26.3.1 二次函数与实际问题 课件(共43张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

(共43张PPT)
第 1 页：封面
标题：26.3.1 求二次函数的表达式
副标题：从基础方法到综合场景的深度应用
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识梳理
一、学习目标
熟练运用一般式、顶点式、交点式求解二次函数表达式，能根据条件灵活选择最优形式
掌握含参数、与几何图形结合的二次函数表达式求解方法
提升分析复杂条件、转化数学问题的能力，强化方程思想与数形结合思想
二、知识梳理（二次函数三种形式核心要点）
函数形式
解析式
待定系数
核心条件要求
求解关键步骤
一般式
\( y = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）
\( a, b, c \)
3 个独立的点坐标（任意位置）
代入列三元方程组→解方程组→验证
顶点式
\( y = a(x - h)^2 + k \)（\( a \neq 0 \)）
\( a, h, k \)
顶点\( (h,k) \)（或对称轴 + 最值）+ 1 个点
确定\( h,k \)→代入点求\( a \)→整理
交点式
\( y = a(x - x_1)(x - x_2) \)（\( a \neq 0 \)）
\( a, x_1, x_2 \)
与 x 轴 2 个交点\( (x_1,0),(x_2,0) \)+ 1 个点
确定\( x_1,x_2 \)→代入点求\( a \)→整理
第 3 页：基础方法回顾与易错点强化
一、基础方法快速回顾（以典型例题为例）
一般式应用：已知二次函数过\( (1, -1) \)、\( (2, 0) \)、\( (0, -3) \)，求表达式
解：设\( y = ax^2 + bx + c \)，代入得：\(
\begin{cases} a + b + c = -1 \\ 4a + 2b + c = 0 \\ c = -3 \end{cases}
\)
解得\( a = 1 \)，\( b = 1 \)，\( c = -3 \)，表达式为\( y = x^2 + x - 3 \)。
顶点式应用：已知二次函数对称轴为\( x = 2 \)，最小值为\( -5 \)，过\( (3, -4) \)，求表达式
解：对称轴\( x = 2 \)即\( h = 2 \)，最小值\( -5 \)即\( k = -5 \)，设\( y = a(x - 2)^2 - 5 \)；
代入\( (3, -4) \)得\( -4 = a(3 - 2)^2 - 5 \)，解得\( a = 1 \)，表达式为\( y = (x - 2)^2 - 5 \)。
交点式应用：已知二次函数与 x 轴交于\( (2, 0) \)、\( (-3, 0) \)，过\( (1, 12) \)，求表达式
解：设\( y = a(x - 2)(x + 3) \)，代入\( (1, 12) \)得\( 12 = a(1 - 2)(1 + 3) \)，解得\( a = -3 \)；
表达式为\( y = -3(x - 2)(x + 3) \)（或化为一般式\( y = -3x^2 - 3x + 18 \)）。
二、高频易错点强化训练
交点式符号陷阱：若二次函数与 x 轴交于\( (-1, 0) \)、\( (5, 0) \)，易误设为\( y = a(x + 1)(x - 5) \)（正确），而非\( y = a(x - 1)(x + 5) \)（错误），需牢记 “交点横坐标是\( x_1,x_2 \)，解析式为\( (x - x_1)(x - x_2) \)”。
顶点式与最值对应：若二次函数有最大值\( 3 \)，则\( k = 3 \)且\( a < 0 \)；有最小值\( -2 \)，则\( k = -2 \)且\( a > 0 \)，避免忽略\( a \)的符号与最值的关联。
第 4 页：进阶场景 1：含参数的二次函数表达式求解
一、核心思路
含参数的问题中，参数通常作为已知条件的一部分（如点坐标含参数、对称轴含参数），需通过列方程将参数与待定系数结合，共同求解。
二、实例解析
例 1：已知二次函数\( y = ax^2 + bx + c \)过\( (1, 2) \)、\( (2, m) \)、\( (3, 8) \)，且对称轴为\( x = 2 \)，求表达式及\( m \)的值。
分析条件：对称轴\( x = 2 \)，即\( -\frac{b}{2a} = 2 \)（关系式①）；
代入点坐标：
代入\( (1, 2) \)：\( a + b + c = 2 \)（关系式②）；
代入\( (3, 8) \)：\( 9a + 3b + c = 8 \)（关系式③）；
解方程组：
③ - ②得\( 8a + 2b = 6 \)（关系式④），结合①\( b = -4a \)，代入④得\( 8a - 8a = 6 \)？（此处发现矛盾，实际应为计算错误，正确③-②得\( 8a + 2b = 6 \)，代入\( b = -4a \)得\( 8a - 8a = 6 \)不成立，说明题目需调整，正确题目应为过\( (1, 2) \)、\( (2, m) \)、\( (3, 6) \)，此时③-②得\( 8a + 2b = 4 \)，代入\( b = -4a \)得\( 0 = 4 \)仍错，正确题目应为过\( (0, 2) \)、\( (2, m) \)、\( (3, 8) \)，此时：
②：\( c = 2 \)，③：\( 9a + 3b + 2 = 8 \)→\( 3a + b = 2 \)，结合①\( b = -4a \)，解得\( a = -2 \)，\( b = 8 \)，表达式为\( y = -2x^2 + 8x + 2 \)，代入\( (2, m) \)得\( m = 10 \)）。
例 2：已知二次函数\( y = a(x - h)^2 + k \)过\( (t, 5) \)、\( (t + 2, 5) \)，且最小值为\( 3 \)，求表达式（含\( t \)）。
分析：两点\( (t, 5) \)、\( (t + 2, 5) \)纵坐标相同，对称轴为两点横坐标中点，即\( h = \frac{t + t + 2}{2} = t + 1 \)；
最小值为\( 3 \)，故\( k = 3 \)，\( a > 0 \)，设表达式为\( y = a(x - (t + 1))^2 + 3 \)；
代入\( (t, 5) \)得\( 5 = a(t - (t + 1))^2 + 3 \)→\( a = 2 \)；
表达式为\( y = 2(x - t - 1)^2 + 3 \)。
第 5 页：进阶场景 2：与几何图形结合的表达式求解
一、核心思路
先根据几何图形的性质（如边长、面积、坐标关系）提取二次函数图象上的点坐标或对称轴、最值等条件，再转化为常规的表达式求解问题。
二、实例解析
例 1：如图，在平面直角坐标系中，矩形\( OABC \)的顶点\( O(0,0) \)、\( A(4,0) \)、\( C(0,3) \)，抛物线过\( O \)、\( A \)两点，且顶点在矩形内部，求抛物线的顶点式表达式（至少写 2 个）。
分析条件：抛物线过\( O(0,0) \)、\( A(4,0) \)，与 x 轴交点为\( (0,0) \)、\( (4,0) \)，对称轴为\( x = 2 \)（中点），设顶点式\( y = a(x - 2)^2 + k \)；
顶点\( (2, k) \)在矩形内部：矩形\( OABC \)中\( x \in [0,4] \)，\( y \in [0,3] \)，故\( 0 < k < 3 \)；
代入\( O(0,0) \)得\( 0 = a(0 - 2)^2 + k \)→\( k = -4a \)，结合\( 0 < k < 3 \)，取\( a = -0.5 \)，则\( k = 2 \)，表达式为\( y = -0.5(x - 2)^2 + 2 \)；取\( a = -0.6 \)，则\( k = 2.4 \)，表达式为\( y = -0.6(x - 2)^2 + 2.4 \)。
例 2：已知抛物线过点\( A(1, 0) \)，且与直线\( y = x - 3 \)交于点\( B(3, 0) \)、\( C(2, -1) \)，求抛物线表达式。
分析：抛物线过\( A(1,0) \)、\( B(3,0) \)，与 x 轴交点明确，用交点式；
设\( y = a(x - 1)(x - 3) \)，代入\( C(2, -1) \)得\( -1 = a(2 - 1)(2 - 3) \)→\( a = 1 \)；
表达式为\( y = (x - 1)(x - 3) = x^2 - 4x + 3 \)。
第 6 页：综合场景：多条件融合的表达式求解
一、核心思路
当题目同时给出多种条件（如顶点、交点、与直线的位置关系）时，需筛选关键条件确定函数形式，再用剩余条件验证或补充求解。
二、实例解析
例：已知二次函数图象满足以下条件：①过点\( (0, -6) \)；②对称轴为\( x = 1 \)；③与 x 轴的两个交点之间的距离为 4。求该二次函数的表达式。
分析条件：
由②对称轴\( x = 1 \)和③两交点距离为 4，设与 x 轴交点为\( (1 - 2, 0) = (-1, 0) \)、\( (1 + 2, 0) = (3, 0) \)（两点关于对称轴对称，距离中点的距离为 2）；
设表达式：用交点式\( y = a(x + 1)(x - 3) \)；
代入①\( (0, -6) \)得\( -6 = a(0 + 1)(0 - 3) \)→\( a = 2 \)；
表达式为\( y = 2(x + 1)(x - 3) = 2x^2 - 4x - 6 \)；
验证：对称轴\( x = -\frac{-4}{2 \times 2} = 1 \)，与 x 轴交点\( (-1,0) \)、\( (3,0) \)，距离为 4，过\( (0,-6) \)，所有条件满足。
第 7 页：课堂练习（分层设计）
一、基础巩固题
已知二次函数过\( (2, 5) \)、\( (0, 5) \)、\( (1, 3) \)，求表达式（答案：\( y = 2x^2 - 4x + 5 \)）；
已知二次函数顶点为\( (1, -2) \)，且过\( (0, -1) \)，求表达式（答案：\( y = (x - 1)^2 - 2 = x^2 - 2x - 1 \)）。
二、进阶提升题
已知二次函数\( y = ax^2 + bx + c \)过\( (1, 3) \)、\( (3, 3) \)，且与 y 轴交于\( (0, 9) \)，求表达式及最大值（答案：\( y = 2x^2 - 8x + 9 \)，最大值不存在，最小值为 1）；
已知抛物线与 x 轴交于\( (2, 0) \)，且过\( (1, 3) \)、\( (3, 3) \)，求表达式（答案：\( y = 3(x - 1)(x - 3) = 3x^2 - 12x + 9 \)）。
三、综合挑战题
已知二次函数图象过点\( (1, 4) \)，且当\( x = 2 \)时，\( y = 5 \)，对称轴为\( x = 3 \)，求表达式（答案：\( y = -x^2 + 6x - 1 \)）。
第 8 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
核心方法：三类基础形式（一般式、顶点式、交点式）的选择依据的是 “条件与形式的匹配度”，优先选择计算量小的形式；
进阶技巧：含参数问题需建立参数与待定系数的方程，几何结合问题需先转化为坐标或对称轴条件，多条件问题需筛选关键条件破题；
验证习惯：求出表达式后，务必代入所有已知条件验证，避免计算错误。
二、作业布置
必做：完成教材中综合应用部分的 3 道习题，涵盖基础形式与进阶场景；
选做：已知抛物线过\( (1, 2) \)、\( (2, 1) \)，且与 x 轴、y 轴的交点分别为\( A \)、\( B \)，若\( OA + OB = 3 \)（\( O \)为原点），求抛物线表达式（提示：设一般式，用交点坐标表示\( OA \)、\( OB \)）。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.3.1求二次函数的表达式
第26章　二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题引入
如图，一座拱桥的纵截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度是 4.9 米，水面宽是 4 米时，拱顶离水面 2 米.现在想了解水面宽度变化时，拱顶离水面的高度怎样变化．你能想出办法来吗？
利用二次函数解决实物抛物线形问题
建立函数模型
这是什么样的函数呢？
拱桥的纵截面是抛物线，所以应当是个二次函数
上述问题，你能想出办法来吗？
探究
怎样建立直角坐标系比较简单呢？
以拱顶为原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立直角坐标系，如图．
从图看出，什么形式的二次函数，它的图象是这条抛物线呢？
由于顶点坐标是(0，0)，因此这个二次函数的形式为
x
O
y
-2
-4
2
1
-2
-1
A
x
O
y
-2
2
1
-2
-1
A
问题3 如何确定 a 的值？
因此， ，其中｜x｜是水面宽度的一半，y 是拱顶离水面高度的相反数，这样我们就可以了解到水面宽度变化时，拱顶离水面高度怎样变化．
已知水面宽 4 m 时，拱顶离水面高 2 m，因此点 A(2，-2)在抛物线上，由此得出
解得
由于拱桥的跨度为 4.9 m，因此自变量 x 的取值范围是：
水面宽 3 m 时， 从而
因此拱顶离水面高 1.125 m
现在你能求出水面宽 3 m 时，拱顶离水面高多少吗？
这条抛物线表示的二次函数为 y =
x
O
y
2
4
2
1
2
1
B
问题4 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？
当水面下降 1 m 时，水面的纵坐标为 -3.
令 解得
即水面下降 1 m 时，水面宽度增加
我们来比较下面这些建系的方法
（0，0）
（4，0）
（2，2）
（-2，-2）
（2，-2）
（0，0）
（-2，0）
（2，0）
（0，2）
（-4，0）
（0，0）
（-2，2）
谁最合适？为什么？
y
y
y
y
o
o
o
o
x
x
x
x
解：设该拱桥形成的抛物线的表达式为 y = ax2.
∵ 该抛物线过 (10，-4)，
∴ -4 = 100a，a = -0.04.
∴ y = -0.04x2.
有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m．如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的表达式；
O
A
C
D
B
y
x
20 m
h
练一练
知识要点
建立二次函数模型解决实际问题的基本步骤是什么？
实际问题
建立二次函数模型
利用二次函数的图象和性质求解
实际问题的解
例1 某公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心， OA = 1.25 m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1 m 处达到距水面最大高度 2.25 m. 如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少才能使喷出的水流不致落到池外？
典例精析
解：建立如图所示的坐标系，
根据题意得 A 点坐标为 (0，1.25)，
顶点 B 坐标为 (1，2.25).
数学化
o
●
C
●
D
x
y
● B(1，2.25)
(0，1.25)
A
●
根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5 m，才能使喷出的水流不致落到池外.
当 y = 0 时，可求得点 C 的坐标为 (2.5，0)；
同理，点 D 的坐标为 (-2.5，0) .
设 y 轴右侧的抛物线为 y = a(x + h)2 + k，由待定系数法可求得抛物线表达式为 y = -(x - 1)2 + 2.25.
●B(1,2.25)
(0,1.25)
o
A
x
y
●
D
●
C
例2 如图，一名运动员在距离篮球圈中心 4 m (水平距离)远处跳起投篮，篮球准确落入篮圈，已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行水平距离为 2.5 m时，篮球达到最大高度，且最大高度为 3.5 m，如果篮圈中心距离地面 3.05 m，那么篮球在该运动员出手时的高度是多少？
典例精析
利用二次函数解决运动中抛物线型问题
解：建立如图的直角坐标系.
则点 A 的坐标是 (1.5，3.05)，
篮球在最大高度时的位置为 B (0，3.5).
以点 C 表示运动员投篮球的出手处.
x
y
O
设此以 B (0，3.5) 为顶点的抛物线表达式为 y = ax2 + 3.5.
所以该抛物线的表达式为 y = -0.2x2 + 3.5.
当 x = -2.5 时，y = 2.25.
故该运动员出手时篮球的高度为 2.25 m.
而点 A (1.5，3.05) 在这条抛物线上，
所以有 1.52a + 3.5 = 3.05，
x
y
O
解得 a = -0.2.
某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，已知商品的进价为每件 40 元，则每星期销售额是 元，销售利润是 元.
探究交流
18000
6000
数量关系
（1）销售额 = 单价×销售量；
（2）利润 = 销售额 - 总成本 = 单件利润×销售量；
（3）单件利润 = 销售单价 - 进价.
利润最大问题
例3 某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件．市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件．已知该商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？
涨价销售
①设每件涨价 x 元，每星期获得的利润为 y 元，填空：
单件利润 (元) 销售量 (件) 每星期利润 (元)
正常销售
涨价销售
20
300
20 + x
300 - 10x
(20 + x)(300 - 10x)
则 y = (20 + x)(300 - 10x)
= -10x2 + 100x + 6000.
6000
②自变量 x 的取值范围如何确定？
营销规律是价格上涨，销量下降，因此只要考虑销售量就可以，故 300 - 10x≥0，且 x≥0，因此自变量的取值范围是 0≤x≤30.
③涨价多少元时，利润最大？最大利润是多少？
y = -10x2 + 100x + 6000，
当 时，y = -10×52 +100×5+6000 = 6250.
即涨价 5 元时利润最大，最大利润是 6250 元.
降价销售
①设每件降价 x 元，每星期获得的利润为 y 元，填空：
单件利润(元) 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售
降价销售
20
300
(20 x)
(300 + 20x)
(20 x)(300 + 20x)
所得利润 y = (20 x)(300 + 20x)
= 20x2 + 100x + 6000.
6000
综上可知，定价 65 元时利润最大，最大利润是 6250 元.
②自变量 x 的取值范围如何确定？
营销规律是价格下降，销量上升，因此只要考虑单件利润就可以，故 20 x≥0，且 x≥0，因此自变量的取值范围是 0≤x≤20.
③降价多少元时，利润最大？最大利润是多少？
当 时，
即降价 2.5 元时，最大利润是 6125 元.
y = 20x2 + 100x + 6000，
由(1)(2)的讨论及现在的销售情况，你知道应该如何定价能使利润最大了吗
知识要点
求解最大利润问题的一般步骤
(1) 建立利润与价格之间的函数关系式：
运用“总利润 = 总售价 - 总成本”或“总利润 = 单件利润×销售量”；
(2) 结合实际意义，确定自变量的取值范围；
(3) 在自变量的取值范围内确定最大利润：
可以利用配方法或公式求出最大利润；也可以画出
函数的简图，利用简图和增减性求出.
y = (160 + 10x)(120 - 6x)
某旅馆有客房 120 间，每间房的日租金为 160 元，每天都客满．经市场调查，若一间客房日租金每增加 10 元，则客房每天少出租 6 间．不考虑其他因素，旅馆将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？
解：设每间客房的日租金提高 10x 元，则每天客房出租数减少 6x 间，则有
练一练
=－60(x－2)2 + 19440.
∵ x≥0，且 120－6x＞0，
∴ 0≤x＜20.
当 x = 2 时，y 有最大值，且 y最大 = 19440.
答：每间客房的日租金提高到 180 元时，客房日租金的总收入最高，最高收入为 19440 元.
这时每间客房的日租金为 160 + 10×2 = 180 (元).
1. 某种商品每件的进价为 20 元，调查表明：在某段时间内若以每件 x 元 (20≤x≤30) 出售，可卖出 (600－20x) 件，为使利润最大，则每件售价应定为 元.
25
2.进价为 80 元的某件定价 100 元时，每月可卖出 2000件，价格每上涨 1 元，销售量便减少 5 件，那么每月售出衬衣的总件数 y (件) 与衬衣售价 x(元) 之间的函数关系式为 .
每月利润 w (元) 与衬衣售价 x (元) 之间的函数关系式为 .(以上关系式只列式不化简).
y = 2000 - 5(x - 100)
w = [2000 - 5(x - 100)](x - 80)
3. 足球被从地面上踢起，它距地面的高度 h (m) 可用公式 h = -4.9t2 + 19.6t 来表示，其中 t (s) 表示足球被踢出后经过的时间，则球在 s 后落地.
4
4. 如图，小李推铅球，如果铅球运行时离地面的高度
y (米)关于水平距离 x (米)的函数表达式为 ，那么铅球运动过程中最高点离地面
的距离为 米.
x
y
O
2
5. 某公园草坪的防护栏是由 100 段形状相同的抛物线形组成的，为了牢固起见，每段护栏需要间距 0.4 m 加设一根不锈钢的支柱，防护栏的最高点距底部 0.5 m(如图)，则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为 ( )
A. 50 m B. 100 m
C. 160 m D. 200 m
C
x
y
5
16
O
7
6. 某种商品每天的销售利润 y (元) 与销售单价 x (元) 之间满足关系：y = ax2 + bx - 75，其图象如图.
(1) 销售单价为多少元时，该种商品每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
解：由题图可求得 y = -x2 + 20x - 75.
∵ -1 < 0，对称轴 x = 10，
∴ 当 x = 10 时，y 值最大，最大值为 25.即销售单价定为 10 元时，销售利润最大，最大利润为 25 元.
(2) 销售单价在什么范围时，该种商品每天的销售利润不低于 16 元？
解：由对称性知 y = 16 时，x1 = 7 和 x2 = 13.
故销售单价在 7 元到 13 元之间
(含 7 元和 13 元) 时，利润不低于 16 元.
x
y
5
16
O
7
13
返回
1．[2024张家口一模]如图是一款抛物线形落地灯的示意图，防滑螺母C为抛物线支架的最高点，灯罩D距离地面1.5 m，最高点C距灯柱的水平距离为1.6 m，灯柱AB＝1.5 m，若茶几摆放在灯罩的正下方，则茶几到灯柱的距离AE为(　　)
A．3.2 m B．0.32 m
C．2.5 m D．1.6 m
A
2．如图①为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图②是棚顶的竖直高度y(单位：m)与距离停车棚支柱AO的水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝－0.02x2＋0.3x＋1.6的图象，点B(6，2.68)在图象上．若一辆厢式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长CD＝4 m，高DE＝1.8 m的矩形，则可判
定货车________完全停到车
棚内(填“能”或“不能”)．
能
返回
7
3. 某市民广场有一个直径为16 m的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头(喷水头高度忽略不计)，各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物OA的顶端A处汇合，水柱离中心3 m处达最高5 m，如图所示建立直角坐标系．王师傅在喷水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8 m
的他站立时必须在与水池中心O
距离________m以内的地方．
返回
4. 某物理兴趣小组对一款饮水机的工作电路展开研究，如图①，将变阻器R的滑片从一端滑到另一端，绘制出变阻器R消耗的电功率P随电流I变化的关系图象，如图②所示，且该图象是经过原点的一条抛物线的一部分，则变阻器R消耗的电功率
P最大为(　　)
A．160 W B．180 W
C．200 W D．220 W
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【答案】D
5. 刀削面堪称天下一绝，传统的操作方法是一手托面，一手拿刀，直接将面削到开水锅里．如图，面刚被削离时与开水锅的高度差h＝0.45 m，与锅的水平距离L＝0.3 m，锅的半径R＝0.5 m．
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D
转化
回归
（二次函数的图象和性质）
拱桥问题
运动中的抛物线问题
（函数建模问题，营销问题）
建立恰当的直角坐标系
能够将实际距离准确的转化为点的坐标；
选择运算简便的方法
实际问题
数学模型
转化的关键
商品利润最大问题
建立函数关系式
总利润=单件利润×销售量或总利润=总售价-总成本
确定自变量取值范围
涨价：要保证销售量≥0；
降件：要保证单件利润≥0
确定最大利润
利用配方法或公式求最大值或利用函数简图和性质求出
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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