27.2.3.2切线--切线长定理及三角形的内接圆 课件(共57张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

(共57张PPT)
第 1 页：封面
标题：27.2.3.2 切线 —— 切线长定理及三角形的内切圆
副标题：从切线长度关系到三角形内接圆的几何应用
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
掌握切线长定理的内容与推导，能运用定理解决线段相等、角度平分问题
理解三角形内切圆、内心的定义，明确内心的核心性质（角平分线交点、到三边等距）
能结合切线长定理计算三角形内切圆半径，提升几何综合推理与计算能力
二、知识衔接（回顾旧知）
上节课核心：切线的判定定理（过半径外端且垂直半径）、性质定理（切线垂直过切半径），及 “切线与半径垂直” 的核心结论；
思考提问：从圆外同一点引两条切线，这两条切线的长度有何关系？三角形能否有一个与三边都相切的圆？（引出切线长定理与内切圆）。
第 3 页：一、切线长定理（核心：“等长 + 平分”）
1. 基本概念：切线长的定义
从圆外一点向圆引切线，这点与切点之间的线段长度叫做该点到圆的切线长（注意：切线是直线，切线长是线段长度）。
2. 定理的推导与表述
推导过程：如图，设\( P \)是\( \odot O \)外一点，\( PA \)、\( PB \)分别切\( \odot O \)于\( A \)、\( B \)，连接\( OA \)、\( OB \)、\( OP \)。
由切线性质定理：\( OA \perp PA \)，\( OB \perp PB \)（切线垂直过切半径），故\( \angle OAP = \angle OBP = 90^\circ \)；
在\( \text{Rt}\triangle OAP \)与\( \text{Rt}\triangle OBP \)中，\( OA = OB \)（同圆半径相等），\( OP = OP \)（公共边）；
故\( \text{Rt}\triangle OAP \cong \text{Rt}\triangle OBP \)（HL 全等判定），得\( PA = PB \)，\( \angle APO = \angle BPO \)。
定理表述：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
3. 定理的几何语言与推论
几何语言：如图，\( PA \)、\( PB \)切\( \odot O \)于\( A \)、\( B \)，则：\(
PA = PB \quad OP \text{ }\angle APB
\)
核心推论：圆心与圆外一点的连线，不仅平分切线夹角，还垂直平分两切点间的线段（由全等三角形性质可得\( OP \perp AB \)，且\( OP \)平分\( AB \)）。
第 4 页：二、切线长定理的应用（分层实例）
1. 类型 1：证明线段与角度关系
例题 1：基础证明
如图，\( PA \)、\( PB \)切\( \odot O \)于\( A \)、\( B \)，\( CD \)切\( \odot O \)于\( E \)，分别交\( PA \)、\( PB \)于\( C \)、\( D \)，求证：\( PC + CD + PD = PA + PB \)。
证明：1. 由切线长定理：\( PA = PB \)，\( CA = CE \)，\( DB = DE \)；
2. 线段拆分：\( CD = CE + DE = CA + DB \)；
3. 等式推导：\( PC + CD + PD = PC + CA + DB + PD = (PC + CA) + (PD + DB) = PA + PB \)。
2. 类型 2：结合勾股定理计算长度
例题 2：进阶计算
如图，\( PA \)、\( PB \)切\( \odot O \)于\( A \)、\( B \)，\( \odot O \)的半径为 3，\( OP = 6 \)，求切线长\( PA \)及\( \angle APB \)的度数。
解：1. 由切线性质：\( OA \perp PA \)，故\( \triangle OAP \)为直角三角形；
2. 计算切线长：由勾股定理\( PA = \sqrt{OP^2 - OA^2} = \sqrt{6^2 - 3^2} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \)；
3. 求角度：在\( \text{Rt}\triangle OAP \)中，\( OA = \frac{1}{2}OP \)，故\( \angle OPA = 30^\circ \)；
由切线长定理，\( OP \)平分\( \angle APB \)，得\( \angle APB = 2\angle OPA = 60^\circ \)。
第 5 页：三、三角形的内切圆（核心：“内心与半径”）
1. 基本概念：内切圆与内心的定义
三角形的内切圆：与三角形的三条边都相切的圆（唯一存在），叫做三角形的内切圆，其圆心叫做三角形的内心，半径叫做内切圆半径（记为\( r \)）。
内心的本质：三角形三条内角平分线的交点（由 “到角两边距离相等的点在角平分线上” 可证），且内心到三角形三边的距离相等（距离即为内切圆半径\( r \)）。
2. 内心的性质与图形示意
性质 1
性质 2
性质 3
内心是内角平分线交点
内心到三边距离相等（均为\( r \)）
内心一定在三角形内部
图形示意：画\( \triangle ABC \)，作三个内角的平分线交于点\( I \)（内心），过\( I \)作\( ID \perp BC \)、\( IE \perp AC \)、\( IF \perp AB \)于\( D \)、\( E \)、\( F \)，以\( I \)为圆心、\( ID \)为半径画圆，标注 “内心\( I \)”“内切圆半径\( r = ID = IE = IF \)”。
3. 内切圆半径的计算（面积法）
设\( \triangle ABC \)的三边为\( a = BC \)、\( b = AC \)、\( c = AB \)，周长的一半为\( s = \frac{a + b + c}{2} \)，面积为\( S \)，则内切圆半径：\(
r = \frac{S}{s}
\)
推导依据：连接内心\( I \)与三角形三个顶点，将\( \triangle ABC \)分为\( \triangle IAB \)、\( \triangle IBC \)、\( \triangle IAC \)，其面积分别为\( \frac{1}{2}cr \)、\( \frac{1}{2}ar \)、\( \frac{1}{2}br \)，故：\(
S = \frac{1}{2}ar + \frac{1}{2}br + \frac{1}{2}cr = \frac{1}{2}(a + b + c)r = sr \quad \Rightarrow \quad r = \frac{S}{s}
\)
第 6 页：四、三角形内切圆的应用（结合切线长定理）
1. 类型 1：切线长与边长的关系
例题 3：基础推导
在\( \triangle ABC \)中，内切圆与三边切于\( D \)、\( E \)、\( F \)，求证：\( AF = AE = s - a \)，\( BF = BD = s - b \)，\( CD = CE = s - c \)（\( s = \frac{a + b + c}{2} \)）。
证明：1. 由切线长定理：\( AF = AE \)，\( BF = BD \)，\( CD = CE \)（设为\( x \)、\( y \)、\( z \)）；
2. 列方程组：\( x + y = c \)，\( y + z = a \)，\( z + x = b \)；
3. 求解得：\( x = \frac{b + c - a}{2} = s - a \)，\( y = s - b \)，\( z = s - c \)，即证。
2. 类型 2：直角三角形的内切圆半径
例题 4：特殊计算
在\( \text{Rt}\triangle ABC \)中，\( \angle C = 90^\circ \)，斜边\( AB = 10 \)，直角边\( AC = 6 \)、\( BC = 8 \)，求内切圆半径\( r \)。
解法 1（面积法）：
计算面积\( S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \)；
计算半周长\( s = \frac{6 + 8 + 10}{2} = 12 \)；
由\( r = \frac{S}{s} \)得\( r = \frac{24}{12} = 2 \)。
解法 2（特殊公式）：
直角三角形内切圆半径公式：\( r = \frac{a + b - c}{2} \)（\( c \)为斜边），代入得\( r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = 2 \)。
第 7 页：五、知识关联与易错点解析
1. 切线长定理与内切圆的核心关联
三角形内切圆的切线长关系是切线长定理的特殊应用（内心为 “圆外点” 的汇集，三条内角平分线对应三条 “角平分线”）；
内切圆半径计算依赖切线长定理推导的边长关系，同时结合面积法，形成 “几何定理 + 代数计算” 的融合。
2. 常见易错点
易错点 1：混淆 “切线” 与 “切线长”—— 切线是直线（无长度），切线长是线段长度（有具体数值）；
易错点 2：内心与外心混淆 —— 内心是内角平分线交点（到三边等距），外心是边垂直平分线交点（到三顶点等距）；
易错点 3：面积法应用错误 —— 计算内切圆半径时，误将 “周长” 当作 “半周长” 代入公式\( r = \frac{S}{s} \)；
易错点 4：切线长定理漏条件 —— 应用时未明确 “从同一点引两条切线”，直接得出线段相等。
3. 避坑技巧
“概念对比记”：列表对比切线与切线长、内心与外心的区别，明确核心属性；
“公式溯源记”：牢记内切圆半径公式\( r = \frac{S}{s} \)的推导过程（面积拆分法），避免死记硬背；
“辅助线固定画”：涉及内切圆时，必画 “内心到三边的垂线”（即半径），标注垂直符号与相等关系；
“切线长三要素”：应用定理时，先找 “同一点”“两条切线”“两个切点”，三要素齐全再用结论。
第 8 页：课堂练习（分层设计）
一、基础题
从圆外一点引圆的两条切线，若切线长为 5，圆心到该点的距离为 13，则圆的半径为______（答案：12，提示：勾股定理）；
已知\( \triangle ABC \)的内心为\( I \)，则\( I \)是______的交点，\( I \)到\( AB \)的距离______到\( BC \)的距离（答案：三条内角平分线；等于）。
二、提升题
如图，\( PA \)、\( PB \)切\( \odot O \)于\( A \)、\( B \)，\( \angle APB = 60^\circ \)，\( \odot O \)的半径为 2，求\( OP \)的长度（答案：4，提示：利用 30° 角直角三角形性质）；
在\( \triangle ABC \)中，\( AB = 5 \)，\( BC = 6 \)，\( AC = 7 \)，半周长\( s = 9 \)，面积\( S = 6\sqrt{6} \)，求内切圆半径\( r \)（答案：\( \frac{2\sqrt{6}}{3} \)，提示：面积法）。
第 9 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
切线长定理：核心是 “同点引切线，长度相等，圆心连线平分夹角”，应用于线段相等与角度计算；
三角形内切圆：内心是内角平分线交点，到三边等距（即半径\( r \)），半径公式\( r = \frac{S}{s} \)（面积法）；
知识关联：内切圆的切线长关系是切线长定理的特殊化，二者结合可解决三角形与圆的综合问题；
思想方法：面积拆分法（求半径）、数形结合（直角三角形计算）、定理特殊化（从一般到特殊）。
二、作业布置
必做：教材中 “切线长定理与内切圆” 基础证明题（2 道）和计算题（1 道）；
选做：在\( \text{Rt}\triangle ABC \)中，\( \angle C = 90^\circ \)，内切圆切斜边\( AB \)于\( D \)，求证：\( AD \times BD = S_{\triangle ABC} \)（提示：用切线长关系与面积公式）。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
27.2.3.2切线--切线长定理
及三角形的内接圆
第27章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
情境引入
同学们玩过抖空竹和悠悠球吗？在空竹和悠悠球旋转的那一瞬间，你能从中抽象出什么样数学图形？
问题1 上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线(如下图所示)，如果点 P 是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？过圆外的一点作圆的切线，可以作几条？
互动探究
P
O
B
A
O.
P
A
B
切线长定理及应用
P
1. 切线长的定义：
圆的切线上某一点与切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长．
A
O
① 切线是直线，不能度量；
② 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是
圆外一点和切点，可以度量．
2. 切线长与切线的区别在哪里？
知识要点
如：线段 PA 的长就是点 P 到☉O 的切线长.
问题2 PA 为☉O 的一条切线，沿着直线 PO 对折，设圆上与点 A 重合的点为 B．
OB 是☉O 的一条半径吗？
PB 是☉O 的切线吗？
（利用图形轴对称性解释）
PA、PB 有何关系？
∠APO 和∠BPO 有何关系？
O
P
A
B
*切线长定理：
过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.
PA、PB 分别切 ☉O 于 A、B
PA = PB
∠OPA = ∠OPB
几何语言：
切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法.
注意
要点归纳
B
P
O
A
O.
P
已知：如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点.
求证：PA = PB，∠APO =∠BPO.
证明：∵ PA、PB 是☉O 的两条切线，
∵ OA = OB，OP = OP，
∴ Rt△OAP≌Rt△OBP(HL).
∴ PA = PB，∠APO =∠BPO.
推理验证
A
B
∴ OA⊥PA，OB⊥PB.
若连接两切点 A、B，AB 交 OP 于点 M. 你又能得出
什么新的结论 请给出证明.
解：OP 垂直平分 AB.
证明：∵ PA，PB 是 ⊙O 的切线，点 A，B 是切点，
∴ PA = PB，∠OPA =∠OPB.
∴ △PAB 是等腰三角形，
PM 为顶角的平分线.
∴ OP 垂直平分 AB.
M
想一想：
O
P
A
B
想一想：若延长 PO 交 ⊙O 于点 C，连结 CA、CB，你又能得出什么新的结论 并给出证明.
证明：∵ PA，PB 是⊙O 的切线，点 A，B 是切点，
∴ PA = PB ，∠OPA = ∠OPB.
∵ PC = PC.
∴ △PCA≌△PCB ( S. A. S. ).
∴ AC = BC.
新的结论：CA = CB.
O.
P
A
B
C
例1 已知：如图，四边形 ABCD 的边 AB、BC、CD、
DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H.
求证：AB + CD = AD + BC.
证明：∵ AB、BC、CD、DA 与 ⊙O 分别相切于点 E、F、G、H，
·
A
B
C
D
O
E
F
G
H
∴ AE = AH，BE = BF，
CG = CF，DG = DH.
∴ AE + BE + CG + DG = AH + BF + CF + DH，
即 AB + CD = AD + BC.
典例精析
例2 为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用了如下办法：将铁环平放在水平桌面上，用一个锐角为 30° 的三角板和一个刻度尺，按如图所示的方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径. 若三角板与圆相切且测得 PA =
5 cm，求铁环的半径．
O
B
C
解析：取圆的圆心为O，连接 OA，OP，由切线性质知△OPA为直角三角形，从而在 Rt△OPA 中由勾股定理易求得半径．
在 Rt△OPA 中，PA＝5，∠POA＝30°，
又∵∠BAC＝60°，∴∠PAO＝∠BAO＝60°.
即铁环的半径为
∴ OA = 2PA = 10.
解：设铁环的圆心为 O，连接 OP、OA.
∴ OP⊥AP，∠PAO＝∠BAO.
O
B
C
5
∵ AP、AB 为 ⊙O 的切线，
∴ OP =
∴∠POA＝30°.
1. PA、PB 是☉O 的两条切线，A、B 为切点，直线 OP 交☉O 于点 D、E，交 AB 于 C.
（1）写出图中所有的垂直关系；
OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP.
（3）写出图中所有的全等三角形；
△AOP≌△BOP， △AOC≌△BOC，△ACP≌△BCP.
（4）写出图中所有的等腰三角形.
△ABP △AOB
（2）写出图中与∠OAC 相等的角；
∠OAC = ∠OBC = ∠APC = ∠BPC.
B
P
O
A
C
E
D
练一练
B
P
O
A
2. PA、PB 是☉O 的两条切线，A，B 是切点，OA = 3.
（1）若 AP = 4，则 OP = ；
（2）若∠BPA = 60°，则 OP = .
5
6
3.如图，PA、PB 是☉O 的两条切线，点 A、B 是切点，在弧 AB 上任取一点 C，过点 C 作☉O 的切线，分别交PA、PB 于点 D、E. 已知 PA = 7，∠P = 40°. 则
(2) ∠DOE = .
(1) △PDE 的周长是 ；
14
O
P
A
B
C
E
D
70°
解析：连接 OA、OB、OC、OD 和 OE.
∵ PA、PB 是☉O 的两条切线，
点 A、B 是切点，
∴ PA = PB = 7. ∠PAO = ∠PBO =90°.
∠AOB = 360° -∠PAO -∠PBO -∠P = 140°.
又∵ DC、DA 是☉O 的两条切线，点 C、A 是切点，∴ DC = DA. 同理可得 CE = CB.
∵ D，E 是切线 PA，PB 上的点，
∴∠DOC = ∠DOA = ∠AOC.
∠DOE = ∠DOC+∠COE = (∠AOC+∠COB) = 70°.
∴∠COE = ∠BOE = ∠AOC.
∴S△PDE = PD + DE + PE = PD + DC + CE + PE
= PA + PB = 14.
O
P
A
B
C
E
D
切线长问题辅助线添加方法：
（1）分别连接圆心和切点；
（2）连接两切点；
（3）连接圆心和圆外一点.
方法归纳
小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积尽可能大呢？
互动探究
三角形的内切圆及作法
问题1 如果最大圆存在，它与三角形三边应有怎样的位置关系？
O
O
O
O
最大的圆与三角形三边都相切
问题2 如何求作一个圆，使它与三角形的三边都相切？
(1) 如果半径为 r 的☉I 与△ABC 的三边都相切，那么
圆心 I 应满足什么条件？
(2) 在△ABC 的内部，如何找到满足条件的圆心 I 呢？
圆心 I 到三角形三边的距离相等，都等于 r.
为什么呢？
三角形三条角平分线交于一点，这一点到三角形三边的距离相等.
三角形角平分线的这个性质，你还记得吗？
圆心 I 应是三角形的三条角平分线的交点.
已知：△ABC.
求作：和△ABC 的各边都相切的圆 O.
做一做
M
N
D
作法：
1. 作∠ABC 和∠ACB 的平分线
BM 和 CN，交点为 O.
2. 过点 O 作OD⊥BC，垂足为 D.
3. 以O为圆心，OD为半径作圆O.
☉O 就是所求的圆.
A
B
C
O
1. 与三角形各边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆.
2. 三角形内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
3. 这个三角形叫做这个圆的外切三角形.
B
A
C
I
☉I 是△ABC 的内切圆，
点 I 是△ABC 的内心，
△ABC 是☉I 的外切三角形.
知识要点
问题1 如图，☉I 是△ABC 的内切圆，那么 AI、BI、CI 有什么特点？
互动探究
IA、IB、IC 分别平分
∠CAB、∠ABC、∠BCA.
B
A
C
I
三角形的内心的性质
B
A
C
I
问题2 如图，分别过点作 AB、AC、BC 的垂线，垂足分别为 E、F，G，那么线段 IE、IF、IG 之间有什么关系？
E
F
G
IE = IF = IG
知识要点
三角形内心的性质
三角形的内心在三角形的角平分线上.
三角形的内心到三角形的三边距离相等.
AI、BI、CI 分别平分∠CAB、∠ABC、∠BCA，IE = IF = IG.
B
A
C
I
E
F
G
例3 如图，△ABC 中，∠B = 43°，∠C = 61°，点 I 是△ABC 的内心，求∠BIC 的度数.
解：连接 IB，IC.
A
B
C
I
∵ 点 I 是△ABC 的内心，
∴ BI，CI 分别平分∠ABC，∠ACB.
在△IBC 中，
例4 如图，一个木模的上部是圆柱，下部是底面为等边三角形的直三棱柱. 圆柱的下底面圆是直三棱柱上底面等边三角形的内切圆，已知直三棱柱的底面等边三角形的边长为 3 cm，求圆柱底面圆的半径.
该问题可以抽象为如下所示的几何图形.
C
A
B
r
O
D
解：如图，设圆 O 切 AB 于点 D，连接 OA、OB、OD.
∵ 圆 O 是等边△ABC 的内切圆，
∴ AO、BO 是∠BAC、∠ABC 的平分线.
∴ ∠OAB =∠OBA = 30°.
∵ OD⊥AB，AB = 3 cm，
∴ AD = BD = AB = 1.5 (cm).
∴ OD = AD · tan30° = (cm).
答：圆柱底面圆的半径为 cm.
例5 △ABC 的内切圆 ☉O 与 BC、CA、AB 分别相切于点 D、E、F，且 AB = 13 cm，BC = 14 cm，CA = 9 cm，求 AF、BD、CE 的长.
想一想：图中你能找出哪些相等的线段？理由是什么？
B
A
C
E
D
F
O
解：
设 AF = x cm，则 AE = x cm.
∴ CE = CD = AC - AE = 9 - x (cm)，
BF = BD = AB - AF = 13 - x (cm).
由 BD + CD = BC，可得
(13 - x) + (9 - x) = 14，
∴ AF = 4 cm，BD = 9 cm，CE = 5 cm.
方法小结：解决本题的关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程求解.
解得 x = 4.
B
A
C
E
D
F
O
比一比
名称 确定方法 图形 性质
外心：三角形外接圆的圆心
内心：三角形内切圆的圆心
三角形三边垂直平分线的交点
1.OA = OB = OC；
2.不一定在三角形内部
三角形三条
角平分线的
交点
1.到三边距离相等；
2. AO、BO、CO 分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；
3.在三角形内部
A
B
O
C
A
B
C
O
C
A
B
O
D
1. 求边长为 6 cm 的等边三角形的内切圆半径与外接圆半径.
解：如图，由题意可知 BC = 6 cm，
∠ABC = 60°，OD⊥BC，BO 平分∠ABC.
∴∠OBD = 30°，BD = 3 cm.
∴ 内切圆半径
∴ 外接圆半径
练一练
变式：
求边长为 a 的等边三角形的内切圆半径 r 与外接圆半径 R 的比.
sin∠OBD = sin 30°=
C
A
B
O
D
R
r
A
B
C
O
D
E
F
A
B
C
D
E
F
O
2. 设 △ABC 的面积为 S，周长为 L， △ABC 内切圆
的半径为 r，则 S，L 与 r 之间存在怎样的数量关系？
3.如图，直角三角形的两直角边分别是 a、b，斜边为 c，则其内切圆的半径 r 为 （以含 a、b、c 的代数式表示）.
_________
A
B
C
O
c
D
E
r
解析：如图，过点 O 分别作 AC，BC，AB 的垂线，垂足分别为 D，E，F.
F
则 AD = AC - DC = b - r，
BE = BC - CE = a - r.
∵ AF = AD，BF = BE，AF + BF = AB，
∴ a - r + b - r = c，
∴
b
a
r
r
r
1. 如图，PA、PB 是⊙O 的两条切线，切点分别是 A、B，若 AP = 4，∠APB = 40°，则∠APO = °，PB = .
20
4
B
P
O
A
第1题图
2. 如图，☉O 为△ABC 的内切圆，AC = 10，AB = 8，BC = 9，点 D，E 分别为 BC，AC 上的点，且 DE 为☉O 的切线，则△CDE 的周长为______.
11
·
A
B
C
D
O
E
第2题图
（3）若∠BIC = 100°，则∠A = °；
（2）若∠A = 80°，则∠BIC = °；
130
20
3. 如图，在△ABC 中，点 I 是内心．
（1）若∠ABC = 50°，∠ACB = 70°，则∠BIC =_____°；
A
B
C
I
（4）试探索：∠A 与∠BIC 之间存在怎样的数量关系？
120
证明：方法①：连接 OD，如图.
∵ AC 切⊙O 于点 D，∴ OD⊥AC.
∴ ∠ODC =∠B = 90°.
∵ OD = OB，OC = OC，
∴ Rt△ODC≌Rt△OBC（HL）.
∴ ∠DOC =∠BOC.
∵ OD = OE，∴∠ODE =∠OED.
4. 如图，已知在△ABC 中，∠B＝90°，O 是 AB 上一点，
以 O 为圆心，OB 为半径的圆与 AB 交于 E，与 AC 相
切于点 D. 求证：DE∥OC.
方法②：连接 BD，如图.
∵ BC⊥AB，
∴ BC 切 ⊙O 于点 B.
又∵ AC 切 ⊙O 于点 D，
∴ DC = BC，CO 平分∠DCB.
∴ OC⊥BD.
∵ BE 为 ⊙O 的直径，∴ DE⊥BD.
∴ DE∥OC．
∵∠DOB =∠ODE +∠OED，
∴∠BOC =∠OED. ∴ DE∥OC．
5. 如图，△ABC 中，I 是内心，∠BAC 的平分线和△ABC 的外接圆相交于点 D. 求证：DI＝DB.
证明：连接 BI.
∵ I 是 △ABC 的内心，AD 平分∠BAC.
∴ 点 I 在 AD 上，∠ABI =∠CBI．
∵∠CBD =∠CAD，
∴∠BAD =∠CBD．
∵∠BID =∠BAD +∠ABI，∠IBD =∠CBD +∠CBI，
∴∠BID =∠IBD．
∴ BD = ID．
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1．如图，P为⊙O外一点，PA，PB分别切⊙O于A，B两点，∠APB＝60°，则∠AOB的度数为(　　)
A．100°
B．110°
C．120°
D．130°
C
2. [教材P55练习T2]如图，⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，AD＝13，AC＝25，BC＝35，则BD的长度为(　　)
A．23
B．22
C．21
D．无法确定
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【点拨】∵⊙O是△ABC的内切圆，点D，E，F为切点，
∴AF＝AD＝13，CF＝CE，BD＝BE.
∵AC＝25，∴CF＝AC－AF＝25－13＝12.
∵BC＝35，∴BE＝BC－CE＝35－12＝23.
∴BD＝BE＝23.故选A.
【答案】 A
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D
4．如图，在扇形CAB中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连结AE，BE，则∠AEB的度数为________．
135°
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5．如图，直线AB，BC，CD分别与⊙O相切于E，F，G，且AB∥CD，OB＝6 cm，OC＝8 cm.则
(1)∠BOC＝________；
C
【点拨】如图，连结OF，根据切线长定理得BE＝BF，CF＝CG，∠OBF＝∠OBE，∠OCF＝∠OCG.
∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∴∠OBF＋∠OCF＝90°.
∴∠BOC＝90°.
(2)BE＋CG＝________；
10 cm
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(3)⊙O的半径＝________.
4.8 cm
【点拨】连结OM，ON，如图，
∵MD，MF与⊙O相切，∴∠1＝∠2.
同理得∠3＝∠4.
∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠B＋∠C＝360°，
AB＝AC，∴∠2＋∠3＋∠B＝180°.
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【答案】 B
切线长
切线长定理
作用
提供了证线段和
角相等的新方法
辅助线
分别连接圆心和切点；
连接两切点；
连接圆心和圆外一点
三角形内切圆
运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程
应用
重要结论
内心的概念及性质
图形的轴对称性
原理
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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