26.3.3利用两个函数的图象求方程(组)和不等式的解集 课件(共42张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

(共42张PPT)
第 1 页：封面
标题：26.3.3 利用两个函数的图象求方程（组）和不等式的解集
副标题：以图象交点为核心的 “形解数” 方法
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
理解两个函数图象的交点坐标与对应方程（组）解的等价关系，能通过图象求方程（组）的解
掌握根据两个函数图象的上下位置关系，求对应不等式解集的方法
能解决一次函数与一次函数、一次函数与二次函数图象结合的综合问题，深化数形结合思想
二、知识衔接（回顾旧知，引出新知）
上节课核心：单个二次函数图象与 x 轴交点对应一元二次方程的根，图象位置对应不等式解集；
本节课延伸：当涉及两个函数（如\( y_1 = f(x) \)和\( y_2 = g(x) \)）时，通过图象的 “交点” 和 “上下位置”，可求解方程\( f(x) = g(x) \)和不等式\( f(x) > g(x) \)（或\( f(x) < g(x) \)），本质是 “比较两个函数值的大小”。
第 3 页：基础应用 1：利用两个函数图象求方程的解
一、核心原理（交点与方程解的对应）
对于任意两个函数\( y_1 = f(x) \)和\( y_2 = g(x) \)：
方程\( f(x) = g(x) \)的解 两个函数图象交点的横坐标，交点的纵坐标为对应函数值（相等）。
若两个函数图象有\( n \)个交点，则方程\( f(x) = g(x) \)有\( n \)个实数解；若无交点，则方程无实数解。
二、分类型实例解析
类型 1：一次函数与一次函数（\( y_1 = k_1x + b_1 \)，\( y_2 = k_2x + b_2 \)）
例 1：已知函数\( y_1 = 2x - 1 \)和\( y_2 = -x + 2 \)，在同一坐标系中画出它们的图象，求方程\( 2x - 1 = -x + 2 \)的解。
解：1. 画图象：
\( y_1 = 2x - 1 \)过点\( (0, -1) \)、\( (0.5, 0) \)；
\( y_2 = -x + 2 \)过点\( (0, 2) \)、\( (2, 0) \)；
找交点：两直线交于点\( (1, 1) \)；
得解：方程\( 2x - 1 = -x + 2 \)的解为\( x = 1 \)（交点横坐标）。
类型 2：一次函数与二次函数（\( y_1 = kx + b \)，\( y_2 = ax^2 + bx + c \)）
例 2：已知二次函数\( y_2 = x^2 - 2x - 3 \)和一次函数\( y_1 = x + 1 \)，结合图象求方程\( x^2 - 2x - 3 = x + 1 \)的解。
解：1. 整理方程：\( x^2 - 3x - 4 = 0 \)（代数法验证）；
2. 画图象：
\( y_2 = x^2 - 2x - 3 \)是开口向上的抛物线，顶点\( (1, -4) \)，与 x 轴交于\( (-1, 0) \)、\( (3, 0) \)；
\( y_1 = x + 1 \)过点\( (0, 1) \)、\( (-1, 0) \)；
找交点：抛物线与直线交于\( (-1, 0) \)和\( (4, 5) \)；
得解：方程的解为\( x = -1 \)和\( x = 4 \)（交点横坐标）。
第 4 页：基础应用 2：利用两个函数图象求不等式的解集
一、核心原理（图象位置与不等式解集的对应）
对于两个函数\( y_1 = f(x) \)和\( y_2 = g(x) \)：
不等式\( f(x) > g(x) \)的解集：在 x 轴上，所有使\( y_1 \)的图象在\( y_2 \)图象上方的 x 取值范围；
不等式\( f(x) < g(x) \)的解集：在 x 轴上，所有使\( y_1 \)的图象在\( y_2 \)图象下方的 x 取值范围；
关键：先找两函数图象的交点（划分区间的 “分界点”），再根据区间内的图象位置判断解集。
二、分类型实例解析
类型 1：一次函数与一次函数
例 3：结合例 1 中\( y_1 = 2x - 1 \)和\( y_2 = -x + 2 \)的图象，求不等式\( 2x - 1 > -x + 2 \)和\( 2x - 1 < -x + 2 \)的解集。
解：1. 明确交点：两直线交于\( (1, 1) \)，横坐标\( x = 1 \)是分界点；
2. 观察图象：
当\( x > 1 \)时，\( y_1 \)的图象在\( y_2 \)上方，故\( 2x - 1 > -x + 2 \)的解集为\( x > 1 \)；
当\( x < 1 \)时，\( y_1 \)的图象在\( y_2 \)下方，故\( 2x - 1 < -x + 2 \)的解集为\( x < 1 \)。
类型 2：一次函数与二次函数
例 4：结合例 2 中\( y_1 = x + 1 \)和\( y_2 = x^2 - 2x - 3 \)的图象，求不等式\( x^2 - 2x - 3 > x + 1 \)的解集。
解：1. 明确交点：两图象交于\( (-1, 0) \)和\( (4, 5) \)，分界点为\( x = -1 \)和\( x = 4 \)；
2. 观察图象（抛物线开口向上）：
当\( x < -1 \)或\( x > 4 \)时，抛物线（\( y_2 \)）在直线（\( y_1 \)）上方；
得解集：\( x < -1 \)或\( x > 4 \)。
第 5 页：进阶应用 1：利用两个函数图象求方程组的解
一、核心原理（方程组解与交点的对应）
对于二元方程组\( \begin{cases} y = f(x) \\ y = g(x) \end{cases} \)，其解是两个函数图象交点的横、纵坐标组成的有序实数对。
即：若两函数图象交于点\( (x_0, y_0) \)，则方程组的解为\( \begin{cases} x = x_0 \\ y = y_0 \end{cases} \)。
二、实例解析
例 5：已知函数\( y = 2x + 3 \)和\( y = x^2 + 2x - 1 \)，在同一坐标系中画出它们的图象，求方程组\( \begin{cases} y = 2x + 3 \\ y = x^2 + 2x - 1 \end{cases} \)的解。
解：1. 画图象：
\( y = 2x + 3 \)过\( (0, 3) \)、\( (-1.5, 0) \)；
\( y = x^2 + 2x - 1 \)是开口向上的抛物线，顶点\( (-1, -2) \)；
找交点：联立方程得\( x^2 + 2x - 1 = 2x + 3 \)→\( x^2 = 4 \)→\( x = 2 \)或\( x = -2 \)，对应 y 值为 7 和 - 1，故交点为\( (2, 7) \)、\( (-2, -1) \)；
得解：方程组的解为\( \begin{cases} x = 2 \\ y = 7 \end{cases} \)和\( \begin{cases} x = -2 \\ y = -1 \end{cases} \)。
第 6 页：进阶应用 2：含参数的两个函数图象问题
一、核心思路
含参数时，需根据参数对函数图象的影响（如直线的斜率、截距变化，抛物线的开口方向、顶点位置变化），分析交点个数与参数的关系，进而确定方程解的个数或不等式解集的情况。
二、实例解析
例 6：已知一次函数\( y = kx + 1 \)和二次函数\( y = x^2 - 2x + 2 \)，当 k 为何值时，两函数图象有两个不同的交点？有一个交点？无交点？
解：1. 联立方程：\( x^2 - 2x + 2 = kx + 1 \)→整理为\( x^2 - (k + 2)x + 1 = 0 \)；
2. 分析判别式（二次方程根的个数对应图象交点个数）：
判别式\( \Delta = [-(k + 2)]^2 - 4 \times 1 \times 1 = k^2 + 4k \)；
分情况讨论：
当\( \Delta > 0 \)时（\( k^2 + 4k > 0 \)→\( k < -4 \)或\( k > 0 \)）：方程有两个不同实根，两图象有两个不同交点；
当\( \Delta = 0 \)时（\( k^2 + 4k = 0 \)→\( k = -4 \)或\( k = 0 \)）：方程有两个相等实根，两图象有一个交点；
当\( \Delta < 0 \)时（\( k^2 + 4k < 0 \)→\( -4 < k < 0 \)）：方程无实根，两图象无交点。
第 7 页：综合应用：两个函数图象与实际问题
一、核心思路
实际问题中，先根据题意建立两个函数模型（如成本函数与收入函数、路程函数与时间函数），再通过图象的交点（如盈亏平衡点、相遇时间）和位置关系（如盈利 / 亏损区间、快慢关系）解决问题。
二、实例解析
例 7：某商店销售一种商品，成本函数（总成本 y 与销售量 x 的关系）为\( y_1 = 2x + 10 \)（单位：元），收入函数（总收入 y 与销售量 x 的关系）为\( y_2 = -x^2 + 8x \)（单位：元）。
（1）求销售量为多少时，商店不亏不赚（盈亏平衡）；
（2）求销售量为多少时，商店盈利（收入 > 成本）；
（3）求最大盈利额。
解：（1）盈亏平衡 \( y_1 = y_2 \)：
联立方程：\( 2x + 10 = -x^2 + 8x \)→\( x^2 - 6x + 10 = 0 \)？（此处计算错误，正确应为\( x^2 - 6x + 10 = 0 \)的判别式\( \Delta = 36 - 40 = -4 < 0 \)，说明题目需调整，正确收入函数应为\( y_2 = -x^2 + 8x + 5 \)，此时联立得\( x^2 - 6x + 5 = 0 \)→\( x = 1 \)或\( x = 5 \)，故销售量为 1 件或 5 件时盈亏平衡）；
（2）盈利 \( y_2 > y_1 \)：
结合图象（\( y_2 \)是开口向下的抛物线，交点为\( x = 1 \)和\( x = 5 \)），当\( 1 < x < 5 \)时，\( y_2 > y_1 \)，故销售量在 1~5 件（x 为正整数）时盈利；
（3）最大盈利额：
盈利函数\( y = y_2 - y_1 = (-x^2 + 8x + 5) - (2x + 10) = -x^2 + 6x - 5 \)；
顶点横坐标\( x = -\frac{6}{2 \times (-1)} = 3 \)，代入得\( y = -9 + 18 - 5 = 4 \)，故最大盈利额为 4 元。
第 8 页：课堂练习（分层设计）
一、基础巩固题
已知函数\( y_1 = 3x - 2 \)和\( y_2 = -2x + 3 \)，则方程\( 3x - 2 = -2x + 3 \)的解为______，不等式\( 3x - 2 > -2x + 3 \)的解集为______（答案：\( x = 1 \)；\( x > 1 \)）；
二次函数\( y = x^2 - 3x + 2 \)与一次函数\( y = x - 1 \)的交点坐标为______，对应方程\( x^2 - 3x + 2 = x - 1 \)的解为______（答案：\( (1, 0) \)、\( (3, 2) \)；\( x = 1 \)、\( x = 3 \)）。
二、进阶提升题
已知函数\( y = mx + 3 \)与\( y = x^2 - 2x + 4 \)的图象有两个不同交点，求 m 的取值范围（答案：\( m < 0 \)或\( m > 4 \)）；
结合函数\( y = 2x + 1 \)和\( y = -x^2 + 4x - 1 \)的图象，求不等式\( -x^2 + 4x - 1 < 2x + 1 \)的解集（答案：\( x < 1 \)或\( x > 2 \)）。
三、综合挑战题
甲、乙两车从同一地点出发，沿同一路线行驶，甲车的路程函数为\( y_1 = 20x \)（x 为时间，单位：小时；y 为路程，单位：千米），乙车的路程函数为\( y_2 = 5x^2 + 10x \)。求行驶多长时间后，乙车超过甲车？（答案：\( x > 2 \)小时）。
第 9 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
核心对应关系：
方程\( f(x) = g(x) \)的解 两函数图象交点的横坐标；
方程组\( \begin{cases} y = f(x) \\ y = g(x) \end{cases} \)的解 两函数图象交点的坐标；
不等式\( f(x) > (<)g(x) \)的解集 两函数图象上下位置对应的 x 范围。
关键步骤：画图象（或分析图象特征）→找交点（分界点）→分区间判断→得解（解集）。
思想方法：数形结合思想（用图象直观解决代数
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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26.3.3利用两个函数的图象求方程(组)和不等式的解集
第26章　二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
1. 已知一次函数 y = ax + b 的图象经过 A(2，0)， B(0，-1) 两点，则关于 x 的一元一次方程 ax + b = 0 的解为_______；关于 x 的一元一次不等式 ax + b≤0 的解集为_________.
x = 2
x≤2
1
1
2
x
y
A
B
O
2. 已知一次函数 y1 = ax + b 的图象经过 A(2，0)，
B (0，-1) 两点，y2 = kx + c 的图象经过 A(2，0)，C(0，2)
两点，则关于 x、y 的二元一次方程组
关于 x 的一元一次不等式
ax + b≤kx + c 的解集
为_________.
的解为_______；
1
1
2
y2
y1
x
y
A
B
C
O
3.已知二次函数 y = x2 + 5x - 6，该函数图象与 y 轴的交点坐标为_______，与 x 轴的交点坐标为_________________；根据图象可知当____________ 时，y＞0.
x
-6
1
y
(0，-6)
(-6，0)，(1，0)
x＜-6 或 x＞1
O
4.已知二次函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图所示，则一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 的解为_____________；当 时 y＜0；当_______时 y 随 x 的增大而减小.
x1 = -4，x2 = 2
x < -4 或 x > 2
x > -1
-4
2
x
y
-1
O
通过观察以下图象，一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 的解是_______________.
合作探究
x
y
k2
k1
二次函数 y = ax2 + bx+ c 的图象如图所示：
x1 = k1，x2 = k2
二次函数的图象与 x 轴的交点.
y = 0
利用两个函数图象求方程或方程组的解
O
问题1 二次函数 y = ax2 + bx+ c 的图象与 x 轴 (直线 y = 0) 的交点的横坐标是一元二次方程 ax2 + bx+ c = 0 的根，那么二次函数 y = ax2 + bx + c 与直线 y = h 的交点的横坐标是否也是某一个一元二次方程的根呢？
A (x1，ax2 + bx+ c)
x
y
思考：点 A 的坐标有几种表示方式？
答：是方程 ax2 + bx + c = h 的实数根.
O
x2
x1
或 (x1，h)
A
B
x
y
x1
x2
问题2 如图，二次函数 y = ax2 的图象与一次函数 的图象交于两点，观察以下图象，你能得到哪些信息？
x1 ，x2 可以看做是方程 ax2 = bx + c 的解.
(x1，y1 )， (x2，y2 ) 也可以看做是方程组 的解.
2
x
y
-2
O
1
-3
-4
-4
-6
-8
典例精析
例1 利用二次函数的图象求一元二次方程 x2 + 2x - 1 = 3 的近似根.
解：① 原方程可变形为
x2 + 2x - 4 = 0；
③观察估计抛物线
y = x2 + 2x - 4 和 x 轴的交点
的横坐标.
② 用描点法作二次函数
y = x2 + 2x - 4 的图象；
y = x2 + 2x - 4
由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在 -4 与 -3 之间，另一个在 1 与 2 之间，分别约为 -3.2 和 1.2.
④ 由此可知，一元二次方程 x2 + 2x - 1 = 3 的近似根为：x1≈3.2，x2≈1.2.
想一想：还有没有别的办法求这个方程的近似根？
① 用描点法作二次函数 y = x2 + 2x - 1 的图象；
③ 观察估计抛物线 y = x2 + 2x - 1 和直线 y = 3 的交点的横坐标；
② 作直线 y = 3；
方法二：
2
x
y
2
4
1
-3
-4
O
-2
由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在 -4 与 -3 之间，另一个在 1 与 2 之间，分别约为 -3.2 和 1.2.
④ 由此可知，一元二次方程 x2 + 2x - 1 = 3 的近似根为
x1≈3.2，x2≈1.2.
y=x2+2x-4
y = 3
方法三：
① 作二次函数 y = x2 的图象；
② 作一次函数 y = -2x + 4 的图象；
③ 观察估计抛物线 y = x2 和直线 y = -2x + 4 的交点的横坐标；
由图象可知，它们有两个交点，其横坐标一个在 -4 与 -3 之间，另一个在 1 与 2 之间，分别约为 -3.2 和 1.2.
2
x
y
2
4
1
-3
-4
o
-2
④ 由此可知，一元二次方程
x2 + 2x - 1 = 3 的近似根为 x1≈3.2，x2≈1.2.
y=x2+2x-4
y = 3
两个函数图象的交点坐标就是对应函数表达式所组成的方程组的解.
函数表达式对应方程的根，就是该函数图象与 x 轴交点的横坐标；
归纳总结
例2 已知抛物线 (a＞0) 与直线 相交于点 O（0，0）和点 A（3，2），求不等式 的解集.
分析：根据题目提供的条件，无法求出抛物线的表达式.因此，我们可以换一个思路，利用函数的图象来判求不等式的解集.
利用两个函数图象求不等式的解集
解：根据题目提供的条件，画出草图：
x
y
O
3
2
由图可知，不等式
的解集为 或
.
方法归纳
已知函数 y1＝x2 与函数 的图象大致如图，若 y1＜y2，则自变量 x 的取值范围是( )
做一做
A.
C.
B. 或
D. 或
A
解析：先根据方程 求出图象交点的横坐标，然后再结合图象，得出答案.
1.若二次函数 y = x2 + bx 的图象的对称轴是经过点
(2，0) 且平行于 y 轴的直线，则关于 x 的方程
x2 + bx = 5 的解为 ( )
A. x1 = 0，x2 = 4 B. x1 = 1，x2 = 5
C. x1 = 1，x2 = -5 D. x1 = -1，x2 = 5
D
2.若二次函数 y = ax2 + bx + c (a＜0) 的图象经过点 (2，0)，且其对称轴为 x = -1，则使函数值 y＞0 成立的 x 的取值范围是( )
A. x＜-4 或 x＞2 B. -4≤x≤2
C. x≤-4 或 x≥2 D. -4＜x＜2
D
3.二次函数 y = ax2 + bx + c (a ≠ 0，a，b，c 为常数)的图象如图所示，则方程 ax2 + bx + c = m 有实数根的条件是( )
A. m≥-2 B. m≥5 C. m≥0 D. m≥4
解析：方程 ax2 + bx + c = m 有实数根，即表示二次函数 y = ax2 + bx + c 的图象与直线 y = m 有交点.
A
x
y
4
O
5
-2
解：y1 = kx + 1 经过点 A(1，0)，
则 0 = k + 1，解得 k = -1.
y2 = ax2 + bx - 2 经过点 A(1，0)，
则 0 = a + b - 2 ①.
抛物线的对称轴是 ，故 ②，联立①②，解得
4. 如图，一次函数 y1= kx + 1 与二次函数 y2 = ax2 + bx - 2 交于 A、B 两点，且 A (1，0)，抛物线的对称轴是
(1) 求 k 和 a、b 的值；
x
y
A
O
B
(2) 求不等式 kx + 1＞ax2 + bx - 2 的解集.
解：解方程 -x + 1 = x2 + x - 2，得 x1 = -6，x2 = 1.
∴ 点 B 的横坐标为 -6.
根据图象可以看出，
kx + 1＞ax2 + bx - 2 的解集为
-6＜x＜1.
x
y
A
O
B
8．[2024安庆期中]在平面直角坐标系中，已知函数y1＝
x2＋ax＋1，y2＝x2＋bx＋2，y3＝x2＋cx＋4，其中a，b，c是正实数，且满足b2＝ac.设函数y1，y2，y3的图象与x轴的交点个数分别为M1，M2，M3，若M1＝1，M2＝0，则M3的值是(　　)
A．2 B．1或2 C．0 D．1
【答案】 C
返回
【点拨】如图①，当点P1(n，y1)，P2(n＋1，y2)，P3(n＋2，y3)三点同时在一次函数y＝kx＋b(k≠0)上时，过点P1作P1A⊥x轴于点A，过点P2作P2B⊥x轴于点B，过点P3作P3C⊥x轴于点C.
【答案】 B
返回
10. 若一个点的坐标满足(k，2k)，我们将这样的点定义为“倍值点”．若关于x的二次函数y＝(t＋1)x2＋(t＋2)x＋s(s，t为常数，t≠－1)总有两个不同的“倍值点”，则s的取值范围是(　　)
A．s<－1 B．s<0
C．0【点拨】 将点(k，2k)的坐标代入二次函数，得2k＝
(t＋1)k2＋(t＋2)k＋s，整理，得(t＋1)k2＋tk＋s＝0.由题意可知，(t＋1)k2＋tk＋s＝0总有两个不相等的实数根，∴Δ＝t2－4ts－4s>0，且对于任意的实数s，t2－4ts－4s>0总成立，故关于t的一元二次方程t2－4st－4s＝0没有实数根，故16s2＋16s<0，解得－1【答案】 D
返回
11．[2024连云港月考]二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则不等式a(x－2)2＋b(x－2)＋c＜0的解集为______________．
x＜3或x＞5
返回
且在移动过程中，线段DE上始终存在点P，使得三条线段PA，PB，PC能与某个等腰三角形的三条边对应相等．若线段DE的左端点D的横坐标为t，则t的取值范围是_____________．
返回
变 形
函数图象交点的横坐标
变 形
函数图象交点的横坐标
变形
变形
解集是抛物线图象在直线下方的点的横坐标所组成的取值范围
解集是抛物线图象在直线上方的点的横坐标所组成的取值范围
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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