =
P (朝上的面不一样) =
还有别的方法求下列事件的概率吗？
用列表法求概率
第 1 枚硬币
第2枚硬币
反
正
正
反
正
正
反
正
正
反
反
反
还可以列表求概率！
问题2 怎样列表格？
一个因素所包含的可能情况
另一个因素所包含的可能情况
两个因素所组合的所有可能情况数，即 n.
列表法中表格构造特点：
说明：如果第一个因素包含 2 种情况，第二个因素包含 3 种情况，那么所有情况数 n = 2×3 = 6.
典例精析
例1 同时抛掷 2 枚均匀的骰子一次，骰子各面上的点数分别是 1，2，···，6. 试分别计算如下事件的概率.
(1)抛出的点数之和等于8；
(2)抛出的点数之和等于12.
分析：首先要弄清楚一共有多少个可能结果.第1枚骰子可能掷出 1，2，···，6 中的每一种情况，第2枚骰子也可能掷出 1，2，···，6 中的每一种情况. 用“列表法”表示出所有可能的结果如下：
第2枚
骰子
第1枚骰子
结
果
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(1,4)
(1,5)
(1,6)
(2,1)
(3,1)
(4,1)
(5,1)
(6,1)
(2,2)
(2,3)
(2,4)
(2,5)
(2,6)
(3,2)
(3,3)
(3,4)
(3,5)
(3,6)
(4,2)
(5,2)
(6,2)
(4,3)
(5,3)
(6,3)
(4,4)
(5,4)
(6,4)
(4,5)
(5,5)
(6,5)
(4,6)
(5,6)
(6,6)
解：从上表可以看出，同时抛掷两枚骰子一次，所有可能出现的结果有 36 种. 由于骰子是均匀的，所以每个结果出现的可能性相等.
(1)抛出点数之和等于 8 的结果有 (2,6),(3,5),(4,4), (5,3) 和 (6,2) 这 5 种，所以抛出的点数之和等于 8 的这个事件发生的概率为
(2)抛出点数之和等于 12 的结果仅有 (6,6) 这 1 种，所以抛出的点数之和等于 12 的这个事件发生的概率为
当一次试验要涉及两个因素（例如掷两枚骰子）并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能结果，通常采用列表法.
归纳总结
例2 一只不透明的袋子中装有 1 个白球和 2 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后放回袋中并搅匀，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？
1
2
结果
第一次
第二次
解：利用表格列出所有可能的结果：
白
红1
红2
白
红1
红2
（白，白）
（白，红1）
（白，红2）
（红1，白）
（红1，红1）
（红1，红2）
（红2，白）
（红2，红1）
（红2，红2）
变式：一只不透明的袋子中装有 1 个白球和 2 个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记录下颜色后不再放回袋中，再从中任意摸出一个球，两次都摸出红球的概率是多少？
1
2
解：利用表格列出所有可能的结果：
白
红1
红2
白
红1
红2
（白，红1）
（白，红2）
（红1，白）
（红1，红2）
（红2，白）
（红2，红1）
结果
第一次
第二次
例3 同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：（1）两个骰子的点数相同；
（2）两个骰子的点数之和
是 9；
（3）至少有一个骰子的点
数为 2.
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
第
一
个
第
二
个
(1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
(1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
(1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
(1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
(1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
(1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
解：由列表得，同时掷两个骰子，可能出现的结果有 36 个，它们出现的可能性相等.
（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件 A）的结果有 6 个，则 P (A) = = ．
（2）满足两个骰子的点数之和是 9（记为事件 B）的结果有 4 个，则 P (B) = = ．
（3）满足至少有一个骰子的点数为 2（记为事件 C）的结果有 11 个，则 P(C) = ．
当一次试验所有可能出现的结果较多时，用表格比较方便！
真知灼见源于实践
想一想：什么时候用“列表法”方便，什么时候用“树状图”方便？
当一次试验涉及两个因素时，且可能出现的结果较多时，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用列表法.
当一次试验涉及 3 个或 3 个以上的因素时，列表法就不方便了，为不重复不遗漏地列出所有可能的结果，通常用树状图法.
例4 甲、乙两人要去风景区游玩，仅知道每天开往风景区有 3 辆汽车，并且舒适程度分别为上等、中等、下等 3 种，当不知道怎样区分这些车，也不知道它们会以怎样的顺序开来. 于是他们分别采用了不同的乘车办法：甲乘第 1 辆开来的车，乙不乘第 1 辆车，并且仔细观察第 2 辆车的情况，如果第 2 辆车的舒适程度比第 1 辆好，他就上第 2 辆车；如果第 2 辆不比第 1 辆好，他就上第 3 辆车. 试问甲、乙两人的乘车办法，哪一种更有利于乘上舒适度较好的车？
故乙的办法有利于乘上舒适度好的车.
解：易知 3 辆车开来的先后顺序有如下 6 种可能的情况：
(上中下)，
(上下中)，
(中上下)，
(中下上)，
(下上中)，
(下中上).
假定 6 种顺序出现的可能性相同， 在各种可能顺序之下，甲、乙两人分别乘坐的车列表如下：
顺序 甲 乙
上中下
上下中
中上下
中下上
下上中
下中上
上
下
上
中
中
上
中
上
下
上
下
中
甲乘到上、中、下等车的概率都是 ；
乙乘到上等车的概率是 ，乘到下等汽车的概率只有
1. 小明与小红玩一次“石头、剪刀、布”游戏，则小明
赢的概率是 ( )
2. 某次考试中，每道单项选择题一般有 4 个选项，某同学有两道题不会做，于是他以“抓阄”的方式选定其中一个答案，则该同学的这两道题全对的概率是 ( )
B
D
A. B. C. D.
A. B. C. D.
3. 如果有两组牌，它们的牌面数字分别是 1，2，3，那么从每组牌中各摸出一张牌.
（1）摸出两张牌的数字之和为 4 的概率为多少？
（2）摸出两张牌的数字相等的概率为多少？
3
2
（3,2）
（3,3）
（2,3）
（1,3）
（2,2）
（1,2）
（3,1）
（2,1）
（1,1）
1
3
2
1
第二张牌
的牌面数字
第一张牌的
牌面数字
解：（1）P (数字之和为 4) = .
（2）P (数字相等) = .
4. 在 6 张卡片上分别写有 1 ~ 6 的整数，随机地抽取一张后放回，再随机地抽取一张，那么第一次取出的数字能够整除第二次取出的数字
的概率是多少？
1 2 3 4 5 6
1 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1)
2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2)
3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3)
4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4)
5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5)
6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)
第
一
张
第
二
张
解：由列表得，两次抽取卡片后可能出现的等可能性结果有 36 个.
满足第一次取出的数字能够整除第二次取出的
数字（记为事件 A）的结果有 14 个，则
P(A) = = ．
【点拨】将步行、乘公交车、骑自行车三种出行方式分别记作事件：A，B，C，根据题意列表如下：
小明 A B C
小芳 A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
返回
【答案】 C
2．[2024·合肥模拟]在一次数学课上，老师利用光的三原色设计了一个“配紫色”游戏，如图所示是一个可以自由转动的转盘，转盘被分成三个大小一样的扇形，分别对应红、绿、蓝三种颜色，转动转盘
两次，记下两次指针指向的区域(若指针
指向扇形分界线，则需要重新转动)，
返回
【点拨】列表如下：
红 绿 蓝
红 (红，红) (红，绿) (红，蓝)
绿 (绿，红) (绿，绿) (绿，蓝)
蓝 (蓝，红) (蓝，绿) (蓝，蓝)
【答案】 A
3．[2024·临沂二模]“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小文购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”四张邮票中的两张送给好朋友小乐．小文将它们背面朝上放在桌面上(邮票背面完全相同)，让小乐从中随机抽取一张(有放回)，
【点拨】将“立春”“立夏”“秋分”“大暑”的邮票分别记为A，B，C，D.根据题意，列表如下：
A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
返回
【答案】 D
【点拨】列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 (甲，乙) (甲，丙) (甲，丁)
乙 (乙，甲) (乙，丙) (乙，丁)
丙 (丙，甲) (丙，乙) (丙，丁)
丁 (丁，甲) (丁，乙) (丁，丙)
返回
【答案】 A
5．物理变化和化学变化的区别在于是否有新物质的生成．某学习小组在延时课上制作了A，B，C，D四张卡片，四张卡片除图片内容不同外，其他没有区别，放置于暗箱中摇匀．
(1)小临从四张卡片中随机抽取一张，抽中C卡片的概率是________；
列举法
基本步骤
前提条件
常用方法
直接列举法
列表法
画树状图法
列举 (列表或画树状图)；
确定 m、n 值，代入概率公式计算
确保试验中每种结果出现的可能性大小相等
涉及一个因素时直接利用公式计算
涉及两个或两个以上的因素
涉及两个因素且可能出现的结果数较多
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！