27.1.2.2垂径定理 课件(共34张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

(共34张PPT)
第 1 页：封面
标题：27.1.2.2 垂径定理
副标题：基于圆的轴对称性的核心定理探究
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
理解垂径定理的推导过程（基于圆的轴对称性），能准确表述定理的文字与几何语言
掌握垂径定理的推论（“知二推三” 逻辑），能灵活运用定理及推论解决弦长、半径、圆心到弦距离的计算问题
培养利用圆的对称性分析几何问题的能力，提升逻辑推理与计算素养
二、知识衔接（回顾旧知）
上节课核心：圆的轴对称性 —— 直径所在直线是对称轴，垂直于弦的直径平分弦与弧（初步性质）；
思考提问：若一条直线经过圆心且垂直于弦，它除了平分弦，还能平分弦所对的弧吗？反过来，若一条直线平分弦（非直径），它是否垂直于弦且经过圆心？（引出定理推导）。
第 3 页：一、垂径定理的推导（基于轴对称性）
1. 实验操作验证
操作步骤：
画一个\( \odot O \)，任作一条弦\( CD \)（非直径），取圆心\( O \)，过\( O \)作\( AB \perp CD \)于点\( M \)（\( AB \)为直径）；
将\( \odot O \)沿直径\( AB \)所在直线对折；
观察结果：
弦\( CD \)与自身重合，故\( CM = MD \)（弦被平分）；
弧\( \frown{CD} \)与自身重合，故\( \frown{AC} = \frown{AD} \)（优弧被平分）、\( \frown{BC} = \frown{BD} \)（劣弧被平分）；
图形示意：标注\( \odot O \)、直径\( AB \perp CD \)于\( M \)，用虚线标注对折重合痕迹，明确\( CM=MD \)、\( \frown{AC}=\frown{AD} \)、\( \frown{BC}=\frown{BD} \)。
2. 定理的文字表述
垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。
关键词解析：
“垂直于弦”：直线与弦的夹角为\( 90^\circ \)；
“直径”：直线需经过圆心（核心条件，若仅垂直于弦但不经过圆心，无法平分弧）；
“平分弦”：弦被直线分成两段相等的线段；
“平分弦所对的两条弧”：弦所对的优弧和劣弧分别被平分。
第 4 页：二、垂径定理的几何语言与图形要素
1. 几何语言表述（规范格式）
如图，在\( \odot O \)中：
已知条件（定理的 “因”）：
\( AB \)是\( \odot O \)的直径（\( AB \)过圆心\( O \)）；
\( AB \perp CD \)于点\( M \)；
结论（定理的 “果”）：
\( CM = MD \)（平分弦）；
\( \frown{AC} = \frown{AD} \)（平分弦所对的优弧）；
\( \frown{BC} = \frown{BD} \)（平分弦所对的劣弧）；
符号表示：\(
\because \text{AB }\odot O\text{ AB}\perp\text{CD M} \quad \therefore \text{CM=MD }\frown{AC}=\frown{AD }\frown{BC}=\frown{BD}
\)
2. 定理的图形要素（“五要素”）
垂径定理涉及 5 个核心要素：
过圆心（直线经过圆心）；
垂直于弦（直线与弦垂直）；
平分弦（直线平分弦）；
平分弦所对的优弧；
平分弦所对的劣弧；
核心逻辑：“知二推三”—— 只要知道其中 2 个要素，就能推出另外 3 个要素（需注意：若 “平分弦” 的弦是直径，则 “垂直于弦” 和 “过圆心” 不一定成立，如两条直径互相平分但不一定垂直）。
第 5 页：三、垂径定理的推论（“知二推三” 拓展）
1. 常见推论（结合图形表述）
已知要素（2 个）
可推出的要素（3 个）
图形示意
1. 过圆心；2. 平分弦（非直径）
3. 垂直于弦；4. 平分弦所对优弧；5. 平分弦所对劣弧
直线\( AB \)过\( O \)，平分弦\( CD \)（非直径）→\( AB \perp CD \)，\( \frown{AC}=\frown{AD} \)等
1. 垂直于弦；2. 平分弦
3. 过圆心；4. 平分弦所对优弧；5. 平分弦所对劣弧
直线\( AB \perp CD \)于\( M \)，\( CM=MD \)→\( AB \)过\( O \)，\( \frown{BC}=\frown{BD} \)等
1. 过圆心；2. 平分弦所对劣弧
3. 垂直于弦；4. 平分弦；5. 平分弦所对优弧
直线\( AB \)过\( O \)，\( \frown{BC}=\frown{BD} \)→\( AB \perp CD \)，\( CM=MD \)等
2. 关键提醒（“弦为直径” 的特殊情况）
若被平分的弦是直径（如\( CD \)是直径，直线\( AB \)平分\( CD \)），则直线\( AB \)不一定垂直于\( CD \)，也不一定平分\( CD \)所对的弧（例：两条互相平分的直径，夹角可不为\( 90^\circ \)）；
故推论中 “平分弦” 的前提是 “弦非直径”，此条件不可忽略。
第 6 页：四、垂径定理的核心应用（计算与证明）
1. 核心模型：“弦长、半径、弦心距” 的直角三角形
模型构建：过圆心\( O \)作弦\( CD \)的垂线，垂足为\( M \)，则\( OM \)为 “弦心距”（圆心到弦的距离），连接\( OC \)（半径\( r \)），则\( \triangle OMC \)为直角三角形，满足：\(
r^2 = OM^2 + \left(\frac{CD}{2}\right)^2
\)
三量关系：已知任意两个量（\( r \)、\( OM \)、\( CD \)），可通过勾股定理求第三个量（垂径定理应用的核心公式）。
2. 分层例题解析
例题 1：基础计算（求弦长）
已知\( \odot O \)的半径\( r = 10 \, \text{cm} \)，圆心\( O \)到弦\( AB \)的距离\( OM = 6 \, \text{cm} \)，求弦\( AB \)的长度。
解：1. 由垂径定理，\( OM \perp AB \)→\( AM = MB = \frac{1}{2}AB \)；
2. 在\( \text{Rt}\triangle OMA \)中，\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)；
3. 代入数据：\( 10^2 = 6^2 + AM^2 \)→\( AM^2 = 64 \)→\( AM = 8 \, \text{cm} \)；
4. 故\( AB = 2AM = 16 \, \text{cm} \)。
例题 2：进阶计算（求半径）
一条公路的转弯处是一段圆弧（\( \odot O \)的一部分），测得圆弧的弦\( AB = 12 \, \text{m} \)，圆心\( O \)到弦\( AB \)的距离\( OM = 8 \, \text{m} \)，求这段圆弧所在圆的半径。
解：1. 由垂径定理，\( OM \perp AB \)→\( AM = \frac{1}{2}AB = 6 \, \text{m} \)；
2. 连接\( OA \)（半径\( r \)），在\( \text{Rt}\triangle OMA \)中，\( OA^2 = OM^2 + AM^2 \)；
3. 代入数据：\( r^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100 \)→\( r = 10 \, \text{m} \)；
答：这段圆弧所在圆的半径为 10 m。
例题 3：证明应用（证明弧相等）
如图，在\( \odot O \)中，\( AB \)是直径，\( CD \)是弦，\( AE \perp CD \)于\( E \)，\( BF \perp CD \)于\( F \)，求证：\( \frown{AC} = \frown{BD} \)。
证明：1. 过\( O \)作\( OM \perp CD \)于\( M \)；
2. 由垂径定理，\( OM \perp CD \)→\( \frown{CM} = \frown{DM} \)；
3. 因\( AE \perp CD \)、\( BF \perp CD \)、\( OM \perp CD \)，故\( AE \parallel OM \parallel BF \)；
4. 又\( OA = OB \)（半径相等），\( OM \)在\( AB \)与\( CD \)之间，故\( EM = FM \)（平行线分线段成比例）；
5. 因\( CM = DM \)、\( EM = FM \)，故\( CE = DF \)，结合\( OM \)平分弧\( CD \)，得\( \frown{AC} = \frown{BD} \)。
第 7 页：五、易错点解析与避坑技巧
1. 常见易错点
易错点 1：忽略 “直径过圆心” 条件 —— 误将 “垂直于弦的直线” 当作 “直径”，导致错误应用定理（例：仅直线\( AB \perp CD \)，未说明\( AB \)过圆心，不能直接得出\( CM=MD \)）；
易错点 2：忽略 “弦非直径” 前提 —— 推论中 “平分弦则垂直于弦” 仅适用于弦非直径的情况，若弦是直径，结论不成立；
易错点 3：计算时忘记 “弦长的一半”—— 直接用弦长代入勾股定理（例：误将\( AB = 12 \)代入\( r^2 = OM^2 + AB^2 \)，正确应为\( r^2 = OM^2 + (AB/2)^2 \)）；
易错点 4：混淆 “优弧” 与 “劣弧”—— 定理中 “平分弦所对的两条弧” 需明确优弧和劣弧，证明时不可遗漏。
2. 避坑技巧
“三问验证法”：应用定理前，先问 “直线过圆心吗？”“直线垂直于弦吗？”“弦是直径吗？”，确保条件满足；
“画图标量法”：解题时先画出完整图形，标注半径、弦长、弦心距，明确直角三角形的三边（\( r \)、\( OM \)、\( CD/2 \)）；
“推论口诀”：记 “过圆心、垂弦、平分弦（非直径）、平分优弧、平分劣弧 —— 知二推三，弦非直径是关键”。
第 8 页：课堂练习（分层设计）
一、基础题
已知\( \odot O \)的半径为\( 13 \, \text{cm} \)，弦\( AB = 24 \, \text{cm} \)，则圆心\( O \)到弦\( AB \)的距离为______（答案：5 cm）；
如图，\( \odot O \)中，\( AB \)是直径，\( CD \perp AB \)于\( M \)，若\( \frown{AC} = 50^\circ \)，则\( \frown{CD} = \)______（答案：\( 80^\circ \)，提示：\( \frown{AC}=\frown{AD}=50^\circ \)，\( \frown{CD}=180^\circ - 50^\circ - 50^\circ = 80^\circ \)）；
下列说法正确的是（ ）（答案：C）
A. 垂直于弦的直线平分弦 B. 平分弦的直线垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分弦所对的弧 D. 平分弧的直线一定过圆心
二、提升题
已知\( \odot O \)的弦\( CD = 10 \, \text{cm} \)，直径\( AB \perp CD \)于\( M \)，若\( OM = 12 \, \text{cm} \)，求\( \odot O \)的半径（答案：13 cm，提示：\( r^2 = 12^2 + 5^2 = 169 \)→\( r = 13 \)）；
证明：在同圆中，若两条弦相等，则它们所对应的弦心距也相等（提示：过圆心作两条弦的垂线，用垂径定理和勾股定理证明）。
第 9 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
垂径定理核心：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的两条弧（基于圆的轴对称性）；
推论逻辑：“知二推三”（五要素：过圆心、垂弦、平分弦、平分优弧、平分劣弧），注意 “弦非直径” 前提；
解题关键：构建 “半径、弦心距、弦长一半” 的直角三角形，用勾股定理计算；
思想方法：数形结合（画图标量）、转化思想（将弦长问题转化为直角三角形计算）。
二、作业布置
必做：教材中垂径定理的基础计算题（2 道弦长计算、1 道半径计算）；
选做：某拱桥为圆弧形，跨度（弦长）为\( 37.4 \, \text{m} \)，拱高（圆心到弦的距离的补值，即\( r - OM \)）为\( 7.2 \, \text{m} \)，求拱桥所在圆的半径（结果保留一位小数）。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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27.1.2.2垂径定理
第27章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题：你知道赵州桥吗 它的主桥是圆弧形，它的跨度(弧所对的弦的长)为 37 m，拱高(弧的中点到弦的距离)为 7.23 m，你能求出赵州桥主桥拱的半径吗？
情境引入
·
O
A
B
D
P
C
问题：如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD⊥AB，垂足为 P. 你能发现图中有哪些相等的线段和劣弧 为什么
线段：AP = BP
垂径定理及其推论
弧：
理由如下：
把圆沿着直径CD 折叠时，CD 两侧的两个半圆重合，点 A 与点 B 重合，AP 与BP 重合， 和 ， 与 重合．
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理，三种语言要相互转化，形成整体，才能运用自如.
垂径定理
·
O
A
B
C
D
P
垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
∵ CD 是⊙O 的直径，CD⊥AB，(条件)
归纳总结
推导格式：
∴ AP = BP，
(结论)
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
是
不是，因为没有垂直
是
不是，因为 CD 没有过圆心
A
B
O
E
A
B
D
C
O
E
A
B
O
C
D
E
O
A
B
C
垂径定理的几个基本图形：
A
B
O
C
D
E
A
B
O
E
D
A
B
O
C
归纳总结
A
B
O
D
C
如果把垂径定理 (垂直于弦的直径平分弦，并且平分这条弦所对的两条弧) 结论与题设交换一条，命题是真命题吗？
①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦；
④平分弦所对的优弧 ； ⑤平分弦所对的劣弧.
上述五个条件中的任何两个条件都可以推出其他三个结论吗？
思考探索
D
O
A
B
E
C
举例证明其中一种组合方法.
已知:
求证：
① CD 是直径
② CD⊥AB，垂足为 E
③ AE = BE
证明猜想
④
如图，AB 是⊙O 的一条弦，直径 CD 平分弦 AB 于点 E.
(1) CD⊥AB 吗？为什么？
(2)
·
O
A
B
C
D
E
解：(1) 连接 AO、BO，则 AO = BO.
又∵ AE = BE，
∴∠AEO =∠BEO = 90°.
∴ CD⊥AB.
证明举例
∴△AOE≌△BOE(SSS).
(2) 由垂径定理可得
与 相等吗？ 与 相等吗？
为什么？
思考：“不是直径”这个条件能去掉吗？
如果不能，请举出反例.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧.
垂径定理的推论
·
O
A
B
C
D
圆的两条直径是互相平分的.
归纳总结
特别说明：
例1 如图，OE⊥AB于 E，若⊙O 的半径为 10 cm，
OE = 6 cm，则 AB = cm.
·
O
A
B
E
解析：连接 OA，∵ OE⊥AB，
∴ AB = 2AE = 16 cm.
16
一
垂径定理及其推论的计算
二
∴
cm.
典例精析
例2 如图，⊙O 的弦 AB＝8 cm ，直径 CE⊥AB 于 D，DC＝2 cm，求半径 OC 的长.
·
O
A
B
E
C
D
解：连接 OA，∵ CE⊥AB 于 D，
∴
设OC = x cm，则 OD = x - 2，根据勾股定理，得
解得 x = 5.
即半径 OC 的长为 5 cm.
x2 = 42 + ( x - 2)2，
证明：作直径 MN⊥AB，如图.
∵ AB∥CD，∴ MN⊥CD.
则 = ， = （垂直
平分弦的直径平分弦所对的弧）.
∴ － = － .
∴ = .
例3 已知：⊙O 中弦 AB∥CD，求证： = .
.
M
C
D
A
B
O
N
解决有关弦的问题，经常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，并构造半径等辅助线，为应用垂径定理创造条件.
归纳总结
试一试：根据所学新知，你能利用垂径定理求出引入中赵州桥主桥拱半径的问题吗
垂径定理的实际应用
解得 R ≈ 27.3.
即赵州桥主桥拱的半径约为 27.3 m.
∴ R2 = (R - 7.23)2 + 18.52，
解：如图，过桥拱所在圆的圆心 O 作 AB 的垂线，交 于点 C，交弦 AB 于点 D，则 CD = 7.23 m.
由垂径定理，得 AD = AB = 18.5 m，
设⊙O 的半径为 R m.
在 Rt△AOD 中，AO = R，
OD = R - 7.23，AD = 18.5.
由勾股定理，得
练一练：如图 1、2，一弓形弦长为 　 cm，弓形所在的圆的半径为 7 cm，则弓形的高为＿_＿＿__cm.
C
图 2
D
C
B
O
A
D
O
A
B
图 1
2 或 12
指弧中点到弦的距离
在圆中有关弦长 a，半径 r， 弦心距 d（圆心到弦的距离），弓形高 h 的计算题，常常通过连半径或作垂线构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理求解.
方法归纳
涉及垂径定理时辅助线的添加方法
弦 a，弦心距 d，弓形高 h，半径 r之间有以下关系：
弓形中重要数量关系
A
B
C
D
O
h
r
d
d+h=r
O
A
B
C
·
1.已知⊙O中，弦 AB = 8 cm，圆心到 AB 的距离为 3 cm，则此圆的半径为 cm .
5
2.⊙O 的直径 AB = 20 cm， ∠BAC = 30°，则弦 AC = cm.
D
·
O
A
B
C
E
3. 如图，在⊙O 中，AB、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD⊥AB 于 D，OE⊥AC 于 E，求证：四边形 ADOE 是正方形．
证明：∵ OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，
∴ 四边形 ADOE 为矩形，
又∵ AC = AB，
∴ AE = AD.
∴ 四边形 ADOE 为正方形.
∴∠OEA =∠EAD =∠ODA = 90°.
4. 如图，在以 O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦 AB 交小圆于 C，D 两点. 你认为 AC 和 BD 相等吗？为什么？
解：AC = BD. 理由如下：
过点 O 作 OE⊥AB，垂足为 E.
则 AE = BE，CE = DE.
∴ AE－CE = BE－DE，
即 AC = BD.
.
A
C
D
B
O
E
方法总结：解决有关弦的问题，常过圆心作弦的垂线，或作垂直于弦的直径，这是一种常见辅助线的添法．
解：连接 OC，如图.
●
O
C
D
E
F
┗
根据勾股定理，得
5. 如图，一条公路的转弯处是一段圆弧(即图中的 ，点 O 是 的圆心)，其中 CD = 600 m，E 为 上的一点，且 OE⊥CD，垂足为 F，EF = 90 m. 求这段弯路的半径.
则 OF = (R - 90) m.
∵ OE⊥CD，∴ CF = CD = 300 (m).
设这段弯路的半径为 R m，
解得 R = 545.
∴ 这段弯路的半径约为 545 m.
∴
拓展提升：
如图，⊙O 的直径为 10，弦 AB = 8，P 为 AB 上的一个动点，那么 OP 长的取值范围 .
3 ≤OP≤5
B
A
O
P
返回
1．下列说法正确的是(　　)
A．垂直于弦的直线平分弦所对的两条弧
B．平分弦的直径垂直于弦
C．垂直于直径的弦平分这条直径
D．过弦(不是直径)的中点的直径平分弦所对的两条弧
D
2. [教材P40练习T2]如图，OA，OB，OC都是⊙O的半径，AC，OB交于点D.若AD＝CD＝8，OD＝6，则BD的长为(　　)
A．5
B．4
C．3
D．2
B
返回
3．如图，⊙O的直径为10，弦AB的长为6，M是弦AB上的一动点，则线段的OM的长的取值范围是(　　)
A．3≤OM≤5
B．4≤OM≤5
C．3＜OM＜5
D．4＜OM＜5
【点拨】连结OA，作OC⊥AB于点C.
∵⊙O的直径为10，
∴半径为5.∴OM的最大值为5.
∵OC⊥AB于M，
∴AC＝BC.又∵AB＝6，∴AC＝3.
返回
【答案】 B
4. AB，CD为⊙O的两条弦，AB＝8，CD＝6，⊙O的直径为10，AB∥CD，则AB与CD之间距离为(　　)
A．1 B．7
C．7或1 D．无法确定
【点拨】如图所示，连结OA，OC.过点O作直线EF⊥AB于E，交CD于F.
∵AB∥CD，∴EF⊥CD.
∵⊙O的直径为10，∴OA＝OC＝5.
返回
【答案】 C
垂径定理
内容
推论
辅助线
一条直线满足:①过圆心；②垂直于弦； ③平分弦（不是直径）； ④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧.满足其中两个条件就可以推出其它三个结论（“知二推三”）
垂直于弦的直径平分这条弦，
并且平分弦所对的弧.
两条辅助线：连半径，作垂线
构造直角三角形利用勾股定理计算或建立方程
基本图形及变式图形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！