27.2.2 直线与圆的位置关系 课件(共39张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 27.2.2 直线与圆的位置关系 课件(共39张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.9MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-19 05:56:18 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
第 1 页：封面
标题：27.2.2 直线与圆的位置关系
副标题：从公共点识别到数量关系判定的深度探究
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），能通过公共点个数直观识别
掌握直线与圆位置关系的判定方法（圆心到直线的距离与半径的数量关系），能双向转化应用
理解切线的定义与性质，能解决直线与圆位置关系的判定、半径范围求解等问题，深化数形结合思想
二、知识衔接（回顾旧知，引出新知）
上节课核心：点与圆的位置关系通过 “点到圆心的距离\( d \)” 与 “半径\( r \)” 的数量关系判定（\( d < r \)内、\( d = r \)上、\( d > r \)外）；
思考提问：平面内，直线与圆的位置关系有哪些？能否类比点与圆的判定方法，用 “距离” 与 “半径” 的关系精准判定直线与圆的位置？（引出课题）。
第 3 页：一、直线与圆的三种位置关系（图形直观）
1. 位置关系分类及定义
根据直线与圆的公共点个数，直线与圆有三种位置关系，结合图形特征定义如下：
位置关系
公共点个数
图形特征
定义表述
特殊名称（若有）
相离
0 个
直线与圆没有公共点，直线在圆外
平面内，直线与圆没有公共点，称为直线与圆相离
——
相切
1 个
直线与圆有且只有一个公共点
平面内，直线与圆有且只有一个公共点，称为直线与圆相切
公共点：切点；直线：切线
相交
2 个
直线与圆有两个公共点，直线穿过圆
平面内，直线与圆有两个公共点，称为直线与圆相交
直线：割线；公共点：交点
2. 图形示意与标注
画一个以\( O \)为圆心、\( r \)为半径的圆，分别画出三条直线：
直线\( l_1 \)（相离）：与圆无公共点，标注 “无公共点，相离”；
直线\( l_2 \)（相切）：与圆有 1 个公共点\( T \)，标注 “切点\( T \)，切线\( l_2 \)”；
直线\( l_3 \)（相交）：与圆有 2 个公共点\( A B \)，标注 “交点\( A B \)，割线\( l_3 \)”；
直观展示三种位置关系的差异，强调 “公共点个数” 是核心识别依据。
第 4 页：二、直线与圆位置关系的判定方法（数量关系）
1. 核心概念：圆心到直线的距离
定义：从圆心\( O \)向直线\( l \)作垂线，垂足为\( P \)，则线段\( OP \)的长度称为 “圆心到直线的距离”，记为\( d \)（即\( d = OP \)）；
图形示意：对三种位置关系的直线，分别画出圆心到直线的垂线段\( OP \)，标注\( d \)，明确 “距离是垂线段长度，非任意线段长度”。
2. 数量关系判定依据
类比点与圆的判定逻辑，直线与圆的位置关系可通过 “圆心到直线的距离\( d \)” 与 “圆的半径\( r \)” 的数量关系双向判定，实现 “形” 与 “数” 的精准对应：
位置关系
数量关系（\( d \)与\( r \)）
判定逻辑
相离
\( d > r \)
若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离；反之亦然
相切
\( d = r \)
若圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切；反之亦然
相交
\( d < r \)
若圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆相交；反之亦然
3. 符号表示与几何语言
设\( \odot O \)的半径为\( r \)，圆心\( O \)到直线\( l \)的距离为\( d \)，则：
直线\( l \)与\( \odot O \)相离 \( \iff d > r \)；
直线\( l \)与\( \odot O \)相切 \( \iff d = r \)；
直线\( l \)与\( \odot O \)相交 \( \iff d < r \)；
（符号 “\( \iff \)” 表示双向等价，既可用距离判位置，也可用位置判距离关系）
4. 实例验证（基础判定）
例 1：已知\( \odot O \)的半径\( r = 4 \, \text{cm} \)，圆心\( O \)到直线\( l \)的距离\( d \)分别为以下值，判断直线\( l \)与\( \odot O \)的位置关系：
\( d_1 = 3 \, \text{cm} \)：\( 3 < 4 \)→直线\( l \)与\( \odot O \)相交；
\( d_2 = 4 \, \text{cm} \)：\( 4 = 4 \)→直线\( l \)与\( \odot O \)相切；
\( d_3 = 5 \, \text{cm} \)：\( 5 > 4 \)→直线\( l \)与\( \odot O \)相离。
第 5 页：三、切线的定义与性质（重点突破）
1. 切线的定义（回顾与深化）
直线与圆相切时，该直线称为圆的切线，唯一的公共点称为切点；
关键特征：切线与圆仅有一个公共点，且圆心到切线的距离等于半径（\( d = r \)）。
2. 切线的重要性质（核心定理）
性质 1：圆的切线垂直于过切点的半径。
几何语言：如图，若直线\( l \)是\( \odot O \)的切线，切点为\( T \)，则\( OT \perp l \)（\( OT \)为半径）；
证明思路：反证法 —— 假设\( OT \)不垂直于\( l \)，则圆心\( O \)到\( l \)的距离\( d < OT = r \)，直线与圆相交（与相切矛盾），故\( OT \perp l \)；
图形示意：画切线\( l \)与切点\( T \)，连接\( OT \)，标注 “\( OT \perp l \)”，强调 “过切点” 是前提（非过圆心的任意半径都垂直于切线）。
性质 2：经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点；
性质 3：经过切点且垂直于切线的直线，必经过圆心；
应用：已知切线和圆心 / 切点，可通过 “垂直” 关系确定切点 / 圆心位置（如：已知切线\( l \)和圆心\( O \)，作\( OT \perp l \)，则\( T \)为切点）。
第 6 页：四、直线与圆位置关系的应用（分层实例）
1. 应用 1：判定直线与圆的位置关系
例 2：在平面直角坐标系中，\( \odot O \)的圆心为原点\( (0,0) \)，半径\( r = 5 \)，直线\( l \)的解析式为\( 3x + 4y - 25 = 0 \)，判断直线\( l \)与\( \odot O \)的位置关系（提示：用点到直线的距离公式计算\( d \)）。
解：1. 计算圆心\( O(0,0) \)到直线\( l \)的距离\( d \)：
点\( (x_0,y_0) \)到直线\( Ax + By + C = 0 \)的距离公式为\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)；
代入得\( d = \frac{|3 \times 0 + 4 \times 0 - 25|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{25}{5} = 5 \)；
2. 比较\( d \)与\( r \)：\( d = 5 = r \)→直线\( l \)与\( \odot O \)相切。
2. 应用 2：求圆的半径范围
例 3：已知直线\( l \)到圆心\( O \)的距离\( d = 6 \, \text{cm} \)，若直线\( l \)与\( \odot O \)相交，求\( \odot O \)半径\( r \)的取值范围。
解：由 “相交\( \iff d < r \)”，得\( 6 < r \)，又\( r > 0 \)，故\( r > 6 \, \text{cm} \)。
3. 应用 3：切线性质的应用
例 4：如图，\( AB \)是\( \odot O \)的切线，切点为\( B \)，\( OA \)交\( \odot O \)于点\( C \)，若\( OA = 10 \, \text{cm} \)，\( OC = 6 \, \text{cm} \)，求\( AB \)的长度。
解：1. 由切线性质，\( OB \perp AB \)（\( OB \)为半径，\( OB = OC = 6 \, \text{cm} \)）；
2. 在\( \text{Rt}\triangle OAB \)中，由勾股定理：\( AB^2 + OB^2 = OA^2 \)；
3. 代入数据：\( AB^2 + 6^2 = 10^2 \)→\( AB^2 = 64 \)→\( AB = 8 \, \text{cm} \)。
第 7 页：五、易错点解析与避坑技巧
1. 常见易错点
易错点 1：混淆 “圆心到直线的距离” 与 “圆心到直线上某点的距离”—— 判定依据是 “垂线段长度\( d \)”，而非 “圆心到直线上任意点的距离”（例：直线上某点到圆心距离小于半径，但直线可能与圆相离）；
易错点 2：切线性质应用遗漏 “过切点”—— 误将 “圆的切线垂直于任意半径” 当作性质，实际仅垂直于 “过切点的半径”；
易错点 3：坐标系中距离计算错误 —— 未掌握点到直线的距离公式，或代入时符号处理失误（如忽略绝对值，导致\( d \)为负数）；
易错点 4：单向判定思维 —— 只记住 “\( d < r \)则相交”，忽略 “相交则\( d < r \)” 的反向逻辑，导致半径范围求解漏条件。
2. 避坑技巧
“双核心锁定法”：遇直线与圆位置关系，立刻锁定 “圆心到直线的距离\( d \)” 和 “半径\( r \)”，优先计算\( d \)；
“切线性质口诀记”：记 “切线垂直过切半径，过心垂直必过切，过切垂直必过心”，明确三个条件的关联；
“距离公式熟应用”：牢记点\( (x_0,y_0) \)到直线\( Ax + By + C = 0 \)的距离公式\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)，注意绝对值和根号；
“范围双向验”：求半径范围时，先根据位置关系列不等式，再补充 “\( r > 0 \)”，确保范围完整（如相离时\( r < d \)且\( r > 0 \)）。
第 8 页：课堂练习（分层设计）
一、基础题
已知\( \odot O \)的半径\( r = 7 \, \text{cm} \)，圆心到直线\( l \)的距离\( d = 5 \, \text{cm} \)，则直线\( l \)与\( \odot O \)的位置关系是______（答案：相交）；
若直线\( l \)与\( \odot O \)相切，且\( \odot O \)的半径\( r = 9 \, \text{mm} \)，则圆心到直线\( l \)的距离\( d = \)______（答案：9 mm）；
如图，\( PA \)是\( \odot O \)的切线，切点为\( A \)，\( PO = 13 \)，\( OA = 5 \)，则\( PA = \)______（答案：12，提示：用勾股定理）。
二、提升题
已知直线\( 2x - y + 1 = 0 \)到圆心\( (0,0) \)的距离\( d = \frac{\sqrt{5}}{5} \)，若直线与圆相交，求圆半径\( r \)的取值范围（答案：\( r > \frac{\sqrt{5}}{5} \)）；
证明：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（提示：反证法，假设直线不经过圆心，推出与 “\( d = r \)” 矛盾）。
第 9 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
三种位置关系：相离（\( d > r \)，0 个公共点）、相切（\( d = r \)，1 个公共点，切线 + 切点）、相交（\( d < r \)，2 个公共点，割线 + 交点）；
核心判定：以 “圆心到直线的距离\( d \)” 与 “半径\( r \)” 的数量关系为依据，双向等价；
切线性质：切线垂直于过切半径，过心 / 过切垂直切线的直线必过切 / 过心；
思想方法：数形结合（图形与数量转化）、类比思想（类比点与圆的判定逻辑）、反证法（证明切线性质）。
二、作业布置
必做：教材中 “直线与圆的位置关系” 基础习题，完成 2 道判定题、1 道切线性质应用题；
选做：在平面直角坐标系中，\( \odot P \)的圆心为\( (2,3) \)，直线\( y = x + 1 \)与\( \odot P \)相切，求\( \odot P \)的半径（提示：用点到直线的距离公式计算\( d = r \)）。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
27.2.2 直线与圆的位置关系
第27章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
点和圆的位置关系有几种？
d < r
d = r
d > r
用数量关系如何来判断呢？
(设 OP = d )
知识回顾
(1) 点在圆内
(2) 点在圆上
(3) 点在圆外
r
d
r
r
P
P
P
O
O
O
d
d
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问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
用定义判断直线与圆的位置关系
问题2 请同学在纸上画一条直线 l，把圆块的边缘看作圆，在纸上移动圆块，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
l
0
2
●
●
●
图形
公共点个数
直线与圆的 位置关系
公共点名称
直线名称
2 个
交点
割线
1 个
切点
切线
0 个
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数
填一填
直线与圆最多有两个公共点. （ ）
② 若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. （ ）
③ 若 A 是☉O 上一点，则直线 AB 与☉O 相切. （ ）
④ 若 C 为☉O 外一点，则过点 C 的直线与☉O 相交或相离. （ ）
⑤ 直线 a 和☉O 有公共点，则直线 a 与☉O 相交.（ ）
√
×
×
×
×
判一判
问题1 刚才同学们用圆块移近直线的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？
相关知识：
点到直线的距离是指从直线外一点 (A) 到直线 (l ) 的垂线段 (OA) 的长度.
l
A
O
圆心到直线的距离在
发生变化；
首先距离大于半径，
而后距离等于半径，
最后距离小于半径.
用数量关系判断直线与圆的位置关系
怎样用圆心到直线的距离 d 来判定直线 l 与 ⊙O 的位置关系呢？
O
思考：
d
l
直线和圆相交
d < r
直线和圆相切
d = r
直线和圆相离
d > r
r
d
∟
r
d
∟
r
d
数形结合：
位置关系
数量关系
用圆心 O 到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判定：
O
O
O
直线与圆的位置关系
的性质与判定的区别：
位置关系 数量关系.
公共点个数
要点归纳
直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线 l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点 A）.
A
l
O
要点归纳
1. 已知圆的半径为 6 cm，设直线和圆心的距离为 d.
(3) 若 d = 8 cm，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点.
(2) 若 d = 6 cm，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点；
(1) 若 d = 4 cm，则直线与圆 ，直线与圆有____个公共点；
相交
相切
相离
2
1
0
练一练
(3) 若 AB 和⊙O 相交，则 .
2. 已知⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O 与直线 AB 的距离为 d，根据条件填写 d 的范围：
(1) 若 AB 和⊙O 相离，则 ；
(2) 若 AB 和⊙O 相切，则 ；
d ＞5 cm
d = 5 cm
0 cm≤d＜5 cm
例1 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与直线 AB 有怎样的位置关系？为什么？
(1) r = 2 cm；(2) r = 2.4 cm； (3) r = 3 cm．
B
C
A
4
3
分析：要判定 AB 与⊙C 的位置关系，只要知道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的大小关系.已知 r，只需求出 C 到 AB 的距离 d.
D
典例精析
解：过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.
在△ABC 中，
根据三角形的面积公式有
即圆心 C 到 AB 的距离 d = 2.4 cm.
(1) 当 r = 2 cm 时，
有 d > r，
因此⊙C 和 AB 相离；
B
C
A
4
3
D
d
注：斜边上的高等于两直角边长的乘积除以斜边长.
(2) 当 r = 2.4 cm 时，有 d = r，
因此⊙C 和 AB 相切；
B
C
A
4
3
D
d
(3) 当 r = 3 cm 时，有 d < r，
因此⊙C 和 AB 相交.
B
C
A
4
3
D
d
变式题：
1. Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心画圆，当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 没有公共点？
当 0 cm＜r＜2.4 cm 或 r＞4 cm 时，
⊙C 与线段 AB 没有公共点.
A
B
C
D
4
5
3
2. Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心画圆，当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 有一个公共点？当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 有两个公共点？
当 r = 2.4 cm 或 3 cm＜r≤4 cm 时，⊙C 与线段 AB 有一个公共点；
当 2.4 cm＜r≤3 cm 时，⊙C 与线段AB 有两公共点.
A
B
C
D
4
5
3
3
例2 如图，Rt△ABC 的斜边 AB = 10 cm，∠A = 30°.
(1) 以点 C 为圆心，当半径为多少时，AB 与☉C 相切？
(2) 以点 C 为圆心，半径 r 分别为 4 cm，5 cm 作两个圆，这两个圆与斜边 AB 分别有怎样的位置关系？
A
C
B
解：(1) 过点 C 作边 AB 上的高 CD.
D
∵∠A = 30°，AB = 10 cm，
在Rt△BCD 中，有
当半径为 时，AB 与☉C 相切.
.O
.
O
.O
.O
.O
1. 看图判断直线 l 与☉O 的位置关系：
相离
相交
相切
相交
相交
l
l
l
l
l
2. 直线和圆相交，圆的半径为 r，且圆心到直线的距离
为 5，则有 ( )
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
3. ☉O 的最大弦长为 8，若圆心 O 到直线 l 的距离为
d = 5， 则直线 l 与☉O ( )
A. 相交 B.相切
C. 相离 D.以上三种情况都有可能
B
C
4. ☉O 的半径为 5，直线 l 上的一点到圆心 O 的距离是 5，则直线 l 与☉O 的位置关系是（ ）
A. 相交或相切 B. 相交或相离
C. 相切或相离 D. 以上三种情况都有可能
A
解析：过点 A 作 AQ⊥MN 于Q，连接 AN，设半径为 r，由垂径定理有 MQ＝NQ，所以 AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用勾股定理可以求出 NQ＝1.5，所以N 点坐标为(－1，－2)．故选 A.
5.如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与 y 轴相切于原点 O，平行于 x 轴的直线交⊙A 于 M、N 两点．若点M 的坐标是(－4，－2)，则点 N 的坐标为( )
A．(－1，－2) B．(1，2)
C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)
A
拓展提升：已知⊙O 的半径 r = 7 cm，直线 l1∥l2，且 l1 与⊙O 相切，圆心 O 到 l2 的距离为 9 cm. 求 l1与 l2 的距离.
O
l1
l2
A
B
l2
（1）当 l2 与 l1 在圆的同侧时，
m = 9 - 7 = 2 (cm)；
（2）当 l2 与 l1 在圆的异侧时，
m = 9 + 7 = 16 (cm).
解：设 l2 与 l1 的距离为 m，则
C
返回
1．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
B
2．在平面直角坐标系中，以点(－3，4)为圆心，3为半径的圆( )
A．与x轴相离，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
A
返回
返回
D
3．[2024周口期末]已知⊙O的半径是一元二次方程x2－7x＋12＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝3，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．相交或相切
4．已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5 cm，若以M为圆心，r为半径作圆，那么：(1)当直线OA与⊙M相离时，r的取值范围是________；(2)当r＝________时，直线OA与⊙M相切；(3)当直线OA与⊙M有公共点时，r的取值范围是________．
返回
5. [教材P50练习T1] 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有何位置关系？为什么？
(1)r＝4 cm.
返回
(2)r＝4.8 cm.
(3)r＝6 cm.
【解】当r＝4.8 cm时，h＝r，则AB与⊙C相切．
当r＝6 cm时，r＞h，则AB与⊙C相交．
返回
6．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB＝60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是( )
A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离
B．当BC等于2时，l与⊙O相切
C．当BC等于1时，l与⊙O相交
D．当BC不为1时，l与⊙O不相切
D
【答案】 C
直线与圆的位置关系
定义
性质
判定
相离
相切
相交
公共点的个数
d 与 r 的数量关系
定义法
性质法
特别提醒：若图中没有 d 要先作出该垂线段
相离:0 个；相切:1 个；相交:2 个
相离：d > r 相切：d = r
相交：d < r
0个：相离；1个：相切；2个：相交
d > r：相离；d = r：相切；d < r：相交
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面
标题：27.2.2 直线与圆的位置关系
副标题：从公共点识别到数量关系判定的深度探究
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），能通过公共点个数直观识别
掌握直线与圆位置关系的判定方法（圆心到直线的距离与半径的数量关系），能双向转化应用
理解切线的定义与性质，能解决直线与圆位置关系的判定、半径范围求解等问题，深化数形结合思想
二、知识衔接（回顾旧知，引出新知）
上节课核心：点与圆的位置关系通过 “点到圆心的距离\( d \)” 与 “半径\( r \)” 的数量关系判定（\( d < r \)内、\( d = r \)上、\( d > r \)外）；
思考提问：平面内，直线与圆的位置关系有哪些？能否类比点与圆的判定方法，用 “距离” 与 “半径” 的关系精准判定直线与圆的位置？（引出课题）。
第 3 页：一、直线与圆的三种位置关系（图形直观）
1. 位置关系分类及定义
根据直线与圆的公共点个数，直线与圆有三种位置关系，结合图形特征定义如下：
位置关系
公共点个数
图形特征
定义表述
特殊名称（若有）
相离
0 个
直线与圆没有公共点，直线在圆外
平面内，直线与圆没有公共点，称为直线与圆相离
——
相切
1 个
直线与圆有且只有一个公共点
平面内，直线与圆有且只有一个公共点，称为直线与圆相切
公共点：切点；直线：切线
相交
2 个
直线与圆有两个公共点，直线穿过圆
平面内，直线与圆有两个公共点，称为直线与圆相交
直线：割线；公共点：交点
2. 图形示意与标注
画一个以\( O \)为圆心、\( r \)为半径的圆，分别画出三条直线：
直线\( l_1 \)（相离）：与圆无公共点，标注 “无公共点，相离”；
直线\( l_2 \)（相切）：与圆有 1 个公共点\( T \)，标注 “切点\( T \)，切线\( l_2 \)”；
直线\( l_3 \)（相交）：与圆有 2 个公共点\( A B \)，标注 “交点\( A B \)，割线\( l_3 \)”；
直观展示三种位置关系的差异，强调 “公共点个数” 是核心识别依据。
第 4 页：二、直线与圆位置关系的判定方法（数量关系）
1. 核心概念：圆心到直线的距离
定义：从圆心\( O \)向直线\( l \)作垂线，垂足为\( P \)，则线段\( OP \)的长度称为 “圆心到直线的距离”，记为\( d \)（即\( d = OP \)）；
图形示意：对三种位置关系的直线，分别画出圆心到直线的垂线段\( OP \)，标注\( d \)，明确 “距离是垂线段长度，非任意线段长度”。
2. 数量关系判定依据
类比点与圆的判定逻辑，直线与圆的位置关系可通过 “圆心到直线的距离\( d \)” 与 “圆的半径\( r \)” 的数量关系双向判定，实现 “形” 与 “数” 的精准对应：
位置关系
数量关系（\( d \)与\( r \)）
判定逻辑
相离
\( d > r \)
若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆相离；反之亦然
相切
\( d = r \)
若圆心到直线的距离等于半径，则直线与圆相切；反之亦然
相交
\( d < r \)
若圆心到直线的距离小于半径，则直线与圆相交；反之亦然
3. 符号表示与几何语言
设\( \odot O \)的半径为\( r \)，圆心\( O \)到直线\( l \)的距离为\( d \)，则：
直线\( l \)与\( \odot O \)相离 \( \iff d > r \)；
直线\( l \)与\( \odot O \)相切 \( \iff d = r \)；
直线\( l \)与\( \odot O \)相交 \( \iff d < r \)；
（符号 “\( \iff \)” 表示双向等价，既可用距离判位置，也可用位置判距离关系）
4. 实例验证（基础判定）
例 1：已知\( \odot O \)的半径\( r = 4 \, \text{cm} \)，圆心\( O \)到直线\( l \)的距离\( d \)分别为以下值，判断直线\( l \)与\( \odot O \)的位置关系：
\( d_1 = 3 \, \text{cm} \)：\( 3 < 4 \)→直线\( l \)与\( \odot O \)相交；
\( d_2 = 4 \, \text{cm} \)：\( 4 = 4 \)→直线\( l \)与\( \odot O \)相切；
\( d_3 = 5 \, \text{cm} \)：\( 5 > 4 \)→直线\( l \)与\( \odot O \)相离。
第 5 页：三、切线的定义与性质（重点突破）
1. 切线的定义（回顾与深化）
直线与圆相切时，该直线称为圆的切线，唯一的公共点称为切点；
关键特征：切线与圆仅有一个公共点，且圆心到切线的距离等于半径（\( d = r \)）。
2. 切线的重要性质（核心定理）
性质 1：圆的切线垂直于过切点的半径。
几何语言：如图，若直线\( l \)是\( \odot O \)的切线，切点为\( T \)，则\( OT \perp l \)（\( OT \)为半径）；
证明思路：反证法 —— 假设\( OT \)不垂直于\( l \)，则圆心\( O \)到\( l \)的距离\( d < OT = r \)，直线与圆相交（与相切矛盾），故\( OT \perp l \)；
图形示意：画切线\( l \)与切点\( T \)，连接\( OT \)，标注 “\( OT \perp l \)”，强调 “过切点” 是前提（非过圆心的任意半径都垂直于切线）。
性质 2：经过圆心且垂直于切线的直线，必经过切点；
性质 3：经过切点且垂直于切线的直线，必经过圆心；
应用：已知切线和圆心 / 切点，可通过 “垂直” 关系确定切点 / 圆心位置（如：已知切线\( l \)和圆心\( O \)，作\( OT \perp l \)，则\( T \)为切点）。
第 6 页：四、直线与圆位置关系的应用（分层实例）
1. 应用 1：判定直线与圆的位置关系
例 2：在平面直角坐标系中，\( \odot O \)的圆心为原点\( (0,0) \)，半径\( r = 5 \)，直线\( l \)的解析式为\( 3x + 4y - 25 = 0 \)，判断直线\( l \)与\( \odot O \)的位置关系（提示：用点到直线的距离公式计算\( d \)）。
解：1. 计算圆心\( O(0,0) \)到直线\( l \)的距离\( d \)：
点\( (x_0,y_0) \)到直线\( Ax + By + C = 0 \)的距离公式为\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)；
代入得\( d = \frac{|3 \times 0 + 4 \times 0 - 25|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{25}{5} = 5 \)；
2. 比较\( d \)与\( r \)：\( d = 5 = r \)→直线\( l \)与\( \odot O \)相切。
2. 应用 2：求圆的半径范围
例 3：已知直线\( l \)到圆心\( O \)的距离\( d = 6 \, \text{cm} \)，若直线\( l \)与\( \odot O \)相交，求\( \odot O \)半径\( r \)的取值范围。
解：由 “相交\( \iff d < r \)”，得\( 6 < r \)，又\( r > 0 \)，故\( r > 6 \, \text{cm} \)。
3. 应用 3：切线性质的应用
例 4：如图，\( AB \)是\( \odot O \)的切线，切点为\( B \)，\( OA \)交\( \odot O \)于点\( C \)，若\( OA = 10 \, \text{cm} \)，\( OC = 6 \, \text{cm} \)，求\( AB \)的长度。
解：1. 由切线性质，\( OB \perp AB \)（\( OB \)为半径，\( OB = OC = 6 \, \text{cm} \)）；
2. 在\( \text{Rt}\triangle OAB \)中，由勾股定理：\( AB^2 + OB^2 = OA^2 \)；
3. 代入数据：\( AB^2 + 6^2 = 10^2 \)→\( AB^2 = 64 \)→\( AB = 8 \, \text{cm} \)。
第 7 页：五、易错点解析与避坑技巧
1. 常见易错点
易错点 1：混淆 “圆心到直线的距离” 与 “圆心到直线上某点的距离”—— 判定依据是 “垂线段长度\( d \)”，而非 “圆心到直线上任意点的距离”（例：直线上某点到圆心距离小于半径，但直线可能与圆相离）；
易错点 2：切线性质应用遗漏 “过切点”—— 误将 “圆的切线垂直于任意半径” 当作性质，实际仅垂直于 “过切点的半径”；
易错点 3：坐标系中距离计算错误 —— 未掌握点到直线的距离公式，或代入时符号处理失误（如忽略绝对值，导致\( d \)为负数）；
易错点 4：单向判定思维 —— 只记住 “\( d < r \)则相交”，忽略 “相交则\( d < r \)” 的反向逻辑，导致半径范围求解漏条件。
2. 避坑技巧
“双核心锁定法”：遇直线与圆位置关系，立刻锁定 “圆心到直线的距离\( d \)” 和 “半径\( r \)”，优先计算\( d \)；
“切线性质口诀记”：记 “切线垂直过切半径，过心垂直必过切，过切垂直必过心”，明确三个条件的关联；
“距离公式熟应用”：牢记点\( (x_0,y_0) \)到直线\( Ax + By + C = 0 \)的距离公式\( d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \)，注意绝对值和根号；
“范围双向验”：求半径范围时，先根据位置关系列不等式，再补充 “\( r > 0 \)”，确保范围完整（如相离时\( r < d \)且\( r > 0 \)）。
第 8 页：课堂练习（分层设计）
一、基础题
已知\( \odot O \)的半径\( r = 7 \, \text{cm} \)，圆心到直线\( l \)的距离\( d = 5 \, \text{cm} \)，则直线\( l \)与\( \odot O \)的位置关系是______（答案：相交）；
若直线\( l \)与\( \odot O \)相切，且\( \odot O \)的半径\( r = 9 \, \text{mm} \)，则圆心到直线\( l \)的距离\( d = \)______（答案：9 mm）；
如图，\( PA \)是\( \odot O \)的切线，切点为\( A \)，\( PO = 13 \)，\( OA = 5 \)，则\( PA = \)______（答案：12，提示：用勾股定理）。
二、提升题
已知直线\( 2x - y + 1 = 0 \)到圆心\( (0,0) \)的距离\( d = \frac{\sqrt{5}}{5} \)，若直线与圆相交，求圆半径\( r \)的取值范围（答案：\( r > \frac{\sqrt{5}}{5} \)）；
证明：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心（提示：反证法，假设直线不经过圆心，推出与 “\( d = r \)” 矛盾）。
第 9 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
三种位置关系：相离（\( d > r \)，0 个公共点）、相切（\( d = r \)，1 个公共点，切线 + 切点）、相交（\( d < r \)，2 个公共点，割线 + 交点）；
核心判定：以 “圆心到直线的距离\( d \)” 与 “半径\( r \)” 的数量关系为依据，双向等价；
切线性质：切线垂直于过切半径，过心 / 过切垂直切线的直线必过切 / 过心；
思想方法：数形结合（图形与数量转化）、类比思想（类比点与圆的判定逻辑）、反证法（证明切线性质）。
二、作业布置
必做：教材中 “直线与圆的位置关系” 基础习题，完成 2 道判定题、1 道切线性质应用题；
选做：在平面直角坐标系中，\( \odot P \)的圆心为\( (2,3) \)，直线\( y = x + 1 \)与\( \odot P \)相切，求\( \odot P \)的半径（提示：用点到直线的距离公式计算\( d = r \)）。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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27.2.2 直线与圆的位置关系
第27章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
点和圆的位置关系有几种？
d < r
d = r
d > r
用数量关系如何来判断呢？
(设 OP = d )
知识回顾
(1) 点在圆内
(2) 点在圆上
(3) 点在圆外
r
d
r
r
P
P
P
O
O
O
d
d
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问题1 如果我们把太阳看成一个圆，地平线看成一条直线，那你能根据直线和圆的公共点个数想象一下，直线和圆有几种位置关系吗？
用定义判断直线与圆的位置关系
问题2 请同学在纸上画一条直线 l，把圆块的边缘看作圆，在纸上移动圆块，你能发现直线和圆的公共点个数的变化情况吗？公共点个数最少时有几个？最多时有几个？
l
0
2
●
●
●
图形
公共点个数
直线与圆的 位置关系
公共点名称
直线名称
2 个
交点
割线
1 个
切点
切线
0 个
相离
相切
相交
位置关系
公共点个数
填一填
直线与圆最多有两个公共点. （ ）
② 若直线与圆相交，则直线上的点都在圆上. （ ）
③ 若 A 是☉O 上一点，则直线 AB 与☉O 相切. （ ）
④ 若 C 为☉O 外一点，则过点 C 的直线与☉O 相交或相离. （ ）
⑤ 直线 a 和☉O 有公共点，则直线 a 与☉O 相交.（ ）
√
×
×
×
×
判一判
问题1 刚才同学们用圆块移近直线的过程中，除了发现公共点的个数发生了变化外，还有什么量也在改变？它与圆的半径有什么样的数量关系呢？
相关知识：
点到直线的距离是指从直线外一点 (A) 到直线 (l ) 的垂线段 (OA) 的长度.
l
A
O
圆心到直线的距离在
发生变化；
首先距离大于半径，
而后距离等于半径，
最后距离小于半径.
用数量关系判断直线与圆的位置关系
怎样用圆心到直线的距离 d 来判定直线 l 与 ⊙O 的位置关系呢？
O
思考：
d
l
直线和圆相交
d < r
直线和圆相切
d = r
直线和圆相离
d > r
r
d
∟
r
d
∟
r
d
数形结合：
位置关系
数量关系
用圆心 O 到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小来判定：
O
O
O
直线与圆的位置关系
的性质与判定的区别：
位置关系 数量关系.
公共点个数
要点归纳
直线和圆有唯一的公共点（即直线和圆相切）时，这条直线叫做圆的切线（如图直线 l），这个唯一的公共点叫做切点（如图点 A）.
A
l
O
要点归纳
1. 已知圆的半径为 6 cm，设直线和圆心的距离为 d.
(3) 若 d = 8 cm，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点.
(2) 若 d = 6 cm，则直线与圆______，直线与圆有____个公共点；
(1) 若 d = 4 cm，则直线与圆 ，直线与圆有____个公共点；
相交
相切
相离
2
1
0
练一练
(3) 若 AB 和⊙O 相交，则 .
2. 已知⊙O 的半径为 5 cm，圆心 O 与直线 AB 的距离为 d，根据条件填写 d 的范围：
(1) 若 AB 和⊙O 相离，则 ；
(2) 若 AB 和⊙O 相切，则 ；
d ＞5 cm
d = 5 cm
0 cm≤d＜5 cm
例1 在Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心，r 为半径的圆与直线 AB 有怎样的位置关系？为什么？
(1) r = 2 cm；(2) r = 2.4 cm； (3) r = 3 cm．
B
C
A
4
3
分析：要判定 AB 与⊙C 的位置关系，只要知道圆心 C 到 AB 的距离 d 与 r 的大小关系.已知 r，只需求出 C 到 AB 的距离 d.
D
典例精析
解：过 C 作 CD⊥AB，垂足为 D.
在△ABC 中，
根据三角形的面积公式有
即圆心 C 到 AB 的距离 d = 2.4 cm.
(1) 当 r = 2 cm 时，
有 d > r，
因此⊙C 和 AB 相离；
B
C
A
4
3
D
d
注：斜边上的高等于两直角边长的乘积除以斜边长.
(2) 当 r = 2.4 cm 时，有 d = r，
因此⊙C 和 AB 相切；
B
C
A
4
3
D
d
(3) 当 r = 3 cm 时，有 d < r，
因此⊙C 和 AB 相交.
B
C
A
4
3
D
d
变式题：
1. Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心画圆，当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 没有公共点？
当 0 cm＜r＜2.4 cm 或 r＞4 cm 时，
⊙C 与线段 AB 没有公共点.
A
B
C
D
4
5
3
2. Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 3 cm，BC = 4 cm，以 C 为圆心画圆，当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 有一个公共点？当半径 r 为何值时，圆 C 与线段 AB 有两个公共点？
当 r = 2.4 cm 或 3 cm＜r≤4 cm 时，⊙C 与线段 AB 有一个公共点；
当 2.4 cm＜r≤3 cm 时，⊙C 与线段AB 有两公共点.
A
B
C
D
4
5
3
3
例2 如图，Rt△ABC 的斜边 AB = 10 cm，∠A = 30°.
(1) 以点 C 为圆心，当半径为多少时，AB 与☉C 相切？
(2) 以点 C 为圆心，半径 r 分别为 4 cm，5 cm 作两个圆，这两个圆与斜边 AB 分别有怎样的位置关系？
A
C
B
解：(1) 过点 C 作边 AB 上的高 CD.
D
∵∠A = 30°，AB = 10 cm，
在Rt△BCD 中，有
当半径为 时，AB 与☉C 相切.
.O
.
O
.O
.O
.O
1. 看图判断直线 l 与☉O 的位置关系：
相离
相交
相切
相交
相交
l
l
l
l
l
2. 直线和圆相交，圆的半径为 r，且圆心到直线的距离
为 5，则有 ( )
A. r < 5 B. r > 5 C. r = 5 D. r ≥ 5
3. ☉O 的最大弦长为 8，若圆心 O 到直线 l 的距离为
d = 5， 则直线 l 与☉O ( )
A. 相交 B.相切
C. 相离 D.以上三种情况都有可能
B
C
4. ☉O 的半径为 5，直线 l 上的一点到圆心 O 的距离是 5，则直线 l 与☉O 的位置关系是（ ）
A. 相交或相切 B. 相交或相离
C. 相切或相离 D. 以上三种情况都有可能
A
解析：过点 A 作 AQ⊥MN 于Q，连接 AN，设半径为 r，由垂径定理有 MQ＝NQ，所以 AQ＝2，AN＝r，NQ＝4－r，利用勾股定理可以求出 NQ＝1.5，所以N 点坐标为(－1，－2)．故选 A.
5.如图，在平面直角坐标系中，⊙A 与 y 轴相切于原点 O，平行于 x 轴的直线交⊙A 于 M、N 两点．若点M 的坐标是(－4，－2)，则点 N 的坐标为( )
A．(－1，－2) B．(1，2)
C．(－1.5，－2) D．(1.5，－2)
A
拓展提升：已知⊙O 的半径 r = 7 cm，直线 l1∥l2，且 l1 与⊙O 相切，圆心 O 到 l2 的距离为 9 cm. 求 l1与 l2 的距离.
O
l1
l2
A
B
l2
（1）当 l2 与 l1 在圆的同侧时，
m = 9 - 7 = 2 (cm)；
（2）当 l2 与 l1 在圆的异侧时，
m = 9 + 7 = 16 (cm).
解：设 l2 与 l1 的距离为 m，则
C
返回
1．已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则反映直线l与⊙O的位置关系的图形是( )
B
2．在平面直角坐标系中，以点(－3，4)为圆心，3为半径的圆( )
A．与x轴相离，与y轴相切
B．与x轴相离，与y轴相交
C．与x轴相切，与y轴相交
D．与x轴相切，与y轴相离
A
返回
返回
D
3．[2024周口期末]已知⊙O的半径是一元二次方程x2－7x＋12＝0的一个根，圆心O到直线l的距离d＝3，则直线l与⊙O的位置关系是( )
A．相离
B．相切
C．相交
D．相交或相切
4．已知∠AOB＝30°，M为OB上一点，且OM＝5 cm，若以M为圆心，r为半径作圆，那么：(1)当直线OA与⊙M相离时，r的取值范围是________；(2)当r＝________时，直线OA与⊙M相切；(3)当直线OA与⊙M有公共点时，r的取值范围是________．
返回
5. [教材P50练习T1] 如图所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，以C为圆心，r为半径的圆与直线AB有何位置关系？为什么？
(1)r＝4 cm.
返回
(2)r＝4.8 cm.
(3)r＝6 cm.
【解】当r＝4.8 cm时，h＝r，则AB与⊙C相切．
当r＝6 cm时，r＞h，则AB与⊙C相交．
返回
6．如图，已知点A，B在半径为1的⊙O上，∠AOB＝60°，延长OB至点C，过点C作直线OA的垂线记为l，则下列说法正确的是( )
A．当BC等于0.5时，l与⊙O相离
B．当BC等于2时，l与⊙O相切
C．当BC等于1时，l与⊙O相交
D．当BC不为1时，l与⊙O不相切
D
【答案】 C
直线与圆的位置关系
定义
性质
判定
相离
相切
相交
公共点的个数
d 与 r 的数量关系
定义法
性质法
特别提醒：若图中没有 d 要先作出该垂线段
相离:0 个；相切:1 个；相交:2 个
相离：d > r 相切：d = r
相交：d < r
0个：相离；1个：相切；2个：相交
d > r：相离；d = r：相切；d < r：相交
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！