26.2.3求二次函数的表达式 课件(共34张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

(共34张PPT)
第 1 页：封面
标题：26.2.3 求二次函数的表达式
副标题：基于三种形式的全场景求解方法
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识回顾
一、学习目标
掌握根据不同已知条件（如三点坐标、顶点与一点、与 x 轴交点与一点）求二次函数表达式的方法
理解二次函数三种形式（一般式、顶点式、交点式）的适用场景，能灵活选择形式求解
提升利用待定系数法解决函数表达式问题的能力，深化方程思想
二、知识回顾（二次函数的三种形式）
函数形式
解析式
关键特征
适用场景
一般式
\( y = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）
含三个待定系数\( a, b, c \)
已知函数图象上任意三点坐标
顶点式
\( y = a(x - h)^2 + k \)（\( a \neq 0 \)）
含三个待定系数\( a, h, k \)，\( (h, k) \)为顶点
已知函数顶点坐标（或对称轴、最值）及另一点坐标
交点式
\( y = a(x - x_1)(x - x_2) \)（\( a \neq 0 \)）
含三个待定系数\( a, x_1, x_2 \)，\( x_1, x_2 \)为与 x 轴交点横坐标
已知函数图象与x 轴的两个交点坐标及另一点坐标
第 3 页：方法一：已知三点坐标，用一般式求解（待定系数法）
一、核心原理
一般式 \( y = ax^2 + bx + c \) 含三个待定系数 \( a, b, c \)，需三个独立条件（三点坐标）列三元一次方程组，求解得到系数后确定表达式。
二、求解步骤
设表达式：设二次函数的一般式为 \( y = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）；
列方程组：将三点 \( (x_1, y_1) \)、\( (x_2, y_2) \)、\( (x_3, y_3) \) 分别代入一般式，得到关于 \( a, b, c \) 的三元一次方程组：\(
\begin{cases}
ax_1^2 + bx_1 + c = y_1 \\
ax_2^2 + bx_2 + c = y_2 \\
ax_3^2 + bx_3 + c = y_3
\end{cases}
\)
解方程组：通过消元法（代入消元、加减消元）求解方程组，得到 \( a, b, c \) 的值；
写表达式：将 \( a, b, c \) 的值代入一般式，得到二次函数的表达式。
三、实例解析
例：已知二次函数图象经过 \( (0, 1) \)、\( (1, 3) \)、\( (-1, 1) \) 三点，求其表达式。
设表达式：\( y = ax^2 + bx + c \)；
列方程组：
代入 \( (0, 1) \)：\( a \times 0^2 + b \times 0 + c = 1 \) → \( c = 1 \)；
代入 \( (1, 3) \)：\( a \times 1^2 + b \times 1 + c = 3 \) → \( a + b + 1 = 3 \)（即 \( a + b = 2 \)）；
代入 \( (-1, 1) \)：\( a \times (-1)^2 + b \times (-1) + c = 1 \) → \( a - b + 1 = 1 \)（即 \( a - b = 0 \)）；
解方程组：
联立 \( \begin{cases} a + b = 2 \\ a - b = 0 \end{cases} \)，解得 \( a = 1 \)，\( b = 1 \)；
写表达式：\( y = x^2 + x + 1 \)。
第 4 页：方法二：已知顶点（或对称轴、最值）与一点，用顶点式求解
一、核心原理
顶点式 \( y = a(x - h)^2 + k \) 中，\( (h, k) \) 是顶点坐标（已知顶点则 \( h, k \) 确定），仅需一个待定系数 \( a \)，代入另一点坐标即可求解。
二、求解步骤
设表达式：设二次函数的顶点式为 \( y = a(x - h)^2 + k \)（\( a \neq 0 \)），其中 \( (h, k) \) 为已知顶点坐标；
（若已知对称轴 \( x = m \)，则 \( h = m \)；若已知最值为 \( n \)，则 \( k = n \)，需结合开口方向确定 \( (h, k) \)）
求系数\( a \)：将已知的另一点 \( (x_0, y_0) \) 代入顶点式，得到关于 \( a \) 的一元一次方程：\( y_0 = a(x_0 - h)^2 + k \)，解出 \( a \) 的值；
写表达式：将 \( a, h, k \) 的值代入顶点式，可根据需求化为一般式。
三、实例解析
例 1：已知二次函数的顶点为 \( (2, 5) \)，且经过点 \( (3, 7) \)，求其表达式。
设表达式：顶点 \( (2, 5) \)，故设 \( y = a(x - 2)^2 + 5 \)；
求\( a \)：代入 \( (3, 7) \)，得 \( 7 = a(3 - 2)^2 + 5 \) → \( 7 = a + 5 \) → \( a = 2 \)；
写表达式：\( y = 2(x - 2)^2 + 5 \)（或化为一般式 \( y = 2x^2 - 8x + 13 \)）。
例 2：已知二次函数的对称轴为 \( x = -1 \)，最大值为 \( 4 \)，且经过点 \( (0, 3) \)，求其表达式。
设表达式：对称轴 \( x = -1 \) 则 \( h = -1 \)，最大值 \( 4 \) 则 \( k = 4 \)（开口向下，\( a < 0 \)），设 \( y = a(x + 1)^2 + 4 \)；
求\( a \)：代入 \( (0, 3) \)，得 \( 3 = a(0 + 1)^2 + 4 \) → \( a = -1 \)；
写表达式：\( y = -(x + 1)^2 + 4 \)（或化为一般式 \( y = -x^2 - 2x + 3 \)）。
第 5 页：方法三：已知与 x 轴交点及另一点，用交点式求解
一、核心原理
交点式 \( y = a(x - x_1)(x - x_2) \) 中，\( x_1, x_2 \) 是函数与 x 轴交点的横坐标（已知交点则 \( x_1, x_2 \) 确定），仅需一个待定系数 \( a \)，代入另一点坐标即可求解。
二、求解步骤
设表达式：设二次函数的交点式为 \( y = a(x - x_1)(x - x_2) \)（\( a \neq 0 \)），其中 \( (x_1, 0) \)、\( (x_2, 0) \) 为已知的与 x 轴交点；
求系数\( a \)：将已知的另一点 \( (x_0, y_0) \) 代入交点式，得到关于 \( a \) 的一元一次方程：\( y_0 = a(x_0 - x_1)(x_0 - x_2) \)，解出 \( a \) 的值；
写表达式：将 \( a, x_1, x_2 \) 的值代入交点式，可根据需求化为一般式或顶点式。
三、实例解析
例：已知二次函数图象与 x 轴交于 \( (1, 0) \) 和 \( (3, 0) \) 两点，且经过点 \( (2, -1) \)，求其表达式。
设表达式：交点横坐标 \( x_1 = 1 \)，\( x_2 = 3 \)，故设 \( y = a(x - 1)(x - 3) \)；
求\( a \)：代入 \( (2, -1) \)，得 \( -1 = a(2 - 1)(2 - 3) \) → \( -1 = a \times 1 \times (-1) \) → \( a = 1 \)；
写表达式：\( y = (x - 1)(x - 3) \)（或化为一般式 \( y = x^2 - 4x + 3 \)，顶点式 \( y = (x - 2)^2 - 1 \)）。
第 6 页：方法选择与综合应用（如何选最优形式）
一、方法选择技巧
已知条件
优先选择的函数形式
理由
任意三点坐标
一般式
三点可列三元方程组，直接求解\( a, b, c \)
顶点（或对称轴、最值）+ 另一点
顶点式
仅需求一个系数\( a \)，计算量小
与 x 轴两交点 + 另一点
交点式
仅需求一个系数\( a \)，无需解多元方程组
条件不明确（如已知两点 + 对称轴）
结合顶点式分析
两点 + 对称轴可确定顶点，再用顶点式求解
二、综合应用实例
例：已知二次函数经过 \( (2, 0) \)、\( (0, -6) \) 两点，且对称轴为 \( x = 1 \)，求其表达式。
分析：已知两点 + 对称轴，优先用顶点式（对称轴 \( x = 1 \) 即 \( h = 1 \)）。
设表达式：\( y = a(x - 1)^2 + k \)；
列方程：
代入 \( (2, 0) \)：\( 0 = a(2 - 1)^2 + k \) → \( a + k = 0 \)；
代入 \( (0, -6) \)：\( -6 = a(0 - 1)^2 + k \) → \( a + k = -6 \)；
联立解得 \( a = 2 \)，\( k = -2 \)；
写表达式：\( y = 2(x - 1)^2 - 2 \)（或化为一般式 \( y = 2x^2 - 4x \)）。
第 7 页：常见错误与避坑技巧
一、常见错误
形式选择不当：如已知顶点却用一般式，增加计算量（需解三元方程组）；
交点式符号错误：误将交点式写成 \( y = a(x + x_1)(x + x_2) \)，忽略 “\( x - x_1 \)” 中的减号（如交点 \( (-2, 0) \) 应写为 \( (x + 2) \)，即 \( x - (-2) \)）；
遗漏\( a \neq 0 \)：求解后未验证 \( a \) 是否为 0（若 \( a = 0 \)，则为一次函数，不符合二次函数定义）；
计算错误：解三元一次方程组时，消元步骤出错；代入点坐标时，横坐标或纵坐标代入错误。
二、避坑技巧
“先定形式，再求系数”：拿到题目先分析已知条件，根据条件确定最优函数形式，再动手计算；
交点式 “符号验证”：代入交点坐标验证，如交点 \( (x_1, 0) \) 代入交点式，需满足 \( y = 0 \)；
结果 “回代验证”：求出表达式后，将已知点坐标代入验证，确保所有点都满足表达式；
复杂计算 “分步来”：解方程组时，先消去易消的未知数（如一般式中若有一点是 \( (0, c) \)，可先求出 \( c \)），减少计算步骤。
第 8 页：课堂练习与作业布置
一、课堂练习
基础题（一般式）：已知二次函数过 \( (1, 2) \)、\( (2, 5) \)、\( (-1, 0) \)，求表达式（答案：\( y = x^2 + 2x - 3 \)）；
基础题（顶点式）：已知二次函数顶点 \( (-3, 4) \)，过 \( (-2, 6) \)，求表达式（答案：\( y = 2(x + 3)^2 + 4 \)）；
基础题（交点式）：已知二次函数与 x 轴交于 \( (-1, 0) \)、\( (4, 0) \)，过 \( (0, -8) \)，求表达式（答案：\( y = 2(x + 1)(x - 4) \)）；
提升题（综合）：已知二次函数过 \( (1, 3) \)、\( (3, 3) \) 两点，且最大值为 5，求表达式（答案：\( y = -0.5(x - 2)^2 + 5 \) 或 \( y = -0.5x^2 + 2x + 3.5 \)）。
二、作业布置
必做：教材中求二次函数表达式的基础习题，完成 3 道不同形式的题目（一般式、顶点式、交点式各 1 道）；
选做：已知二次函数图象经过 \( (2, -1) \)，且与 x 轴的两个交点距离为 4，对称轴为 \( x = 1 \)，求其表达式（提示：先确定与 x 轴交点坐标）。
第 9 页：课堂小结
三种核心方法：
一般式：三点定系数，列三元方程组求解；
顶点式：顶点 + 一点，求一个系数\( a \)；
交点式：两交点 + 一点，求一个系数\( a \)。
关键思想：待定系数法（根据未知数个数找对应条件，列方程 / 方程组求解）；
核心技巧：“看条件选形式”，优先选择计算量小的形式，结果需回代验证。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.2.3求二次函数的表达式
第26章　二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
1. 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？
2. 求一次函数表达式的方法是什么？一般步骤有哪些？
2 个
2 个
待定系数法
(1) 设：表达式
(2) 代：坐标代入
(3) 解：方程（组）
(4) 还原：写表达式
{
∴
典例精析
例1 已知二次函数 y＝ax2＋c 的图象经过点(2，3)和(－1，－3)，求这个二次函数的表达式．
解：∵该图象经过点 (2，3) 和 (－1，－3) ，
3 = 4a + c，
－3 = a + c，
∴所求二次函数表达式为 y = 2x2－5.
a = 2，
c = －5.
解得
关于 y 轴对称
{
特殊条件的二次函数的表达式
1. 已知二次函数 y＝ax2＋bx 的图象经过点(－2，8)
和(－1，5)，求这个二次函数的表达式．
解：∵该图象经过点 (-2，8) 和 (-1，5)，
针对训练
图象经过
原点
∴
8 = 4a - 2b，
5 = a - b，
解得
∴ y = -x2 - 6x.
{
{
a = -1，
b = -6.
选取顶点（-2，1）和点（1，-8），试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式是 y = a(x - h)2 + k，把顶点 (-2，1) 代入 y = a(x - h)2 + k 得
y = a(x + 2)2 + 1，
再把点 (1，-8) 代入上式得
a(1 + 2)2 + 1 = -8，
解得 a = -1.
∴所求的二次函数的表达式是y= -(x+2)2+1或y= -x2-4x-3.
顶点法求二次函数的表达式
归纳总结
顶点法求二次函数的方法
这种知道抛物线的顶点坐标，求表达式的方法叫做顶点法.其步骤是：
① 设函数表达式是 y = a(x + h)2 + k；
② 先代入顶点坐标，得到关于 a 的一元一次方程；
③ 将另一点的坐标代入原方程求出 a 的值；
④ 将 a 用数值换掉，写出函数表达式，然后化为一
般式.
例2 一个二次函数的图象经点 (0，1)，它的顶点坐标为 (8，9)，求这个二次函数的表达式.
解： 因为这个二次函数的图象的顶点坐标为 (8，9)，所以可设其表达式为 y = a(x - 8)2 + 9.
又因为它的图象经过点 (0，1)，
所以 1 = a(0 - 8)2 + 9，解得
故所求的二次函数的表达式是 y = (x - 8)2 + 9，即 y = x2 + 2x + 1.
解：∵ (-3，0)，(-1，0) 是抛物线与 x 轴的交点，
∴可设其表达式为
y = a(x + 3)(x + 1).
代入点 (0，-3)，得
a(0 + 3)(0 + 1) = -3，
解得 a = -1.
∴ 所求表达式为 y = -(x + 3)(x + 1)，即 y = -x2 - 4x - 3.
选取二次函数图象上的三点 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.
x
y
O
1
2
-1
-2
-3
-4
-2
-4
-3
1
交点法求二次函数的表达式
归纳总结
交点法求二次函数表达式的方法
这种已知抛物线与 x 轴的交点坐标，求表达式的方法叫做交点法. 其一般步骤是：
① 设其表达式是 y = a(x - x1)(x - x2) (其中 x1，x2 分别是两交点的横坐标)；
② 将抛物线经过的第三点的坐标代入表达式，得到关于 a 的一元一次方程；
③ 解方程得出 a 值；
④ 写出表达式，并化为一般式.
想一想
确定二次函数的这三点应满足什么条件？
这三点不能在同一条直线上（其中两点的连线可垂直于 y 轴，但不可以垂直于 x 轴）.
合作探究
一般式法二次函数的表达式
问题1 （1）二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0) 中有几个待定系数？需要抛物线上的几个点的坐标才能求出系数？
3个
3个
（2）下面是我们用描点法画二次函数的图象时所列表格的一部分：
x -3 -2 -1 0 1 2
y 0 1 0 -3 -8 -15
① 选取图象经过的三点 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3)，试求出这个二次函数的表达式.
解：设这个二次函数的表达式为 y = ax2 + bx + c，把 (-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 代入表达式，得
9a - 3b + c = 0，
a - b + c = 0，
c = -3，
解得
a = -1，
b = -4，
c = -3.
∴ 所求的二次函数的表达式为 y = -x2 - 4x - 3.
待定系数法
步骤:
1.设：表达式
2.代：坐标代入
3.解：方程(组)
4.还原：写解析式
这种已知三点求二次函数表达式的方法叫做一般式法.
其一般步骤是：
① 设函数表达式为 y = ax2 + bx + c；
② 代入三点的坐标后得到一个三元一次方程组；
③ 解方程组得到 a，b，c 的值；
④ 把待定系数用求得的值换掉，写出函数表达式.
归纳总结
一般式法求二次函数表达式的方法
1. 如图，在平面直角坐标系中，该抛物线的表达式应是 .
注 y = ax2 与 y = ax2 + k，y = a(x + h)2，y = a(x + h)2 + k 一样都是顶点式，只不过前三者是顶点式的特殊形式.
注意
x
y
O
2
-2
-4
2
-2
4
2. 过点 (2，4)，且当 x = 1 时，y 有最值为 6，则其表达式是 .
y = -2x2 + 4x + 4
顶点坐标是 (1，6)
3. 已知二次函数的图象经过点 (－1，－5)，(0，－4)和 (1，1)，求这个二次函数的表达式．
解：设这个二次函数的表达式为 y＝ax2＋bx＋c.
依题意得
∴ 这个二次函数的表达式为 y＝2x2＋3x－4.
a＋b＋c＝1，
c＝－4，
a－b＋c＝－5，
解得
b＝3，
c＝－4.
a＝2，
4. 已知抛物线与 x 轴相交于点 A (－1，0)，B (1，0)，且过点 M (0，1)，求此抛物线的表达式．
解：由于点 A(－1，0)，B (1，0) 是抛物线与 x 轴的交点，故可设该抛物线的表达式为 y＝a(x＋1)(x－1).
又因为抛物线过点 M (0，1)，
∴ 1＝a(0＋1)(0－1)，解得 a＝－1.
∴所求抛物线的表达式为 y＝－(x＋1)(x－1)，
即 y＝－x2＋1.
5. 如图，抛物线 y＝x2＋bx＋c 过点 A (－4，－3)，与 y轴交于点 B，对称轴是 x＝－3，请解答下列问题：
(1) 求抛物线的表达式；
解：把点 A (－4，－3) 代入 y＝x2＋bx＋c
得 16－4b＋c＝－3，即 c＝4b－19.
∵ 对称轴是 x＝－3，∴ ＝－3.
∴ b＝6. ∴ c＝4b－19＝5.
∴ 该抛物线的表达式为 y＝x2＋6x＋5.
(2) 若与 x 轴平行的直线和抛物线交于 C，D 两点，点 C 在对称轴左侧，且 CD＝8，求△BCD 的面积．
解：∵ CD∥x 轴，∴ 点 C 与点 D 关于 x＝－3 对称.
∵ 点 C 在对称轴左侧，且CD＝8，
∴ 点 C 的横坐标为－7.
∴ 点 C 的纵坐标为 (－7)2＋6×(－7)＋5＝12.
易得点 B 的坐标为 (0，5)，
∴ △BCD 中 CD 边上的高为12－5＝7.
∴ △BCD 的面积为 ×8×7＝28.
返回
C
A
返回
返回
B
3．[2024宁波月考]有一个二次函数，已知其图象过(2，0)，(5，0)两点，且与y＝2x2的形状一致，那么该二次函数的表达式为(　　)
A．y＝x2＋14x＋10 B．y＝2x2－14x＋20
C．y＝2x2＋14x＋20 D．y＝x2－14x＋10
4. 一个二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的表达式可以是_______________________．
y＝－x2＋1(答案不唯一)
返回
5．[2024三门峡期中]如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，OB＝OC＝3OA，则该抛物线的表达式是___________．
y＝x2－2x－3
返回
6．[2024丽水期末]已知二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)的图象如图所示．
(1)求c的值；
【解】∵二次函数y＝ax2＋2x＋c
(a≠0)的图象经过点(0，3)，
∴将点(0，3)的坐标代入y＝
ax2＋2x＋c(a≠0)，得c＝3.
返回
(2)求函数的表达式．
【解】∵函数图象经过点A(3，0)，
∴把点A(3，0)的坐标代入y＝ax2＋2x＋3，解得a＝－1.
∴函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3.
7. 小明在用“描点法”探究二次函数图象的性质时，画出了以下表格：
x … －1 0 1 2 3 …
y … a b －4 －3 c …
B
返回
8． 如图，在平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，－4)，以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过x轴上的点A，B，则抛物线的表达式为_________________．
返回
y＝(x－4)2－4
③已知三点坐标
①已知顶点坐标或对称轴或最值
②已知抛物线与x 轴的两个交点
已知条件
所选方法
用一般式法：y = ax2 + bx + c
用顶点法：y = a(x - h)2 + k
用交点法：y = a(x - x1)(x - x2) (x1，x2 为交点的横坐标)
待定系数法
求二次函数解析式
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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