第24章　圆【章末复习】 课件(共57张PPT)-2025-2026学年沪科版（2024）数学九年级下册

(共57张PPT)
一、第 24 章 圆 知识框架总览
模块分类
核心课时内容
关键知识点关联
1. 圆的基础概念
24.2.1 与圆有关的概念及点与圆的位置关系
圆的定义（动态 / 静态）、弦 / 直径 / 弧 / 等圆 / 等弧、点与圆的位置关系（d 与 r 的数量关系）
2. 圆的性质
24.2.2 垂径分弦、24.3.1 圆周角定理及其推论、24.3.2 圆内接四边形
垂径定理（知二推三）、圆周角与圆心角关系、圆内接四边形对角互补
3. 直线与圆
24.4.1 直线与圆的位置关系、24.4.2 切线的性质和判定、24.4.3 切线长定理
直线与圆的 3 种位置（d 与 r）、切线性质（垂直过切点半径）、切线长定理（PA=PB）
4. 多边形与圆
24.5 三角形的内切圆、24.6.1 正多边形的概念及与圆的关系、24.6.2 正多边形的性质
三角形内心（角平分线交点）、正多边形的外接圆 / 内切圆、正多边形对称性与角度计算
5. 圆的度量计算
24.7.1 弧长与扇形面积、24.7.2 圆锥的面积
弧长公式\(l=\frac{n\pi R}{180}\)、扇形面积\(S=\frac{n\pi R^2}{360}\)、圆锥面积（侧 / 全）
二、核心模块深度关联 —— 以 “圆锥的面积” 为纽带
1. 圆锥与扇形的双向转化（24.7.2 24.7.1）
正向转化（扇形→圆锥）：
扇形的半径 = 圆锥的母线长\(l\)，扇形的弧长 = 圆锥底面的周长\(2\pi r\)，因此：
扇形圆心角\(n = 360^\circ \times \frac{r}{l}\)（由\(\frac{n\pi l}{180} = 2\pi r\)推导）；
圆锥侧面积\(S_{\text{ §}} = \)扇形面积\( = \frac{1}{2} \times 2\pi r \times l = \pi rl\)（面积不变）。
逆向转化（圆锥→扇形）：
已知圆锥的\(r\)和\(l\)，可反向求出展开扇形的\(n\)和面积，例如：
若圆锥\(r=3cm\)，\(l=5cm\)，则展开扇形\(n=360^\circ \times \frac{3}{5}=216^\circ\)，面积\(S=\pi \times 3 \times 5=15\pi cm^2\)。
2. 圆锥与圆的基础度量（24.7.2 24.2.1）
圆锥的底面是半径为\(r\)的圆，因此底面面积\(S_{\text{ }}=\pi r^2\)（核心公式源自圆的面积公式\(S=\pi R^2\)）；
圆锥的高\(h\)、底面半径\(r\)、母线\(l\)满足勾股定理\(l^2 = h^2 + r^2\)，其中\(r\)和\(l\)的本质是 “圆的半径”（底面圆半径、扇形半径）。
3. 圆锥与正多边形的隐性联系（24.7.2 24.6）
正多边形的内切圆 / 外接圆半径，可作为圆锥相关计算的中间量，例如：
若一个正六边形的外接圆半径为\(6cm\)（即正六边形边长为\(6cm\)），将其围成圆锥，则：
圆锥母线\(l=6cm\)，底面周长\(=6cm\)（正六边形边长），故底面半径\(r=\frac{6}{2\pi}=\frac{3}{\pi}cm\)；
圆锥侧面积\(S_{\text{ §}}=\pi \times \frac{3}{\pi} \times 6=18cm^2\)。
三、全章高频考点与解题策略
1. 高频考点清单
考点类型
典型例题场景
核心公式 / 定理
角度计算
圆内接四边形内角、圆周角与圆心角关系
圆周角 = 1/2 圆心角、圆内接四边形对角互补
长度 / 面积计算
弧长、扇形面积、圆锥侧 / 全面积
弧长\(l=\frac{n\pi R}{180}\)、圆锥\(S_{\text{ ¨}}=\pi r(l+r)\)
位置关系判定
点与圆、直线与圆的位置关系
点：\(d>r\)（外）/\(d=r\)（上）/\(dr\)（离）/\(d=r\)（切）/\(d切线相关证明
证明直线是圆的切线
垂直法（连半径 + 证垂直）、距离法（\(d=r\)）
2. 通用解题策略
“数形结合” 法：遇到圆的问题，先画出示意图，标注已知量（如\(r\)、\(l\)、\(n\)），再关联公式；
“转化思想” 法：将立体（圆锥）转化为平面（扇形）、将不规则图形（阴影）转化为规则图形（扇形 - 三角形）；
“公式串联” 法：例如计算圆锥全面积时，先通过勾股定理求\(l\)，再用\(S_{\text{ §}}=\pi rl\)和\(S_{\text{ }}=\pi r^2\)求和。
四、易错点避坑指南
概念混淆：
区分 “圆锥母线\(l\)” 与 “底面半径\(r\)”，勿将\(r\)代入母线位置（如算侧面积时误写为\(\pi r^2\)）；
区分 “扇形圆心角” 与 “圆锥顶角”，圆心角是扇形的角度，顶角是圆锥轴截面等腰三角形的顶角（如\(l=5\)，\(r=3\)，顶角\(\theta\)满足\(\sin\frac{\theta}{2}=\frac{3}{5}\)）。
公式漏用：
计算圆锥全面积时，勿漏加底面面积（如漏斗无底面，仅算侧面积；圆锥模型有底面，需算侧 + 底）；
用扇形围圆锥时，勿忽略 “扇形弧长 = 底面周长” 的核心等量关系。
2025-2026学年沪科版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
小结与复习
第24章　圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
一、旋转的有关概念及性质
1. 在平面内，一个图形绕着一个定点（如点 O ），旋转一定的角度（如 θ），得到另一个图形的变换，叫做_____. 定点 O 叫做_________，θ 叫做_______.
旋转
旋转中心
旋转角
2. 在平面内，一个图形绕着一个定点旋转一定的角度
后，能够与原图形重合，这样的图形叫做_____________，这个定点就是_________.
旋转对称图形
旋转中心
(1) 对应点到旋转中心的距离相等；
(2) 两组对应点分别与旋转中心的连线所成的角相等，
都等于旋转角；
(3) 旋转中心是唯一不动的点．
3. 旋转的性质
1. 把一个图形绕定点 O 旋转 180°，得到一个能够与它重合的图形，这时两个图形关于点 O 的对称叫做_________，点 O 就是_________. 这两个图形中的对应点叫做关于中心的_______.
二、中心对称的有关概念及性质
中心对称
对称中心
对称点
2. 把一个图形绕某一个定点旋转 180°，如果旋转后的图形能和原来图形重合，那么这个图形叫做____________，这个定点叫做它的________，互相重合的点叫做______.
中心对称图形
对称中心
对称点
成中心对称的两个图形中，对称点的连线经过_________，且被对称中心_____.
3. 中心对称的性质
对称中心
平分
三、圆的基本概念及性质
1. 定义：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆.
2. 有关概念：
(1) 弦、直径 (圆中最长的弦)
(2) 弧、优弧、劣弧、等弧
(3) 弦心距
．
O
四、点与圆的位置关系
●A
●B
●C
点与圆的位置关系 点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 之间的关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
●O
d
r
d﹥r
d = r
d﹤r
五、圆的对称性及各相关元素之间的关系
1. 圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的
对称轴. 圆有无数条对称轴.
2. 圆是中心对称图形，并且绕圆心旋转任何一个角度
都能与自身重合，即圆具有旋转不变性.
．
3. 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对
的弦也相等．
4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦
中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分
别相等．
●O
A
B
C
D
└ M
③ AM = BM
重视：模型“垂径定理直角三角形”
若 ① CD 是直径
② CD⊥AB
可推得
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
六、垂径定理及推论
④ =
⑤ =
垂径定理的逆定理
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
M
③ AM = BM
若 ① CD 是直径
② CD⊥AB
可推得
④ =
⑤ =
●O
C
D
A
B
●
┗
定义：顶点在圆周上，两边和圆相交的角，叫做圆周角.
圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的一半.
七、圆周角和圆心角的关系
∠BAC = ∠BOC
推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.
∵∠ACB、∠ADB、∠AEB 都是弧 AB 所对的圆周角，
∴∠ACB =∠ADB =∠AEB．
推论：直径所对的圆周角是直角；
90° 的圆周角所对的弦是圆的直径.
∵ AB 是 ⊙O 的直径，
∴∠ACB = 90°．
八、直线和圆的位置关系
直线与圆的位置关系 圆心与直线的距离 d 与圆的半径 r 的关系 直线名称 直线与圆的公共点个数
相离
相切
相交
●
l
d
r
0
切线
d﹤r
割线
2
d﹥r
——
d = r
1
九、切线的判定与性质
1. 切线的判定一般有三种方法：
a. 定义法：和圆有唯一的一个公共点
b. 距离法： d = r
c. 判定定理：过半径的外端点且垂直于半径的直线
是圆的切线.
2. 切线的性质：
圆的切线垂直于经过切点的半径.
切线长定理：
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
切线长：
从圆外一点引圆的切线，这个点与切点间的线段的长称为切线长.
3. 切线长及切线长定理
十、三角形的内切圆及内心
1. 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.
3. 这个三角形叫做圆的外切三角形.
4. 三角形的内心就是三角形的三个内角平分线的交点.
┐
A
C
I
┐
┐
D
E
F
三角形的内心到三角形三边的距离相等.
重要结论
B
十一、圆内接正多边形
1. 概念
O
C
D
A
B
M
半径R
圆心角
弦心距d
弦a
圆心
中心角
A
B
C
D
E
F
O
半径R
边心距r
中心
类比学习
圆内接正多边形
外接圆的圆心
正多边形的中心
外接圆的半径
正多边形的半径
每一条边所
对的圆心角
正多边形的中心角
弦心距
正多边形的边心距
M
①正多边形的内角和 =
②中心角 =
圆内接正多边形的有
关概念及性质
2. 计算公式
十二、 圆中的计算问题
1. 弧长公式
半径为 R 的圆中，n° 圆心角所对的弧长 l =______.
2. 扇形面积公式
半径为 R，圆心角为 n° 的扇形面积 S = __________.
或
3. 弓形面积公式
O
O
弓形面积 = 扇形面积±三角形面积
(3) 圆锥的侧面积为　 .
【注意】圆锥的侧面展开图的形状是扇形，它的半径等于圆锥的母线长，它的弧长是圆锥底面圆的周长．
4. 圆锥的侧面积
(1) 圆锥的侧面展开图是一个　 　.
(2) 如果圆锥母线长为 l，底面圆的半径为 r，那么这个扇形的半径为　　，扇形的弧长为　 　.
扇形
l
考点一 旋转变换
例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，点 D，E 分别在 AB，AC 上，CE = BC，连接 CD，将线段 CD 绕点 C 按顺时针方向旋转 90° 后得 CF，连接 EF．
（1）补充完成图形；
（2）若 EF∥CD，求证：∠BDC = 90°．
解析：第（2）问由旋转的性质得∠DCF 为直角，由 EF 与 CD 平行，得到∠EFC 为直角，利用 SAS 得到 △BDC 与 △EFC 全等，利用全等三角形对应角相等即可得证．
F
解：（1）补全图形，如图所示．
（2）由旋转知 CD = CF，∠DCF = 90°，
∴∠DCE +∠ECF = 90°.
∵∠ACB = 90°，∴∠DCE +∠BCD = 90°.
∴∠ECF =∠BCD.
∵ EF∥DC，∴∠EFC +∠DCF = 180°.
∴∠EFC = 90°.
∴△BDC≌△EFC（SAS）.
∴∠BDC =∠EFC = 90°.
考点二 弧、圆心角、圆周角的性质
例2 如图，BC 是 ⊙O 的直径，AD⊥BC，若∠D = 36°，则∠BAD 的度数是（ ）
A. 72° B. 54° C. 45° D. 36°
A
B
C
D
解析：根据圆周角定理的推论可知， ∠B =∠D = 36°，AD⊥BC，所以∠BAD = 90° -∠B = 54°.
B
O
1. 如图，四边形 ABCD 为 ⊙O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上的任意一点（不与 B，C 重合），则∠BPC 的度数是 .
135°
C
D
B
A
P
O
针对训练
2. 如图，线段 AB 是直径，点 D 是 ⊙O 上一点，∠CDB = 20°，过点 C 作 ⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则∠E 等于 °.
O
C
A
B
E
D
50
例3 如图，⊙O 的直径 AE = 4 cm，∠B = 30°，则 AC = cm.
A
B
C
E
O
2
解析 连接 CE，则∠E =∠B = 30°，∠ACE = 90°，所以 AC = AE = 2 cm.
方法归纳：有直径，通常构造直径所对的圆周角，将问题转化到直角三角形中解决.
3.（多解题）如图，AB 是 ⊙O 的直径，弦 BC = 2，F 是弦 BC 的中点，∠ABC = 60°. 若动点 E 以 2 cm/s 的速度从 A 点出发沿着 A→B→A 的方向运动，设运动时间为 t (s) (0＜t＜3)，连接 EF，当 t = s 时， △BEF 是直角三角形.
A
B
C
E
O
F
针对训练
考点三 垂径定理及其应用
例4 如图，工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的口宽，假设钢珠的直径是 10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8 mm，则这个小圆孔的口宽 AB = mm.
8 mm
A
B
解析 连接 OA，过点 O 作出弓形的高 CD，则 AO = 5 mm，OD = 3 mm，利用勾股定理可算得 AD = 4 mm，所以 AB = 8 mm.
方法归纳 在圆中涉及弓形求线段长问题时，常构造直角三角形来解决.
8
C
D
O
A
B
C
D
P
O
针对训练
4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，且 AB = 2，C，D 是同一半圆上的两点，并且 与 的度数分别是 96° 和 36°，动点 P 是 AB 上的任意一点，则 PC + PD 的最小值是 .
考点四 点或直线与圆的位置关系
例5 如图，已知∠MON = 30°，P 是 ON 上的一点，OP = 5 cm，若以 P 点为圆心，r 为半径画圆，使射线 OM 与⊙P 只有一个公共点，求 r 的值或取值范围.
解：当射线 OM 与⊙P 相切时，射线 OM
与 ⊙P 只有一个公共点.
过点 P 作 PA⊥OM 于 A，如图所示.
在 Rt△AOP 中，r = PA = OP·sin∠POA = 2.5 (cm).
当射线 OM 与⊙P 相交且点 O 在 ⊙P 内时，射线 OM 与⊙P 只有一个公共点. 如图 2 所示.
∵ 射线 OM 与 ⊙P 相交，∴ r＞2.5 cm. ···①
又∵ 点 O 在⊙P 内，∴ r＞OP，即 r＞5 cm. ···②
由①②可得 r＞5 cm.
综上所述，当射线 OM 与⊙P 只有
一个公共点时，
r = 2.5 cm 或 r＞5 cm.
图 2
此类题型中，常常容易混淆“直线与圆只有一个公共点”“线段与圆只有一个公共点”“射线与圆只有一个公共点”的说法. 实际上，当直线与圆只有一个公共点时，直线与圆一定相切；而线段或射线与圆只有一个公共点时，它们与圆的位置关系可能相切，也可能相交.
方法总结
5. 如图，直线 l：y = x + 1 与坐标轴交于 A，B 两点，点 M (m，0) 是 x 轴上一动点，以点 M 为圆心，2 个单位长度为半径作 ⊙M，当 ⊙M 与直线 l 相切时，m 的值为_______．
针对训练
例6 如图，以 △ABC 的边 AB 为直径的 ⊙O 交边 AC 于点 D，且过点 D 的切线 DE 平分边 BC. 问：BC 与 ⊙O 是否相切？
考点五 切线的性质与判定及切线长定理
解：BC 与⊙O 相切．理由：连接 OD，BD，如图. ∵DE 切 ⊙O 于 D，AB 为直径，∴∠EDO＝∠ADB＝90°. 又∵ DE 平分 CB，∴ DE＝
BC＝BE. ∴∠EDB＝∠EBD. 又∵∠ODB＝∠OBD，∠ODB＋∠EDB＝90°，∴∠OBD＋∠DBE＝90°，即∠ABC＝90°. ∴BC 与⊙O 相切.
6. 已知：如图，PA，PB 是 ⊙O 的切线，A，B 为切点，过 上的一点 C 作 ⊙O 的切线，交 PA 于 D，交 PB 于 E.
(1) 若∠P＝70°，求∠DOE 的度数；
针对训练
解：连接 OA，OB，OC．
∵ ⊙O 分别切 PA，PB，DE 于点 A，B，C，
∴ OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，BE＝CE．
∴ OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC.
∴∠DOE＝ ∠AOB.
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，
∴∠DOE＝55°.
(2) 若 PA＝4 cm，求△PDE 的周长．
解：由 (1) 知，AD＝CD，BE＝CE.
∴△PDE 的周长为 PD＋PE＋DE
＝PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8 (cm).
考点六 圆内接正多边形
例7 如图，在正方形 ABCD 内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知 AE = 6，EF = 8，FC = 10，求图中阴影部分的面积.
【解析】连接 AC，则 AC 是圆的直径. 易得 AE∥CF，若将 CF 平移到 AE 的延长线上，则点 C 恰好到达圆周上，则可得到圆的一个内接直角三角形，利用勾股定理即可求得 AC 的长，进而求得阴影部分的面积.
解：延长 AE 交圆于点 C'，连接 AC，CC'，如图所示.
∵ 四边形 ABCD 是圆的内接正方形，∴ AC 为圆的直径.
∴ AC' = AE + EC' = AE + FC = 16，CC' = EF = 8.
∴
∴ 正方形 ABCD 的边长 AB = AC·sin45°
= ，外接圆的半径为 ．
∴∠C′ = 90°，故四边形 EFCC' 是矩形.
C'
当图中出现圆的直径时，常常作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于 90°”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数创造条件.
方法总结
7. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 5 的⊙O，四边形 EFGH 是正方形．
(1) 求正方形 EFGH 的面积；
解：(1) ∵ 正六边形的边长与其半径相等，
∴ EF = OF = 5.
∵ 四边形 EFGH 是正方形，
∴ FG = EF = 5.
∴ 正方形 EFGH 的面积是 25.
针对训练
(2) 连接 OF、OG，求∠OGF 的度数．
解：∵正六边形的边长与其半径相等，
∴∠OFE = 60°.
∴正方形的内角是 90°.
∴∠OFG =∠OFE +∠EFG = 60° + 90° = 150°.
由 (1) 得 OF = FG，
∴∠OGF = （180° -∠OFG）
= ×(180° - 150°) = 15°.
考点七 弧长和扇形面积
例8（1）一条弧所对的圆心角为 135°，弧长等于半径为 5 cm 的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 cm；
（2）一个底面直径为 10 cm，母线长为 15 cm 的圆锥，它的侧面展开图圆心角是 度.
40
120
例9 如图是一纸杯，它的母线 AC 和 EF 延长后形成的立体图形是圆锥，该圆锥的侧面展开图形是扇形 AOB.经测量，纸杯上开口圆的直径为 6 cm，下底面直径为 4 cm，母线长 EF = 8 cm．
（1）求扇形 AOB 的圆心角；
解:（1）由题意知 AB = 6π，CD = 4π，设∠AOB = n°，AO = R cm，则CO = (R - 8) cm．
由弧长公式变形得：
即
解得 R = 24.
即扇形的圆心角∠AOB = 45°.
（2）求这个纸杯的表面积（计算结果保留 π）.
解：由（1）知 OA = 24 cm，则 CO = 24 - 8 = 16（cm）.
∴ S扇形COD = (cm2)，
S扇形AOB =
∴ S纸杯侧 = S扇形AOB - S扇形COD
= 72π - 32π = 40π (cm2)，
S纸杯底 = 4π.
∴ S纸杯表 = 40π + 4π = 44π (cm2).
答：这个纸杯的表面积为 44π cm2.
(1) 要熟记弧长公式，即 ；(2) 要熟记圆锥及其侧面展开图存在的对应数量关系，即底面圆的周长等于展开后扇形的弧长，母线长等展开后扇形的半径.
方法归纳
8.（1）一条弧所对的圆心角为 120°，弧长等于半径为 4 cm 的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 .
（2）一个底面半径为 4 cm，母线长为 12 cm 的圆锥，它的侧面展开图圆心角是 度.
（3）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的面积为______.
36 cm
120
针对训练
考点八 有关圆的综合性题目
例10 如图，在平面直角坐标系中，⊙P 经过 x 轴上一点 C，与 y 轴分别相交于 A，B 两点，连接 AP 并延长，分别交 ⊙P，x 轴于点 D，E；连接 DC 并延长，交 y 轴于点 F．若点 F (0，1)，点 D (6，-1).
（1）求证：CD = CF；
证明：如图，过点 D 作 DH⊥x 轴于点 H，则∠CHD =∠COF = 90°.
由 F (0，1)，D (6，-1)，得 DH = OF = 1.
H
又∵∠FCO =∠DCH，∴△FOC≌△DHC.
∴ CD = CF.
（2）判断 ⊙P 与 x 轴的位置关系，并说明理由；
解：⊙P 与 x 轴相切. 理由如下：
连接 PC，如图所示.
∵ AP = PD，CD = CF，∴ CP∥AF.
∴∠PCE =∠AOC = 90°，即 PC⊥x 轴.
∴⊙P 与 x 轴相切.
H
解：由（2）知 CP 是 △ADF 的中位线.
∴ AF = 2CP.
∵ AD = 2CP，∴ AD = AF.
连接 BD，如图所示.
∵ AD 为 ⊙P 的直径，∴∠ABD = 90°.
∴ BD = OH = 6，OB = DH = OF = 1.
设 AD = x，则 AB = AF－BF = AD－BF = AD－(OB + OF）= x－2.
（3）求直线 AD 的函数表达式.
H
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AD2 = AB2 + BD2，
即 x2 = (x－2)2 + 62，解得 x = 10.
∴ OA = AB + OB = 8 + 1 = 9. ∴ 点 A (0，-9).
设直线 AD 的函数表达式为 y = kx + b，
将点 A (0，-9)，D (6，-1) 代入，得
解得
∴ 直线 AD 的函数表达式为 .
H
圆
旋转
旋转对称及其性质
中心对称及其性质
旋转对称图形
中心对称图形
圆的基本性质
垂径定理
等圆心角
圆的确定
连半径，作弦心距，构造直角三角形
等弧
等弦
等弦心距
三角形的外接圆
圆周角
圆内接四边形的性质
作弦，构造直径所对的圆周角
与圆有关的位置关系
点与圆的位置关系
直线与圆的位置的关系
有公共点，连圆心，证垂直；无公共点，作垂直，证半径；见切点，连圆心，得垂直
与圆有关的计算
正多边形的计算
弧长与扇形面积的计算
切线的判定与性质
圆
旋转
圆的基本性质
圆周角
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！