27.2.1 点与圆的位置关系 课件-(共43张PPT)2025-2026学年华东师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 27.2.1 点与圆的位置关系 课件-(共43张PPT)2025-2026学年华东师大版数学九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.0MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-19 00:00:00 | ||
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文档简介
(共43张PPT)
第 1 页：封面
标题：27.2.1 点与圆的位置关系
副标题：从几何特征到数量关系的精准判定
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
理解点与圆的三种位置关系（点在圆内、圆上、圆外），能通过图形直观识别
掌握点与圆位置关系的判定方法（点到圆心的距离与半径的数量关系），能进行双向判断
能运用点与圆的位置关系解决点的轨迹、圆的半径范围等问题，培养数形结合思想
二、知识衔接（回顾旧知）
上节课核心：圆周角定理及推论，明确圆的基本元素（圆心、半径）是分析圆相关问题的基础；
思考提问：在平面内，给定一个圆（圆心\( O \)、半径\( r \)）和一个点\( P \)，点\( P \)可能在圆的哪个位置？如何用数学方法精准判定这些位置关系？（引出课题）。
第 3 页：一、点与圆的三种位置关系（图形直观）
1. 位置关系分类及定义
结合图形，根据点与圆的公共点个数及点在圆的区域，点与圆有三种位置关系：
位置关系
图形特征
定义表述
公共点个数
点在圆内
点位于圆所围成的内部区域
平面内，点到圆心的距离小于圆的半径
0 个
点在圆上
点恰好落在圆的曲线上
平面内，点到圆心的距离等于圆的半径
1 个
点在圆外
点位于圆所围成的外部区域
平面内，点到圆心的距离大于圆的半径
0 个
2. 图形示意与标注
画一个以\( O \)为圆心、\( r \)为半径的圆，在圆内标注点\( A \)、圆上标注点\( B \)、圆外标注点\( C \)；
用虚线连接\( OA \)、\( OB \)、\( OC \)，直观展示 “点在圆内”“圆上”“圆外” 的区域差异，标注 “内部”“圆上”“外部” 字样。
第 4 页：二、点与圆位置关系的判定方法（数量关系）
1. 核心判定依据
点与圆的位置关系可通过 “点到圆心的距离（记为\( d \)）” 与 “圆的半径（记为\( r \)）” 的数量关系双向判定，这是 “形” 与 “数” 的对应核心：
位置关系
数量关系（\( d \)与\( r \)）
判定逻辑
点在圆内
\( d < r \)
若点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；反之亦然
点在圆上
\( d = r \)
若点到圆心的距离等于半径，则点在圆上；反之亦然
点在圆外
\( d > r \)
若点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；反之亦然
2. 符号表示与几何语言
设\( \odot O \)的半径为\( r \)，点\( P \)到圆心\( O \)的距离为\( d \)，则：
点\( P \)在\( \odot O \)内 \( \iff d < r \)；
点\( P \)在\( \odot O \)上 \( \iff d = r \)；
点\( P \)在\( \odot O \)外 \( \iff d > r \)；
（符号 “\( \iff \)” 表示 “双向等价”，即 “若前者成立则后者成立，若后者成立则前者也成立”）
3. 实例验证（基础计算）
例 1：已知\( \odot O \)的半径\( r = 5 \, \text{cm} \)，分别判断下列点与\( \odot O \)的位置关系：
点\( A \)到\( O \)的距离\( d_1 = 3 \, \text{cm} \)：\( 3 < 5 \)→点\( A \)在\( \odot O \)内；
点\( B \)到\( O \)的距离\( d_2 = 5 \, \text{cm} \)：\( 5 = 5 \)→点\( B \)在\( \odot O \)上；
点\( C \)到\( O \)的距离\( d_3 = 7 \, \text{cm} \)：\( 7 > 5 \)→点\( C \)在\( \odot O \)外。
第 5 页：三、点与圆位置关系的应用（分层实例）
1. 应用 1：求圆的半径范围
例 2：已知点\( P \)到圆心\( O \)的距离\( d = 4 \, \text{cm} \)，若点\( P \)在\( \odot O \)内，求\( \odot O \)半径\( r \)的取值范围。
解：由 “点在圆内\( \iff d < r \)”，得\( 4 < r \)，即\( r > 4 \, \text{cm} \)（半径为正数，无需额外限制下限）。
例 3：已知点\( Q \)在\( \odot O \)外，且点\( Q \)到\( O \)的距离\( d = 6 \, \text{cm} \)，求\( \odot O \)半径\( r \)的取值范围。
解：由 “点在圆外\( \iff d > r \)”，得\( 6 > r \)，又\( r > 0 \)，故\( 0 < r < 6 \, \text{cm} \)。
2. 应用 2：判断多点与圆的位置关系
例 4：在平面直角坐标系中，\( \odot O \)的圆心在原点\( (0,0) \)，半径\( r = 10 \)，判断点\( M(6,8) \)、\( N(7,-7) \)与\( \odot O \)的位置关系。
解：1. 计算点到圆心的距离（用勾股定理）：
点\( M(6,8) \)：\( d_M = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)；\( d_M = 10 = r \)→点\( M \)在\( \odot O \)上；
点\( N(7,-7) \)：\( d_N = \sqrt{(7 - 0)^2 + (-7 - 0)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} \approx 9.9 < 10 \)；\( d_N < r \)→点\( N \)在\( \odot O \)内。
3. 应用 3：点的轨迹问题（初步）
例 5：平面内，到定点\( O \)的距离等于\( 3 \, \text{cm} \)的所有点的轨迹是什么图形？
解：由 “点在圆上\( \iff d = r \)”，可知这些点的轨迹是以\( O \)为圆心、\( 3 \, \text{cm} \)为半径的圆（即\( \odot O \)，半径\( r = 3 \, \text{cm} \)）。
第 6 页：四、易错点解析与避坑技巧
1. 常见易错点
易错点 1：混淆 “点到圆心的距离” 与 “点到圆上某点的距离”—— 判定依据是 “点到圆心的距离\( d \)”，而非 “点到圆上任意一点的距离”（例：点到圆上某点的距离可能小于半径，但点实际在圆外）；
易错点 2：忽略半径的正数属性 —— 求半径范围时，忘记\( r > 0 \)，如例 3 中误写为\( r < 6 \)，未补充\( r > 0 \)；
易错点 3：坐标系中距离计算错误 —— 未用勾股定理，直接用横 / 纵坐标差作为距离（例：点\( (3,4) \)到原点的距离误算为 3 或 4，正确应为 5）；
易错点 4：单向判定思维 —— 只记住 “\( d < r \)则点在圆内”，忽略 “点在圆内则\( d < r \)” 的反向逻辑，导致轨迹问题无法解决。
2. 避坑技巧
“关键词锁定法”：看到 “点与圆位置关系”，立刻锁定 “\( d \)（点到圆心距离）” 和 “\( r \)（半径）” 两个核心量；
“范围双向查”：求半径范围时，先根据位置关系列不等式，再补充 “\( r > 0 \)”，确保范围完整；
“坐标系距离公式记”：平面直角坐标系中，点\( (x,y) \)到原点\( (0,0) \)的距离\( d = \sqrt{x^2 + y^2} \)，到任意圆心\( (a,b) \)的距离\( d = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} \)；
“双向逻辑练”：练习时同时进行 “已知\( d \)和\( r \)判位置”“已知位置判\( d \)与\( r \)关系”，强化等价思维。
第 7 页：课堂练习（分层设计）
一、基础题
已知\( \odot O \)的半径\( r = 8 \, \text{cm} \)，点\( P \)到\( O \)的距离\( d = 6 \, \text{cm} \)，则点\( P \)在\( \odot O \)______（答案：内）；
若点\( Q \)在\( \odot O \)上，且\( \odot O \)的半径\( r = 12 \, \text{mm} \)，则点\( Q \)到\( O \)的距离\( d = \)______（答案：12 mm）；
在平面直角坐标系中，\( \odot O \)圆心为\( (2,3) \)，半径\( r = 5 \)，则点\( (2,8) \)到圆心的距离\( d = \)，该点在\( \odot O \)（答案：5；上）。
二、提升题
已知点\( M \)到圆心\( N \)的距离\( d = 5 \, \text{cm} \)，若点\( M \)不在\( \odot N \)外，求\( \odot N \)半径\( r \)的取值范围（答案：\( r \geq 5 \, \text{cm} \)）；
平面内有三点\( A(0,0) \)、\( B(0,4) \)、\( C(3,0) \)，以\( A \)为圆心画圆，若\( B \)、\( C \)两点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆的半径\( r \)的取值范围（答案：\( 3 < r < 4 \)）。
第 8 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
三种位置关系：点在圆内（\( d < r \)）、圆上（\( d = r \)）、圆外（\( d > r \)），“形” 的特征与 “数” 的关系一一对应；
核心判定方法：以 “点到圆心的距离\( d \)” 和 “半径\( r \)” 的数量关系为依据，双向等价判定；
常见应用：半径范围求解、坐标系中位置判断、点的轨迹分析；
思想方法：数形结合（图形直观与数量计算结合）、等价转化（位置关系与数量关系转化）。
二、作业布置
必做：教材中 “点与圆的位置关系” 基础习题，完成 3 道计算判定题和 1 道半径范围题；
选做：在平面直角坐标系中，\( \odot P \)的圆心为\( (1,-2) \)，且点\( (4,2) \)在\( \odot P \)上，判断点\( (0,0) \)与\( \odot P \)的位置关系（提示：先求半径\( r \)，再算点到圆心的距离\( d \)）。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
27.2.1 点与圆的位置关系
第27章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
想一想
你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？
问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
.
o
.
C
.
.
.
. B
.
A
.
.
合作探究
点和圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
点和圆的位置关系
问题2 设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，量一量在三种不同的位置关系下，d 与 r 有怎样的数量关系？
点 P 在⊙O 内
点 P 在⊙O 上
点 P 在⊙O 外
d
d
d
r
P
d
P
r
d
P
r
d
＜
r
r
=
＞
r
反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
1. ⊙O 的半径为 10 cm，A、B、C 三点到圆心的距离分
别为 8 cm、10 cm、12 cm，则点 A、B、C 与 ⊙O 的
位置关系是点 A 在 ，点 B 在 ，点 C 在 .
圆内
圆上
圆外
2. 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2，若 OP
= ，则点 P 在 ( )
A. 大圆内 B. 小圆内
C. 小圆外 D. 大圆内，小圆外
O
D
练一练
点和圆的位置关系
r
P
d
P
r
d
O
P
r
d
O
R
r
P
O
d
点 P 在⊙O 内
d＜r
点 P 在⊙O 上
d = r
点 P 在⊙O 外
d＞r
点 P 在圆环内
r≤d≤R
数形结合：
位置关系
数量关系
知识要点
O
例1 如图，已知矩形 ABCD 的边 AB = 3，AD = 4.
（1）以 A 为圆心，4 为半径作⊙A，则点 B、C、D 与
⊙A 的位置关系如何？
解：∵ AB = 3 ＜ 4，
∴ 点 B 在⊙A 内．
∵ AD = 4，
∴ 点 D 在 ⊙A 上．
∵ ＞ 4，
∴ 点 C 在 ⊙A 外.
解：由题意得，点 B 一定在圆内，点 C 一定在圆外，
∴ 3＜r＜5.
(2) 若以点 A 为圆心作⊙A，使 B、C、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A 的半径 r 的取值范围？(直接写出答案)
3
4
·
问题1 如何过一个点 A 画一个圆？过点 A 可以画多少个圆？
合作探究
·
·
·
·
以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到点 A 的距离为半径画圆即可；
可画无数个圆.
A
…
过不共线三点画圆
问题2 如何过两点 A、B 画一个圆？过两点可以画多少个圆？
·
·
·
·
A
B
作线段 AB 的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点到点 A 的距离为半径画圆即可；
可画无数个圆.
…
问题3 过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
D
E
G
F
经过 B，C 两点的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上.
经过 A，B，C 三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点 O 的位置.
经过 A，B 两点的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上.
●
O
A
B
C
有且只有一个
位置关系
不在同一直线上的三个点确定一个 圆.
归纳总结
D
E
G
F
●
O
A
B
C
作法：1、连接 AB，作线段 AB的垂直平分线 MN；
2、连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线 EF，交 MN 于点 O；
3、以 O 为圆心，OB 为半径画圆. 所以⊙O 就是所求作的圆.
O
N
M
F
E
A
B
C
已知：不在同一直线上的三点 A、B、C.
求作： ⊙O，使它经过点 A、B、C.
练一练
问题4：现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
方法：
1、在圆弧上任取三点 A、B、C；
2、作线段 AB、BC 的垂直平分线，其交点 O 即为圆心；
3、以点 O 为圆心，OC 长为半径作圆.
⊙O 即为所求.
A
B
C
O
试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过 A、B、C三点的圆.
A
B
C
O
三角形的外接圆及外心
1. 外接圆
⊙O 叫做△ABC 的________，
△ABC 叫做⊙O 的____________.
2. 三角形的外心：
定义：
外接圆
内接三角形
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
作图：
三角形三边垂直平分线的交点.
概念学习
A
B
C
O
到三角形三个顶点的距离相等.
性质：
●
判一判：
下列说法是否正确？
(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆( )
(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3) 经过三点一定可以确定一个圆( )
(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
√
×
×
√
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置.
锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于斜边的中点处；
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
经过三角形的三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点.
要点归纳
例2 如图，将△AOB 置于平面直角坐标系中，O 为原点，∠ABO＝60°，若△AOB 的外接圆与 y 轴交于点 D(0，3)．
(1)求∠DAO 的度数；
(2)求点 A 的坐标和△AOB 外接圆的面积．
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°.
典例精析
(2)求点 A 的坐标和△AOB 外接圆的面积．
(2)∵ 点 D 的坐标是(0，3)，∴ OD＝3.
在直角△AOD 中，
OA＝OD · tan∠ADO＝ ，
AD＝2OD＝6，
∴ 点 A 的坐标是( ，0)．
∵ ∠AOD＝90°，∴ AD 是圆的直径，
∴ △AOB外接圆的面积是 9π.
例3 如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC＝24 cm，O 到 BC 的距离是 5 cm，求△ABC 的外接圆的半径．
解：连接 OB，过点 O 作 OD⊥BC.
D
则OD＝5 cm，
在Rt△OBD 中，
即△ABC 的外接圆的半径为 13 cm.
解析：由外心的定义可知外接圆的半径等于 OB，过点 O 作 OD⊥BC，易得 BD＝12 cm.由此可求它的外接圆的半径．
2. 如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 ( )
M
R
Q
A
B
C
P
A. 点 P B. 点 Q
C. 点 R D. 点 M
B
1.⊙O 的半径 r 为 5 cm，O 为原点，点 P 的坐标为(3，4)，
则点 P 与⊙O 的位置关系为 ( )
A. 点 P 在⊙O 内 B. 点 P 在⊙O 上
C. 点 P 在⊙O 外 D. 点 P 在⊙O 上或⊙O 外
B
4. 已知在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，则它的外接圆半径为 .
5
5. 如图，△ABC 内接于⊙O，若∠OAB = 20°，则∠C 的度数是_____.
70°
3. 正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以 A 为圆心，2 cm 长为半径作⊙A，则点 B 在⊙A ；点 C 在⊙A ；点 D 在⊙A .
上
外
上
6. 判断：
（1）经过三点一定可以作圆 （ ）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的
交点 （ ）
（3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ）
（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ）
√
×
×
×
7.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第④块
C．第③块 D．第②块
D
8. 如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，若 AC = 12 cm，
BC = 5 cm，求△ABC 的外接圆半径.
C
B
A
O
解：设 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点为 O，连接 OC，则 OA = OB = OC.
故点 O 是△ABC 的外心.
∵∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，
∴ AB = 13 cm. 则 OA = 6.5 cm.
即 △ABC 的外接圆半径为 6.5 cm.
能力拓展：一个 8 米×12 米的长方形草地，现要安装自动喷水装置，这种装置喷水的半径为 5 米，你准备安装几个 怎样安装 请说明理由.
1．若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为(－3，4)，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是( )
A．在⊙P内 B．在⊙P上
C．在⊙P外 D．无法确定
返回
【点方法】判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系．若d＜r，则点在圆内；若d＝r，则点在圆上；若d＞r，则点在圆外．
【答案】 B
2．三角形的外心具有的性质是( )
A．外心在三角形外
B．外心在三角形内
C．外心到三角形三边的距离相等
D．外心到三角形三个顶点的距离相等
D
返回
返回
B
3．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
4．如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画出的圆有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
返回
5. 点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，则⊙O的半径是________________．
6.5 cm或2.5 cm
返回
【点拨】分为两种情况：
①当点在圆内时，如图①，
∵点到圆上的最小距离PB＝4 cm，最大距离PA＝9 cm，
∴直径AB＝4＋9＝13(cm)．∴半径r＝6.5 cm；
②当点在圆外时，如图②，
∵点到圆上的最小距离PB＝4 cm，最大距离PA＝9 cm，
∴直径AB＝9－4＝5(cm)．∴半径r＝2.5 cm.
综上所述，⊙O的半径为6.5 cm或2.5 cm.
6．[2024遵化期末]已知平面直角坐标系中的三个点分别为A(1，－1)，B(－2，5)，C(4，－6)，则A，B，C这三个点________确定一个圆(填“可以”或“不可以”)．
可以
返回
7. 如图，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
【解】如图所示．
(2)若在△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
【解】∵AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，
∴BC＝10 m.
∴圆形花坛的半径为5 m.
∴小明家圆形花坛的面积为π×52＝25π(m2)．
返回
点和圆的位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d位置关系数量化
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
不在同一直线上的三个点可确定一个圆
一个三角形的
外接圆是唯一的
注意：过同一直线上的三个点不能作圆
点 P 在圆环内
r≤d≤R
R
r
P
O
d
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面
标题：27.2.1 点与圆的位置关系
副标题：从几何特征到数量关系的精准判定
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
理解点与圆的三种位置关系（点在圆内、圆上、圆外），能通过图形直观识别
掌握点与圆位置关系的判定方法（点到圆心的距离与半径的数量关系），能进行双向判断
能运用点与圆的位置关系解决点的轨迹、圆的半径范围等问题，培养数形结合思想
二、知识衔接（回顾旧知）
上节课核心：圆周角定理及推论，明确圆的基本元素（圆心、半径）是分析圆相关问题的基础；
思考提问：在平面内，给定一个圆（圆心\( O \)、半径\( r \)）和一个点\( P \)，点\( P \)可能在圆的哪个位置？如何用数学方法精准判定这些位置关系？（引出课题）。
第 3 页：一、点与圆的三种位置关系（图形直观）
1. 位置关系分类及定义
结合图形，根据点与圆的公共点个数及点在圆的区域，点与圆有三种位置关系：
位置关系
图形特征
定义表述
公共点个数
点在圆内
点位于圆所围成的内部区域
平面内，点到圆心的距离小于圆的半径
0 个
点在圆上
点恰好落在圆的曲线上
平面内，点到圆心的距离等于圆的半径
1 个
点在圆外
点位于圆所围成的外部区域
平面内，点到圆心的距离大于圆的半径
0 个
2. 图形示意与标注
画一个以\( O \)为圆心、\( r \)为半径的圆，在圆内标注点\( A \)、圆上标注点\( B \)、圆外标注点\( C \)；
用虚线连接\( OA \)、\( OB \)、\( OC \)，直观展示 “点在圆内”“圆上”“圆外” 的区域差异，标注 “内部”“圆上”“外部” 字样。
第 4 页：二、点与圆位置关系的判定方法（数量关系）
1. 核心判定依据
点与圆的位置关系可通过 “点到圆心的距离（记为\( d \)）” 与 “圆的半径（记为\( r \)）” 的数量关系双向判定，这是 “形” 与 “数” 的对应核心：
位置关系
数量关系（\( d \)与\( r \)）
判定逻辑
点在圆内
\( d < r \)
若点到圆心的距离小于半径，则点在圆内；反之亦然
点在圆上
\( d = r \)
若点到圆心的距离等于半径，则点在圆上；反之亦然
点在圆外
\( d > r \)
若点到圆心的距离大于半径，则点在圆外；反之亦然
2. 符号表示与几何语言
设\( \odot O \)的半径为\( r \)，点\( P \)到圆心\( O \)的距离为\( d \)，则：
点\( P \)在\( \odot O \)内 \( \iff d < r \)；
点\( P \)在\( \odot O \)上 \( \iff d = r \)；
点\( P \)在\( \odot O \)外 \( \iff d > r \)；
（符号 “\( \iff \)” 表示 “双向等价”，即 “若前者成立则后者成立，若后者成立则前者也成立”）
3. 实例验证（基础计算）
例 1：已知\( \odot O \)的半径\( r = 5 \, \text{cm} \)，分别判断下列点与\( \odot O \)的位置关系：
点\( A \)到\( O \)的距离\( d_1 = 3 \, \text{cm} \)：\( 3 < 5 \)→点\( A \)在\( \odot O \)内；
点\( B \)到\( O \)的距离\( d_2 = 5 \, \text{cm} \)：\( 5 = 5 \)→点\( B \)在\( \odot O \)上；
点\( C \)到\( O \)的距离\( d_3 = 7 \, \text{cm} \)：\( 7 > 5 \)→点\( C \)在\( \odot O \)外。
第 5 页：三、点与圆位置关系的应用（分层实例）
1. 应用 1：求圆的半径范围
例 2：已知点\( P \)到圆心\( O \)的距离\( d = 4 \, \text{cm} \)，若点\( P \)在\( \odot O \)内，求\( \odot O \)半径\( r \)的取值范围。
解：由 “点在圆内\( \iff d < r \)”，得\( 4 < r \)，即\( r > 4 \, \text{cm} \)（半径为正数，无需额外限制下限）。
例 3：已知点\( Q \)在\( \odot O \)外，且点\( Q \)到\( O \)的距离\( d = 6 \, \text{cm} \)，求\( \odot O \)半径\( r \)的取值范围。
解：由 “点在圆外\( \iff d > r \)”，得\( 6 > r \)，又\( r > 0 \)，故\( 0 < r < 6 \, \text{cm} \)。
2. 应用 2：判断多点与圆的位置关系
例 4：在平面直角坐标系中，\( \odot O \)的圆心在原点\( (0,0) \)，半径\( r = 10 \)，判断点\( M(6,8) \)、\( N(7,-7) \)与\( \odot O \)的位置关系。
解：1. 计算点到圆心的距离（用勾股定理）：
点\( M(6,8) \)：\( d_M = \sqrt{(6 - 0)^2 + (8 - 0)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \)；\( d_M = 10 = r \)→点\( M \)在\( \odot O \)上；
点\( N(7,-7) \)：\( d_N = \sqrt{(7 - 0)^2 + (-7 - 0)^2} = \sqrt{49 + 49} = \sqrt{98} \approx 9.9 < 10 \)；\( d_N < r \)→点\( N \)在\( \odot O \)内。
3. 应用 3：点的轨迹问题（初步）
例 5：平面内，到定点\( O \)的距离等于\( 3 \, \text{cm} \)的所有点的轨迹是什么图形？
解：由 “点在圆上\( \iff d = r \)”，可知这些点的轨迹是以\( O \)为圆心、\( 3 \, \text{cm} \)为半径的圆（即\( \odot O \)，半径\( r = 3 \, \text{cm} \)）。
第 6 页：四、易错点解析与避坑技巧
1. 常见易错点
易错点 1：混淆 “点到圆心的距离” 与 “点到圆上某点的距离”—— 判定依据是 “点到圆心的距离\( d \)”，而非 “点到圆上任意一点的距离”（例：点到圆上某点的距离可能小于半径，但点实际在圆外）；
易错点 2：忽略半径的正数属性 —— 求半径范围时，忘记\( r > 0 \)，如例 3 中误写为\( r < 6 \)，未补充\( r > 0 \)；
易错点 3：坐标系中距离计算错误 —— 未用勾股定理，直接用横 / 纵坐标差作为距离（例：点\( (3,4) \)到原点的距离误算为 3 或 4，正确应为 5）；
易错点 4：单向判定思维 —— 只记住 “\( d < r \)则点在圆内”，忽略 “点在圆内则\( d < r \)” 的反向逻辑，导致轨迹问题无法解决。
2. 避坑技巧
“关键词锁定法”：看到 “点与圆位置关系”，立刻锁定 “\( d \)（点到圆心距离）” 和 “\( r \)（半径）” 两个核心量；
“范围双向查”：求半径范围时，先根据位置关系列不等式，再补充 “\( r > 0 \)”，确保范围完整；
“坐标系距离公式记”：平面直角坐标系中，点\( (x,y) \)到原点\( (0,0) \)的距离\( d = \sqrt{x^2 + y^2} \)，到任意圆心\( (a,b) \)的距离\( d = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} \)；
“双向逻辑练”：练习时同时进行 “已知\( d \)和\( r \)判位置”“已知位置判\( d \)与\( r \)关系”，强化等价思维。
第 7 页：课堂练习（分层设计）
一、基础题
已知\( \odot O \)的半径\( r = 8 \, \text{cm} \)，点\( P \)到\( O \)的距离\( d = 6 \, \text{cm} \)，则点\( P \)在\( \odot O \)______（答案：内）；
若点\( Q \)在\( \odot O \)上，且\( \odot O \)的半径\( r = 12 \, \text{mm} \)，则点\( Q \)到\( O \)的距离\( d = \)______（答案：12 mm）；
在平面直角坐标系中，\( \odot O \)圆心为\( (2,3) \)，半径\( r = 5 \)，则点\( (2,8) \)到圆心的距离\( d = \)，该点在\( \odot O \)（答案：5；上）。
二、提升题
已知点\( M \)到圆心\( N \)的距离\( d = 5 \, \text{cm} \)，若点\( M \)不在\( \odot N \)外，求\( \odot N \)半径\( r \)的取值范围（答案：\( r \geq 5 \, \text{cm} \)）；
平面内有三点\( A(0,0) \)、\( B(0,4) \)、\( C(3,0) \)，以\( A \)为圆心画圆，若\( B \)、\( C \)两点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求圆的半径\( r \)的取值范围（答案：\( 3 < r < 4 \)）。
第 8 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
三种位置关系：点在圆内（\( d < r \)）、圆上（\( d = r \)）、圆外（\( d > r \)），“形” 的特征与 “数” 的关系一一对应；
核心判定方法：以 “点到圆心的距离\( d \)” 和 “半径\( r \)” 的数量关系为依据，双向等价判定；
常见应用：半径范围求解、坐标系中位置判断、点的轨迹分析；
思想方法：数形结合（图形直观与数量计算结合）、等价转化（位置关系与数量关系转化）。
二、作业布置
必做：教材中 “点与圆的位置关系” 基础习题，完成 3 道计算判定题和 1 道半径范围题；
选做：在平面直角坐标系中，\( \odot P \)的圆心为\( (1,-2) \)，且点\( (4,2) \)在\( \odot P \)上，判断点\( (0,0) \)与\( \odot P \)的位置关系（提示：先求半径\( r \)，再算点到圆心的距离\( d \)）。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
27.2.1 点与圆的位置关系
第27章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
想一想
你玩过飞镖吗？它的靶子是由一些圆组成的，你知道击中靶子上不同位置的成绩是如何计算的吗？
问题1 观察下图中点和圆的位置关系有哪几种？
.
o
.
C
.
.
.
. B
.
A
.
.
合作探究
点和圆的位置关系有三种：
点在圆内，点在圆上，点在圆外.
点和圆的位置关系
问题2 设点到圆心的距离为 d，圆的半径为 r，量一量在三种不同的位置关系下，d 与 r 有怎样的数量关系？
点 P 在⊙O 内
点 P 在⊙O 上
点 P 在⊙O 外
d
d
d
r
P
d
P
r
d
P
r
d
＜
r
r
=
＞
r
反过来，由 d 与 r 的数量关系，怎样判定点与圆的位置关系呢？
1. ⊙O 的半径为 10 cm，A、B、C 三点到圆心的距离分
别为 8 cm、10 cm、12 cm，则点 A、B、C 与 ⊙O 的
位置关系是点 A 在 ，点 B 在 ，点 C 在 .
圆内
圆上
圆外
2. 圆心为 O 的两个同心圆，半径分别为 1 和 2，若 OP
= ，则点 P 在 ( )
A. 大圆内 B. 小圆内
C. 小圆外 D. 大圆内，小圆外
O
D
练一练
点和圆的位置关系
r
P
d
P
r
d
O
P
r
d
O
R
r
P
O
d
点 P 在⊙O 内
d＜r
点 P 在⊙O 上
d = r
点 P 在⊙O 外
d＞r
点 P 在圆环内
r≤d≤R
数形结合：
位置关系
数量关系
知识要点
O
例1 如图，已知矩形 ABCD 的边 AB = 3，AD = 4.
（1）以 A 为圆心，4 为半径作⊙A，则点 B、C、D 与
⊙A 的位置关系如何？
解：∵ AB = 3 ＜ 4，
∴ 点 B 在⊙A 内．
∵ AD = 4，
∴ 点 D 在 ⊙A 上．
∵ ＞ 4，
∴ 点 C 在 ⊙A 外.
解：由题意得，点 B 一定在圆内，点 C 一定在圆外，
∴ 3＜r＜5.
(2) 若以点 A 为圆心作⊙A，使 B、C、D 三点中至少有一点在圆内，且至少有一点在圆外，求⊙A 的半径 r 的取值范围？(直接写出答案)
3
4
·
问题1 如何过一个点 A 画一个圆？过点 A 可以画多少个圆？
合作探究
·
·
·
·
以不与 A 点重合的任意一点为圆心，以这个点到点 A 的距离为半径画圆即可；
可画无数个圆.
A
…
过不共线三点画圆
问题2 如何过两点 A、B 画一个圆？过两点可以画多少个圆？
·
·
·
·
A
B
作线段 AB 的垂直平分线，以其上任意一点为圆心，以这点到点 A 的距离为半径画圆即可；
可画无数个圆.
…
问题3 过不在同一直线上的三点能不能确定一个圆？
D
E
G
F
经过 B，C 两点的圆的圆心在线段 BC 的垂直平分线上.
经过 A，B，C 三点的圆的圆心应该在这两条垂直平分线的交点 O 的位置.
经过 A，B 两点的圆的圆心在线段 AB 的垂直平分线上.
●
O
A
B
C
有且只有一个
位置关系
不在同一直线上的三个点确定一个 圆.
归纳总结
D
E
G
F
●
O
A
B
C
作法：1、连接 AB，作线段 AB的垂直平分线 MN；
2、连接 AC，作线段 AC 的垂直平分线 EF，交 MN 于点 O；
3、以 O 为圆心，OB 为半径画圆. 所以⊙O 就是所求作的圆.
O
N
M
F
E
A
B
C
已知：不在同一直线上的三点 A、B、C.
求作： ⊙O，使它经过点 A、B、C.
练一练
问题4：现在你知道怎样将一个如图所示的破损的圆盘复原了吗？
方法：
1、在圆弧上任取三点 A、B、C；
2、作线段 AB、BC 的垂直平分线，其交点 O 即为圆心；
3、以点 O 为圆心，OC 长为半径作圆.
⊙O 即为所求.
A
B
C
O
试一试：已知△ABC，用直尺与圆规作出过 A、B、C三点的圆.
A
B
C
O
三角形的外接圆及外心
1. 外接圆
⊙O 叫做△ABC 的________，
△ABC 叫做⊙O 的____________.
2. 三角形的外心：
定义：
外接圆
内接三角形
三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
作图：
三角形三边垂直平分线的交点.
概念学习
A
B
C
O
到三角形三个顶点的距离相等.
性质：
●
判一判：
下列说法是否正确？
(1) 任意的一个三角形一定有一个外接圆( )
(2) 任意一个圆有且只有一个内接三角形( )
(3) 经过三点一定可以确定一个圆( )
(4) 三角形的外心到三角形各顶点的距离相等( )
√
×
×
√
画一画：分别画一个锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，再画出它们的外接圆，观察其外心的位置.
锐角三角形的外心位于三角形内；
直角三角形的外心位于斜边的中点处；
钝角三角形的外心位于三角形外.
A
B
C
●O
A
B
C
C
A
B
┐
●O
●O
经过三角形的三个顶点的圆就是这个三角形的外接圆；三角形外接圆的圆心叫做这个三角形的外心；这个三角形叫做这个圆的内接三角形.三角形的外心就是三角形三条边的垂直平分线的交点.
要点归纳
例2 如图，将△AOB 置于平面直角坐标系中，O 为原点，∠ABO＝60°，若△AOB 的外接圆与 y 轴交于点 D(0，3)．
(1)求∠DAO 的度数；
(2)求点 A 的坐标和△AOB 外接圆的面积．
解：(1)∵∠ADO＝∠ABO＝60°，
∠DOA＝90°，
∴∠DAO＝30°.
典例精析
(2)求点 A 的坐标和△AOB 外接圆的面积．
(2)∵ 点 D 的坐标是(0，3)，∴ OD＝3.
在直角△AOD 中，
OA＝OD · tan∠ADO＝ ，
AD＝2OD＝6，
∴ 点 A 的坐标是( ，0)．
∵ ∠AOD＝90°，∴ AD 是圆的直径，
∴ △AOB外接圆的面积是 9π.
例3 如图，在△ABC 中，O 是它的外心，BC＝24 cm，O 到 BC 的距离是 5 cm，求△ABC 的外接圆的半径．
解：连接 OB，过点 O 作 OD⊥BC.
D
则OD＝5 cm，
在Rt△OBD 中，
即△ABC 的外接圆的半径为 13 cm.
解析：由外心的定义可知外接圆的半径等于 OB，过点 O 作 OD⊥BC，易得 BD＝12 cm.由此可求它的外接圆的半径．
2. 如图，在 5×5 正方形网格中，一条圆弧经过 A，B，C 三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是 ( )
M
R
Q
A
B
C
P
A. 点 P B. 点 Q
C. 点 R D. 点 M
B
1.⊙O 的半径 r 为 5 cm，O 为原点，点 P 的坐标为(3，4)，
则点 P 与⊙O 的位置关系为 ( )
A. 点 P 在⊙O 内 B. 点 P 在⊙O 上
C. 点 P 在⊙O 外 D. 点 P 在⊙O 上或⊙O 外
B
4. 已知在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 6，BC = 8，则它的外接圆半径为 .
5
5. 如图，△ABC 内接于⊙O，若∠OAB = 20°，则∠C 的度数是_____.
70°
3. 正方形 ABCD 的边长为 2 cm，以 A 为圆心，2 cm 长为半径作⊙A，则点 B 在⊙A ；点 C 在⊙A ；点 D 在⊙A .
上
外
上
6. 判断：
（1）经过三点一定可以作圆 （ ）
（2）三角形的外心就是这个三角形两边垂直平分线的
交点 （ ）
（3）三角形的外心到三边的距离相等 （ ）
（4）等腰三角形的外心一定在这个三角形内 （ ）
√
×
×
×
7.小明不慎把家里的圆形玻璃打碎了，其中四块碎片如图所示，为配到与原来大小一样的圆形玻璃，小明带到商店去的一块玻璃碎片应该是（ ）
A．第①块 B．第④块
C．第③块 D．第②块
D
8. 如图，已知 Rt△ABC 中 ，∠C = 90°，若 AC = 12 cm，
BC = 5 cm，求△ABC 的外接圆半径.
C
B
A
O
解：设 Rt△ABC 的斜边 AB 的中点为 O，连接 OC，则 OA = OB = OC.
故点 O 是△ABC 的外心.
∵∠C = 90°，AC = 12 cm，BC = 5 cm，
∴ AB = 13 cm. 则 OA = 6.5 cm.
即 △ABC 的外接圆半径为 6.5 cm.
能力拓展：一个 8 米×12 米的长方形草地，现要安装自动喷水装置，这种装置喷水的半径为 5 米，你准备安装几个 怎样安装 请说明理由.
1．若⊙P的半径为5，圆心P的坐标为(－3，4)，则平面直角坐标系的原点O与⊙P的位置关系是( )
A．在⊙P内 B．在⊙P上
C．在⊙P外 D．无法确定
返回
【点方法】判断点与圆的位置关系，只需比较点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系．若d＜r，则点在圆内；若d＝r，则点在圆上；若d＞r，则点在圆外．
【答案】 B
2．三角形的外心具有的性质是( )
A．外心在三角形外
B．外心在三角形内
C．外心到三角形三边的距离相等
D．外心到三角形三个顶点的距离相等
D
返回
返回
B
3．如图，在5×5正方形网格中，一条圆弧经过A，B，C三点，那么这条圆弧所在圆的圆心是( )
A．点P
B．点Q
C．点R
D．点M
4．如图，点A，B，C在同一条直线上，点D在直线AB外，过这四点中的任意3个点，能画出的圆有( )
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
C
返回
5. 点P是非圆上一点，若点P到⊙O上的点的最小距离是4 cm，最大距离是9 cm，则⊙O的半径是________________．
6.5 cm或2.5 cm
返回
【点拨】分为两种情况：
①当点在圆内时，如图①，
∵点到圆上的最小距离PB＝4 cm，最大距离PA＝9 cm，
∴直径AB＝4＋9＝13(cm)．∴半径r＝6.5 cm；
②当点在圆外时，如图②，
∵点到圆上的最小距离PB＝4 cm，最大距离PA＝9 cm，
∴直径AB＝9－4＝5(cm)．∴半径r＝2.5 cm.
综上所述，⊙O的半径为6.5 cm或2.5 cm.
6．[2024遵化期末]已知平面直角坐标系中的三个点分别为A(1，－1)，B(－2，5)，C(4，－6)，则A，B，C这三个点________确定一个圆(填“可以”或“不可以”)．
可以
返回
7. 如图，小明家的房前有一块矩形的空地，空地上有三棵树A，B，C，小明想建一个圆形花坛，使三棵树都在花坛的边上．
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来，尺规作图，不写作法，保留作图痕迹．
【解】如图所示．
(2)若在△ABC中，AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，试求小明家圆形花坛的面积．
【解】∵AB＝8 m，AC＝6 m，∠BAC＝90°，
∴BC＝10 m.
∴圆形花坛的半径为5 m.
∴小明家圆形花坛的面积为π×52＝25π(m2)．
返回
点和圆的位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆内
d>r
d=r
d
作圆
过一点可以作无数个圆
过两点可以作无数个圆
不在同一直线上的三个点可确定一个圆
一个三角形的
外接圆是唯一的
注意：过同一直线上的三个点不能作圆
点 P 在圆环内
r≤d≤R
R
r
P
O
d
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！