26.2.1 二次函数y＝ax^2的图象和性质 课件(共47张PPT)-2025-2026学年华东师大版）数学九年级下册

(共47张PPT)
第 1 页：封面页
标题：26.2.1 二次函数\(y ax \)的图象和性质
副标题：人教版初中数学九年级上册 | 图像绘制 性质分析 系数影响
配图：左侧为 “\(y=x \)与\(y=-x \)的图像对比图（标注顶点、开口方向）”，右侧为 “不同\(a\)值的\(y=ax \)图像叠加示意图”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标与知识衔接
1. 前置回顾（26.1 核心关联点）
二次函数定义：形如\(y=ax +bx+c\)（\(a 0\)）的函数，\(y=ax \)是\(b=0\)、\(c=0\)时的最简形式；
实践铺垫：上节课作业中 “用描点法画\(y=x \)图像”，已初步感知其 “抛物线” 形状。
2. 本课时学习目标
知识目标：掌握用描点法绘制\(y=ax \)的图像，理解其 “抛物线” 特征，明确开口方向、对称轴、顶点坐标等核心性质，掌握系数\(a\)对图像形状与位置的影响。
能力目标：能通过图像直接分析\(y=ax \)的性质，对比不同\(a\)值的图像差异，提升 “数形结合” 的分析能力。
素养目标：体会 “系数决定图像特征” 的数学规律，培养从特殊到一般的归纳思维，理解函数图像是性质的直观体现。
第 3 页：情境导入 从 “具体图像” 到 “性质探究”
回顾实践作业（展示学生绘制的\(y=x \)图像）：
学生描点数据：当\(x=-3,-2,-1,0,1,2,3\)时，\(y=9,4,1,0,1,4,9\)；
图像特征观察：这些点连接后形成 “开口向上的曲线”，且关于\(y\)轴对称，最低点在原点\((0,0)\)。
思考提问：
若将函数改为\(y=2x \)或\(y=-x \)，图像会发生什么变化？（开口方向、宽窄是否改变）
系数\(a\)的符号和绝对值，分别对\(y=ax \)的图像产生什么影响？（引出核心探究问题）
第 4 页：核心模块 1 用描点法绘制\(y=ax \)的图像（以\(y=x \)为例）
1. 绘制步骤（配分步示意图）
列表：选取自变量\(x\)的取值（兼顾正负，以 0 为中心对称选取，便于观察对称性）：
\(x\)
-3
-2
-1
0
1
2
3
\(y=x \)
9
4
1
0
1
4
9
描点：在平面直角坐标系中，根据表格数据确定点的坐标\((-3,9)\)、\((-2,4)\)、…、\((3,9)\)，并用实心点标注；
连线：用平滑的曲线（而非直线）依次连接所有点，注意曲线在顶点\((0,0)\)处的 “转折” 要平滑，向两端无限延伸。
2. 图像名称与形状特征
名称：二次函数的图像叫做抛物线，\(y=x \)的图像是最基本的抛物线；
关键特征：
有一个 “最低点”（顶点）；
关于\(y\)轴对称；
开口向上，向左右两端无限延伸，且离\(y\)轴越远，函数值增长越快。
第 5 页：核心模块 2 \(y=ax \)的核心性质（分\(a>0\)与\(a<0\)两类）
1. 当\(a>0\)时（以\(y=x \)、\(y=2x \)为例）
性质类别
具体表现
示例验证（\(y=x \)）
开口方向
开口向上
图像从顶点\((0,0)\)向上延伸
对称轴
对称轴为 **\(y\)轴 **（直线\(x=0\)）
取\(x=1\)与\(x=-1\)，函数值均为 1，关于\(y\)轴对称
顶点坐标
顶点为抛物线的最低点，坐标为\((0,0)\)
当\(x=0\)时，\(y=0\)，是所有函数值中的最小值
函数值变化
当\(x<0\)时（对称轴左侧），\(y\)随\(x\)的增大而减小；当\(x>0\)时（对称轴右侧），\(y\)随\(x\)的增大而增大
\(x=-2\)到\(x=0\)，\(y\)从 4 减到 0；\(x=0\)到\(x=2\)，\(y\)从 0 增到 4
最值
当\(x=0\)时，\(y\)有最小值，最小值为 0
所有\(y\)值均≥0，最小值为 0
2. 当\(a<0\)时（以\(y=-x \)、\(y=-2x \)为例）
性质类别
具体表现
示例验证（\(y=-x \)）
开口方向
开口向下
图像从顶点\((0,0)\)向下延伸
对称轴
对称轴仍为 **\(y\)轴 **（直线\(x=0\)）
取\(x=1\)与\(x=-1\)，函数值均为 - 1，关于\(y\)轴对称
顶点坐标
顶点为抛物线的最高点，坐标为\((0,0)\)
当\(x=0\)时，\(y=0\)，是所有函数值中的最大值
函数值变化
当\(x<0\)时（对称轴左侧），\(y\)随\(x\)的增大而增大；当\(x>0\)时（对称轴右侧），\(y\)随\(x\)的增大而减小
\(x=-2\)到\(x=0\)，\(y\)从 - 4 增到 0；\(x=0\)到\(x=2\)，\(y\)从 0 减到 - 4
最值
当\(x=0\)时，\(y\)有最大值，最大值为 0
所有\(y\)值均≤0，最大值为 0
第 6 页：核心模块 3 系数\(a\)对\(y=ax \)图像的影响
1. \(a\)的符号决定开口方向
规律：\(a>0\)→开口向上；\(a<0\)→开口向下（“正上负下”）；
对比图（配\(y=x \)、\(y=-x \)、\(y=2x \)、\(y=-2x \)叠加图）：
\(y=x \)与\(y=2x \)均开口向上，\(y=-x \)与\(y=-2x \)均开口向下；
开口方向仅由\(a\)的符号决定，与绝对值无关。
2. \(a\)的绝对值决定图像宽窄（开口大小）
规律：\(|a|\)越大，抛物线开口越窄；\(|a|\)越小，抛物线开口越宽（“绝对值大，开口窄；绝对值小，开口宽”）；
示例验证：
对比\(y=x \)（\(|a|=1\)）与\(y=2x \)（\(|a|=2\)）：\(y=2x \)的图像更窄，相同\(x\)值（如\(x=1\)）对应的\(y\)值更大（2>1），增长更快；
对比\(y=x \)（\(|a|=1\)）与\(y=0.5x \)（\(|a|=0.5\)）：\(y=0.5x \)的图像更宽，相同\(x\)值（如\(x=1\)）对应的\(y\)值更小（0.5<1），增长更慢。
3. 系数影响总结表
\(a\)的取值范围
开口方向
开口宽窄（与\(y=x \)对比）
顶点特征
最值情况
\(a>1\)
向上
更窄
最低点\((0,0)\)
最小值 0
\(0向上
更宽
最低点\((0,0)\)
最小值 0
\(-1向下
更宽
最高点\((0,0)\)
最大值 0
\(a<-1\)
向下
更窄
最高点\((0,0)\)
最大值 0
第 7 页：典例精讲 \(y=ax \)性质的应用
例题 1：根据图像判断系数\(a\)的取值
如图，抛物线\(y=ax \)经过点\((1,-2)\)，判断\(a\)的符号，并比较该抛物线与\(y=-x \)的开口宽窄。
解答步骤：
判断\(a\)的符号：
点\((1,-2)\)在抛物线上，代入得\(-2=a 1 \)→\(a=-2\)；
\(a=-2<0\)，故抛物线开口向下。
比较开口宽窄：
\(|a|=|-2|=2\)，\(y=-x \)的\(|a|=1\)；
因\(2>1\)，故该抛物线（\(y=-2x \)）比\(y=-x \)的开口更窄。
例题 2：根据性质求函数值或自变量
已知二次函数\(y=3x \)，回答下列问题：
（1）当\(x=-2\)时，求\(y\)的值；
（2）当\(y=12\)时，求\(x\)的值；
（3）判断当\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)的变化趋势。
解答：
（1）代入\(x=-2\)：\(y=3 (-2) =3 4=12\)；
（2）令\(y=12\)：\(3x =12\)→\(x =4\)→\(x= ±2\)；
（3）因\(a=3>0\)，对称轴为\(y\)轴，故当\(x>0\)时，\(y\)随\(x\)的增大而增大。
第 8 页：易错警示与避坑指南
常见易错点：
图像连线错误：用直线连接描点（如将\((-1,1)\)、\((0,0)\)、\((1,1)\)连成折线），忽略抛物线的 “平滑曲线” 特征；
混淆\(a\)的影响：误认为\(|a|\)越大开口越宽（实际相反），或认为\(a\)的符号影响开口宽窄（实际仅影响方向）；
性质记忆错误：当\(a<0\)时，误记 “\(x>0\)时\(y\)随\(x\)增大而增大”（实际减小）；
求自变量时漏解：如\(y=4x =4\)时，仅解得\(x=1\)，漏解\(x=-1\)（忽略\(x =1\)的两个解）。
避坑技巧：
描点连线时，牢记 “抛物线是平滑曲线”，过顶点时需体现 “转折” 而非 “尖角”；
用口诀记忆\(a\)的影响：“正上负下定方向，绝对值大开口窄”；
分析函数值变化时，先确定\(a\)的符号和对称轴，再分 “对称轴左侧”“右侧” 讨论；
求解\(x =k\)（\(k>0\)）时，务必写出两个解\(x= ±\sqrt{k}\)，避免漏解。
第 9 页：课堂练习 分层巩固
基础题：
（1）二次函数\(y=-5x \)的开口方向为______，对称轴为______，顶点坐标为______，当\(x=0\)时，\(y\)有最______值，为______。（答案：向下，\(y\)轴（\(x=0\)），\((0,0)\)，大，0）
（2）比较\(y=3x \)与\(y=\frac{1}{3}x \)的图像，开口更窄的是______（答案：\(y=3x \)，提示：\(|3|>\left|\frac{1}{3}\right|\)）
中档题：
已知二次函数\(y=ax \)的图像经过点\((-2,8)\)，求该函数的表达式，并判断当\(x<0\)时，\(y\)随\(x\)的变化趋势。（答案：代入得\(8=a 4\)→\(a=2\)，表达式\(y=2x \)；\(a>0\)，\(x<0\)时\(y\)随\(x\)增大而减小）
提升题：
已知抛物线\(y=ax \)与直线\(y=2x+3\)交于点\((1,k)\)，求：
（1）\(k\)的值和抛物线的表达式；
（2）该抛物线与\(y=-4x \)的开口宽窄关系。
（答案：（1）代入直线得\(k=5\)，代入抛物线得\(5=a 1\)→\(a=5\)，表达式\(y=5x \)；（2）\(|5|>|-4|\)，故\(y=5x \)开口更窄）
第 10 页：课堂小结与作业布置
小结：
图像特征：\(y=ax \)的图像是抛物线，对称轴为\(y\)轴（\(x=0\)），顶点坐标为\((0,0)\)；
核心性质：\(a>0\)→开口向上、有最小值 0、\(x>0\)时
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.2.1 二次函数y＝ax 的
图象和性质
第26章　二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = x2 … 　 　 　 　 　 　 　 …　
例1 画出二次函数 y = x2 的图象.
9
4
1
0
1
9
4
典例精析
1. 列表：在 y = x2 中自变量 x 可以是任意实数，列表表示几组对应值：
二次函数 y = ax2 的图象
3. 连线：如图，再用光滑曲线顺次连结各点，就得到 y = x2 的图象．
2
4
-2
-4
O
3
6
9
x
y
2. 描点：根据表中 x，y 的数值在坐标平面内描点 (x，y)；
-3
3
o
3
6
9
当取更多个点时，函数 y = x2 的图象如下：
x
y
这样的曲线通常把它叫做抛物线.
这条抛物线关于 y 轴
对称，y 轴就是它的
对称轴.
抛物线与它的对称
轴的交点叫做抛物线
的顶点
练一练：画出函数 y = -x2 的图象.
y
2
4
-2
-4
O
-3
-6
-9
x
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
y = -x2 … -9　 -4　 -1　 0　 -1　 -4　 -9　 …　
根据你以往学习函数图象的经验，说说二次函数 y = x2 的图象有哪些特征，并与同伴交流.
x
o
y = x2
议一议
1. y＝x2 是一条抛物线；
2. 图象开口向上；
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
5. 图象有最低点.
y
说说二次函数 y = -x2 的图象有哪些特征，与同伴交流.
o
x
y
y = -x2
1. y＝-x2 是一条抛物线；
2. 图象开口向下；
3. 图象关于 y 轴对称；
4. 顶点 (0，0)；
5. 图象有最高点．
1. 顶点都在原点；
3. 当 a＞0 时，开口向上；
当 a＜0 时，开口向下.
二次函数 y = ax2 的图象特征：
知识要点
2. 图象关于 y 轴对称；
观察图象，说说抛物线 y = ax2 与 y = -ax2 (a＞0) 有什么关系.
二次项系数互为相反数，开口相反，大小相同，它们关于 x 轴对称.
x
y
O
y = ax2
y = -ax2
交流讨论
问题1：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？
(-2，4)
(-1，1)
(2，4)
(1，1)
二次函数 y = ax2 的性质
对于抛物线 y = ax2 (a＞0)：
当 x＞0 时，函数值 y 随 x 取值的增大而增大；
当 x＜0 时，函数值 y 随 x 取值的增大而减小.
知识要点
(-2,-4)
(-1,-1)
(2,-4)
(1,-1)
问题2：观察图象，y 随 x 的变化如何变化？
对于抛物线 y = ax2 (a＜0)：
当 x＞0 时，y 随 x 取值的增大而减小；
当 x＜0 时，y 随 x 取值的增大而增大.
知识要点
解：分别填表，再画出它们的图象，如图所示.
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
8
4.5
2
0.5
0
8
4.5
2
0.5
例2 在同一直角坐标系中，画出函数 的图象.
思考1：从抛物线 来看，开口大小与 a 的大小有什么关系？
x
y
O
-2
2
2
4
6
4
-4
8
当 a＞0 时，a 越大，开口越小.
练一练：在同一直角坐标系中，画出函数 的图象．
x ··· -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ···
··· ···
x ··· -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 ···
··· ···
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
-8
-4.5
-2
-0.5
0
-8
-4.5
-2
-0.5
思考2 从抛物线 来看，开口大小与 a 的大小有什么关系？
x
y
O
-2
2
-2
-4
-6
4
-4
-8
当 a＜0 时，a 越小（即 a 的绝对值越大），开口越小.
对于抛物线 y = ax2 ，| a | 越大，抛物线的开口越小．
y＝ax2 a＞0 a＜0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上，在 x 轴上方
开口向下，在 x 轴下方
a 的绝对值越大，开口越小
关于 y 轴对称，对称轴是直线 x＝0
顶点坐标是原点（0，0）
当 x = 0 时，y最小值 = 0
当 x = 0 时，y最大值 = 0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
在对称轴左侧递增
在对称轴右侧递减
知识要点
y
O
x
y
O
x
例3 已知二次函数 y = x2．
（1）判断点 A（2，4）在二次函数图象上吗？
（2）请分别写出点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标，关于 y 轴的对称点 C 的坐标，关于原点 O 的对称点D 的坐标；
（3）点 B、C、D 在二次函数 y = x2 的图象上吗？在二次函数 y = －x2 的图象上吗？
典例精析
(1) 判断点 A（2，4）在二次函数图象上吗？
解：(1) 当 x = 2 时，y = 22 = 4，
所以 A（2，4）在二次函数图象上.
(2) 请分别写出点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标，关于 y 轴的对称点 C 的坐标，关于原点 O 的对称点 D 的坐标；
(2) 点 A 关于 x 轴的对称点 B 的坐标为（2，-4），点 A 关于 y 轴的对称点 C 的坐标为（-2，4）， 点A 关于原点 O 的对称点 D 的坐标为（-2，-4）.
（3）点 B、C、D 在二次函数 y = x2 的图象上吗？在二次函数 y = －x2 的图象上吗？
当 x = －2 时，y = x2 = 4，
所以 C 点在二次函数 y = x2 的图象上；
当 x = 2 时，y = －x2 = －4，
所以 B 点在二次函数 y = －x2 的图象上；
当x = －2 时，y = －x2 = －4，
所以 D 点在二次函数 y = －x2 的图象上．
已知 是二次函数，且当 x＞0 时，y 随 x 增大而增大，则 k = .
分析： 是二次函数，即二次项的系数不为 0，x 的指数等于 2. 又因当 x＞0 时，y 随 x 的增大而增大，即说明二次项的系数大于 0. 因此，
解得 k = 2.
2
练一练
例3 已知二次函数 y = 2x2.
(1) 若点 (－2，y1) 与 (3，y2) 在此二次函数的图象上，
则 y1_____ y2 (填“＞”“＝”或“＜”)；
＜
(2) 如图，此二次函数的图象经过点 (0，0)，长方形 ABCD 的顶点 A、B 在 x 轴上，C、D 恰好在二次函数的图象上，B 点的横坐标为 2，求图中阴影部分的面积之和．
(2) 解：∵ 二次函数 y＝2x2 的图象经过点 B(2，0)，
∴ 当 x＝2 时，y＝2×22＝8.
∵ 抛物线和长方形都是轴对称图形，且 y 轴为它们的对称轴，
∴ OA＝OB.
∴ 在长方形 ABCD 内，左边阴影部分
面积等于右边空白部分面积.
∴ S阴影部分面积之和＝2×8＝16.
二次函数 y＝ax2 的图象关于 y 轴对称，因此左右两部分折叠可以重合，在二次函数比较大小中，我们根据图象上的点具有对称性转化到同一变化区域中 (全部为升或全部为降)，根据对称点的高低去比较函数值的大小；对于求不规则的图形面积，采用等面积割补法，将不规则图形转化为规则图形以方便求解．
方法总结
1. 函数 y = 2x2 的图象的开口 ，对称轴 ，顶点是 ；
在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而 ；
在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而 .
向上
y 轴
(0，0)
减小
增大
x
y
O
2. 函数 y = -3x2 的图象的开口 ，对称轴是 ，顶点是 .
在对称轴左侧，y 随 x 的增大而 ；
在对称轴右侧，y 随 x 的增大而 .
向下
y 轴
(0，0)
减小
增大
x
y
O
3. 如右图，观察函数 y = (k - 1)x2 的图象，则 k 的取值范围是 .
x
y
k＞1
O
4. 说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点：
开口方向
对称轴
顶点
向上
向下
向下
向上
y 轴
y 轴
y 轴
y 轴
（0，0）
（0，0）
（0，0）
（0，0）
5. 若抛物线 y = ax2 (a ≠ 0)，过点 (-1，2)，则
（1）a 的值是 ；
（2）对称轴是 ，开口 ；
（3）顶点坐标是 ，顶点是抛物线上的最 点，
抛物线在 x 轴的 方（除顶点外）；
（4）若 A (x1，y1)，B (x2，y2) 在这条抛物线上，且 x1
＜x2＜0，则 y1 y2.
2
y 轴
向上
(0，0)
低
上
＞
6. 已知二次函数 y = x2，若 x≥m 时，y 最小值为 0，求实数 m 的取值范围．
解：二次函数 y = x2 中，
当 x = 0 时，y 有最小值，且 y最小值 = 0.
∵ 当 x≥m 时，y最小值 = 0，
∴ m≤0．
7. 已知：如图，直线 y＝3x＋4 与抛物线 y＝x2 交于 A、B 两点，求出 A、B 两点的坐标，并求出三角形 AOB 的面积．
B
B
解：由题意得
解得
∴ 两交点坐标为 A (4，16) 和 B (-1，1)．
∵ 直线 y＝3x＋4 与 y 轴相交于点 C (0，4)，即 CO＝4，
∴ S△ACO＝ ×4×4＝8，S△BOC＝ ×4×1＝2.
∴ S△AOB＝S△ACO＋S△BOC＝10.
返回
D
2．抛物线y＝－x2不具有的性质是(　　)
A．对称轴是y轴
B．开口向下
C．当x＜0时，y随x的增大而减小
D．顶点坐标是(0，0)
C
返回
返回
A
3．[2024广东]若点(0，y1)，(1，y2)，(2，y3)都在二次函数y＝x2的图象上，则(　　)
A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3　
C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
4. 如果抛物线y＝(2a－1)x2的开口向下，那么实数a的值可能是_______________．
－2(答案不唯一)
返回
5．[2024泰安泰山区期中]已知函数y＝(m＋2)·xm2＋m－4是关于x的二次函数，当m＝________时，该二次函数有最小值，最小值为________；当m＝________时，在其图象的对称轴的左侧，y随着x的增大而增大．
2
0
－3
【点拨】∵函数y＝(m＋2)xm2＋m－4是关于x的二次函数，∴m2＋m－4＝2且m＋2≠0，解得m＝2或－3.
∵该二次函数有最小值，
∴抛物线开口向上．∴m＋2＞0.∴m＞－2.
∴m＝2，此时y＝4x2，最小值为0.
∵在其图象的对称轴的左侧，y随着x的增大而增大，
∴m＋2＜0.∴m＜－2.∴m＝－3.
返回
6．如图所示，三个二次函数的图象分别对应的是①y＝a1x2；②y＝a2x2；③y＝a3x2；则a1，a2，a3的大小关系是__________．
a1＞a2＞a3
【点方法】抛物线的开口方向决定了a的正负性·，抛物线的开口大小决定了a的绝对值的大小·，即开口越大，|a|越小，开口越小，|a|越大．
【点拨】∵y＝a1x2的图象开口小于y＝a2x2的开口，且开口方向都向上，∴a1＞a2＞0.
∵y＝a3x2的图象开口向下，∴a3＜0.∴a1＞a2＞a3.
返回




7．已知抛物线y＝ax2经过点(1，3)．
(1)求a的值；
(2)当x＝3时，求y的值．
【解】∵抛物线y＝ax2经过点(1，3)，∴a×12＝3.∴a＝3.
把x＝3代入y＝3x2中，得y＝3×32＝27.
返回
8．如图，正方形的边长为4，以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系，作出二次函数y＝2x2与y＝－2x2的图象，则阴影部分的面积是(　　)
A．4
B．6
C．8
D．12
返回
C
9．二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)
二次函数 y = ax2 的图象及性质
画法
描点法
根据对称性对称取点
图象
抛物线
轴对称图形
性质
重点关注4个方面
开口方向及大小
对称轴
顶点坐标
增减性
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！