26.1 二次函数 课件(共33张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 26.1 二次函数 课件(共33张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.5MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-18 22:21:41 | ||
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文档简介
(共33张PPT)
第 1 页：封面页
标题：24.2.2 垂径分弦（垂径定理）
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 定理推导 推论拓展 综合应用
配图：左侧为垂径定理核心图形（直径 CD⊥弦 AB 于 E，标注 AE=BE、⌒AC=⌒BC、⌒AD=⌒BD），右侧为实际应用场景（圆弧形桥拱，标注跨度、拱高）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧）及其推论（“知二推三”），明确定理的适用条件与结论之间的逻辑关系。
能力目标：能运用垂径定理解决 “求弦长、圆心距、半径” 等几何计算问题，通过定理证明培养逻辑推理能力，提升几何图形分析与辅助线构造能力。
素养目标：体会 “从图形对称性推导定理” 的数学思想，感受垂径定理在实际场景中的应用价值，培养严谨的数学思维与数形结合意识。
第 3 页：情境导入 圆的轴对称性与垂径现象
复习回顾：
圆是轴对称图形，其对称轴是什么？（任意一条经过圆心的直线，即直径所在的直线）
生活情境（配图 + 动手操作）：
对折圆形纸片：将圆形纸片沿直径 CD 对折，观察直径两侧的部分完全重合，若圆上有一条弦 AB 与 CD 垂直交于 E，对折后 A 与 B、⌒AC 与⌒BC、⌒AD 与⌒BD 均重合；
桥拱问题：圆弧形桥拱的跨度（弦长）为 16m，拱高（圆心到弦的距离与半径的差值）为 4m，如何计算桥拱的半径？
思考提问：
垂直于弦的直径，除了是圆的对称轴，还能对弦和弧产生什么影响？
若已知直径垂直于弦，能否推出 “直径平分弦”“直径平分弧”？反之，若已知直径平分弦，能否推出 “直径垂直于弦”？
第 4 页：核心模块 1 垂径定理的推导与证明
1. 定理探究（基于圆的轴对称性）
操作步骤：
画⊙O，任取一条弦 AB（非直径），作直径 CD⊥AB 于点 E；
沿直径 CD 对折⊙O，观察弦 AB 与弧 AC、AD 的重合情况：
弦 AB 被点 E 平分（AE=BE）；
弧 AC 与弧 BC 重合（⌒AC=⌒BC）；
弧 AD 与弧 BD 重合（⌒AD=⌒BD）。
2. 垂径定理内容
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言（结合图示：⊙O 中，CD 为直径，AB 为弦，CD⊥AB 于 E）：
∵ CD 是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE（平分弦），
⌒AC=⌒BC（平分弦所对的劣弧），
⌒AD=⌒BD（平分弦所对的优弧）。
3. 定理证明（逻辑推理，非折叠验证）
已知：如图，⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB 于 E。
求证：AE=BE，⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。
证明：
连接 OA、OB（半径），∵ OA=OB（同圆半径相等），∴ △OAB 是等腰三角形；
又∵ CD⊥AB，根据 “等腰三角形三线合一”，∴ AE=BE（等腰三角形底边上的高平分底边）；
在⊙O 中，∵ OA=OB，OE=OE，AE=BE，∴ △OAE≌△OBE（SSS）；
∴ ∠AOE=∠BOE，故⌒AC=⌒BC（等圆心角对等弧）；
∵ ∠AOD=180°-∠AOE，∠BOD=180°-∠BOE，∴ ∠AOD=∠BOD，故⌒AD=⌒BD。
4. 关键提醒
定理中的 “直径” 可推广为 “过圆心的直线”（直径是过圆心的特殊直线）；
若弦为 “直径”，过圆心的直线垂直于直径时，虽满足 “平分直径”，但无特殊意义（任意直径互相平分），故定理常针对 “非直径的弦” 讨论。
第 5 页：核心模块 2 垂径定理的推论（知二推三）
1. 推论本质
垂径定理的核心是 “圆的轴对称性”，对于一个圆和一条直线，若直线满足以下五个条件中的任意两个，则必满足其余三个（简称 “知二推三”）：
① 过圆心（直线经过圆心）；
② 垂直于弦（直线与弦垂直）；
③ 平分弦（直线平分弦，弦非直径）；
④ 平分弦所对的劣弧（直线平分弦对应的劣弧）；
⑤ 平分弦所对的优弧（直线平分弦对应的优弧）。
2. 常见推论组合示例
已知条件
推导结论
应用场景
① 过圆心 + ③ 平分弦（非直径）
② 垂直于弦 + ④ 平分劣弧 + ⑤ 平分优弧
已知直径平分弦，证直径垂直于弦
② 垂直于弦 + ④ 平分劣弧
① 过圆心 + ③ 平分弦 + ⑤ 平分优弧
已知直线垂直于弦且平分劣弧，证直线过圆心
① 过圆心 + ④ 平分劣弧
② 垂直于弦 + ③ 平分弦 + ⑤ 平分优弧
已知直径平分劣弧，证直径垂直且平分弦
3. 易错提醒
若 “已知条件包含平分弦（③）”，需强调 “弦非直径”，否则结论不成立（如两条相交的直径，互相平分但不一定垂直）；
若弦为直径，仅 “过圆心（①）+ 平分弦（③）” 不能推出 “垂直于弦（②）”，需结合其他条件（如平分弧）。
第 6 页：典例精讲 垂径定理的基础应用（计算类）
例题 1：求弦长
已知⊙O 的半径 R=5cm，圆心 O 到弦 AB 的距离（即 OE）为 3cm，求弦 AB 的长。
解答步骤：
过 O 作 OE⊥AB 于 E，由垂径定理得 AE=BE（E 为 AB 中点）；
在 Rt△OAE 中，OA=R=5cm，OE=3cm（圆心距）；
由勾股定理得：AE=√(OA - OE )=√(5 - 3 )=4cm；
故 AB=2×AE=8cm。
方法总结：“连半径，作垂线，构直角三角形” 是垂径定理计算的核心辅助线策略，利用 “半径 = 圆心距 + 半弦长 ” 的勾股定理关系求解。
例题 2：求半径
如图，⊙O 中，弦 CD 的长为 8cm，圆心 O 到 CD 的距离（OE）为 3cm，求⊙O 的半径 R。
解答步骤：
过 O 作 OE⊥CD 于 E，由垂径定理得 CE=CD/2=4cm；
在 Rt△OCE 中，OE=3cm，CE=4cm；
由勾股定理得：OC=√(OE + CE )=√(3 + 4 )=5cm；
故⊙O 的半径 R=5cm。
第 7 页：典例精讲 垂径定理的实际应用（桥拱问题）
例题 3：圆弧形桥拱半径计算
某圆弧形石拱桥的跨度（弦 AB 的长）为 16m，拱高（从弦 AB 到拱顶 C 的距离，即 DE）为 4m，求桥拱所在圆的半径 R。
建模分析：
设桥拱所在圆的圆心为 O，半径为 R，弦 AB 的中点为 D，连接 OD、OA（OD 垂直于 AB，由垂径定理）；
跨度 AB=16m→AD=8m；拱高 DE=4m→OD=R - 4（OE=R，DE=OE - OD=4）。
解答步骤：
在 Rt△OAD 中，OA=R，AD=8m，OD=R - 4；
由勾股定理得：OA =AD + OD →R =8 + (R - 4) ；
展开方程：R =64 + R - 8R + 16→8R=80→R=10m；
故桥拱所在圆的半径为 10m。
关键：将实际问题转化为 “圆的弦长、圆心距与半径” 的几何模型，明确 “拱高” 与 “半径、圆心距” 的关系（拱高 = 半径 - 圆心距，或圆心距 = 半径 - 拱高）。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
忽略 “弦非直径” 的条件：应用 “平分弦的直径垂直于弦” 时，未排除 “弦为直径” 的情况，导致推理错误；
辅助线添加错误：计算时未作 “圆心到弦的垂线”，无法构造直角三角形，导致无法使用勾股定理；
实际场景建模偏差：如桥拱问题中，误将 “拱高” 直接当作 “圆心距”，或混淆 “跨度（弦长）” 与 “直径” 的关系。
避坑技巧：
应用推论时，若涉及 “平分弦”，先判断弦是否为直径，若未明确，需补充说明 “弦非直径”；
遇到 “弦长、半径、圆心距” 相关计算，优先作 “过圆心垂直于弦的垂线”，形成 “半径（R）、半弦长（a/2）、圆心距（d）” 的直角三角形，牢记公式 R =(a/2) + d ；
实际问题中，先画出圆的示意图，标注已知条件（如弦长、拱高），明确各线段间的数量关系（如拱高 = R - d）后再列方程。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）在⊙O 中，直径为 10cm，弦 AB 的长为 8cm，则圆心 O 到 AB 的距离为______cm。（答案：3）
（2）已知⊙O 中，弦 CD 垂直于直径 AB，垂足为 E，若 CE=3cm，则 CD=______cm。（答案：6）
中档题：
如图，⊙O 的弦 AB 与 CD 相交于点 E，且 AB⊥CD，AE=2，EB=6，CE=3，求 CD 的长。（提示：过 O 作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，利用垂径定理与矩形性质，答案：8）
提升题：
某圆形蓄水池的横截面是圆弧形，水面宽度 AB 为 24m，水面到池顶的距离为 8m，求蓄水池的半径。（答案：13m，提示：圆心距 d=R - 8，半弦长 = 12m，由 R =12 + (R - 8) 求解）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
垂径定理核心：“垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧”，本质是圆的轴对称性的体现；
推论关键：“知二推三”，但需注意 “弦非直径” 的限制条件，避免结论失效；
应用方法：计算时通过 “连半径、作垂线” 构造直角三角形，利用勾股定理 R =(a/2) + d 建立关系；实际问题需先建模，明确各量对应关系。
作业：
基础作业：教材习题 24.2 第 4、5、6 题（垂径定理计算与证明）；
拓展作业：如图，在⊙O 中，AB 是弦，半径 OC⊥AB 于 D，若 AB=8，OD=3，求 CD 的长（提示：先求 OC=R，再算 CD=OC - OD，答案：2）；
实践作业：观察生活中的圆弧形物体（如拱门、自行车轮钢圈），测量其跨度与拱高（或对应尺寸），用垂径定理估算其半径。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.1 二次函数
第26章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 什么叫函数
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
3. 一元二次方程的一般形式是什么？
形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫做一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx 就叫做正比例函数.
2. 什么是一次函数？正比例函数？
ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ).
问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于 x 的关系式为 .
y = 6x2
此式表示了正方体表面积 y 与正方体棱长 x 之间的关系，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数.
探究归纳
二次函数的定义
问题2 用总长为 20 m 的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？
如图，设围成的矩形花圃为 ABCD，靠墙的一边为 AD，垂直于墙面的两边分别为AB 和 CD.设 AB 长为 x m (0＜x＜10)，先取 x 的一些值，进而可以求出 BC 边的长，从而可得矩形的面积 y m2.
将计算结果写在下表的空格中：
A D
B C
我们发现，当 AB 的长 x 确定后，矩形的面积 y也就随之确定，即 y 是 x 的函数，试写出这个函数的关系式.
（0＜x＜10）
即
（0＜x＜10）
AB长 x (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC长 12
面积y(m2) 48
18
16
14
10
8
6
4
2
18
32
42
50
48
42
32
18
问题3 某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10元出售，一天可售出 100 件.该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，每天的销售量可增加 10 件.将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大
分析：销售利润 = (售价-进价)×销售量.
根据题意，得
想一想，为什么要限定
？
问题 1-3 中函数关系式有什么共同点
函数都是用
自变量的二次式表示的
y = 6x2
想一想
（0＜x＜10）
二次函数的定义：
形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数叫做二次函数.
温馨提示：
(1) 等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式；
(2) a，b，c 为常数，且 a ≠ 0；
(3) 等式右边的自变量最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
归纳总结
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x 是自变量)
① y = ax2 + bx + c； ② y = 3 - 2x ； ③ y = x2；
④ ； ⑤ y = x + x + 25； ⑥ y = (x+3) - x .
不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件.
不是，右边是分式.
不是，x 的最高次数是 3.
典例精析
y = 6x + 9
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断. 另外，二次函数除了有一般形式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 外，还有其特殊形式，如 y = ax2，y = ax2 + bx，y = ax2 + c 等.
方法归纳
解：
（1）由题意知
解得
（2）由题意知
解得 m = 3.
第 (2) 问易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = ±3 的错误答案，需要引起重视.
注意
例2
(1) 当 m 取何值时，此函数是
正比例函数？(2) 当 m 取何值时，此函数是二次函数？
二次函数定义的应用
1. 已知 ，k 取何值时，y 是 x 的二次函数？
解：当 | k | = 2 且 k - 2 ≠ 0，即 k = -2 时，y 是 x 的二次函数.
变式训练
解：
由题意得
所以 m ≠ ±3.
解：
由题意得
【解题小结】本题考查二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
例3 已知二次函数 (k 为常数).
（1）求 k 的值；
（2）当 x = 0.5 时，y 的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得 k = 2.
将 x = 0.5 代入函数关系式，得
（2）当 k = 2 时，
二次函数的值
此类型题目考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为 0 及自变量最高次数为 2 这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数关系式，再将 x 的值代入其中，求出对应的 y 的值.
归纳总结
2. 函数 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函数的条件是( )
A. m，n 是常数，且 m ≠ 0 B. m，n 是常数，且 n ≠ 0
C. m，n 是常数，且 m ≠ n D. m，n 为任何实数
C
1. 把二次函数 y = (2 - 3x)(6 + x) 化为一般式，二次项为_____，一次项系数为_____，常数项为 .
-3x2
-16
12
4. 已知函数 y = 3x2m-1－5.
① 当 m =＿＿时，y 是 x 的一次函数；
② 当 m =＿＿时，y 是 x 的二次函数.
1
3．下列函数是二次函数的是 ( )
A．y = 2x＋1 B．
C．y = 3x2＋1 D．
C
5. 若函数 是二次函数，求：
（1）a 的值；
（2）函数关系式；
（3）当 x = -2 时，y 的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得 a = -1.
（2）函数关系式为
（3）将 x = -2 代入函数关系式中，得
6.（1） n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
（2）假设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是 10 (万元)，那么请你写出两年后的本息和 y (万元)的表达式(不考虑利息税).
y = 10(x + 1) = 10x + 20x + 10.
7. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2. 求：
（1）y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（2）当 x = 3 时矩形的面积.
解：(1) y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8).
(2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15，
即矩形的面积为 15 cm2.
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A
2．下列二次函数中，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，－1，0的是( )
A．y＝(x－2)(x＋1)
B．y＝(x－1)2－2x2－1
C．y＝(x＋2)(x－3)＋6
D．y＝(2x－1)2－3(x2－x)
C
返回
返回
C
3．[2024福州期末]某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金y(万元)关于x的函数关系式为( )
A．y＝9(1＋x)3
B．y＝9＋9x＋x2
C．y＝9＋9(1＋x)＋9(1＋x)2
D．y＝9(1＋x)2
4. 已知关于x的二次函数y＝(m－3)x2－x＋5，写一个符合条件的m的值：______________.
0(答案不唯一)
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5. [教材P4习题T3]已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0；当x＝3时，y＝0；则b＝________，c＝________.
－2
－1
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6．如图，长方体的底面是边长为x的正方形，高为6，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S＝________，长方体的体积V＝________，
各棱长的和L＝________，在上面的三个函
数中，________是关于x的二次函数．
24x
6x2
8x＋24
V
7．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(m－2)·xm2－2＋x－1.
(1)当m为何值时，x，y之间是二次函数关系？
【解】根据题意，得m－2≠0且m2－2＝2，
所以m＝－2.
即当m＝－2时，x，y之间是二次函数关系．
(2)当m为何值时，x，y之间是一次函数关系？
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8．[2024西安月考]下列每组变量之间的关系为二次函数的是( )
A．正方形周长y与边长x的关系
B．菱形面积S一定，两条对角线的长a与b的关系
C．速度v一定时，路程s与时间t的关系
D．等边三角形的面积S与边长x的关系
返回
D
二次函数
定 义
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
一般形式
形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数叫做二次函数
特殊形式
y = ax2；
y = ax2 + bx；
y = ax2 + c
(a ≠ 0，a，b，c 是常数)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面页
标题：24.2.2 垂径分弦（垂径定理）
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 定理推导 推论拓展 综合应用
配图：左侧为垂径定理核心图形（直径 CD⊥弦 AB 于 E，标注 AE=BE、⌒AC=⌒BC、⌒AD=⌒BD），右侧为实际应用场景（圆弧形桥拱，标注跨度、拱高）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识目标：理解圆的轴对称性，掌握垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的两条弧）及其推论（“知二推三”），明确定理的适用条件与结论之间的逻辑关系。
能力目标：能运用垂径定理解决 “求弦长、圆心距、半径” 等几何计算问题，通过定理证明培养逻辑推理能力，提升几何图形分析与辅助线构造能力。
素养目标：体会 “从图形对称性推导定理” 的数学思想，感受垂径定理在实际场景中的应用价值，培养严谨的数学思维与数形结合意识。
第 3 页：情境导入 圆的轴对称性与垂径现象
复习回顾：
圆是轴对称图形，其对称轴是什么？（任意一条经过圆心的直线，即直径所在的直线）
生活情境（配图 + 动手操作）：
对折圆形纸片：将圆形纸片沿直径 CD 对折，观察直径两侧的部分完全重合，若圆上有一条弦 AB 与 CD 垂直交于 E，对折后 A 与 B、⌒AC 与⌒BC、⌒AD 与⌒BD 均重合；
桥拱问题：圆弧形桥拱的跨度（弦长）为 16m，拱高（圆心到弦的距离与半径的差值）为 4m，如何计算桥拱的半径？
思考提问：
垂直于弦的直径，除了是圆的对称轴，还能对弦和弧产生什么影响？
若已知直径垂直于弦，能否推出 “直径平分弦”“直径平分弧”？反之，若已知直径平分弦，能否推出 “直径垂直于弦”？
第 4 页：核心模块 1 垂径定理的推导与证明
1. 定理探究（基于圆的轴对称性）
操作步骤：
画⊙O，任取一条弦 AB（非直径），作直径 CD⊥AB 于点 E；
沿直径 CD 对折⊙O，观察弦 AB 与弧 AC、AD 的重合情况：
弦 AB 被点 E 平分（AE=BE）；
弧 AC 与弧 BC 重合（⌒AC=⌒BC）；
弧 AD 与弧 BD 重合（⌒AD=⌒BD）。
2. 垂径定理内容
垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
符号语言（结合图示：⊙O 中，CD 为直径，AB 为弦，CD⊥AB 于 E）：
∵ CD 是直径，CD⊥AB，
∴ AE=BE（平分弦），
⌒AC=⌒BC（平分弦所对的劣弧），
⌒AD=⌒BD（平分弦所对的优弧）。
3. 定理证明（逻辑推理，非折叠验证）
已知：如图，⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD⊥AB 于 E。
求证：AE=BE，⌒AC=⌒BC，⌒AD=⌒BD。
证明：
连接 OA、OB（半径），∵ OA=OB（同圆半径相等），∴ △OAB 是等腰三角形；
又∵ CD⊥AB，根据 “等腰三角形三线合一”，∴ AE=BE（等腰三角形底边上的高平分底边）；
在⊙O 中，∵ OA=OB，OE=OE，AE=BE，∴ △OAE≌△OBE（SSS）；
∴ ∠AOE=∠BOE，故⌒AC=⌒BC（等圆心角对等弧）；
∵ ∠AOD=180°-∠AOE，∠BOD=180°-∠BOE，∴ ∠AOD=∠BOD，故⌒AD=⌒BD。
4. 关键提醒
定理中的 “直径” 可推广为 “过圆心的直线”（直径是过圆心的特殊直线）；
若弦为 “直径”，过圆心的直线垂直于直径时，虽满足 “平分直径”，但无特殊意义（任意直径互相平分），故定理常针对 “非直径的弦” 讨论。
第 5 页：核心模块 2 垂径定理的推论（知二推三）
1. 推论本质
垂径定理的核心是 “圆的轴对称性”，对于一个圆和一条直线，若直线满足以下五个条件中的任意两个，则必满足其余三个（简称 “知二推三”）：
① 过圆心（直线经过圆心）；
② 垂直于弦（直线与弦垂直）；
③ 平分弦（直线平分弦，弦非直径）；
④ 平分弦所对的劣弧（直线平分弦对应的劣弧）；
⑤ 平分弦所对的优弧（直线平分弦对应的优弧）。
2. 常见推论组合示例
已知条件
推导结论
应用场景
① 过圆心 + ③ 平分弦（非直径）
② 垂直于弦 + ④ 平分劣弧 + ⑤ 平分优弧
已知直径平分弦，证直径垂直于弦
② 垂直于弦 + ④ 平分劣弧
① 过圆心 + ③ 平分弦 + ⑤ 平分优弧
已知直线垂直于弦且平分劣弧，证直线过圆心
① 过圆心 + ④ 平分劣弧
② 垂直于弦 + ③ 平分弦 + ⑤ 平分优弧
已知直径平分劣弧，证直径垂直且平分弦
3. 易错提醒
若 “已知条件包含平分弦（③）”，需强调 “弦非直径”，否则结论不成立（如两条相交的直径，互相平分但不一定垂直）；
若弦为直径，仅 “过圆心（①）+ 平分弦（③）” 不能推出 “垂直于弦（②）”，需结合其他条件（如平分弧）。
第 6 页：典例精讲 垂径定理的基础应用（计算类）
例题 1：求弦长
已知⊙O 的半径 R=5cm，圆心 O 到弦 AB 的距离（即 OE）为 3cm，求弦 AB 的长。
解答步骤：
过 O 作 OE⊥AB 于 E，由垂径定理得 AE=BE（E 为 AB 中点）；
在 Rt△OAE 中，OA=R=5cm，OE=3cm（圆心距）；
由勾股定理得：AE=√(OA - OE )=√(5 - 3 )=4cm；
故 AB=2×AE=8cm。
方法总结：“连半径，作垂线，构直角三角形” 是垂径定理计算的核心辅助线策略，利用 “半径 = 圆心距 + 半弦长 ” 的勾股定理关系求解。
例题 2：求半径
如图，⊙O 中，弦 CD 的长为 8cm，圆心 O 到 CD 的距离（OE）为 3cm，求⊙O 的半径 R。
解答步骤：
过 O 作 OE⊥CD 于 E，由垂径定理得 CE=CD/2=4cm；
在 Rt△OCE 中，OE=3cm，CE=4cm；
由勾股定理得：OC=√(OE + CE )=√(3 + 4 )=5cm；
故⊙O 的半径 R=5cm。
第 7 页：典例精讲 垂径定理的实际应用（桥拱问题）
例题 3：圆弧形桥拱半径计算
某圆弧形石拱桥的跨度（弦 AB 的长）为 16m，拱高（从弦 AB 到拱顶 C 的距离，即 DE）为 4m，求桥拱所在圆的半径 R。
建模分析：
设桥拱所在圆的圆心为 O，半径为 R，弦 AB 的中点为 D，连接 OD、OA（OD 垂直于 AB，由垂径定理）；
跨度 AB=16m→AD=8m；拱高 DE=4m→OD=R - 4（OE=R，DE=OE - OD=4）。
解答步骤：
在 Rt△OAD 中，OA=R，AD=8m，OD=R - 4；
由勾股定理得：OA =AD + OD →R =8 + (R - 4) ；
展开方程：R =64 + R - 8R + 16→8R=80→R=10m；
故桥拱所在圆的半径为 10m。
关键：将实际问题转化为 “圆的弦长、圆心距与半径” 的几何模型，明确 “拱高” 与 “半径、圆心距” 的关系（拱高 = 半径 - 圆心距，或圆心距 = 半径 - 拱高）。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
忽略 “弦非直径” 的条件：应用 “平分弦的直径垂直于弦” 时，未排除 “弦为直径” 的情况，导致推理错误；
辅助线添加错误：计算时未作 “圆心到弦的垂线”，无法构造直角三角形，导致无法使用勾股定理；
实际场景建模偏差：如桥拱问题中，误将 “拱高” 直接当作 “圆心距”，或混淆 “跨度（弦长）” 与 “直径” 的关系。
避坑技巧：
应用推论时，若涉及 “平分弦”，先判断弦是否为直径，若未明确，需补充说明 “弦非直径”；
遇到 “弦长、半径、圆心距” 相关计算，优先作 “过圆心垂直于弦的垂线”，形成 “半径（R）、半弦长（a/2）、圆心距（d）” 的直角三角形，牢记公式 R =(a/2) + d ；
实际问题中，先画出圆的示意图，标注已知条件（如弦长、拱高），明确各线段间的数量关系（如拱高 = R - d）后再列方程。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）在⊙O 中，直径为 10cm，弦 AB 的长为 8cm，则圆心 O 到 AB 的距离为______cm。（答案：3）
（2）已知⊙O 中，弦 CD 垂直于直径 AB，垂足为 E，若 CE=3cm，则 CD=______cm。（答案：6）
中档题：
如图，⊙O 的弦 AB 与 CD 相交于点 E，且 AB⊥CD，AE=2，EB=6，CE=3，求 CD 的长。（提示：过 O 作 OM⊥AB 于 M，ON⊥CD 于 N，利用垂径定理与矩形性质，答案：8）
提升题：
某圆形蓄水池的横截面是圆弧形，水面宽度 AB 为 24m，水面到池顶的距离为 8m，求蓄水池的半径。（答案：13m，提示：圆心距 d=R - 8，半弦长 = 12m，由 R =12 + (R - 8) 求解）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
垂径定理核心：“垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧”，本质是圆的轴对称性的体现；
推论关键：“知二推三”，但需注意 “弦非直径” 的限制条件，避免结论失效；
应用方法：计算时通过 “连半径、作垂线” 构造直角三角形，利用勾股定理 R =(a/2) + d 建立关系；实际问题需先建模，明确各量对应关系。
作业：
基础作业：教材习题 24.2 第 4、5、6 题（垂径定理计算与证明）；
拓展作业：如图，在⊙O 中，AB 是弦，半径 OC⊥AB 于 D，若 AB=8，OD=3，求 CD 的长（提示：先求 OC=R，再算 CD=OC - OD，答案：2）；
实践作业：观察生活中的圆弧形物体（如拱门、自行车轮钢圈），测量其跨度与拱高（或对应尺寸），用垂径定理估算其半径。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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26.1 二次函数
第26章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 什么叫函数
一般地，在一个变化的过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
3. 一元二次方程的一般形式是什么？
形如 y = kx + b (k，b 是常数，k ≠ 0) 的函数叫做一次函数. 当 b = 0 时，一次函数 y = kx 就叫做正比例函数.
2. 什么是一次函数？正比例函数？
ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 ).
问题1 正方体六个面是全等的正方形，设正方体的棱长为 x，表面积为 y，则 y 关于 x 的关系式为 .
y = 6x2
此式表示了正方体表面积 y 与正方体棱长 x 之间的关系，对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数.
探究归纳
二次函数的定义
问题2 用总长为 20 m 的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花圃的面积最大？
如图，设围成的矩形花圃为 ABCD，靠墙的一边为 AD，垂直于墙面的两边分别为AB 和 CD.设 AB 长为 x m (0＜x＜10)，先取 x 的一些值，进而可以求出 BC 边的长，从而可得矩形的面积 y m2.
将计算结果写在下表的空格中：
A D
B C
我们发现，当 AB 的长 x 确定后，矩形的面积 y也就随之确定，即 y 是 x 的函数，试写出这个函数的关系式.
（0＜x＜10）
即
（0＜x＜10）
AB长 x (m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC长 12
面积y(m2) 48
18
16
14
10
8
6
4
2
18
32
42
50
48
42
32
18
问题3 某商店将每件进价为 8 元的某种商品按每件 10元出售，一天可售出 100 件.该店想通过降低售价，增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降低 0.1 元，每天的销售量可增加 10 件.将这种商品的售价降低多少时，其每天的销售利润最大
分析：销售利润 = (售价-进价)×销售量.
根据题意，得
想一想，为什么要限定
？
问题 1-3 中函数关系式有什么共同点
函数都是用
自变量的二次式表示的
y = 6x2
想一想
（0＜x＜10）
二次函数的定义：
形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数叫做二次函数.
温馨提示：
(1) 等号左边是变量 y，右边是关于自变量 x 的整式；
(2) a，b，c 为常数，且 a ≠ 0；
(3) 等式右边的自变量最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项.
归纳总结
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？(x 是自变量)
① y = ax2 + bx + c； ② y = 3 - 2x ； ③ y = x2；
④ ； ⑤ y = x + x + 25； ⑥ y = (x+3) - x .
不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件.
不是，右边是分式.
不是，x 的最高次数是 3.
典例精析
y = 6x + 9
判断一个函数是不是二次函数，先看原函数和整理化简后的形式再作判断. 另外，二次函数除了有一般形式 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 外，还有其特殊形式，如 y = ax2，y = ax2 + bx，y = ax2 + c 等.
方法归纳
解：
（1）由题意知
解得
（2）由题意知
解得 m = 3.
第 (2) 问易忽略二次项系数不为 0 这一限制条件，从而得出 m = ±3 的错误答案，需要引起重视.
注意
例2
(1) 当 m 取何值时，此函数是
正比例函数？(2) 当 m 取何值时，此函数是二次函数？
二次函数定义的应用
1. 已知 ，k 取何值时，y 是 x 的二次函数？
解：当 | k | = 2 且 k - 2 ≠ 0，即 k = -2 时，y 是 x 的二次函数.
变式训练
解：
由题意得
所以 m ≠ ±3.
解：
由题意得
【解题小结】本题考查二次函数的概念，这类题需紧扣概念的特征进行解题.
例3 已知二次函数 (k 为常数).
（1）求 k 的值；
（2）当 x = 0.5 时，y 的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得 k = 2.
将 x = 0.5 代入函数关系式，得
（2）当 k = 2 时，
二次函数的值
此类型题目考查二次函数的概念，要抓住二次项系数不为 0 及自变量最高次数为 2 这两个关键条件，求出字母参数的值，得到函数关系式，再将 x 的值代入其中，求出对应的 y 的值.
归纳总结
2. 函数 y = (m - n)x2 + mx + n 是二次函数的条件是( )
A. m，n 是常数，且 m ≠ 0 B. m，n 是常数，且 n ≠ 0
C. m，n 是常数，且 m ≠ n D. m，n 为任何实数
C
1. 把二次函数 y = (2 - 3x)(6 + x) 化为一般式，二次项为_____，一次项系数为_____，常数项为 .
-3x2
-16
12
4. 已知函数 y = 3x2m-1－5.
① 当 m =＿＿时，y 是 x 的一次函数；
② 当 m =＿＿时，y 是 x 的二次函数.
1
3．下列函数是二次函数的是 ( )
A．y = 2x＋1 B．
C．y = 3x2＋1 D．
C
5. 若函数 是二次函数，求：
（1）a 的值；
（2）函数关系式；
（3）当 x = -2 时，y 的值是多少？
解：
（1）由题意，得
解得 a = -1.
（2）函数关系式为
（3）将 x = -2 代入函数关系式中，得
6.（1） n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛，比赛的场次数 m 与球队数 n 有什么关系？
（2）假设人民币一年定期储蓄的年利率是 x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是 10 (万元)，那么请你写出两年后的本息和 y (万元)的表达式(不考虑利息税).
y = 10(x + 1) = 10x + 20x + 10.
7. 矩形的周长为 16 cm，它的一边长为 x cm，面积为 y cm2. 求：
（1）y 与 x 之间的函数关系式及自变量 x 的取值范围；
（2）当 x = 3 时矩形的面积.
解：(1) y＝(8－x)x＝－x2＋8x (0＜x＜8).
(2) 当 x＝3 时，y＝－32＋8×3＝15，
即矩形的面积为 15 cm2.
返回
A
2．下列二次函数中，二次项系数、一次项系数和常数项分别是1，－1，0的是( )
A．y＝(x－2)(x＋1)
B．y＝(x－1)2－2x2－1
C．y＝(x＋2)(x－3)＋6
D．y＝(2x－1)2－3(x2－x)
C
返回
返回
C
3．[2024福州期末]某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年第一季度新产品的研发资金y(万元)关于x的函数关系式为( )
A．y＝9(1＋x)3
B．y＝9＋9x＋x2
C．y＝9＋9(1＋x)＋9(1＋x)2
D．y＝9(1＋x)2
4. 已知关于x的二次函数y＝(m－3)x2－x＋5，写一个符合条件的m的值：______________.
0(答案不唯一)
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5. [教材P4习题T3]已知二次函数y＝x2＋bx＋c，当x＝－1时，y＝0；当x＝3时，y＝0；则b＝________，c＝________.
－2
－1
返回
返回
6．如图，长方体的底面是边长为x的正方形，高为6，请你用含x的代数式表示这个长方体的侧面展开图的面积S＝________，长方体的体积V＝________，
各棱长的和L＝________，在上面的三个函
数中，________是关于x的二次函数．
24x
6x2
8x＋24
V
7．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(m－2)·xm2－2＋x－1.
(1)当m为何值时，x，y之间是二次函数关系？
【解】根据题意，得m－2≠0且m2－2＝2，
所以m＝－2.
即当m＝－2时，x，y之间是二次函数关系．
(2)当m为何值时，x，y之间是一次函数关系？
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8．[2024西安月考]下列每组变量之间的关系为二次函数的是( )
A．正方形周长y与边长x的关系
B．菱形面积S一定，两条对角线的长a与b的关系
C．速度v一定时，路程s与时间t的关系
D．等边三角形的面积S与边长x的关系
返回
D
二次函数
定 义
y = ax2 + bx + c (a ≠ 0)
一般形式
形如 y = ax + bx + c (a，b，c 是常数，且 a ≠ 0) 的函数叫做二次函数
特殊形式
y = ax2；
y = ax2 + bx；
y = ax2 + c
(a ≠ 0，a，b，c 是常数)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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