27.1.2.1 圆的对称性 课件(共31张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 27.1.2.1 圆的对称性 课件(共31张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-19 05:58:59 | ||
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文档简介
(共31张PPT)
第 1 页：封面
标题：27.1.2.1 圆的对称性
副标题：从直观操作到性质应用的深度探究
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
理解圆的两种对称性（轴对称性、中心对称性），能通过折叠、旋转操作验证对称性
掌握圆的轴对称性相关性质（垂径定理的预备知识）和中心对称性的核心特征
能运用圆的对称性解决简单的线段相等、弧相等问题，培养直观想象与逻辑推理能力
二、知识衔接（回顾旧知）
上节课核心：圆的基本元素（圆心、半径、直径、弦、弧、圆心角），明确 “同圆或等圆中半径相等、直径相等”；
思考提问：圆作为特殊的平面图形，是否具有对称性？若有，它的对称形式与之前学过的等腰三角形、平行四边形有何不同？
第 3 页：一、圆的轴对称性（对折重合）
1. 轴对称性的验证（动手操作）
操作步骤：
取一张圆形纸片，在圆上任意画一条直径\( AB \)；
将圆形纸片沿着直径\( AB \)所在直线对折；
观察结果：对折后，圆的左右两部分完全重合，说明圆是轴对称图形；
关键结论：圆有无数条对称轴，每一条对称轴都经过圆心（即 “直径所在的直线是圆的对称轴”）。
2. 轴对称性的几何表述
若直线\( l \)是\( \odot O \)的对称轴，则直线\( l \)必经过圆心\( O \)；
反过来，经过圆心\( O \)的任意一条直线，都是\( \odot O \)的对称轴（如直径\( CD \)、\( EF \)所在直线，均为对称轴）；
图形示意：画一个\( \odot O \)，标注多条经过圆心的直线（直径所在直线），用虚线表示对折重合的痕迹，直观展示 “无数条对称轴”。
3. 轴对称性的初步应用（线段与弧的关系）
性质推导：若将\( \odot O \)沿直径\( AB \)对折，圆上任意一点\( P \)会与另一点\( P' \)重合（对称点），则：
线段\( OP = OP' \)（半径相等）；
弦\( AP = AP' \)，弦\( BP = BP' \)；
弧\( \frown{AP} = \frown{AP'} \)，弧\( \frown{BP} = \frown{BP'} \)；
核心结论：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧（垂径定理的简化表述，为后续详细学习铺垫）；
图形示意：画\( \odot O \)及直径\( AB \)，作弦\( CD \perp AB \)于点\( M \)，标注对折后\( C \)与\( D \)重合，\( M \)为\( CD \)中点，\( \frown{AC} = \frown{AD} \)，\( \frown{BC} = \frown{BD} \)。
第 4 页：二、圆的中心对称性（旋转重合）
1. 中心对称性的验证（动手操作）
操作步骤：
取一张圆形纸片，标记圆心\( O \)；
将圆形纸片绕圆心\( O \)顺时针（或逆时针）旋转\( 180^\circ \)；
观察结果：旋转后，圆上任意一点都能与圆上另一点完全重合，说明圆是中心对称图形；
关键结论：圆的对称中心就是圆心\( O \)（唯一的对称中心）。
2. 中心对称性的延伸（旋转任意角度的性质）
进一步操作：将圆形纸片绕圆心\( O \)旋转任意一个角度\( \alpha \)（如\( 30^\circ \)、\( 90^\circ \)、\( 120^\circ \)）；
观察结果：无论旋转多少度，圆都能与自身完全重合（这种性质称为 “旋转不变性”）；
核心结论：圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合，这是圆特有的性质（区别于平行四边形 “旋转\( 180^\circ \)重合”）；
图形示意：画\( \odot O \)，标注圆上一点\( A \)，绕\( O \)旋转\( 60^\circ \)后得到点\( A_1 \)，旋转\( 120^\circ \)后得到点\( A_2 \)，展示\( A \)、\( A_1 \)、\( A_2 \)均在圆上，圆的形状位置不变。
3. 中心对称性的几何应用（圆心角、弧、弦的关系）
性质推导：若将\( \odot O \)绕圆心\( O \)旋转\( 180^\circ \)，圆心角\( \angle AOB \)会与\( \angle A'OB' \)重合（\( A' \)、\( B' \)为\( A \)、\( B \)的对称点），则：
圆心角\( \angle AOB = \angle A'OB' \)；
弧\( \frown{AB} = \frown{A'B'} \)；
弦\( AB = A'B' \)；
核心结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（为后续圆心角定理铺垫）；
图形示意：画\( \odot O \)，作两个相等的圆心角\( \angle AOB = \angle COD \)，标注旋转后\( OA \)与\( OC \)重合，\( OB \)与\( OD \)重合，故\( \frown{AB} = \frown{CD} \)，\( AB = CD \)。
第 5 页：三、两种对称性的对比与总结
1. 对称性特征对比表
对称性类型
对称形式
对称中心 / 对称轴
关键性质
适用场景
轴对称性
对折重合（直线对称）
无数条对称轴（直径所在直线）
对称轴必过圆心；垂直于弦的直径平分弦与弧
解决弦的中点、弧的相等问题
中心对称性
旋转\( 180^\circ \)重合
1 个对称中心（圆心\( O \)）
旋转任意角度与自身重合；等圆心角对等弧、等弦
解决圆心角、弧、弦的数量关系问题
2. 对称性的核心关联
两种对称性均围绕 “圆心” 展开：轴对称性的对称轴过圆心，中心对称性的对称中心是圆心；
利用对称性可快速推导圆的重要性质（垂径定理、圆心角定理），是后续学习圆的计算与证明的基础；
图形示意：将两种对称性的图形合并，标注对称轴（过圆心的直线）和对称中心（圆心），直观展示 “圆心是对称性的核心”。
第 6 页：四、易错点解析与实例辨析
1. 易错点警示
易错点 1：误将 “直径” 当作对称轴 —— 圆的对称轴是 “直径所在的直线”，而非 “直径本身”（直径是线段，对称轴是直线）；
易错点 2：认为圆的对称轴只有有限条 —— 圆有无数条对称轴，所有经过圆心的直线都是对称轴；
易错点 3：忽略 “同圆或等圆” 前提 —— 中心对称性中 “等圆心角对等弧、等弦” 的性质，仅在同圆或等圆中成立（不同圆的半径不同，无法直接比较）；
易错点 4：混淆 “旋转不变性” 与 “中心对称性”—— 中心对称性是 “旋转\( 180^\circ \)重合”，而旋转不变性是 “旋转任意角度重合”，后者范围更广。
2. 实例辨析（判断对错并说明理由）
圆的对称轴是直径（×，对称轴是直径所在的直线，不是直径线段）；
圆有无数条对称轴，每一条都经过圆心（√，符合轴对称性特征）；
将圆绕圆心旋转\( 90^\circ \)，圆会与自身重合（√，圆具有旋转不变性）；
两个不同的圆，若圆心角相等，则所对的弧也相等（×，需 “同圆或等圆” 前提，不同圆半径不同，弧长不同）。
第 7 页：五、例题讲解与应用
例题 1：利用轴对称性求线段长度
已知\( \odot O \)的半径为\( 5 \, \text{cm} \)，直径\( AB \perp \)弦\( CD \)于点\( M \)，且\( OM = 3 \, \text{cm} \)，求弦\( CD \)的长度。
解：1. 连接\( OC \)（半径），则\( OC = 5 \, \text{cm} \)；
2. 由圆的轴对称性（垂径定理），\( AB \perp CD \)且\( AB \)是直径，故\( CM = MD = \frac{1}{2}CD \)（直径平分弦）；
3. 在\( \text{Rt}\triangle OMC \)中，由勾股定理：\( CM^2 + OM^2 = OC^2 \)；
代入数据：\( CM^2 + 3^2 = 5^2 \)→\( CM^2 = 16 \)→\( CM = 4 \, \text{cm} \)；
4. 故\( CD = 2CM = 8 \, \text{cm} \)。
例题 2：利用中心对称性判断弧的关系
在\( \odot O \)中，圆心角\( \angle AOB = 60^\circ \)，将\( \odot O \)绕圆心\( O \)旋转\( 180^\circ \)，得到\( \angle A'OB' \)（\( A' \)、\( B' \)为\( A \)、\( B \)的对称点），判断弧\( \frown{AB} \)与弧\( \frown{A'B'} \)的关系，并说明理由。
解：1. 由圆的中心对称性，旋转\( 180^\circ \)后，点\( A \)与\( A' \)重合，点\( B \)与\( B' \)重合；
2. 故圆心角\( \angle AOB = \angle A'OB' = 60^\circ \)（重合的角相等）；
3. 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，因此\( \frown{AB} = \frown{A'B'} \)。
第 8 页：课堂练习（分层设计）
一、基础题
圆是轴对称图形，它的对称轴是______；圆也是中心对称图形，它的对称中心是______（答案：直径所在的直线；圆心）；
若\( \odot O \)的半径为\( 6 \, \text{cm} \)，一条直径垂直于弦\( EF \)，垂足为\( N \)，且\( ON = 3 \, \text{cm} \)，则弦\( EF \)的长度为______（答案：\( 6\sqrt{3} \, \text{cm} \)）；
下列说法错误的是（ ）（答案：B）
A. 经过圆心的直线是圆的对称轴 B. 圆的对称轴是直径 C. 圆绕圆心旋转\( 180^\circ \)能与自身重合 D. 同圆中，等圆心角对等弦
二、提升题
如图，在\( \odot O \)中，\( AB \)是直径，\( CD \)是弦，且\( AB \parallel CD \)，若\( \frown{AC} = 60^\circ \)，求\( \frown{CD} \)的度数（答案：\( 60^\circ \)，提示：利用轴对称性，\( \frown{AC} = \frown{BD} = 60^\circ \)，圆周角为\( 360^\circ \)，故\( \frown{CD} = 360^\circ - 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \)）；
利用圆的对称性说明 “为什么车轮设计成圆形，行驶时车身保持平稳”（答案：车轮圆心到地面距离始终等于半径，半径不变，故车身平稳）。
第 9 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
圆的两种对称性：
轴对称性：无数条对称轴（直径所在直线），核心是 “对折重合”，衍生 “垂径定理” 初步性质；
中心对称性：1 个对称中心（圆心），核心是 “旋转\( 180^\circ \)重合”，延伸 “旋转不变性”，衍生 “等圆心角对等弧、等弦” 性质；
关键关联：两种对称性均以 “圆心” 为核心，是推导圆后续性质的基础；
思想方法：通过直观操作（折叠、旋转）验证对称性，培养 “从具体到抽象” 的几何思维。
二、作业布置
必做：教材中 “圆的对称性” 基础习题，完成 2 道利用轴对称性求弦长的题目；
选做：设计一个实验，验证 “圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合”，并记录实验步骤与观察结果。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
27.1.2.1 圆的对称性
第27章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
情境引入
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是
什么？你能找到多少条对称轴？
问题2 你是怎么得出结论的？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法
● O
探究归纳
圆的对称性
问题3 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
我们探索发现圆是一个旋转对称图形，绕圆心旋转 180 度还是多少度后，它都能与自身重合，
对称中心即为圆心.
.
O
A
B
180°
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
探究归纳
O
α
·
在同圆中探究
C
·
O
A
B
D
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么， ，弦AB = 弦CD
在⊙O中，如果∠AOB = ∠COD，那么， 与 ，弦 AB 与弦 CD 有怎样的数量关系？
圆心角、弧、弦之间的关系
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB = ∠COD
③AB = CD
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
A
B
O
D
C
②
想一想：定理“在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对弧相等，所对的弦相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
要点归纳
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
如图，在等圆中，如果圆心角∠AOB ＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？
在等圆中探究
O′
·
O
A
B
·
C
D
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB =∠CO′D，那么 ，弦 AB = 弦 CD.
归纳
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
关系结构图
温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.
在同圆或等圆中
(3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ）
(2) 等弧所对的弦相等. （ ）
(1) 等弦所对的弧相等. （ ）
×
×
√
判断正误：
辨一辨
典例精析
关系定理及推论的运用
解：
∵
·
A
O
B
C
D
E
例1 如图，AB 是⊙O 的直径，
∠COD = 35°，求∠AOE 的度数．
∴∠BOC =∠COD =∠DOE = 35°.
∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°.
∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形.
又∵∠ACB = 60°，
∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA.
∴∠AOB =∠BOC =∠AOC.
A
B
C
O
方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝.
例2 如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
证明：∵ = ，
填一填： 如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦．
(1) 如果 AB = CD，那么_________，______________．
(2) 如果 ，那么_________，_____________．
(3) 如果∠AOB = ∠COD，
那么__________，_________．
·
C
A
B
D
O
AB = CD
AB = CD
∠AOB = ∠COD
∠AOB = ∠COD
针对训练
(4) 如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？
解：OE = OF.
理由如下：
∵△OAB 和△OCD 均为等腰三角形
OE⊥AB，OF⊥CD，
∴ AE = AB，CF = CD.
又∵ AB = CD，
∴ AE = CF.
又∵ OA = OC，
∴ Rt△AOE≌Rt△COF(H.L.)
∴OE = OF.
·
C
A
B
D
E
F
O
1. 如果两个圆心角相等，那么 ( )
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦和弧分别相等
D．以上说法都不对
2. 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 °.
D
60
3. 如图，已知 AB、CD 为⊙O 的两条弦，
求证：AB＝CD.
C
A
B
D
O
.
A
B
C
D
E
O
能力提升：
4. 如图，在☉O 中，∠COD = 2∠AOB，那么 = 2
成立吗？CD = 2AB 呢？如果成立，请说明理由；如
果不成立，那它们之间的关系又是什么？
解： = 2 成立，CD = 2AB 不成立.
理由如下：取 的中点 E，连接 OE，
CE，DE，那么∠AOB =∠COE =∠DOE.
所以 = = ， = 2 ，AB = CE = DE.
在△CDE 中，CE + DE > CD，故 CD ＜ 2AB.
返回
1．下列说法中，不正确的是( )
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合
C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D．圆的每一条直径都是它的对称轴
D
2．如图，在⊙O中，弦AB＝CD，图中的线段、圆心角、劣弧分别具有相等关系的量(不包含AB＝CD)共有( )
A．10组
B．7组
C．6组
D．5组
返回
A
返回
C
3．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，AD＝BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是( )
A．AB＝AD
B．BE＝CD
C．AC＝BD
D．BE＝AD
返回
返回
【答案】 B
5. 如图，三圆同心于O，AB＝6 cm，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积为________cm2.
返回
6. [教材P45习题T4]如图，AB是⊙O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，求∠AOC与∠COF的度数．
返回
弧、弦、圆心角的关系定理及推论
在同圆或等圆中
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
圆心角
概念：顶点在圆心的角
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面
标题：27.1.2.1 圆的对称性
副标题：从直观操作到性质应用的深度探究
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
理解圆的两种对称性（轴对称性、中心对称性），能通过折叠、旋转操作验证对称性
掌握圆的轴对称性相关性质（垂径定理的预备知识）和中心对称性的核心特征
能运用圆的对称性解决简单的线段相等、弧相等问题，培养直观想象与逻辑推理能力
二、知识衔接（回顾旧知）
上节课核心：圆的基本元素（圆心、半径、直径、弦、弧、圆心角），明确 “同圆或等圆中半径相等、直径相等”；
思考提问：圆作为特殊的平面图形，是否具有对称性？若有，它的对称形式与之前学过的等腰三角形、平行四边形有何不同？
第 3 页：一、圆的轴对称性（对折重合）
1. 轴对称性的验证（动手操作）
操作步骤：
取一张圆形纸片，在圆上任意画一条直径\( AB \)；
将圆形纸片沿着直径\( AB \)所在直线对折；
观察结果：对折后，圆的左右两部分完全重合，说明圆是轴对称图形；
关键结论：圆有无数条对称轴，每一条对称轴都经过圆心（即 “直径所在的直线是圆的对称轴”）。
2. 轴对称性的几何表述
若直线\( l \)是\( \odot O \)的对称轴，则直线\( l \)必经过圆心\( O \)；
反过来，经过圆心\( O \)的任意一条直线，都是\( \odot O \)的对称轴（如直径\( CD \)、\( EF \)所在直线，均为对称轴）；
图形示意：画一个\( \odot O \)，标注多条经过圆心的直线（直径所在直线），用虚线表示对折重合的痕迹，直观展示 “无数条对称轴”。
3. 轴对称性的初步应用（线段与弧的关系）
性质推导：若将\( \odot O \)沿直径\( AB \)对折，圆上任意一点\( P \)会与另一点\( P' \)重合（对称点），则：
线段\( OP = OP' \)（半径相等）；
弦\( AP = AP' \)，弦\( BP = BP' \)；
弧\( \frown{AP} = \frown{AP'} \)，弧\( \frown{BP} = \frown{BP'} \)；
核心结论：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧（垂径定理的简化表述，为后续详细学习铺垫）；
图形示意：画\( \odot O \)及直径\( AB \)，作弦\( CD \perp AB \)于点\( M \)，标注对折后\( C \)与\( D \)重合，\( M \)为\( CD \)中点，\( \frown{AC} = \frown{AD} \)，\( \frown{BC} = \frown{BD} \)。
第 4 页：二、圆的中心对称性（旋转重合）
1. 中心对称性的验证（动手操作）
操作步骤：
取一张圆形纸片，标记圆心\( O \)；
将圆形纸片绕圆心\( O \)顺时针（或逆时针）旋转\( 180^\circ \)；
观察结果：旋转后，圆上任意一点都能与圆上另一点完全重合，说明圆是中心对称图形；
关键结论：圆的对称中心就是圆心\( O \)（唯一的对称中心）。
2. 中心对称性的延伸（旋转任意角度的性质）
进一步操作：将圆形纸片绕圆心\( O \)旋转任意一个角度\( \alpha \)（如\( 30^\circ \)、\( 90^\circ \)、\( 120^\circ \)）；
观察结果：无论旋转多少度，圆都能与自身完全重合（这种性质称为 “旋转不变性”）；
核心结论：圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合，这是圆特有的性质（区别于平行四边形 “旋转\( 180^\circ \)重合”）；
图形示意：画\( \odot O \)，标注圆上一点\( A \)，绕\( O \)旋转\( 60^\circ \)后得到点\( A_1 \)，旋转\( 120^\circ \)后得到点\( A_2 \)，展示\( A \)、\( A_1 \)、\( A_2 \)均在圆上，圆的形状位置不变。
3. 中心对称性的几何应用（圆心角、弧、弦的关系）
性质推导：若将\( \odot O \)绕圆心\( O \)旋转\( 180^\circ \)，圆心角\( \angle AOB \)会与\( \angle A'OB' \)重合（\( A' \)、\( B' \)为\( A \)、\( B \)的对称点），则：
圆心角\( \angle AOB = \angle A'OB' \)；
弧\( \frown{AB} = \frown{A'B'} \)；
弦\( AB = A'B' \)；
核心结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等（为后续圆心角定理铺垫）；
图形示意：画\( \odot O \)，作两个相等的圆心角\( \angle AOB = \angle COD \)，标注旋转后\( OA \)与\( OC \)重合，\( OB \)与\( OD \)重合，故\( \frown{AB} = \frown{CD} \)，\( AB = CD \)。
第 5 页：三、两种对称性的对比与总结
1. 对称性特征对比表
对称性类型
对称形式
对称中心 / 对称轴
关键性质
适用场景
轴对称性
对折重合（直线对称）
无数条对称轴（直径所在直线）
对称轴必过圆心；垂直于弦的直径平分弦与弧
解决弦的中点、弧的相等问题
中心对称性
旋转\( 180^\circ \)重合
1 个对称中心（圆心\( O \)）
旋转任意角度与自身重合；等圆心角对等弧、等弦
解决圆心角、弧、弦的数量关系问题
2. 对称性的核心关联
两种对称性均围绕 “圆心” 展开：轴对称性的对称轴过圆心，中心对称性的对称中心是圆心；
利用对称性可快速推导圆的重要性质（垂径定理、圆心角定理），是后续学习圆的计算与证明的基础；
图形示意：将两种对称性的图形合并，标注对称轴（过圆心的直线）和对称中心（圆心），直观展示 “圆心是对称性的核心”。
第 6 页：四、易错点解析与实例辨析
1. 易错点警示
易错点 1：误将 “直径” 当作对称轴 —— 圆的对称轴是 “直径所在的直线”，而非 “直径本身”（直径是线段，对称轴是直线）；
易错点 2：认为圆的对称轴只有有限条 —— 圆有无数条对称轴，所有经过圆心的直线都是对称轴；
易错点 3：忽略 “同圆或等圆” 前提 —— 中心对称性中 “等圆心角对等弧、等弦” 的性质，仅在同圆或等圆中成立（不同圆的半径不同，无法直接比较）；
易错点 4：混淆 “旋转不变性” 与 “中心对称性”—— 中心对称性是 “旋转\( 180^\circ \)重合”，而旋转不变性是 “旋转任意角度重合”，后者范围更广。
2. 实例辨析（判断对错并说明理由）
圆的对称轴是直径（×，对称轴是直径所在的直线，不是直径线段）；
圆有无数条对称轴，每一条都经过圆心（√，符合轴对称性特征）；
将圆绕圆心旋转\( 90^\circ \)，圆会与自身重合（√，圆具有旋转不变性）；
两个不同的圆，若圆心角相等，则所对的弧也相等（×，需 “同圆或等圆” 前提，不同圆半径不同，弧长不同）。
第 7 页：五、例题讲解与应用
例题 1：利用轴对称性求线段长度
已知\( \odot O \)的半径为\( 5 \, \text{cm} \)，直径\( AB \perp \)弦\( CD \)于点\( M \)，且\( OM = 3 \, \text{cm} \)，求弦\( CD \)的长度。
解：1. 连接\( OC \)（半径），则\( OC = 5 \, \text{cm} \)；
2. 由圆的轴对称性（垂径定理），\( AB \perp CD \)且\( AB \)是直径，故\( CM = MD = \frac{1}{2}CD \)（直径平分弦）；
3. 在\( \text{Rt}\triangle OMC \)中，由勾股定理：\( CM^2 + OM^2 = OC^2 \)；
代入数据：\( CM^2 + 3^2 = 5^2 \)→\( CM^2 = 16 \)→\( CM = 4 \, \text{cm} \)；
4. 故\( CD = 2CM = 8 \, \text{cm} \)。
例题 2：利用中心对称性判断弧的关系
在\( \odot O \)中，圆心角\( \angle AOB = 60^\circ \)，将\( \odot O \)绕圆心\( O \)旋转\( 180^\circ \)，得到\( \angle A'OB' \)（\( A' \)、\( B' \)为\( A \)、\( B \)的对称点），判断弧\( \frown{AB} \)与弧\( \frown{A'B'} \)的关系，并说明理由。
解：1. 由圆的中心对称性，旋转\( 180^\circ \)后，点\( A \)与\( A' \)重合，点\( B \)与\( B' \)重合；
2. 故圆心角\( \angle AOB = \angle A'OB' = 60^\circ \)（重合的角相等）；
3. 在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，因此\( \frown{AB} = \frown{A'B'} \)。
第 8 页：课堂练习（分层设计）
一、基础题
圆是轴对称图形，它的对称轴是______；圆也是中心对称图形，它的对称中心是______（答案：直径所在的直线；圆心）；
若\( \odot O \)的半径为\( 6 \, \text{cm} \)，一条直径垂直于弦\( EF \)，垂足为\( N \)，且\( ON = 3 \, \text{cm} \)，则弦\( EF \)的长度为______（答案：\( 6\sqrt{3} \, \text{cm} \)）；
下列说法错误的是（ ）（答案：B）
A. 经过圆心的直线是圆的对称轴 B. 圆的对称轴是直径 C. 圆绕圆心旋转\( 180^\circ \)能与自身重合 D. 同圆中，等圆心角对等弦
二、提升题
如图，在\( \odot O \)中，\( AB \)是直径，\( CD \)是弦，且\( AB \parallel CD \)，若\( \frown{AC} = 60^\circ \)，求\( \frown{CD} \)的度数（答案：\( 60^\circ \)，提示：利用轴对称性，\( \frown{AC} = \frown{BD} = 60^\circ \)，圆周角为\( 360^\circ \)，故\( \frown{CD} = 360^\circ - 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ \)）；
利用圆的对称性说明 “为什么车轮设计成圆形，行驶时车身保持平稳”（答案：车轮圆心到地面距离始终等于半径，半径不变，故车身平稳）。
第 9 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
圆的两种对称性：
轴对称性：无数条对称轴（直径所在直线），核心是 “对折重合”，衍生 “垂径定理” 初步性质；
中心对称性：1 个对称中心（圆心），核心是 “旋转\( 180^\circ \)重合”，延伸 “旋转不变性”，衍生 “等圆心角对等弧、等弦” 性质；
关键关联：两种对称性均以 “圆心” 为核心，是推导圆后续性质的基础；
思想方法：通过直观操作（折叠、旋转）验证对称性，培养 “从具体到抽象” 的几何思维。
二、作业布置
必做：教材中 “圆的对称性” 基础习题，完成 2 道利用轴对称性求弦长的题目；
选做：设计一个实验，验证 “圆绕圆心旋转任意角度都能与自身重合”，并记录实验步骤与观察结果。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
27.1.2.1 圆的对称性
第27章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
熊宝宝要过生日了！要把蛋糕平均分成四块，你会分吗？
情境引入
问题1 圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是
什么？你能找到多少条对称轴？
问题2 你是怎么得出结论的？
圆的对称性：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线.
用折叠的方法
● O
探究归纳
圆的对称性
问题3 将圆绕圆心旋转 180° 后，得到的图形与原图形重合吗？由此你得到什么结论呢？
我们探索发现圆是一个旋转对称图形，绕圆心旋转 180 度还是多少度后，它都能与自身重合，
对称中心即为圆心.
.
O
A
B
180°
圆是旋转对称图形，具有旋转不变性.
探究归纳
O
α
·
在同圆中探究
C
·
O
A
B
D
由圆的旋转不变性，我们发现：
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
那么， ，弦AB = 弦CD
在⊙O中，如果∠AOB = ∠COD，那么， 与 ，弦 AB 与弦 CD 有怎样的数量关系？
圆心角、弧、弦之间的关系
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对弧相等，所对的弦相等．
①∠AOB = ∠COD
③AB = CD
要点归纳
弧、弦与圆心角的关系定理
A
B
O
D
C
②
想一想：定理“在同圆或等圆中，如果圆心角相等，那么它们所对弧相等，所对的弦相等”中，可否把条件“在同圆或等圆中”去掉？为什么？
不可以，如图.
A
B
O
D
C
在同一个圆中，如果弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
弧、弦与圆心角关系定理的推论
要点归纳
在同一个圆中，如果弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧相等．
如图，在等圆中，如果圆心角∠AOB ＝∠CO′D，你发现的等量关系是否依然成立？
在等圆中探究
O′
·
O
A
B
·
C
D
通过平移和旋转将两个等圆变成同一个圆，我们发现：如果∠AOB =∠CO′D，那么 ，弦 AB = 弦 CD.
归纳
如果弧相等
那么
弧所对的圆心角相等
弧所对的弦相等
如果弦相等
那么
弦所对应的圆心角相等
弦所对应的优弧相等
弦所对应的劣弧相等
如果圆心角相等
那么
圆心角所对的弧相等
圆心角所对的弦相等
在同圆或等圆中
题设
结论
关系结构图
温馨提示：一条弦对应两条弧，由弦相等得到弧相等时需要区分优弧和劣弧.
在同圆或等圆中
(3) 圆心角相等，所对的弦相等. （ ）
(2) 等弧所对的弦相等. （ ）
(1) 等弦所对的弧相等. （ ）
×
×
√
判断正误：
辨一辨
典例精析
关系定理及推论的运用
解：
∵
·
A
O
B
C
D
E
例1 如图，AB 是⊙O 的直径，
∠COD = 35°，求∠AOE 的度数．
∴∠BOC =∠COD =∠DOE = 35°.
∴∠AOE = 180° - 3×35° = 75°.
∴ AB = AC，△ABC 是等腰三角形.
又∵∠ACB = 60°，
∴△ABC 是等边三角形，AB = BC = CA.
∴∠AOB =∠BOC =∠AOC.
A
B
C
O
方法总结：弧、圆心角、弦之间等量关系的灵活转化是解决圆相关问题的重要法宝.
例2 如图，在☉O 中， = ，∠ACB = 60°，
求证：∠AOB =∠BOC =∠AOC.
证明：∵ = ，
填一填： 如图，AB、CD 是⊙O 的两条弦．
(1) 如果 AB = CD，那么_________，______________．
(2) 如果 ，那么_________，_____________．
(3) 如果∠AOB = ∠COD，
那么__________，_________．
·
C
A
B
D
O
AB = CD
AB = CD
∠AOB = ∠COD
∠AOB = ∠COD
针对训练
(4) 如果 AB = CD，OE⊥AB 于 E，OF⊥CD 于 F，OE 与 OF 相等吗？为什么？
解：OE = OF.
理由如下：
∵△OAB 和△OCD 均为等腰三角形
OE⊥AB，OF⊥CD，
∴ AE = AB，CF = CD.
又∵ AB = CD，
∴ AE = CF.
又∵ OA = OC，
∴ Rt△AOE≌Rt△COF(H.L.)
∴OE = OF.
·
C
A
B
D
E
F
O
1. 如果两个圆心角相等，那么 ( )
A．这两个圆心角所对的弦相等
B．这两个圆心角所对的弧相等
C．这两个圆心角所对的弦和弧分别相等
D．以上说法都不对
2. 弦长等于半径的弦所对的圆心角等于 °.
D
60
3. 如图，已知 AB、CD 为⊙O 的两条弦，
求证：AB＝CD.
C
A
B
D
O
.
A
B
C
D
E
O
能力提升：
4. 如图，在☉O 中，∠COD = 2∠AOB，那么 = 2
成立吗？CD = 2AB 呢？如果成立，请说明理由；如
果不成立，那它们之间的关系又是什么？
解： = 2 成立，CD = 2AB 不成立.
理由如下：取 的中点 E，连接 OE，
CE，DE，那么∠AOB =∠COE =∠DOE.
所以 = = ， = 2 ，AB = CE = DE.
在△CDE 中，CE + DE > CD，故 CD ＜ 2AB.
返回
1．下列说法中，不正确的是( )
A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形
B．圆绕着它的圆心旋转任意角度，都能与它自身重合
C．圆的对称轴有无数条，对称中心只有一个
D．圆的每一条直径都是它的对称轴
D
2．如图，在⊙O中，弦AB＝CD，图中的线段、圆心角、劣弧分别具有相等关系的量(不包含AB＝CD)共有( )
A．10组
B．7组
C．6组
D．5组
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A
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C
3．如图，已知A，B，C，D是圆上的点，AD＝BC，AC，BD交于点E，则下列结论正确的是( )
A．AB＝AD
B．BE＝CD
C．AC＝BD
D．BE＝AD
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【答案】 B
5. 如图，三圆同心于O，AB＝6 cm，CD⊥AB于O，则图中阴影部分的面积为________cm2.
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6. [教材P45习题T4]如图，AB是⊙O的直径，AC，CD，DE，EF，FB都是⊙O的弦，且AC＝CD＝DE＝EF＝FB，求∠AOC与∠COF的度数．
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弧、弦、圆心角的关系定理及推论
在同圆或等圆中
应用提醒
①要注意前提条件；
②要灵活转化.
圆心角
概念：顶点在圆心的角
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！