26.3用频率估计概率 课件-2025-2026学年沪科版（20242）数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 26.3用频率估计概率 课件-2025-2026学年沪科版（20242）数学九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 00:00:00 | ||
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文档简介
(共41张PPT)
第 1 页：封面页
标题：26.3 用频率估计概率
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 频率稳定性 试验估算 实际应用
配图：左侧为 “掷图钉试验频率变化折线图”，右侧为 “频率与概率关系示意图（频率围绕概率波动）”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标与知识衔接
1. 前置回顾（26.2 核心关联点）
等可能事件概率计算：列表法、树状图法适用于 “结果有限且等可能” 的事件（如掷骰子、摸球），可通过 “目标结果数 / 总结果数” 精准计算；
现实局限：生活中大量事件（如掷图钉针尖朝上、产品合格率）不满足 “等可能” 或 “结果难以枚举”，无法用前两种方法计算概率。
2. 本课时学习目标
知识目标：理解频率与概率的区别与联系，掌握 “通过大量重复试验用频率估计概率” 的方法，明确该方法的适用场景。
能力目标：能设计简单试验收集数据，计算频率并绘制频率变化图，通过频率稳定性估算概率，提升数据处理与分析能力。
素养目标：体会 “用样本估计总体” 的统计思想，理解概率的统计定义，培养严谨的试验态度与数据分析思维。
第 3 页：情境导入 如何估算 “非等可能” 事件的概率？
生活困惑展示（配图）：
掷图钉：图钉落地后有 “针尖朝上” 和 “钉帽朝上” 两种结果，但图钉形状不规则，两种结果并非等可能，无法用 “1/2” 估算概率；
射击命中：射手击中靶心的概率，受技术、环境等因素影响，结果无法枚举，难以用列表或树状图计算；
产品合格：一批零件的合格率，无法逐一检测所有零件，需通过抽样试验估算。
思考提问：
对于 “非等可能” 或 “结果无限” 的事件，如何科学估算其概率？（通过重复试验观察频率变化）
试验次数与频率的稳定性有什么关系？（次数越多，频率越接近概率）
第 4 页：核心概念 频率与概率的区别与联系
1. 基本定义
频率：在 n 次重复试验中，事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值，即\(é =\frac{m}{n}\)（频率是试验结果的 “实际值”，随试验次数变化）；
概率：事件 A 发生的可能性大小的 “理论值”，是客观存在的固定值，不随试验次数变化。
2. 核心关系（配频率变化折线图）
频率的稳定性：当试验次数 n 逐渐增大时，事件 A 的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件 A 的概率 P (A)，即\(\frac{m}{n}\approx P(A)\)（试验次数越多，估算越精准）；
区别与联系表：
| 对比维度 | 频率 | 概率 |
|----------------|-----------------------------------|-----------------------------------|
| 取值性质 | 试验后计算的 “实际值”，动态变化（如 10 次试验频率 0.3，20 次可能 0.35） | 事件本身的 “理论值”，固定不变（如掷硬币正面朝上概率恒为 0.5） |
| 依赖条件 | 依赖试验次数与结果 | 不依赖试验，由事件本身属性决定 |
| 核心关系 | 频率是概率的 “估计值” | 概率是频率的 “稳定值” |
| 取值范围 | \(0\le
结论：当试验次数达到 200 次时，频率稳定在 0.43 附近，故 “图钉针尖朝上” 的概率约为 0.43。
第 6 页：核心模块 2 适用场景与注意事项
1. 适用场景（三类典型事件）
非等可能事件：结果有限但不等可能（如掷图钉、瓶盖落地）；
结果无限事件：结果无法一一枚举（如射手命中靶心的位置、随机时间的降雨量）；
破坏性试验：检测会损坏样本（如灯泡使用寿命、炮弹杀伤范围），无法全面检测，只能抽样试验。
2. 关键注意事项
试验次数足够多：次数过少时频率波动大，估算误差大（如仅 10 次试验可能频率为 0 或 1，无法反映真实概率）；
试验条件一致：每次试验的环境、工具需相同（如掷图钉时力度、高度一致，避免条件变化影响结果）；
数据真实客观：记录试验结果时避免主观偏差（如图钉 “针尖朝上” 与 “钉帽朝上” 的判断标准需统一）。
第 7 页：典例精讲 用频率估计概率的实际应用
例题 1：产品合格率估算
某工厂生产一批灯泡，随机抽取 100 个灯泡检测其使用寿命（寿命≥1000 小时为合格），检测结果如下：
抽取数量 n
50
100
200
500
1000
合格数量 m
43
85
172
430
865
频率\(\frac{m}{n}\)
0.86
0.85
0.86
0.86
0.865
问题：估算这批灯泡的合格率；若工厂共生产 10000 个灯泡，预计合格灯泡有多少个？
解答：
估概率：随着抽取数量增多，频率稳定在 0.86 附近，故合格率约为 0.86；
算合格数量：10000×0.86=8600 个；
结论：这批灯泡合格率约为 86%，预计合格灯泡 8600 个。
例题 2：射击命中概率估算
某射手进行射击训练，每次射击目标是靶心，记录射击次提醒：实际命中次数可能在 76 次左右波动，因频率具有随机性。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
混淆 “频率” 与 “概率”：误将 “少量试验的频率” 当作 “概率”（如仅掷 5 次硬币，3 次正面朝上，就认为正面朝上概率为 0.6）；
试验条件不一致：如掷图钉时有时用力大、有时用力小，导致频率波动异常，无法稳定；
忽视 “大量重复”：认为 “试验次数越多越好” 但盲目增加次数，未考虑效率（实际中通常试验 500-1000 次即可达到稳定）；
误解 “估算结果”：认为用频率估计的概率是 “精确值”（实际是近似值，不同批次试验的估算结果可能略有差异）。
避坑技巧：
牢记 “频率≈概率” 的前提是 “大量重复试验”，少量试验结果仅作参考；
设计试验时明确 “统一条件”（如工具、环境、操作方法），确保数据有效性；
估算概率时，取频率稳定区间的 “中间值” 或 “平均值”，减少误差；
应用估算结果时，需说明 “概率约为 XX”，体现随机性与近似性。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）在 “抛掷一枚质地不均匀的骰子” 试验中，重复抛掷 1000 次，记录到 “点数为 6” 的次数为 180 次，则 “点数为 6” 的频率为______，估算其概率约为______。（答案：0.18，0.18）
（2）下列事件中，适合用 “频率估计概率” 的是（ ）
A. 掷一枚均匀骰子，点数为 3 的概率 B. 从装有 2 个红球 1 个白球的袋子中摸出红球的概率 C. 估算某品牌灯泡的使用寿命达标概率 D. 计算正方形内接圆的面积与正方形面积的比值
（答案：C，解析：A、B 可直接计算，D 是几何概率，C 是破坏性试验，需用频率估计）
中档题：
某商场为促销举办抽奖活动，随机抽取 1000 名顾客的抽奖结果，其中中奖的有 200 人。
（1）估算顾客中奖的概率；
（2）若该商场预计有 5000 名顾客参与抽奖，预计中奖人数为多少？
（答案：（1）0.2；（2）1000 人，提示：5000×0.2=1000）
提升题：
某篮球队员进行投篮训练，训练数据如下表：
投篮次数 n
10
20
50
100
200
500
投中次数 m
7
15
36
73
148
370
频率\(\frac{m}{n}\)
0.7
0.75
0.72
0.73
0.74
0.74
（1）该队员投篮命中的概率约为多少？
（2）若该队员在比赛中投篮 20 次，预计投中多少次？为什么不能确定一定投中这么多次？
（答案：（1）0.74；（2）预计 14-15 次，因频率具有随机性，实际投中次数可能在估算值附近波动）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心逻辑：频率是试验的 “实际值”，概率是事件的 “理论值”，大量重复试验中频率稳定在概率附近，即\(\frac{m}{n}\approx P(A)\)；
适用场景：非等可能事件、结果无限事件、破坏性试验；
试验关键：大量重复、条件一致、数据客观，估算结果为近似值。
作业：
基础作业：教材习题 26.3 第 1、2 题（频率计算与概率估算）；
拓展作业：设计 “抛瓶盖” 试验，重复抛掷 50 次，记录 “瓶盖正面朝上” 的次数，计算频率并估算概率，撰写简短试验报告；
实践作业：调查班级同学 “随机抽取一张扑克牌（54 张），抽到红桃” 的试验，每人试验 10 次，汇总全班数据（如 500 次），计算频率并与理论概率（13/54≈0.24）对比，分析差异原因。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.3用频率估计概率
第26章 概率初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
问题1 抛掷一枚均匀硬币，硬币落地后，会出现哪些可能的结果呢？
问题2 它们的概率是多少呢？
出现“正面朝上”和“反面朝上”两种情况
都是
问题3 在实际掷硬币时，会出现什么情况呢？
掷硬币试验
试验探究
(1) 抛掷一枚均匀硬币 400 次，每隔 50 次记录“正面朝上”的次数，并算出“正面朝上”的频率，完成下表：
累计抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400
“正面朝上” 的频数
“正面朝上” 的频率
23
46
78
102
123
150
175
200
0.46
0.46
0.52
0.51
0.49
0.50
0.50
0.50
用频率估计概率
(2) 根据上表的数据，在下图中画统计图表示“正面朝上”的频率.
频率
试验次数
(3) 在上图中，用红笔画出表示频率为 0.5 的直线，你发
现了什么？
试验次数越多频率越接近 0.5，即频率稳定于概率.
频率
试验次数
(4)下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据，
这些数据支持你发现的规律吗？
试验者 抛掷次数 n “正面向上”次数 m “正面向上”
频率( )
棣莫弗 2048 1061 0.518
布 丰 4040 2048 0.5069
费 勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
支持
归纳总结
通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率
来估计该事件发生的概率.
数学史实
人们在长期的实践中发现，在随机试验中，由于众多微小的偶然因素的影响，每次测得的结果虽不尽相同，但大量重复试验所得结果却能反应客观规律. 这称为大数法则，亦称大数定律.
频率稳定性定理
思考 抛掷硬币试验的特点：
1. 可能出现的结果数__________；
2. 每种可能结果的可能性__________.
相等
有限
问题 如果某一随机事件，可能出现的结果是无限个，或每种可能结果发生的可能性不一致，那么我们无法用列举法求其概率，这时我们能够用频率来估计概率吗？
从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？
其中顶帽着地的可能性大吗？
做做试验来解决这个问题.
图钉落地的试验
试验探究
(1) 选取 20 名同学，每位学生依次使图钉从高处落下 20
次，并根据试验结果填写下表.
试验累计次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
钉帽着地的次数(频数) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109
钉帽着地的频率(%) 45 47.5 60 62.5 61 57 55 52.5 53 54.5
试验累计次数 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
钉帽着地的次数(频数) 122 135 143 155 162 177 194 203 215 224
钉帽着地的频率(%) 55 56.25 55 55 54 55 57 56.4 56.6 56
56.5
(%)
(2) 根据上表画出统计图表示“顶帽着地”的频率.
试验次数
(3) 这个试验说明了什么问题.
在图钉落地试验中，“钉帽着地”的频率随着试验次数的增加，稳定在常数 56.5% 附近.
一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率 (这里 n 是总实验次数，它必须相当大，m 是在 n 次试验中随机事件 A 发生的次数）会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即
P (A) = p.
归纳总结
判断正误：
（1）连续掷一枚质地均匀硬币 10 次，结果 10 次全部是正面，则正面向上的概率是 1.
（2）小明掷硬币 10000 次，则正面向上的频率在 0.5附近.
（3）设一大批灯泡的次品率为 0.01，那么从中抽取 1000 只灯泡，一定有 10 只次品.
错误
错误
正确
练一练
例1 某篮球队教练记录该队一名前锋练习罚篮的结果如下：
(1) 填表 (精确到 0.001)；
(2) 比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一
次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？
练习罚篮次数 30 60 90 150 200 300 400 500
罚中次数 27 45 78 118 161 239 322 401
罚中频率
0.900
0.750
0.867
0.787
0.805
0.797
0.805
0.802
解：从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该前锋罚篮命中的频率稳定在 0.8 左右，所以估计他这次能罚中的概率约为 0.8.
例2 瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生哪种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象.而烧制的结果是“合格品”是一个随机事件，这个事件的概率称为“合
格品率”. 由于烧制结果不是等可能的，
我们常用“合格品”的频率作为“合格品
率”的估计值.
某瓷砖厂对瓷砖进行质量抽检，结果如下：
抽取瓷砖数 n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000
合格品数 m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924
合格品率
(1) 计算上表中合格品率的各频率 (精确到 0.001)；
(2) 估计这种瓷砖的合格品率 (精确到 0.01)；
(3) 若该厂本月生产该型号瓷砖 500000 块，试估计合格
品数.
(1) 逐项计算，填表如下：
(2) 观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数 n ≥ 400 时，合格品率 稳定在 0.962 的附近，
所以我们可取 p = 0.96 作为该型号瓷砖的合格品率的估计.
(3) 500000×96% = 480000 (块)，可以估计该型号合格品
数约为 480000 块.
抽取瓷砖数n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000
合格品数m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924
合格品率 0.950 0.960 0.957 0.963 0.962 0.962 0.963 0.961 0.962
频率与概率的关系
联系： 频率 概率
事件发生的频繁程度
事件发生的
可能性大小
在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值.
区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的频率都可能不同；而概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试验无关.
稳定性
大量重复试验
1. 一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共 1 000 尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是 31% 和 42%，则这个水塘里约有鲤鱼 尾，鲢鱼 尾.
310
270
2. 抛掷硬币“正面向上”的概率是 0.5. 如果连续抛掷100 次，而结果并不一定是出现“正面向上”和“反面向上”各 50 次，这是为什么？
答：这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律性.或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.
3. 在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两种球，其中白球24个，黑球若干.小兵将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
(1) 请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近
（精确到 0.1）；
(2) 假如你摸一次，估计你摸到白球的概率 P (白球) =
.
0.6
0.6
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
0.101
0.097
0.097
0.103
0.101
0.098
0.099
0.103
4.填表：
(1) 由上表可知：柑橘损坏率是 ，完好率是 .
0.10
0.90
(2) 某水果公司以 2 元/千克的成本新进了 10000 千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润 5000 元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
分析：根据上表估计柑橘损坏的概率为 0.1，则柑橘完好的概率为 0.9.
解：根据估计的概率可以知道，在 10000 千克柑橘中完好柑橘的质量为 10000×0.9 = 9000 (千克)，完好柑橘的实际成本为
设每千克柑橘的销售价为 x 元，则应有
(x - 2.22)×9000 = 5000，
解得 x ≈ 2.8.
因此，出售柑橘时每千克大约定价为 2.8 元可获利润
5000 元.
5. 某池塘里养了鱼苗 10 万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为 95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出 40 条，称得平均每条鱼重 2.5 千克，第二网捞出 25条，称得平均每条鱼重 2.2 千克，第三网捞出 35 条，称得平均每条鱼重 2.8 千克，试估计这池塘中鱼的总质量.
解：先计算每条鱼的平均质量是
(2.5×40 + 2.2×25 + 2.8×35)÷(40 + 25 + 35)
= 2.53 (千克)，
所以这池塘中鱼的总质量约为 2.53×100000×95%
= 240350 (千克).
1．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( )
A．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
B．试验得到的频率与概率不可能相等
C．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
D．频率等于概率
【点拨】A.概率是定值，故本选项错误，不符合题意；
B．试验得到的频率与概率可能相等，故本选项错误，不符合题意；C．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，正确，故本选项符合题意；D．频率只能估计概率，故本选项错误，不符合题意．故选C.
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【答案】 C
2．[2024·贵州] 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是( )
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
A
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3．[2024·扬州]数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实
验数据如
下表：
累计抛掷次数 盖面朝上次数 盖面朝上频率
50 28 0.560 0
100 54 0.540 0
200 106 0.530 0
300 158 0.526 7
500 264 0.528 0
1 000 527 0.527 0
2 000 1 056 0.528 0
3 000 1 587 0.529 0
5 000 2 650 0.530 0
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根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为________(精确到0.01)．
0.53
4．[2024·滁州模拟]某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，
则符合这一结果的实验最有可能的是( )
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任意抽一张牌的花色是黑桃
C．一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球(除了颜色都相同)，从中任意摸出一个球是红球
D．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是5
返回
【答案】 D
5．[2024·宿迁期中]小乐同学将新华书店的阅读二维码打印在面积为400cm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频
率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色
部分的面积约为________cm2.
160
频率估计概率
大量重复试验
求非等可能性事件概率
列举法
不能适应
频率稳定
常数附近
统计思想
用样本(频率)估计总体(概率)
一种关系
频率与概率的关系
频率稳定时可看作是概
率但概率与频率无关
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：26.3 用频率估计概率
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 频率稳定性 试验估算 实际应用
配图：左侧为 “掷图钉试验频率变化折线图”，右侧为 “频率与概率关系示意图（频率围绕概率波动）”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标与知识衔接
1. 前置回顾（26.2 核心关联点）
等可能事件概率计算：列表法、树状图法适用于 “结果有限且等可能” 的事件（如掷骰子、摸球），可通过 “目标结果数 / 总结果数” 精准计算；
现实局限：生活中大量事件（如掷图钉针尖朝上、产品合格率）不满足 “等可能” 或 “结果难以枚举”，无法用前两种方法计算概率。
2. 本课时学习目标
知识目标：理解频率与概率的区别与联系，掌握 “通过大量重复试验用频率估计概率” 的方法，明确该方法的适用场景。
能力目标：能设计简单试验收集数据，计算频率并绘制频率变化图，通过频率稳定性估算概率，提升数据处理与分析能力。
素养目标：体会 “用样本估计总体” 的统计思想，理解概率的统计定义，培养严谨的试验态度与数据分析思维。
第 3 页：情境导入 如何估算 “非等可能” 事件的概率？
生活困惑展示（配图）：
掷图钉：图钉落地后有 “针尖朝上” 和 “钉帽朝上” 两种结果，但图钉形状不规则，两种结果并非等可能，无法用 “1/2” 估算概率；
射击命中：射手击中靶心的概率，受技术、环境等因素影响，结果无法枚举，难以用列表或树状图计算；
产品合格：一批零件的合格率，无法逐一检测所有零件，需通过抽样试验估算。
思考提问：
对于 “非等可能” 或 “结果无限” 的事件，如何科学估算其概率？（通过重复试验观察频率变化）
试验次数与频率的稳定性有什么关系？（次数越多，频率越接近概率）
第 4 页：核心概念 频率与概率的区别与联系
1. 基本定义
频率：在 n 次重复试验中，事件 A 发生的次数 m 与试验总次数 n 的比值，即\(é =\frac{m}{n}\)（频率是试验结果的 “实际值”，随试验次数变化）；
概率：事件 A 发生的可能性大小的 “理论值”，是客观存在的固定值，不随试验次数变化。
2. 核心关系（配频率变化折线图）
频率的稳定性：当试验次数 n 逐渐增大时，事件 A 的频率会逐渐稳定在某个常数附近，这个常数就是事件 A 的概率 P (A)，即\(\frac{m}{n}\approx P(A)\)（试验次数越多，估算越精准）；
区别与联系表：
| 对比维度 | 频率 | 概率 |
|----------------|-----------------------------------|-----------------------------------|
| 取值性质 | 试验后计算的 “实际值”，动态变化（如 10 次试验频率 0.3，20 次可能 0.35） | 事件本身的 “理论值”，固定不变（如掷硬币正面朝上概率恒为 0.5） |
| 依赖条件 | 依赖试验次数与结果 | 不依赖试验，由事件本身属性决定 |
| 核心关系 | 频率是概率的 “估计值” | 概率是频率的 “稳定值” |
| 取值范围 | \(0\le
结论：当试验次数达到 200 次时，频率稳定在 0.43 附近，故 “图钉针尖朝上” 的概率约为 0.43。
第 6 页：核心模块 2 适用场景与注意事项
1. 适用场景（三类典型事件）
非等可能事件：结果有限但不等可能（如掷图钉、瓶盖落地）；
结果无限事件：结果无法一一枚举（如射手命中靶心的位置、随机时间的降雨量）；
破坏性试验：检测会损坏样本（如灯泡使用寿命、炮弹杀伤范围），无法全面检测，只能抽样试验。
2. 关键注意事项
试验次数足够多：次数过少时频率波动大，估算误差大（如仅 10 次试验可能频率为 0 或 1，无法反映真实概率）；
试验条件一致：每次试验的环境、工具需相同（如掷图钉时力度、高度一致，避免条件变化影响结果）；
数据真实客观：记录试验结果时避免主观偏差（如图钉 “针尖朝上” 与 “钉帽朝上” 的判断标准需统一）。
第 7 页：典例精讲 用频率估计概率的实际应用
例题 1：产品合格率估算
某工厂生产一批灯泡，随机抽取 100 个灯泡检测其使用寿命（寿命≥1000 小时为合格），检测结果如下：
抽取数量 n
50
100
200
500
1000
合格数量 m
43
85
172
430
865
频率\(\frac{m}{n}\)
0.86
0.85
0.86
0.86
0.865
问题：估算这批灯泡的合格率；若工厂共生产 10000 个灯泡，预计合格灯泡有多少个？
解答：
估概率：随着抽取数量增多，频率稳定在 0.86 附近，故合格率约为 0.86；
算合格数量：10000×0.86=8600 个；
结论：这批灯泡合格率约为 86%，预计合格灯泡 8600 个。
例题 2：射击命中概率估算
某射手进行射击训练，每次射击目标是靶心，记录射击次提醒：实际命中次数可能在 76 次左右波动，因频率具有随机性。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
混淆 “频率” 与 “概率”：误将 “少量试验的频率” 当作 “概率”（如仅掷 5 次硬币，3 次正面朝上，就认为正面朝上概率为 0.6）；
试验条件不一致：如掷图钉时有时用力大、有时用力小，导致频率波动异常，无法稳定；
忽视 “大量重复”：认为 “试验次数越多越好” 但盲目增加次数，未考虑效率（实际中通常试验 500-1000 次即可达到稳定）；
误解 “估算结果”：认为用频率估计的概率是 “精确值”（实际是近似值，不同批次试验的估算结果可能略有差异）。
避坑技巧：
牢记 “频率≈概率” 的前提是 “大量重复试验”，少量试验结果仅作参考；
设计试验时明确 “统一条件”（如工具、环境、操作方法），确保数据有效性；
估算概率时，取频率稳定区间的 “中间值” 或 “平均值”，减少误差；
应用估算结果时，需说明 “概率约为 XX”，体现随机性与近似性。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）在 “抛掷一枚质地不均匀的骰子” 试验中，重复抛掷 1000 次，记录到 “点数为 6” 的次数为 180 次，则 “点数为 6” 的频率为______，估算其概率约为______。（答案：0.18，0.18）
（2）下列事件中，适合用 “频率估计概率” 的是（ ）
A. 掷一枚均匀骰子，点数为 3 的概率 B. 从装有 2 个红球 1 个白球的袋子中摸出红球的概率 C. 估算某品牌灯泡的使用寿命达标概率 D. 计算正方形内接圆的面积与正方形面积的比值
（答案：C，解析：A、B 可直接计算，D 是几何概率，C 是破坏性试验，需用频率估计）
中档题：
某商场为促销举办抽奖活动，随机抽取 1000 名顾客的抽奖结果，其中中奖的有 200 人。
（1）估算顾客中奖的概率；
（2）若该商场预计有 5000 名顾客参与抽奖，预计中奖人数为多少？
（答案：（1）0.2；（2）1000 人，提示：5000×0.2=1000）
提升题：
某篮球队员进行投篮训练，训练数据如下表：
投篮次数 n
10
20
50
100
200
500
投中次数 m
7
15
36
73
148
370
频率\(\frac{m}{n}\)
0.7
0.75
0.72
0.73
0.74
0.74
（1）该队员投篮命中的概率约为多少？
（2）若该队员在比赛中投篮 20 次，预计投中多少次？为什么不能确定一定投中这么多次？
（答案：（1）0.74；（2）预计 14-15 次，因频率具有随机性，实际投中次数可能在估算值附近波动）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
核心逻辑：频率是试验的 “实际值”，概率是事件的 “理论值”，大量重复试验中频率稳定在概率附近，即\(\frac{m}{n}\approx P(A)\)；
适用场景：非等可能事件、结果无限事件、破坏性试验；
试验关键：大量重复、条件一致、数据客观，估算结果为近似值。
作业：
基础作业：教材习题 26.3 第 1、2 题（频率计算与概率估算）；
拓展作业：设计 “抛瓶盖” 试验，重复抛掷 50 次，记录 “瓶盖正面朝上” 的次数，计算频率并估算概率，撰写简短试验报告；
实践作业：调查班级同学 “随机抽取一张扑克牌（54 张），抽到红桃” 的试验，每人试验 10 次，汇总全班数据（如 500 次），计算频率并与理论概率（13/54≈0.24）对比，分析差异原因。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.3用频率估计概率
第26章 概率初步
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
问题1 抛掷一枚均匀硬币，硬币落地后，会出现哪些可能的结果呢？
问题2 它们的概率是多少呢？
出现“正面朝上”和“反面朝上”两种情况
都是
问题3 在实际掷硬币时，会出现什么情况呢？
掷硬币试验
试验探究
(1) 抛掷一枚均匀硬币 400 次，每隔 50 次记录“正面朝上”的次数，并算出“正面朝上”的频率，完成下表：
累计抛掷次数 50 100 150 200 250 300 350 400
“正面朝上” 的频数
“正面朝上” 的频率
23
46
78
102
123
150
175
200
0.46
0.46
0.52
0.51
0.49
0.50
0.50
0.50
用频率估计概率
(2) 根据上表的数据，在下图中画统计图表示“正面朝上”的频率.
频率
试验次数
(3) 在上图中，用红笔画出表示频率为 0.5 的直线，你发
现了什么？
试验次数越多频率越接近 0.5，即频率稳定于概率.
频率
试验次数
(4)下表是历史上一些数学家所做的掷硬币的试验数据，
这些数据支持你发现的规律吗？
试验者 抛掷次数 n “正面向上”次数 m “正面向上”
频率( )
棣莫弗 2048 1061 0.518
布 丰 4040 2048 0.5069
费 勒 10000 4979 0.4979
皮尔逊 12000 6019 0.5016
皮尔逊 24000 12012 0.5005
支持
归纳总结
通过大量重复试验，可以用随机事件发生的频率
来估计该事件发生的概率.
数学史实
人们在长期的实践中发现，在随机试验中，由于众多微小的偶然因素的影响，每次测得的结果虽不尽相同，但大量重复试验所得结果却能反应客观规律. 这称为大数法则，亦称大数定律.
频率稳定性定理
思考 抛掷硬币试验的特点：
1. 可能出现的结果数__________；
2. 每种可能结果的可能性__________.
相等
有限
问题 如果某一随机事件，可能出现的结果是无限个，或每种可能结果发生的可能性不一致，那么我们无法用列举法求其概率，这时我们能够用频率来估计概率吗？
从一定高度落下的图钉，着地时会有哪些可能的结果？
其中顶帽着地的可能性大吗？
做做试验来解决这个问题.
图钉落地的试验
试验探究
(1) 选取 20 名同学，每位学生依次使图钉从高处落下 20
次，并根据试验结果填写下表.
试验累计次数 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
钉帽着地的次数(频数) 9 19 36 50 61 68 77 84 95 109
钉帽着地的频率(%) 45 47.5 60 62.5 61 57 55 52.5 53 54.5
试验累计次数 220 240 260 280 300 320 340 360 380 400
钉帽着地的次数(频数) 122 135 143 155 162 177 194 203 215 224
钉帽着地的频率(%) 55 56.25 55 55 54 55 57 56.4 56.6 56
56.5
(%)
(2) 根据上表画出统计图表示“顶帽着地”的频率.
试验次数
(3) 这个试验说明了什么问题.
在图钉落地试验中，“钉帽着地”的频率随着试验次数的增加，稳定在常数 56.5% 附近.
一般地，在大量重复试验下，随机事件 A 发生的频率 (这里 n 是总实验次数，它必须相当大，m 是在 n 次试验中随机事件 A 发生的次数）会稳定到某个常数 p. 于是，我们用 p 这个常数表示事件 A 发生的概率，即
P (A) = p.
归纳总结
判断正误：
（1）连续掷一枚质地均匀硬币 10 次，结果 10 次全部是正面，则正面向上的概率是 1.
（2）小明掷硬币 10000 次，则正面向上的频率在 0.5附近.
（3）设一大批灯泡的次品率为 0.01，那么从中抽取 1000 只灯泡，一定有 10 只次品.
错误
错误
正确
练一练
例1 某篮球队教练记录该队一名前锋练习罚篮的结果如下：
(1) 填表 (精确到 0.001)；
(2) 比赛中该前锋队员上篮得分并造成对手犯规，罚篮一
次，你能估计这次他能罚中的概率是多少吗？
练习罚篮次数 30 60 90 150 200 300 400 500
罚中次数 27 45 78 118 161 239 322 401
罚中频率
0.900
0.750
0.867
0.787
0.805
0.797
0.805
0.802
解：从表中的数据可以发现，随着练习次数的增加，该前锋罚篮命中的频率稳定在 0.8 左右，所以估计他这次能罚中的概率约为 0.8.
例2 瓷砖生产受烧制时间、温度、材质的影响，一块砖坯放在炉中烧制，可能成为合格品，也可能成为次品或废品，究竟发生哪种结果，在烧制前无法预知，所以这是一种随机现象.而烧制的结果是“合格品”是一个随机事件，这个事件的概率称为“合
格品率”. 由于烧制结果不是等可能的，
我们常用“合格品”的频率作为“合格品
率”的估计值.
某瓷砖厂对瓷砖进行质量抽检，结果如下：
抽取瓷砖数 n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000
合格品数 m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924
合格品率
(1) 计算上表中合格品率的各频率 (精确到 0.001)；
(2) 估计这种瓷砖的合格品率 (精确到 0.01)；
(3) 若该厂本月生产该型号瓷砖 500000 块，试估计合格
品数.
(1) 逐项计算，填表如下：
(2) 观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数 n ≥ 400 时，合格品率 稳定在 0.962 的附近，
所以我们可取 p = 0.96 作为该型号瓷砖的合格品率的估计.
(3) 500000×96% = 480000 (块)，可以估计该型号合格品
数约为 480000 块.
抽取瓷砖数n 100 200 300 400 500 600 800 1000 2000
合格品数m 95 192 287 385 481 577 770 961 1924
合格品率 0.950 0.960 0.957 0.963 0.962 0.962 0.963 0.961 0.962
频率与概率的关系
联系： 频率 概率
事件发生的频繁程度
事件发生的
可能性大小
在实际问题中，若事件的概率未知，常用频率作为它的估计值.
区别：频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数或不同次数的重复试验得到的频率都可能不同；而概率是一个确定数，是客观存在的，与每次试验无关.
稳定性
大量重复试验
1. 一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲢鱼共 1 000 尾，一渔民通过多次捕获实验后发现：鲤鱼、鲫鱼出现的频率是 31% 和 42%，则这个水塘里约有鲤鱼 尾，鲢鱼 尾.
310
270
2. 抛掷硬币“正面向上”的概率是 0.5. 如果连续抛掷100 次，而结果并不一定是出现“正面向上”和“反面向上”各 50 次，这是为什么？
答：这是因为频数和频率的随机性以及一定的规律性.或者说概率是针对大量重复试验而言的，大量重复试验反映的规律并非在每一次试验中都发生.
3. 在一个不透明的盒子里装有除颜色不同其余均相同的黑、白两种球，其中白球24个，黑球若干.小兵将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复上述过程，下表是试验中的一组统计数据：
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
(1) 请估计：当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近
（精确到 0.1）；
(2) 假如你摸一次，估计你摸到白球的概率 P (白球) =
.
0.6
0.6
摸球的次数n 100 200 300 500 800 1000 3000
摸到白球次数m 65 124 178 302 481 599 1803
摸到白球概率 0.65 0.62 0.593 0.604 0.601 0.599 0.601
0.101
0.097
0.097
0.103
0.101
0.098
0.099
0.103
4.填表：
(1) 由上表可知：柑橘损坏率是 ，完好率是 .
0.10
0.90
(2) 某水果公司以 2 元/千克的成本新进了 10000 千克柑橘，如果公司希望这些柑橘能够获得利润 5000 元，那么在出售柑橘（已去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？
分析：根据上表估计柑橘损坏的概率为 0.1，则柑橘完好的概率为 0.9.
解：根据估计的概率可以知道，在 10000 千克柑橘中完好柑橘的质量为 10000×0.9 = 9000 (千克)，完好柑橘的实际成本为
设每千克柑橘的销售价为 x 元，则应有
(x - 2.22)×9000 = 5000，
解得 x ≈ 2.8.
因此，出售柑橘时每千克大约定价为 2.8 元可获利润
5000 元.
5. 某池塘里养了鱼苗 10 万条，根据这几年的经验知道，鱼苗成活率为 95%，一段时间准备打捞出售，第一网捞出 40 条，称得平均每条鱼重 2.5 千克，第二网捞出 25条，称得平均每条鱼重 2.2 千克，第三网捞出 35 条，称得平均每条鱼重 2.8 千克，试估计这池塘中鱼的总质量.
解：先计算每条鱼的平均质量是
(2.5×40 + 2.2×25 + 2.8×35)÷(40 + 25 + 35)
= 2.53 (千克)，
所以这池塘中鱼的总质量约为 2.53×100000×95%
= 240350 (千克).
1．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是( )
A．当试验次数很大时，概率稳定在频率附近
B．试验得到的频率与概率不可能相等
C．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近
D．频率等于概率
【点拨】A.概率是定值，故本选项错误，不符合题意；
B．试验得到的频率与概率可能相等，故本选项错误，不符合题意；C．当试验次数很大时，频率稳定在概率附近，正确，故本选项符合题意；D．频率只能估计概率，故本选项错误，不符合题意．故选C.
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【答案】 C
2．[2024·贵州] 小星同学通过大量重复的定点投篮练习，用频率估计他投中的概率为0.4，下列说法正确的是( )
A．小星定点投篮1次，不一定能投中
B．小星定点投篮1次，一定可以投中
C．小星定点投篮10次，一定投中4次
D．小星定点投篮4次，一定投中1次
A
返回
3．[2024·扬州]数学兴趣小组做抛掷一枚瓶盖的实验后，整理的实
验数据如
下表：
累计抛掷次数 盖面朝上次数 盖面朝上频率
50 28 0.560 0
100 54 0.540 0
200 106 0.530 0
300 158 0.526 7
500 264 0.528 0
1 000 527 0.527 0
2 000 1 056 0.528 0
3 000 1 587 0.529 0
5 000 2 650 0.530 0
返回
根据以上实验数据可以估计出“盖面朝上”的概率约为________(精确到0.01)．
0.53
4．[2024·滁州模拟]某小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图的折线统计图，
则符合这一结果的实验最有可能的是( )
A．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”
B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任意抽一张牌的花色是黑桃
C．一只不透明袋子中有1个红球和3个绿球(除了颜色都相同)，从中任意摸出一个球是红球
D．掷一枚质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数是5
返回
【答案】 D
5．[2024·宿迁期中]小乐同学将新华书店的阅读二维码打印在面积为400cm2的正方形纸上，如图所示，为了估计图中黑色部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频
率稳定在0.4左右，据此可以估计黑色
部分的面积约为________cm2.
160
频率估计概率
大量重复试验
求非等可能性事件概率
列举法
不能适应
频率稳定
常数附近
统计思想
用样本(频率)估计总体(概率)
一种关系
频率与概率的关系
频率稳定时可看作是概
率但概率与频率无关
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！