27.1.1 圆的基本元素 课件(共35张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

(共35张PPT)
第 1 页：封面
标题：27.1.1 圆的基本元素
副标题：从生活实例到数学定义的精准剖析
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与生活引入
一、学习目标
理解圆的两种定义（动态、静态），能准确描述圆的形成过程
掌握圆的核心元素（圆心、半径、直径）和相关元素（弦、弧、圆心角）的概念及表示方法
明确各元素之间的数量关系（如直径与半径的关系），能结合图形识别并应用这些关系
感受圆的对称性，为后续学习圆的性质奠定基础
二、生活中的圆
实例展示：车轮、时钟表盘、摩天轮、光盘、圆形餐桌等（配图）；
思考提问：这些物体的形状有什么共同特点？为什么车轮要设计成圆形而不是方形或三角形？（引出圆的性质，激发学习兴趣）。
第 3 页：一、圆的定义（两种角度）
1. 动态定义（运动视角）
描述：在平面内，将一个定点与一个动点之间的距离保持不变，让动点绕定点旋转一周，动点所经过的轨迹就是圆；
关键要素：
定点：称为圆心（用字母\( O \)表示）；
动点与定点的距离：称为半径（用字母\( r \)表示，如线段\( OA \)，\( A \)为圆上任意一点）；
图形示意：画一个圆心为\( O \)、半径为\( r \)的圆，标注 “动点\( A \)绕\( O \)旋转一周” 的轨迹。
2. 静态定义（集合视角）
描述：在平面内，到一个定点（圆心\( O \)）的距离等于定长（半径\( r \)）的所有点的集合（或 “全体”）叫做圆；
补充说明：
圆上的点：到圆心距离等于半径的点（如\( A \)、\( B \)）；
圆内的点：到圆心距离小于半径的点（如\( P \)）；
圆外的点：到圆心距离大于半径的点（如\( Q \)）；
图形示意：在圆内标注\( P \)、圆外标注\( Q \)，用虚线连接\( OP \)、\( OQ \)，标注\( OP < r \)、\( OQ > r \)。
3. 圆的表示方法
用符号 “\( \odot \)” 表示圆，以\( O \)为圆心的圆记作 “\( \odot O \)”，读作 “圆\( O \)”；
注意：圆指的是 “轨迹” 或 “点的集合”，是曲线，不是 “圆形区域”（圆形区域称为 “圆面”）。
第 4 页：二、圆的核心元素（圆心、半径、直径）
1. 圆心（\( O \)）
定义：圆的中心定点，是圆的 “对称中心”；
作用：决定圆的位置（圆心在哪里，圆就在哪里）；
图形识别：在圆的中心标注\( O \)，明确 “圆心是唯一的”。
2. 半径（\( r \)）
定义：连接圆心和圆上任意一点的线段（如\( OA \)、\( OB \)）；
作用：决定圆的大小（半径越大，圆越大；半径越小，圆越小）；
关键性质：
同圆或等圆中，所有半径的长度都相等（如\( OA = OB = r \)）；
一个圆有无数条半径；
图形示意：在圆上取 3 个点\( A \)、\( B \)、\( C \)，连接\( OA \)、\( OB \)、\( OC \)，标注 “\( OA = OB = OC = r \)”。
3. 直径（\( d \)）
定义：经过圆心，并且两端都在圆上的线段（如\( AB \)）；
注意：“经过圆心” 和 “两端在圆上” 是直径的两个必备条件（缺一不可，如线段\( CD \)两端在圆上但不经过圆心，不是直径）；
关键性质：
同圆或等圆中，所有直径的长度都相等；
一个圆有无数条直径；
直径与半径的关系：\( d = 2r \)或\( r = \frac{d}{2} \)（直径是半径的 2 倍）；
图形示意：画一条经过圆心\( O \)的线段\( AB \)（\( A \)、\( B \)在圆上），标注 “直径\( AB \)”；再画一条不经过\( O \)的线段\( CD \)，标注 “\( CD \)不是直径”，对比两者差异。
4. 元素关系总结（核心）
元素
决定因素
数量
同圆 / 等圆中性质
圆心（\( O \)）
圆的位置
1 个
唯一，是对称中心
半径（\( r \)）
圆的大小
无数条
所有半径相等
直径（\( d \)）
圆的大小
无数条
所有直径相等，\( d = 2r \)
第 5 页：三、圆的相关元素（弦、弧、圆心角）
1. 弦
定义：连接圆上任意两点的线段（如\( CD \)、\( AB \)）；
与直径的关系：
直径是特殊的弦（经过圆心的弦）；
直径是圆中最长的弦（任意弦的长度都不超过直径）；
图形示意：画两条弦，一条是直径\( AB \)，一条是普通弦\( CD \)，标注 “弦\( CD \)”“直径\( AB \)（特殊弦）”，用刻度示意\( AB > CD \)。
2. 弧
定义：圆上任意两点间的部分叫做弧，用符号 “\( \frown \)” 表示；
弧的表示方法：
用两个端点字母表示（如弧\( CD \)记作 “\( \frown{CD} \)”）；
若两个端点间的弧有两条（优弧和劣弧），则优弧需加一个中间点（如弧\( CED \)记作 “\( \frown{CED} \)”，劣弧\( CD \)记作 “\( \frown{CD} \)”）；
弧的分类：
劣弧：小于半圆的弧（如\( \frown{CD} \)）；
半圆：等于圆周长一半的弧（如\( \frown{AB} \)，以直径\( AB \)为端点）；
优弧：大于半圆的弧（如\( \frown{CED} \)）；
图形示意：画一个圆，标注直径\( AB \)（分圆为两个半圆），再取圆上一点\( C \)、\( D \)，标注劣弧\( \frown{CD} \)、优弧\( \frown{CED} \)，用 “<半圆”“= 半圆”“> 半圆” 标注分类。
3. 圆心角
定义：顶点在圆心，两条边都与圆相交的角（如\( \angle AOB \)，顶点\( O \)在圆心，边\( OA \)、\( OB \)与圆相交于\( A \)、\( B \)）；
与弧的关系：一个圆心角对应一段弧（如\( \angle AOB \)对应弧\( AB \)），圆心角的度数等于它所对弧的度数；
图形示意：画圆心角\( \angle AOB \)，标注 “顶点\( O \)”“边\( OA \)、\( OB \)”“对应弧\( \frown{AB} \)”。
第 6 页：四、关键性质与易错点解析
1. 核心性质（同圆或等圆中）
半径相等、直径相等；
直径 = 2× 半径（\( d = 2r \)）；
直径是最长的弦；
圆心角的度数 = 所对弧的度数。
2. 易错点警示
易错点 1：混淆 “圆” 与 “圆面”—— 圆是曲线，圆面是圆形区域（如 “半径为 2 的圆” 指曲线，“半径为 2 的圆面” 指区域）；
易错点 2：误认 “弦” 为 “直径”—— 需满足 “经过圆心” 才是直径，仅 “两端在圆上” 的线段是普通弦；
易错点 3：优弧、劣弧表示错误 —— 优弧必须加中间点（如\( \frown{CED} \)不能记作\( \frown{CD} \)）；
易错点 4：忽略 “同圆或等圆” 前提 —— 只有在 “同圆或等圆” 中，半径、直径才相等（不同圆的半径可能不相等）。
3. 实例辨析（判断对错并说明理由）
直径是弦，弦是直径（×，弦不一定经过圆心，不是直径）；
圆有无数条半径，无数条直径（√，同圆中半径、直径数量无限）；
半径为 3 的圆，直径为 6（√，\( d = 2r = 6 \)）；
优弧\( \frown{AB} \)比劣弧\( \frown{AB} \)长（√，优弧大于半圆，劣弧小于半圆）。
第 7 页：五、例题讲解与图形识别
例题 1：基础识别（结合图形找元素）
如图，在\( \odot O \)中，找出所有的圆心、半径、直径、弦、劣弧、优弧、圆心角。
（配图：\( \odot O \)中，直径\( AB \)，弦\( CD \)、\( CE \)，圆上点\( A \)、\( B \)、\( C \)、\( D \)、\( E \)）
解：
圆心：\( O \)；
半径：\( OA \)、\( OB \)、\( OC \)、\( OD \)、\( OE \)；
直径：\( AB \)；
弦：\( AB \)、\( CD \)、\( CE \)；
劣弧：\( \frown{AB} \)（半圆）、\( \frown{CD} \)、\( \frown{CE} \)、\( \frown{DE} \)；
优弧：\( \frown{CDE} \)、\( \frown{CED} \)（需加中间点）；
圆心角：\( \angle AOC \)、\( \angle COE \)、\( \angle EOB \)、\( \angle AOB \)（平角）。
例题 2：数量关系计算
已知\( \odot O \)的半径\( r = 4 \, \text{cm} \)，求：
（1）直径\( d \)的长度；
（2）若弦\( CD = 6 \, \text{cm} \)，判断\( CD \)是否为直径，并说明理由。
解：
（1）由\( d = 2r \)，得\( d = 2 \times 4 = 8 \, \text{cm} \)；
（2）\( CD \)不是直径，理由：直径是圆中最长的弦，长度为 8 cm，而\( CD = 6 \, \text{cm} < 8 \, \text{cm} \)，故不是直径。
第 8 页：课堂练习（分层设计）
一、基础题
圆的位置由______决定，圆的大小由______决定（答案：圆心；半径）；
在同圆中，若半径为 5，则直径为______；若直径为 12，则半径为______（答案：10；6）；
下列说法正确的是（ ）（答案：C）
A. 圆是圆形区域 B. 弦是直径 C. 直径是最长的弦 D. 优弧用两个字母表示
二、提升题
如图，\( \odot O \)中，\( AB \)是直径，\( OC = OD = 3 \)，求\( AB \)的长度及弧\( CD \)对应的圆心角（答案：\( AB = 6 \)；圆心角\( \angle COD \)）；
若一个圆的直径为\( 10 \, \text{cm} \)，则圆上任意两点间的最大距离是多少？（答案：10 cm，即直径长度）。
第 9 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
核心定义：圆的两种定义（动态：动点旋转；静态：点的集合）；
关键元素：
核心元素：圆心（定位置）、半径（定大小）、直径（\( d = 2r \)，最长弦）；
相关元素：弦（连接圆上两点）、弧（优弧、劣弧、半圆）、圆心角（顶点在圆心）；
重要性质：同圆或等圆中，半径、直径相等；直径是最长的弦。
二、作业布置
必做：教材中 “圆的基本元素” 基础习题，画出一个圆并标注所有学过的元素；
选做：思考 “为什么车轮设计成圆形？结合圆的半径相等性质说明”，撰写一段简短的文字解释。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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27.1.1 圆的基本元素
第27章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
观察下列生活中的图片，找一找你所熟悉的图形.
图片引入
骑车运动
看了此画，你有何想法
情景： 一些学生正在做投圈游戏，他们呈“一”字排开.这样的队形对每一人都公平吗？你认为他们应当排成什么样的队形？
探究圆的定义
合作探究
甲
丙
乙
丁
为了使游戏公平，
应在目标周围围成一个圆圈排队，
因为圆上各点到圆心的距离都相等.
为什么？
r
O
问题1 观察画圆的过程，你能说出圆是如何画出来的吗？
圆的旋转定义
在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点 O 旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆．以点 O 为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”.
有关概念
固定的端点 O 叫做圆心，线段 OA 叫做半径，一般用 r 表示．
A
一是圆心，圆心确定其位置；二是半径，半径确定其大小．
同心圆
等圆
半径相同，圆心不同
圆心相同，半径不同
确定一个圆的要素
o

要点归纳
同圆半径相等.
典例精析
例1 矩形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O.
求证：A、B、C、D 在以 O 为圆心的同一圆上.
A
B
C
D
O
证明：∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴ AO = OC，OB = OD.
又∵ AC = BD，
∴ OA = OB = OC = OD.
∴ A、B、C、D 在以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆上.
弦：
·
C
O
A
B
连接圆上任意两点的线段(如图中的 AC)叫做弦.
经过圆心的弦(如图中的 AB)叫做直径.
1. 弦和直径都是线段；
2. 直径是弦,是经过圆心的特殊弦，是圆中最长的弦，但弦不一定是直径.
注意
圆的有关概念
弧:
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆.
半圆
劣弧与优弧
曲线 BC、BAC 都是⊙O 中的弧.
以 A、B 为端点的弧记作 ，读作“圆弧 AB”或“弧 AB”.
AB
(
·
C
O
A
B
像弧 BC 这样小于半圆周的圆弧叫做劣弧，如 ；
像弧 BAC 这样大于半圆周的圆弧叫做优弧，如 .
等圆：
能够重合的两个圆叫做等圆.
容易看出：
等圆是两个半径相等的圆.
等弧：
在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧.
·
C
O
A
·
C
O1
A
例2 如图.
(1) 请写出以点 A 为端点的劣弧及优弧；
(2) 请写出以点 A 为端点的弦及直径；
弦 AF，AB，AC. 其中弦 AB 也是直径.
(3) 请任选一条弦，写出这条弦所对的弧.
A
B
C
E
F
D
O
劣弧：
优弧：
答案不唯一，如：弦 AF，它所对的弧是 和 .
要点归纳
1.根据圆的定义，“圆”指的是“圆周”，而不是“圆面”．
2.直径是圆中最长的弦.
附图解释：
·
C
O
A
B
连接 OC，
在△AOC 中，根据三角形三边关系有AO+OC > AC，
而AB = 2OA，AO = OC，所以AB＞AC.
例3如图，MN 是半圆 O 的直径，正方形 ABCD 的顶点A、D在半圆上，顶点 B、C 在直径 MN 上，求证：OB = OC.
连 OA，OD 即可，
同圆的半径相等.
Ⅰ
Ⅱ
10
？
x
2x
在Rt△ABO 中，
算一算：设在例3中，⊙O 的半径为 10，则正方形ABCD 的边长为 .
x
x
x
x
变式：如图，在扇形 MON 中， ，半径 MO = NO = 10，正方形 ABCD 的顶点 B、C、D 在半径上，顶点 A 在圆弧上，求正方形 ABCD 的边长.
解：连接 OA.
∵ABCD 为正方形
∴DC = CO
设OC = x，则AB = BC = DC = OC = x
又∵OA = OM = 10
∴在Rt△ABO 中，
∴AB = BC = CD ∠ABC = ∠DCB = 90°
又∵∠DOC = 45°
概念学习
O
A
B
M
1. 圆心角：顶点在圆心，角的两边与圆相交的角叫圆心角，如∠AOB .
3.圆心角∠AOB 所对的弦为 AB.
2.圆心角∠AOB 所对的弧为 .
圆心角
判断下列各图中的角是不是圆心角，并说明理由.
不是
不是
不是
是
练一练
1. 填空：
（1）______是圆中最长的弦，它是______的 2 倍．
（2）图中有 条直径， 条非直径的弦，
圆中以 A 为一个端点的优弧有 条，劣弧
有 条．
直径
半径
1
2
4
4
A
B
C
D
O
F
E
2. 判断下列说法的正误，并说明理由或举反例.
(1)弦是直径；
(2)半圆是弧；
(3)过圆心的线段是直径；
(4)过圆心的直线是直径；
(5)半圆是最长的弧；
(6)直径是最长的弦；
(7)长度相等的弧是等弧.
3.如图，AB 是⊙O 的直径，点 C、D 在⊙O 上，且点 C、D 在 AB 的异侧，连接 AD、OD、OC．若∠AOC = 70°，且 AD∥OC，求∠AOD 的度数.
解：∵AD∥OC，
∴∠DAO =∠AOC = 70°.
又∵OD = OA，
∴∠ADO = ∠DAO = 70°.
∴∠AOD = 180－70°－70° = 40°．
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1. “车轮为什么都做成圆形？”下面解释最合理的是(　　)
A．圆形是轴对称图形
B．圆形特别美观大方
C．圆形是曲线图形
D．从圆心到圆上任意一点的距离都相等
D
2．已知⊙O的半径是4 cm，则⊙O中最长的弦长是(　　)
A．4 cm B．6 cm C．8 cm D．10 cm
C
返回
返回
120°
3．如图，A，B是⊙O上两个点，若∠OAB＝30°，则∠AOB＝________.
4．如图，在⊙O中，弦有________，直径是________，优弧有____________，劣弧有____________．
AC，AB
返回
AB
5．以定点O为圆心，定长a为半径，回答问题：
(1)这样的圆可以作________个；
(2)圆心可以确定圆的________；
(3)半径可以确定圆的________；
(4)圆将平面分为________部分，分别称为圆________，圆的________，圆的________．
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1
位置
大小
三
圆周
外部
内部
6．如图，圆O的周长为4π，B是弦CD上任意一点(与C，D不重合)，过点B作OC的平行线交OD于点E，则EO＋EB＝________.
2
【点拨】∵⊙O的周长为4π，
∴⊙O的半径为2，即OD＝2.
∵OC＝OD，∴∠C＝∠D.
∵BE∥OC，∴∠EBD＝∠C，∴∠EBD＝∠D.
∴BE＝DE，∴EO＋EB＝EO＋DE＝OD＝2.
返回
7．如图，点A，B，C是⊙O上的三点，BO平分∠ABC.求证：BA＝BC.
【证明】连结OA，OC，AC，如图．
∵OA＝OB，OB＝OC，
∴∠ABO＝∠BAO，∠CBO＝∠BCO.
∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠CBO.
∴∠BAO＝∠BCO.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
∴∠BAO＋∠OAC＝∠BCO＋∠OCA，
即∠BAC＝∠BCA.∴AB＝BC.
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8．[2024绥化期末]下列说法：
①弦是直径；
②半圆是弧；
③过圆心的线段是直径；
④圆心相同半径相同的两个圆是同心圆，
其中错误的有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
返回
C
9．如图，点A，D，G，M在半圆O上，四边形ABOC，四边形DEOF，四边形HMNO均为矩形，设BC＝a，EF＝b，NH＝c，则下列各式中正确的是(　　)
A．a＞b＞c
B．c＞a＞b
C．a＝b＝c
D．b＞c＞a
圆
定义
要画一个确定的圆，关键是确定圆心和半径
同圆半径相等
有关
概念
弦(直径)
直径是圆中最长的弦
弧
半圆是特殊的弧
半圆
劣弧
优弧
等圆
同圆
等弧
能够互相重合的两段弧
圆心角
顶点在圆心，并且两边都和圆周相交的角　
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！