26.3.2二次函数与一元二次方程(不等式)的关系 课件(共46张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

(共46张PPT)
第 1 页：封面
标题：26.3.2 二次函数与一元二次方程（不等式）的关系
副标题：以形助数，以数解形的深度融合
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与核心关联梳理
一、学习目标
明确二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的内在逻辑关联，掌握三者的转化方法
能通过判别式判断二次函数与 x 轴的交点情况，熟练利用函数图象求不等式的解集
提升数形结合思想的应用能力，解决含参数、与几何结合的综合问题
二、核心关联图谱（三者的 “桥梁” 关系）
三、核心概念对应表
研究对象
核心要素
几何意义（二次函数图象视角）
代数意义（方程 / 不等式视角）
二次函数
解析式、顶点、对称轴、开口方向
抛物线的形状、位置、升降趋势
变量 x 与 y 的对应关系
一元二次方程
根的个数、根的值（△、求根公式）
抛物线与 x 轴交点的横坐标
使函数值 y=0 的自变量 x 的值
一元二次不等式
解集（x 的取值范围）
抛物线在 x 轴上方（>0）或下方（<0）对应的 x 取值区间
使函数值满足 y>0 或 y<0 的自变量 x 的集合
第 3 页：基础关联 1：二次函数与一元二次方程的关系
一、核心定理（交点与根的等价关系）
对于二次函数\( y = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）和一元二次方程\( ax^2 + bx + c = 0 \)：
抛物线与 x 轴的交点横坐标 方程的实数根，二者的对应关系由判别式\( \Delta = b^2 - 4ac \)决定。
二、三种情况全解析（结合图象与代数）
判别式情况
方程根的情况
抛物线与 x 轴的交点情况
图象示意（以 a>0 为例）
关键结论
\( \Delta > 0 \)
两个不相等的实数根\( x_1,x_2 \)
两个不同交点\( (x_1,0),(x_2,0) \)
抛物线与 x 轴相交于两点
对称轴\( x = \frac{x_1+x_2}{2} \)，交点距离\( |x_1-x_2| = \frac{\sqrt{\Delta}}{|a|} \)
\( \Delta = 0 \)
两个相等的实数根\( x_1 = x_2 = -\frac{b}{2a} \)
一个交点（顶点在 x 轴上）
抛物线与 x 轴相切于顶点
顶点坐标为\( (-\frac{b}{2a}, 0) \)，函数有最值 0
\( \Delta < 0 \)
没有实数根
没有交点
抛物线与 x 轴无公共点
函数值恒正（a>0）或恒负（a<0）
三、基础例题应用
例 1：已知二次函数\( y = x^2 - 4x + 3 \)，判断其与 x 轴的交点情况，并求交点坐标。
解：1. 计算判别式：\( \Delta = (-4)^2 - 4 \times 1 \times 3 = 16 - 12 = 4 > 0 \)；
2. 方程\( x^2 - 4x + 3 = 0 \)的根为\( x_1 = 1 \)，\( x_2 = 3 \)；
3. 故抛物线与 x 轴有两个交点，坐标为\( (1, 0) \)、\( (3, 0) \)。
例 2：若二次函数\( y = 2x^2 + kx + 3 \)的图象与 x 轴只有一个交点，求 k 的值。
解：1. 图象与 x 轴只有一个交点 \( \Delta = 0 \)；
2. 列方程：\( k^2 - 4 \times 2 \times 3 = 0 \)→\( k^2 = 24 \)；
3. 解得\( k = 2\sqrt{6} \)或\( k = -2\sqrt{6} \)。
第 4 页：基础关联 2：二次函数与一元二次不等式的关系
一、核心原理（图象位置与解集的对应）
一元二次不等式的解集，本质是二次函数图象在 x 轴特定区域（上方或下方）对应的 x 取值范围，开口方向（a 的符号）和交点横坐标（方程的根）是关键判断依据。
二、解集规律全表（分 a>0 和 a<0 两类）
不等式类型
当 a>0 时（抛物线开口向上）
当 a<0 时（抛物线开口向下）
记忆口诀
\( ax^2 + bx + c > 0 \)
若\( \Delta > 0 \)：\( x < x_1 \)或\( x > x_2 \)（\( x_1 < x_2 \)）；若\( \Delta = 0 \)：\( x \neq -\frac{b}{2a} \)；若\( \Delta < 0 \)：全体实数
若\( \Delta > 0 \)：\( x_1 < x < x_2 \)（\( x_1 < x_2 \)）；若\( \Delta = 0 \)：无解；若\( \Delta < 0 \)：无解
上正下负，开口定方向，交点分区间
\( ax^2 + bx + c < 0 \)
若\( \Delta > 0 \)：\( x_1 < x < x_2 \)（\( x_1 < x_2 \)）；若\( \Delta = 0 \)：无解；若\( \Delta < 0 \)：无解
若\( \Delta > 0 \)：\( x < x_1 \)或\( x > x_2 \)（\( x_1 < x_2 \)）；若\( \Delta = 0 \)：\( x \neq -\frac{b}{2a} \)；若\( \Delta < 0 \)：全体实数
上正下负，开口定方向，交点分区间
三、基础例题应用
例：已知二次函数\( y = -x^2 + 2x + 3 \)，求不等式\( -x^2 + 2x + 3 > 0 \)的解集。
解：1. 分析函数特征：a = -1 < 0，抛物线开口向下；
2. 求与 x 轴交点：解方程\( -x^2 + 2x + 3 = 0 \)→\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)→根为\( x_1 = -1 \)，\( x_2 = 3 \)；
3. 结合图象：开口向下，抛物线在 x 轴上方的部分对应 x 的范围为\( -1 < x < 3 \)；
4. 故不等式的解集为\( -1 < x < 3 \)。
第 5 页：进阶场景 1：含参数的综合问题
一、核心思路
含参数问题需结合 “判别式与交点的关系”“开口方向与不等式解集的关系”，建立关于参数的方程或不等式，进而求解参数的取值范围。
二、实例解析
例 1：已知二次函数\( y = (m - 1)x^2 + 2mx + m + 3 \)，若其图象与 x 轴有两个不同的交点，求 m 的取值范围。
解：1. 明确条件：图象与 x 轴有两个不同交点 ①是二次函数（a≠0）；②\( \Delta > 0 \)；
2. 列不等式组：\(
\begin{cases} m - 1 \neq 0 \\ (2m)^2 - 4(m - 1)(m + 3) > 0 \end{cases}
\)
3. 求解：
由\( m - 1 \neq 0 \)得\( m \neq 1 \)；
化简第二个不等式：\( 4m^2 - 4(m^2 + 2m - 3) > 0 \)→\( -8m + 12 > 0 \)→\( m < \frac{3}{2} \)；
综上：\( m < \frac{3}{2} \)且\( m \neq 1 \)。
例 2：若不等式\( kx^2 - 2x + k > 0 \)对任意实数 x 都成立，求 k 的取值范围。
解：1. 分类讨论：
当 k = 0 时，不等式化为\( -2x > 0 \)，解集为\( x < 0 \)，不满足 “任意实数 x”；
当 k ≠ 0 时，需满足：①开口向上（k > 0）；②与 x 轴无交点（\( \Delta < 0 \)）；
列不等式组：\(
\begin{cases} k > 0 \\ (-2)^2 - 4k \times k < 0 \end{cases}
\)
求解：
第二个不等式：\( 4 - 4k^2 < 0 \)→\( k^2 > 1 \)→\( k > 1 \)或\( k < -1 \)；
结合 k > 0，得\( k > 1 \)；
综上：k 的取值范围是\( k > 1 \)。
第 6 页：进阶场景 2：与几何图形结合的问题
一、核心思路
先根据几何图形的性质（如线段长度、位置关系、面积）转化为二次函数的图象特征（如交点坐标、函数值范围），再结合方程或不等式求解。
二、实例解析
例：在平面直角坐标系中，二次函数\( y = x^2 - 2x - 3 \)的图象与 x 轴交于 A、B 两点（A 在 B 左侧），与 y 轴交于点 C，求△ABC 的面积，并求当 y > 0 时，x 的取值范围。
解：1. 求交点坐标：
与 x 轴交点：解方程\( x^2 - 2x - 3 = 0 \)→\( x_1 = -1 \)，\( x_2 = 3 \)，故 A (-1, 0)、B (3, 0)；
与 y 轴交点：令 x = 0，得 y = -3，故 C (0, -3)；
计算△ABC 的面积：
底边 AB 长度：\( |3 - (-1)| = 4 \)；
高：点 C 到 x 轴的距离为 | -3 | = 3；
面积：\( \frac{1}{2} \times 4 \times 3 = 6 \)；
求 y > 0 时 x 的取值范围：
函数 a = 1 > 0，开口向上，与 x 轴交点为 - 1 和 3；
故 y > 0 时，x 的取值范围是\( x < -1 \)或\( x > 3 \)。
第 7 页：综合场景：方程、不等式与函数的融合应用
一、核心思路
当题目同时涉及函数图象、方程根、不等式解集时，需以 “图象” 为核心纽带，先明确函数的关键特征（开口、顶点、交点），再逐层转化条件求解。
二、实例解析
例：已知二次函数\( y = ax^2 + bx + c \)的图象经过点 (1, 0)、(0, 3)，且对称轴为直线 x = -1。
（1）求该二次函数的表达式；
（2）判断方程\( ax^2 + bx + c = 5 \)的根的情况；
（3）求不等式\( ax^2 + bx + c > 3 \)的解集。
解：（1）求表达式：
设顶点式\( y = a(x + 1)^2 + k \)，代入 (1, 0)、(0, 3)：\(
\begin{cases} a(1 + 1)^2 + k = 0 \\ a(0 + 1)^2 + k = 3 \end{cases}
\)
解得\( a = -1 \)，\( k = 4 \)，表达式为\( y = -(x + 1)^2 + 4 = -x^2 - 2x + 3 \)；
（2）判断方程\( -x^2 - 2x + 3 = 5 \)的根的情况：
整理方程：\( -x^2 - 2x - 2 = 0 \)→\( x^2 + 2x + 2 = 0 \)；
计算判别式：\( \Delta = 2^2 - 4 \times 1 \times 2 = 4 - 8 = -4 < 0 \)；
故方程没有实数根；
（3）求不等式\( -x^2 - 2x + 3 > 3 \)的解集：
整理不等式：\( -x^2 - 2x > 0 \)→\( x(x + 2) < 0 \)；
函数\( y = -x^2 - 2x + 3 \)与 y = 3 的交点：令\( -x^2 - 2x + 3 = 3 \)→x = 0 或 x = -2；
函数 a = -1 < 0，开口向下，故\( -x^2 - 2x + 3 > 3 \)对应 x 的范围为\( -2 < x < 0 \)；
解集为\( -2 < x < 0 \)。
第 8 页：课堂练习（分层设计）
一、基础巩固题
已知二次函数\( y = 2x^2 - 4x - 6 \)，其与 x 轴的交点坐标为______，不等式\( 2x^2 - 4x - 6 < 0 \)的解集为______（答案：(3,0)、(-1,0)；-1 < x < 3）；
若二次函数\( y = kx^2 + 2x - 1 \)的图象与 x 轴无交点，则 k 的取值范围是______（答案：k < -1）。
二、进阶提升题
已知二次函数\( y = x^2 - (m + 2)x + 2m \)，若其图象与 x 轴的两个交点之间的距离为 2，求 m 的值（答案：m = 0 或 m = 4）；
若不等式\( -x^2 + bx + c > 0 \)的解集为\( -1 < x < 3 \)，求该二次函数的表达式（答案：\( y = -x^2 + 2x + 3 \)）。
三、综合挑战题
二次函数\( y = x^2 - 2x - 3 \)的图象上有一点 P (x, y)，若点 P 在 x 轴上方，且到 y 轴的距离小于 2，求 x 的取值范围（答案：-2 < x < -1 或 1 < x < 2）。
第 9 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
核心关联：二次函数是 “母体”，一元二次方程是其 y=0 的特殊情况，一元二次不等式是其 y>0 或 y<0 的取值范围问题，三者通过 “图象” 紧密相连；
关键工具：判别式（判断交点 / 根的个数）、开口方向（判断不等式解集的趋势）、交点坐标（划分不等式的解集区间）；
思想方法：数形结合思想是解决此类问题的核心，需养成 “见数想形、见形思数” 的习惯。
二、作业布置
必做：完成教材中 “二次函数与方程、不等式” 的习题，涵盖基础判断与解集求解；
选做：已知二次函数\( y = ax^2 + bx + c \)的图象过点 (2, 5)，且当 x = 1 时，y 有最小值 3，求当 y ≥ 5 时 x 的取值范围（提示：先求表达式，再结合图象求解集）。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.3.2二次函数与一元二次方程
(不等式)的关系
第26章　二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
问题 如图，以 40 m/s 的速度将小球沿与地面成 30° 角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线，如果不考虑空气的阻力，球的飞行高度 h（单位：m）与飞行时间 t（单位：s）之间具有关系：
h = 20t - 5t2.
考虑以下问题：
(1) 小球的飞行高度能否达到 15 m？如果能，需要多少飞行时间？
h = 20t - 5t2
二次函数与一元二次方程的关系
O
h/m
t/s
15
1
3
故当小球飞行 1 s 或 3 s 时，它的高度为 15 m.
解：令 15 = 20t - 5t2，
整理，得 t2 - 4t + 3 = 0，
解得 t1 = 1， t2 = 3.
你能结合上图指出为什么在两个时间小球的高度为 15 m 吗？
(2) 小球的飞行高度能否达到 20 m？如果能，需要多少飞行时间？
你能结合图形指出为什么只在一个时间小球的高度为 20 m 吗？
O
h/m
t/s
20
2
解：令 20 = 20t - 5t2，
整理，得 t2 - 4t + 4 = 0，
解得 t1 = t2 = 2.
故当小球飞行 2 s 时，它的高度为 20 m.
h = 20t - 5t2
解：令 20.5 = 20t - 5t2，
整理，得 t2 - 4t + 4.1 = 0，
因为 Δ = (-4)2 - 4×4.1＜0，
所以方程无解.
故小球的飞行高度达不到 20.5 m.
(3)小球的飞行高度能否达到 20.5 m？为什么？
O
h/m
t/s
你能结合图形指出为什么小球不能达到 20.5 m 的高度吗
20.5
h = 20t - 5t2
(4) 小球从飞出到落地要用多少时间？
O
h/m
t/s
令 0 = 20t - 5t2，
整理，得 t2 - 4t = 0，
解得 t1 = 0，t2 = 4.
即当小球飞行 0 s 和 4 s 时，它的高度为 0 m.
故小球从飞出到落地要用 4 s 时间.
h = 20t - 5t2
解：小球飞出时和落地时的高度都为 0 m，
从上面发现，二次函数 y = ax2 + bx + c 何时为一元二次方程
一般地，当因变量 y 取某一个确定值时，二次函数为一元二次方程.
为一个常数
（确定值）
如：y = 5 时，则 5 = ax2 + bx + c 就是一个一元二次方程.
所以二次函数与一元二次方程关系密切．
例如，已知二次函数 y = －x2＋4x 的值为 3，求对应的自变量 x 的值，可以通过解一元二次方程－x2＋4x = 3（即 x2－4x＋3 = 0）得到．
反过来，解方程 x2－4x＋3 = 0 又可以看作已知二次函数 y = x2－4x＋3 的值为 0，求自变量 x 的值．
思考
观察思考下列二次函数的图象与 x 轴有交点吗？如果有，交点的横坐标是多少？当 x 取交点的横坐标时，函数的值是多少？由此你能得出相应的一元二次方程的根吗？
（1）y = x2 + x - 2；
（2）y = x2 - 6x + 9；
（3）y = x2 - x + 1.
利用二次函数深入探讨一元二次方程
1
x
y
O
y = x2－6x＋9
y = x2－x＋1
y = x2＋x－2
观察图象，完成下表：
抛物线与 x 轴交点个数 交点 横坐标 相应的一元二次
方程的根
y = x2 - x + 1
y = x2 - 6x + 9
y = x2 + x - 2
0 个
1 个
2 个
x2 - x + 1 = 0,无解
3
x2-6x+9=0,x1=x2=3
-2，1
x2+x-2=0,x1=-2,x2=1
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴交点情况 一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根 b2 - 4ac
有两个交点
有两个不相等的实数根
b2 - 4ac＞0
有一个交点
有两个相等的实数根
b2 - 4ac = 0
没有交点
没有实数根
b2 - 4ac＜0
知识要点
二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴的交点情况与一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的根的关系
例1 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).
(1) 求证：此抛物线与 x 轴总有交点；
证明：对于一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0(m ≠ 0)，
∵ Δ＝(m＋2)2－4m×2＝m2＋4m＋4－8m＝(m－2)2≥0，
∴ 一元二次方程 mx2－(m＋2)x＋2＝0 一定有两个根.
∴ 抛物线 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0) 与 x 轴总有公共点.
解：令 y＝0，则 (x－1)(mx－2)＝0，
∴ x－1＝0 或 mx－2＝0，
解得 x1＝1，x2＝ .
当正整数 m = 1 时，x2 为整数且 x1≠x2，即抛物线与 x 轴总有两个公共点，且它们的横坐标都是整数.
∴ 正整数 m 的值为 1.
例2 已知关于 x 的二次函数 y＝mx2－(m＋2)x＋2 (m ≠ 0).
(2) 若此抛物线与 x 轴总有两个交点，且它们的横坐标都是整数，求正整数 m 的值．
变式 已知抛物线 y＝x2＋ax＋a－2.
(1) 求证：不论 a 取何值，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个交点；
(2) 设这个抛物线与 x 轴相交于 A(x1，0)，B(x2，0)，且 x1、x2 的平方和为 3，求 a 的值．
(1) 证明：∵ a2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0，
∴ 不论 a 取何值，抛物线 y＝x2＋ax＋a－2 与 x 轴都有两个交点.
(2) 解：依题意知 x1＋x2＝－a，x1·x2＝a－2，
∴ x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1·x2＝a2－2a＋4＝3. ∴ a＝1.
例2 用图象法求一元二次方程 x + 2x - 1 = 0 的近似解
(精确到 0.1).
分析：一元二次方程 x + 2x - 1 = 0 的根就是抛物线 y = x + 2x - 1 与 x 轴的交点的横坐标，因此我们可以先画出这条抛物线，然后从图上找出它与 x 轴的交点的横坐标，这种解一元二次方程的方法叫做图象法.
利用二次函数求一元二次方程的近似解
解：画出函数 y = x + 2x - 1 的图象 (如图)，由图象可知，方程 x + 2x - 1 = 0 有两个实数根，一个在 -3 与 -2 之间，另一个在 0 与 1 之间.
x
y
O
先求位于 -3 到 -2 之间的根，由图象可估计这个根是 -2.5 或 -2.4，利用计算器进行探索，见下表：
x … -2.5 -2.4 …
y … 0.25 -0.04 …
观察上表可以发现，当 x 分别取 -2.5 和 -2.4 时，对应的 y 由正变负，可见在 -2.5 和 -2.4 之间肯定有一个 x 使 y = 0，即有方程 x2 - 2x -1 = 0 的一个根. 题目只要求精确到 0.1，这时取 x = -2.5 和 x = -2.4 作为根都符合要求.但当 x = -2.4 时 y 更接近 0，故 x1≈-2.4. 同理可得另一近似根为 x2≈0.4.
一元二次方程的图象解法
利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根.
(1) 用描点法作出二次函数的图象；
(2) 观察估计二次函数的图象与 x 轴的交点的横坐标；
由图象可知，图象与 x 轴有两个交点，其横坐标的取值范围，通过取平均数的方法不断缩小根所在的范围 (可将单位长再十等分，借助计算器确定其近似根).
(3) 确定方程的解.
由此可知，使二次函数的函数值更接近 0 的数，即为方程的近似解.
方法归纳
解析：由图象可得该抛物线的对称轴为
x＝－1，而对称轴右侧图象与 x 轴交点
到原点的距离约为 0.5，∴ x2≈0.5.
又∵ 对称轴为 x＝－1，∴ ＝－1.
∴ x1≈2×(－1)－0.5＝－2.5. 故选 B.
例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的近似根为(　　)
A．x1≈－2.1，x2≈0.1 B．x1≈－2.5，x2≈0.5
C．x1≈－2.9，x2≈0.9 D．x1≈－3，x2≈1
B
解答本题首先需要根据图象估计出一个根，再根据对称性计算出另一个根，估计值的精确程度，直接关系到计算的准确性，故估计尽量要准确．
方法总结
一元二次方程 ax2 + bx + c = m 的根就是二次函数 y = ax2 + bx + c 与直线 y = m (m 是实数) 图象交点的横坐标 .
既可以用求根公式求二次方程的根，也可以通过画二次函数图象来估计一元二次方程的根.
说一说
二次函数与一元二次不等式的关系
问题1 函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图，
那么方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 ；
不等式 ax2 + bx + c > 0 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 0 的解集是___________.
3
-1
O
x
y
x1 = 1，x2 = 3
x < 1 或 x > 3
1 < x < 3
合作探究
拓广探索：
函数 y = ax2 + bx + c 的图象如图，
那么方程 ax2 + bx + c = 2 的根是______________；
不等式 ax2 + bx + c > 2 的解集是______________；
不等式 ax2 + bx + c < 2 的解集是____________.
O
x
2
(4，2)
( 2，2)
x1 = 2，x2 = 4
x < 2 或 x > 4
2 < x < 4
y
2
4
问题2 如果不等式 ax2 + bx + c＞0 (a ≠ 0) 的解集是 x ≠ 2 的一切实数，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有____ 个交点，坐标是 . 方程 ax2 + bx + c = 0 的根是 .
1
(2 ，0)
x1 = x2 = 2
2
O
x
y
问题3 (1) 如果方程 ax2 + bx + c = 0 (a≠0) 没有实数根，那么函数 y = ax2 + bx + c 的图象与 x 轴有_____个交点；
(2) 不等式 ax2 + bx + c＜0 的解集是什么？
0
解：(1) 当 a＞0 时， ax2 + bx + c＜0 无解.
(2) a＜0 时，ax2 + bx + c＜0 的解集
是一切实数.
O
x
y
x
y
O
2
O
x
y
-1
2
x
y
O
y = -x2+x+2
试一试：利用函数图象解下列方程和不等式：
(1)① -x2+x+2=0；
② -x2+x+2>0；
③ -x2+x+2<0.
(2)① x2-4x+4=0；
② x2-4x+4>0；
③ x2-4x+4<0.
(3)① -x2+x-2=0；
② -x2+x-2>0；
③ -x2+x-2<0.
y = x2-4x+4
y = - x2+x -2
①x1 = -1，x2 = 2
③x＜-1或 x＞2
① x1 = x2 = 2
② x ≠ 2
③ 无解
① 无解
② 无解
③ x 为全体实数
②-1＜x＜2
二次函数 y = ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点 a＞0 a＜0
有两个公共点 (x1，0)，(x2，0) (x1＜x2)
有一个公共点(x0，0)
没有公共点
二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴公共点的坐标与一元二次不等式的关系
y＜0，x1＜x＜x2；
y＞0，x＜x1或x＞x2.
y＞0，x1＜x＜x2；
y＜0，x＜x1或x＞x2.
y＞0，x0之外的所有实数；y＜0，无解.
y＜0，x0之外的所有实数；y＞0，无解.
y＞0，所有实数；y＜0，无解.
y＜0，全体实数；y＞0，无解.
知识要点
判断方程 ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0，a，b，c 为常数) 的一个解 x 的范围是 ( )
A. 3＜x＜3.23 B. 3.23＜x＜3.24
C. 3.24＜x＜3.25 D. 3.25＜x＜3.26
x 3.23 3.24 3.25 3.26
y = ax2 + bx + c -0.06 -0.02 0.03 0.09
C
1. 根据下列表格的对应值：
2. 若二次函数 y = -x2 + 2x + k 的部分图象如图所示，且关于 x 的一元二次方程 -x2 + 2x + k = 0 的一个解 x1 = 3，则另一个解 x2 = .
-1
y
O
x
1
3
3. 一元二次方程 3x2 + x - 10 = 0 的两个根是 x1 = -2，x2 = ，那么二次函数 y = 3x2 + x - 10 与 x 轴的交点坐标是 .
(-2，0) 和 ( ，0)
4. 若一元二次方程 无实根，则抛物线
的图象位于 (　　)
A. x 轴上方 B. 第一、二、三象限
C. x 轴下方 D. 第二、三、四象限
A
5. 已知函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有交点，求 k 的取值范围．
解：当 k＝3 时，函数 y＝2x＋1，是一次函数．
∵ 直线 y＝2x＋1 与 x 轴有一个交点，∴ k＝3 符合题意.
当 k ≠ 3 时，函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1，是二次函数．
∵ 二次函数 y＝(k－3)x2＋2x＋1 的图象与 x 轴有公共点，
∴ Δ＝22－4(k－3)＝－4k＋16≥0，
即 k≤4 且 k ≠ 3.
综上所述，k 的取值范围是 k≤4.
1. 抛物线y＝－3x2－x＋4与x轴的交点有(　　)
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
C
[变式][2024长春]若抛物线y＝x2－x＋c(c是常数)与x轴没有交点，则c的取值范围是________．
【点方法】二次函数y＝ax2＋bx＋c，当b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点；当b2－4ac＝0时，图象与x轴有一个交点；当b2－4ac＜0时，图象与x轴没有交点．
返回
2. [教材P29做一做] 二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的解为(　　)
A．x1＝－4，x2＝2
B．x1＝－3，x2＝－1
C．x1＝－4，x2＝－2
D．x1＝－2，x2＝2
A
返回
返回
C
3. 如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象与x轴交于点(3，0)，对称轴为直线x＝1，对于整个抛物线来说，当y≤0时，x的取值范围是(　　)
A．0＜x≤3
B．－2≤x≤3　
C．－1≤x≤3
D．x≤－1或x≥3
4．[2024杭州月考]下表给出了二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一个近似解x1的范围为(　　)
A．0.6＜x1＜0.7 B．0.7＜x1＜0.8　
C．0.8＜x1＜0.9 D．0.9＜x1＜1
B
返回
x … 0.6 0.7 0.8 0.9 1 …
y … －0.44 －0.11 0.24 0.61 1 …
5．[2024信阳月考]如图，将二次函数y＝x2－4位于x轴下方的图象沿x轴翻折，得到一个新函数的图象(图中的实线)．
返回
(1)当x＝－3时，新函数值为________，当x＝1时，新函数值为________；
(2)当x＝________时，新函数有最小值；
(3)当新函数中函数值y随x的增大而增大时，自变量x的取值范围是________________；
(4)若直线y＝a与新函数的图象有两个公共点，则a的取值范围是____________．
5
3
－2或2
－2＜x＜0或x＞2
a＞4或a＝0
6．[2024宜春期中]二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
(1)求该二次函数的表达式；
【解】由题图知该二次函数的图象与x轴的交点坐标为(1，0)和(3，0)，顶点坐标为(2，－2)，
∴可设该二次函数的表达式为y＝a(x－2)2－2.
把(1，0)的坐标代入上式，得0＝a(1－2)2－2，解得a＝2.
∴该二次函数的表达式为y＝2(x－2)2－2＝2x2－8x＋6.
(2)直接写出不等式ax2＋bx＋c＞0的解集；
【解】由函数图象可知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为x＜1或x＞3.
返回
(3)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，直接写出k的取值范围．
【解】k＞－2
7. 将抛物线y＝2x2－12x＋22绕点(5，2)旋转180°后得到的新抛物线与坐标轴的交点个数是(　　)
A．3 B．2 C．1 D．0
b2-4ac 的符号
二次函数 y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根
不等式 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集
不等式 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集
x2
x1
x
y
O
O
x1= x2
x
y
O
y
x
b2-4ac＞0
b2-4ac＝0
b2-4ac＜0
x1，x2
x1 = x2 =
没有实数根
x＜x1 或 x＞x2
x ≠ x1的一切实数
全体实数
x1＜x＜x2
无解
无解
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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