27.3.1圆中的计算 –弧长和扇形面积 课件(共42张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 27.3.1圆中的计算 –弧长和扇形面积 课件(共42张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 12.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-19 00:00:00 | ||
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文档简介
(共42张PPT)
第 1 页：封面
标题：27.3.1 圆中的计算 —— 弧长和扇形面积
副标题：从圆的部分到实际应用的量化求解
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
理解弧长、扇形的定义，掌握弧长与扇形面积公式的推导过程
能灵活运用弧长公式\( l = \frac{n\pi r}{180} \)和扇形面积公式\( S = \frac{n\pi r^2}{360} \)、\( S = \frac{1}{2}lr \)解决计算问题
能结合实际场景与组合图形，提升几何量化分析与综合应用能力
二、知识衔接（回顾旧知）
上单元核心：圆的基本性质（半径、直径）、切线相关定理，及三角形与圆的位置关系（内切圆）；
基础公式回顾：
圆的周长：\( C = 2\pi r = \pi d \)（\( r \)为半径，\( d \)为直径）
圆的面积：\( S_{\text{ }} = \pi r^2 \)
思考提问：圆上两点间的曲线长度如何计算？圆的一部分区域面积又该如何求解？（引出弧长与扇形面积）
第 3 页：一、核心概念：弧与扇形的定义
1. 弧的定义与分类
弧的定义：圆上任意两点之间的曲线部分叫做圆弧，简称弧，用符号 “⌒” 表示，如以\( A \)、\( B \)为端点的弧记为\( \overset{\frown}{AB} \)。
弧的分类：
劣弧：小于半圆的弧（圆心角小于\( 180^\circ \)），直接用端点表示（如\( \overset{\frown}{AB} \)）；
优弧：大于半圆的弧（圆心角大于\( 180^\circ \)），需标注中间一点（如\( \overset{\frown}{ACB} \)）。
2. 扇形的定义
由圆的两条半径和它们所夹的弧所围成的封闭图形叫做扇形。其中，两条半径的夹角叫做圆心角（用\( n^\circ \)表示），扇形的大小由半径\( r \)和圆心角\( n^\circ \)共同决定。
3. 图形示意
画一个圆\( \odot O \)，标注半径\( OA = OB = r \)，圆心角\( \angle AOB = n^\circ \)，阴影标注\( \overset{\frown}{AB} \)（弧）和扇形\( OAB \)，明确 “半径 - 弧 - 圆心角” 构成扇形的三要素。
第 4 页：二、公式推导：弧长与扇形面积的由来
1. 弧长公式的推导（核心：“比例法”）
推导逻辑：弧长是圆周长的一部分，其长度与圆心角占周角的比例成正比。
周角为\( 360^\circ \)，对应圆的周长\( 2\pi r \)；
圆心角为\( n^\circ \)时，弧长占周长的比例为\( \frac{n}{360} \)；
故弧长公式：\( l = \frac{n}{360} \times 2\pi r = \frac{n\pi r}{180} \)。
2. 扇形面积公式的推导（双重路径）
路径 1：基于圆面积的比例推导
推导逻辑：扇形面积是圆面积的一部分，比例同样由圆心角决定。
圆的面积为\( \pi r^2 \)；
扇形面积占圆面积的比例为\( \frac{n}{360} \)；
故扇形面积公式①：\( S = \frac{n}{360} \times \pi r^2 = \frac{n\pi r^2}{360} \)。
路径 2：基于弧长的推导（“底 × 高 ÷2” 类比）
推导逻辑：将扇形近似看作无数个小三角形的组合，小三角形的底之和为弧长\( l \)，高均为半径\( r \)。
单个小三角形面积：\( \frac{1}{2} \times \text{ } \times r \)；
所有小三角形面积之和：\( \frac{1}{2} \times ( \text{ } ) \times r = \frac{1}{2}lr \)；
故扇形面积公式②：\( S = \frac{1}{2}lr \)（适用于已知弧长\( l \)和半径\( r \)的场景）。
3. 公式汇总与符号说明
公式类型
表达式
已知条件
备注
弧长公式
\( l = \frac{n\pi r}{180} \)
\( n \)（圆心角度数）、\( r \)（半径）
角度单位为 “度”
扇形面积公式①
\( S = \frac{n\pi r^2}{360} \)
\( n \)、\( r \)
直接关联圆心角与半径
扇形面积公式②
\( S = \frac{1}{2}lr \)
\( l \)（弧长）、\( r \)
需先求弧长或已知弧长
第 5 页：三、基础应用：单一公式的直接计算
1. 类型 1：已知半径和圆心角，求弧长与面积
例题 1：基础计算
已知扇形的半径\( r = 5cm \)，圆心角\( n = 60^\circ \)，求该扇形的弧长\( l \)和面积\( S \)。
解：1. 计算弧长：由弧长公式\( l = \frac{n\pi r}{180} = \frac{60\pi \times 5}{180} = \frac{5\pi}{3} \approx 5.23cm \)；
2. 计算面积（用公式①）：\( S = \frac{n\pi r^2}{360} = \frac{60\pi \times 5^2}{360} = \frac{25\pi}{6} \approx 13.08cm^2 \)；
3. 验证（用公式②）：\( S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2} \times \frac{5\pi}{3} \times 5 = \frac{25\pi}{6} \)，结果一致。
2. 类型 2：已知弧长和半径，求圆心角与面积
例题 2：逆向求解
已知扇形的弧长\( l = 3\pi cm \)，半径\( r = 2cm \)，求该扇形的圆心角\( n \)和面积\( S \)。
解：1. 求圆心角：由弧长公式变形\( n = \frac{180l}{\pi r} = \frac{180 \times 3\pi}{\pi \times 2} = 270^\circ \)；
2. 计算面积：由公式②\( S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2} \times 3\pi \times 2 = 3\pi \approx 9.42cm^2 \)。
第 6 页：四、进阶应用：组合图形与实际场景
1. 类型 1：组合图形的弧长与面积计算
例题 3：扇形与三角形组合
如图，在\( \text{Rt}\triangle AOB \)中，\( \angle AOB = 90^\circ \)，\( OA = OB = 4cm \)，以\( O \)为圆心、\( OA \)为半径作\( \overset{\frown}{AB} \)，求阴影部分（扇形\( OAB \)减去\( \triangle AOB \)）的面积。
解：1. 计算扇形面积：\( S_{\text{ }} = \frac{90\pi \times 4^2}{360} = 4\pi cm^2 \)；
2. 计算三角形面积：\( S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8cm^2 \)；
3. 阴影面积：\( S_{\text{é ±}} = S_{\text{ }} - S_{\triangle AOB} = (4\pi - 8) \approx 4.56cm^2 \)。
2. 类型 2：实际场景应用
例题 4：建筑与生活中的计算
建筑设计场景：一个圆形柱体的侧面展开图是扇形，已知扇形半径（柱体母线长）为\( 8m \)，圆心角为\( 120^\circ \)，求该柱体底面圆的周长（即扇形弧长）。
解：\( l = \frac{120\pi \times 8}{180} = \frac{16\pi}{3} \approx 16.76m \)，故底面圆周长为\( \frac{16\pi}{3}m \)。
食品制作场景：一块半径为\( 10cm \)的圆形披萨，切出一个圆心角为\( 45^\circ \)的扇形切片，求该切片的面积。
解：\( S = \frac{45\pi \times 10^2}{360} = \frac{25\pi}{2} \approx 39.25cm^2 \)。
第 7 页：五、知识关联与易错点解析
1. 公式间的核心关联
弧长与扇形面积的桥梁：扇形面积公式②\( S = \frac{1}{2}lr \)建立了两者的直接联系，已知其中两个量可求第三个量；
与圆的公式关系：弧长是周长的\( \frac{n}{360} \)，扇形面积是圆面积的\( \frac{n}{360} \)，本质是 “整体到部分” 的比例转化。
2. 常见易错点
易错点 1：单位混淆 —— 未注意圆心角单位为 “度”，误用弧度制公式（初中阶段均用角度制计算）；
易错点 2：公式记错 —— 弧长公式漏乘\( \pi \)或扇形面积公式分母写错（如将\( 360 \)写成\( 180 \)）；
易错点 3：组合图形拆分错误 —— 计算阴影面积时，混淆 “加”“减” 关系（如多算空白部分或漏减重叠部分）；
易错点 4：逆向计算失误 —— 已知弧长求半径时，公式变形错误（正确变形：\( r = \frac{180l}{n\pi} \)）。
3. 避坑技巧
“公式三查法”：用公式前查已知量（\( n \)、\( r \)、\( l \)）、查单位（圆心角是否为度）、查变形（正向 / 逆向是否正确）；
“图形分割法”：组合图形先拆分为扇形、三角形、圆等基本图形，标注面积关系（和 / 差）；
“双公式验证法”：计算扇形面积时，用两种公式交叉验证（如用公式①算完后，用公式②核对）。
第 8 页：课堂练习（分层设计）
一、基础题
已知扇形半径\( r = 6cm \)，圆心角\( n = 90^\circ \)，则弧长\( l = \)，面积\( S = \)（答案：\( 3\pi cm \)；\( 9\pi cm^2 \)）；
已知扇形弧长\( l = 2\pi cm \)，半径\( r = 3cm \)，则圆心角\( n = \)______（答案：\( 120^\circ \)）。
二、提升题
如图，扇形\( OAB \)的半径为\( 5cm \)，弧长为\( 4\pi cm \)，求该扇形的面积（答案：\( 10\pi cm^2 \)，提示：用公式②）；
一个圆心角为\( 60^\circ \)的扇形，面积为\( 24\pi cm^2 \)，求其半径和弧长（答案：\( r = 12cm \)；\( l = 4\pi cm \)）。
三、拓展题
在边长为\( 4cm \)的正方形中，以四个顶点为圆心、边长为半径作四分之一圆，求中间重叠部分（花瓣形）的面积（提示：用四个扇形面积和减去正方形面积，答案：\( (8\pi - 16)cm^2 \)）。
第 9 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
核心概念：弧（劣弧 / 优弧）、扇形（由半径和弧围成），圆心角决定图形大小；
关键公式：
弧长：\( l = \frac{n\pi r}{180} \)
扇形面积：\( S = \frac{n\pi r^2}{360} = \frac{1}{2}lr \)
思想方法：比例转化法（推导公式）、图形分割法（组合图形计算）、数形结合法（实际应用）；
应用场景：建筑设计、食品制作、机械工程等领域的长度与面积计算。
二、作业布置
必做：教材中 “弧长和扇形面积” 基础计算题（3 道）、组合图形面积题（1 道）；
选做：测量家中圆形物品（如盘子）的半径，计算圆心角为\( 100^\circ \)的扇形弧长和面积，并说明计算过程；
思考：扇形面积公式\( S = \frac{1}{2}lr \)与三角形面积公式有何相似之处？为什么会有这种联系？
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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27.3.1圆中的计算 –
弧长和扇形面积
第27章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
图片欣赏
如图，在运动会的 4×100 米比赛中，甲和乙分别在第 1 跑道和第 2 跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
怎样计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
情境引入
图片来源：新浪体育
问题1 半径为 r 的圆，周长是多少？
O
r
问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别占圆周长的多少
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
合作探究
O
r
180°
与弧长相关的计算
(1) 圆心角是 180° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(2) 圆心角是 90° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(3) 圆心角是 45° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(4) 圆心角是 n° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
________.
________.
________.
________.
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的.
知识要点
弧长公式
算一算 已知弧所对的圆心角为 60°，半径是 4，则弧长为
．
·
O
A
解：设半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的度数为 n°，则
解得 n ≈ 90°.
因此，滑轮旋转的角度约为 90°.
例1 一滑轮起重机装置 (如图)，滑轮的半径 R = 10 cm，当重物上升 15.7 cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 逆时针方向旋转多少度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π 取 3.14)
典例精析
练一练
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度 L (单位：mm，精确到 1 mm).
解：弧 AB 的长为
因此所要求的展直长度 L = 2×700 + 500π ≈ 2971 (mm).
答：管道的展直长度约为 2971 mm.
700 mm
700 mm
R = 900 mm
(
100°
A
C
B
D
O
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
与扇形面积相关的计算
概念学习
判断：下列图形是扇形吗？
√
×
×
×
√
练一练
合作探究
问题1 半径为 r 的圆,面积是多少？
O
r
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几？具体是多少呢
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
圆心角占
周角的比例 扇形面积占
圆面积的比例 扇形
的面积
=
半径为 r 的圆中，圆心角为 n° 的扇形的面积
①公式中 n 的意义：n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
注意
知识要点
●
O
A
B
D
C
E
F
●
O
A
B
C
D
问题3 扇形的面积与哪些因素有关？
大小不变时，对应的扇形面积与 有关，
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
类比学习
例2 如图，圆心角为 60° 的扇形的半径为 10 cm. 求这个扇形的面积和周长（精确到 0.01 cm2 和 0.01 cm）.
O
r
60°
解：∵ n = 60，r = 10 cm，
∴ 该扇形的面积为
该扇形的周长为
1. 已知扇形的半径为 2 cm，其弧长为 cm，则这个扇形的面积 S = .
2. 已知扇形的圆心角为 120°，半径为 2，则这个扇形的面积 S = .
练一练
例3 如图，点 D 在⊙O 的直径 AB 的延长线上，点C 在 ⊙O 上，AC = CD，∠ACD = 120°．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：连接 OC．
∵ AC = CD，∠ACD = 120°，
∴ ∠A = ∠D = 30°．
∵ OA = OC，∴∠ACO = ∠A = 30°．
∴∠OCD = 180°-∠A -∠D -∠ACO = 90°，即 OC⊥CD，
∴ CD 是⊙O 的切线．
(2) ∵∠A = 30°，
∴∠COB = 2∠A = 60°．
在 Rt△OCD 中，
例4 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2).
(1)
O .
B
A
讨论：(1) 截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
(2) 水面高 0.3 m 是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，并延长 OD 交圆 O 于 C. 则线段 DC 的长为水面高.
(3) 要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
S阴影 = S扇形 OAB - S△OAB
O.
B
A
D
(2)
C
∵ OC＝0.6，DC＝0.3，
∴ OD＝OC - DC＝0.3.
∴ OD＝DC.
又 AD⊥OC，
∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线.
∴ AC＝AO＝OC.
从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.
O.
B
A
C
D
解：如图，连接 OA、OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交 于点 C，连接 AC.
在 Rt△AOD 中，OA = 0.6 m，OD = 0.3 m，
∴ AD = m.
∴ AB = 2AD = m.
∴ 截面上有水部分的面积为
S = S扇形AOB - SΔOAB
O.
B
A
C
D
左图： S弓形 = S扇形 - S三角形
右图：S弓形 = S扇形 + S三角形
O
O
弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积
知识要点
弓形的面积公式
2. 某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
1. 已知弧所对的圆周角为 90°，半径是 4，则弧长为 .
B
4π
3.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2 cm，则图中阴影部分的面积是 .
A
B
C
D
4.（例题变式题） 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.9 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2）.
O
A
B
D
C
E
解：
5. 如图，一个边长为 10 cm 的等边三角形模板 ABC 在水平桌面上绕顶点 C 按顺时针方向旋转到 △A'B'C 的位置，求顶点 A 从开始到结束所经过的路程.
解：由图可知，由于∠A'CB' = 60°，则等边三角形木板绕点 C 按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' = 120°，这说明顶点 A 经过的路程长等于弧 AA' 的长.
∵ 等边三角形 ABC 的边长为 10 cm，
∴ 弧 AA' 所在圆的半径为 10 cm.
∴ 所求路程为 l弧AA'
A
B
A'
B'
C
返回
1．[2024常州期末]已知扇形的半径为12，圆心角为60°，则这个扇形的弧长为( )
A．9π
B．6π
C．3π
D．4π
D
D
返回
返回
B
3．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则该扇形的面积为________．
3π
返回
8π
返回
6．如图，已知AB是⊙O的直径，E为弦CD的中点，连结OC，OD.
(1)求证：∠BOD＝2∠BAC；
(2)若CD＝AC＝4，求阴影部分的面积．
返回
弧长
计算公式：
扇形
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
公式
S弓形 = S扇形 - S三角形
S弓形 = S扇形 + S三角形
割补法
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面
标题：27.3.1 圆中的计算 —— 弧长和扇形面积
副标题：从圆的部分到实际应用的量化求解
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
理解弧长、扇形的定义，掌握弧长与扇形面积公式的推导过程
能灵活运用弧长公式\( l = \frac{n\pi r}{180} \)和扇形面积公式\( S = \frac{n\pi r^2}{360} \)、\( S = \frac{1}{2}lr \)解决计算问题
能结合实际场景与组合图形，提升几何量化分析与综合应用能力
二、知识衔接（回顾旧知）
上单元核心：圆的基本性质（半径、直径）、切线相关定理，及三角形与圆的位置关系（内切圆）；
基础公式回顾：
圆的周长：\( C = 2\pi r = \pi d \)（\( r \)为半径，\( d \)为直径）
圆的面积：\( S_{\text{ }} = \pi r^2 \)
思考提问：圆上两点间的曲线长度如何计算？圆的一部分区域面积又该如何求解？（引出弧长与扇形面积）
第 3 页：一、核心概念：弧与扇形的定义
1. 弧的定义与分类
弧的定义：圆上任意两点之间的曲线部分叫做圆弧，简称弧，用符号 “⌒” 表示，如以\( A \)、\( B \)为端点的弧记为\( \overset{\frown}{AB} \)。
弧的分类：
劣弧：小于半圆的弧（圆心角小于\( 180^\circ \)），直接用端点表示（如\( \overset{\frown}{AB} \)）；
优弧：大于半圆的弧（圆心角大于\( 180^\circ \)），需标注中间一点（如\( \overset{\frown}{ACB} \)）。
2. 扇形的定义
由圆的两条半径和它们所夹的弧所围成的封闭图形叫做扇形。其中，两条半径的夹角叫做圆心角（用\( n^\circ \)表示），扇形的大小由半径\( r \)和圆心角\( n^\circ \)共同决定。
3. 图形示意
画一个圆\( \odot O \)，标注半径\( OA = OB = r \)，圆心角\( \angle AOB = n^\circ \)，阴影标注\( \overset{\frown}{AB} \)（弧）和扇形\( OAB \)，明确 “半径 - 弧 - 圆心角” 构成扇形的三要素。
第 4 页：二、公式推导：弧长与扇形面积的由来
1. 弧长公式的推导（核心：“比例法”）
推导逻辑：弧长是圆周长的一部分，其长度与圆心角占周角的比例成正比。
周角为\( 360^\circ \)，对应圆的周长\( 2\pi r \)；
圆心角为\( n^\circ \)时，弧长占周长的比例为\( \frac{n}{360} \)；
故弧长公式：\( l = \frac{n}{360} \times 2\pi r = \frac{n\pi r}{180} \)。
2. 扇形面积公式的推导（双重路径）
路径 1：基于圆面积的比例推导
推导逻辑：扇形面积是圆面积的一部分，比例同样由圆心角决定。
圆的面积为\( \pi r^2 \)；
扇形面积占圆面积的比例为\( \frac{n}{360} \)；
故扇形面积公式①：\( S = \frac{n}{360} \times \pi r^2 = \frac{n\pi r^2}{360} \)。
路径 2：基于弧长的推导（“底 × 高 ÷2” 类比）
推导逻辑：将扇形近似看作无数个小三角形的组合，小三角形的底之和为弧长\( l \)，高均为半径\( r \)。
单个小三角形面积：\( \frac{1}{2} \times \text{ } \times r \)；
所有小三角形面积之和：\( \frac{1}{2} \times ( \text{ } ) \times r = \frac{1}{2}lr \)；
故扇形面积公式②：\( S = \frac{1}{2}lr \)（适用于已知弧长\( l \)和半径\( r \)的场景）。
3. 公式汇总与符号说明
公式类型
表达式
已知条件
备注
弧长公式
\( l = \frac{n\pi r}{180} \)
\( n \)（圆心角度数）、\( r \)（半径）
角度单位为 “度”
扇形面积公式①
\( S = \frac{n\pi r^2}{360} \)
\( n \)、\( r \)
直接关联圆心角与半径
扇形面积公式②
\( S = \frac{1}{2}lr \)
\( l \)（弧长）、\( r \)
需先求弧长或已知弧长
第 5 页：三、基础应用：单一公式的直接计算
1. 类型 1：已知半径和圆心角，求弧长与面积
例题 1：基础计算
已知扇形的半径\( r = 5cm \)，圆心角\( n = 60^\circ \)，求该扇形的弧长\( l \)和面积\( S \)。
解：1. 计算弧长：由弧长公式\( l = \frac{n\pi r}{180} = \frac{60\pi \times 5}{180} = \frac{5\pi}{3} \approx 5.23cm \)；
2. 计算面积（用公式①）：\( S = \frac{n\pi r^2}{360} = \frac{60\pi \times 5^2}{360} = \frac{25\pi}{6} \approx 13.08cm^2 \)；
3. 验证（用公式②）：\( S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2} \times \frac{5\pi}{3} \times 5 = \frac{25\pi}{6} \)，结果一致。
2. 类型 2：已知弧长和半径，求圆心角与面积
例题 2：逆向求解
已知扇形的弧长\( l = 3\pi cm \)，半径\( r = 2cm \)，求该扇形的圆心角\( n \)和面积\( S \)。
解：1. 求圆心角：由弧长公式变形\( n = \frac{180l}{\pi r} = \frac{180 \times 3\pi}{\pi \times 2} = 270^\circ \)；
2. 计算面积：由公式②\( S = \frac{1}{2}lr = \frac{1}{2} \times 3\pi \times 2 = 3\pi \approx 9.42cm^2 \)。
第 6 页：四、进阶应用：组合图形与实际场景
1. 类型 1：组合图形的弧长与面积计算
例题 3：扇形与三角形组合
如图，在\( \text{Rt}\triangle AOB \)中，\( \angle AOB = 90^\circ \)，\( OA = OB = 4cm \)，以\( O \)为圆心、\( OA \)为半径作\( \overset{\frown}{AB} \)，求阴影部分（扇形\( OAB \)减去\( \triangle AOB \)）的面积。
解：1. 计算扇形面积：\( S_{\text{ }} = \frac{90\pi \times 4^2}{360} = 4\pi cm^2 \)；
2. 计算三角形面积：\( S_{\triangle AOB} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8cm^2 \)；
3. 阴影面积：\( S_{\text{é ±}} = S_{\text{ }} - S_{\triangle AOB} = (4\pi - 8) \approx 4.56cm^2 \)。
2. 类型 2：实际场景应用
例题 4：建筑与生活中的计算
建筑设计场景：一个圆形柱体的侧面展开图是扇形，已知扇形半径（柱体母线长）为\( 8m \)，圆心角为\( 120^\circ \)，求该柱体底面圆的周长（即扇形弧长）。
解：\( l = \frac{120\pi \times 8}{180} = \frac{16\pi}{3} \approx 16.76m \)，故底面圆周长为\( \frac{16\pi}{3}m \)。
食品制作场景：一块半径为\( 10cm \)的圆形披萨，切出一个圆心角为\( 45^\circ \)的扇形切片，求该切片的面积。
解：\( S = \frac{45\pi \times 10^2}{360} = \frac{25\pi}{2} \approx 39.25cm^2 \)。
第 7 页：五、知识关联与易错点解析
1. 公式间的核心关联
弧长与扇形面积的桥梁：扇形面积公式②\( S = \frac{1}{2}lr \)建立了两者的直接联系，已知其中两个量可求第三个量；
与圆的公式关系：弧长是周长的\( \frac{n}{360} \)，扇形面积是圆面积的\( \frac{n}{360} \)，本质是 “整体到部分” 的比例转化。
2. 常见易错点
易错点 1：单位混淆 —— 未注意圆心角单位为 “度”，误用弧度制公式（初中阶段均用角度制计算）；
易错点 2：公式记错 —— 弧长公式漏乘\( \pi \)或扇形面积公式分母写错（如将\( 360 \)写成\( 180 \)）；
易错点 3：组合图形拆分错误 —— 计算阴影面积时，混淆 “加”“减” 关系（如多算空白部分或漏减重叠部分）；
易错点 4：逆向计算失误 —— 已知弧长求半径时，公式变形错误（正确变形：\( r = \frac{180l}{n\pi} \)）。
3. 避坑技巧
“公式三查法”：用公式前查已知量（\( n \)、\( r \)、\( l \)）、查单位（圆心角是否为度）、查变形（正向 / 逆向是否正确）；
“图形分割法”：组合图形先拆分为扇形、三角形、圆等基本图形，标注面积关系（和 / 差）；
“双公式验证法”：计算扇形面积时，用两种公式交叉验证（如用公式①算完后，用公式②核对）。
第 8 页：课堂练习（分层设计）
一、基础题
已知扇形半径\( r = 6cm \)，圆心角\( n = 90^\circ \)，则弧长\( l = \)，面积\( S = \)（答案：\( 3\pi cm \)；\( 9\pi cm^2 \)）；
已知扇形弧长\( l = 2\pi cm \)，半径\( r = 3cm \)，则圆心角\( n = \)______（答案：\( 120^\circ \)）。
二、提升题
如图，扇形\( OAB \)的半径为\( 5cm \)，弧长为\( 4\pi cm \)，求该扇形的面积（答案：\( 10\pi cm^2 \)，提示：用公式②）；
一个圆心角为\( 60^\circ \)的扇形，面积为\( 24\pi cm^2 \)，求其半径和弧长（答案：\( r = 12cm \)；\( l = 4\pi cm \)）。
三、拓展题
在边长为\( 4cm \)的正方形中，以四个顶点为圆心、边长为半径作四分之一圆，求中间重叠部分（花瓣形）的面积（提示：用四个扇形面积和减去正方形面积，答案：\( (8\pi - 16)cm^2 \)）。
第 9 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
核心概念：弧（劣弧 / 优弧）、扇形（由半径和弧围成），圆心角决定图形大小；
关键公式：
弧长：\( l = \frac{n\pi r}{180} \)
扇形面积：\( S = \frac{n\pi r^2}{360} = \frac{1}{2}lr \)
思想方法：比例转化法（推导公式）、图形分割法（组合图形计算）、数形结合法（实际应用）；
应用场景：建筑设计、食品制作、机械工程等领域的长度与面积计算。
二、作业布置
必做：教材中 “弧长和扇形面积” 基础计算题（3 道）、组合图形面积题（1 道）；
选做：测量家中圆形物品（如盘子）的半径，计算圆心角为\( 100^\circ \)的扇形弧长和面积，并说明计算过程；
思考：扇形面积公式\( S = \frac{1}{2}lr \)与三角形面积公式有何相似之处？为什么会有这种联系？
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
27.3.1圆中的计算 –
弧长和扇形面积
第27章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
图片欣赏
如图，在运动会的 4×100 米比赛中，甲和乙分别在第 1 跑道和第 2 跑道，为什么他们的起跑线不在同一处？
怎样计算弯道的“展直长度”？
因为要保证这些弯道的“展直长度”是一样的.
情境引入
图片来源：新浪体育
问题1 半径为 r 的圆，周长是多少？
O
r
问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别占圆周长的多少
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
合作探究
O
r
180°
与弧长相关的计算
(1) 圆心角是 180° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(2) 圆心角是 90° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(3) 圆心角是 45° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
(4) 圆心角是 n° ，占整个周角的 ，因此它所对的弧长是圆周长的
________.
________.
________.
________.
注意：用弧长公式进行计算时，要注意公式中 n 的意义．n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的.
知识要点
弧长公式
算一算 已知弧所对的圆心角为 60°，半径是 4，则弧长为
．
·
O
A
解：设半径 OA 绕轴心 O 按逆时针方向旋转的度数为 n°，则
解得 n ≈ 90°.
因此，滑轮旋转的角度约为 90°.
例1 一滑轮起重机装置 (如图)，滑轮的半径 R = 10 cm，当重物上升 15.7 cm 时，滑轮的一条半径 OA 绕轴心 O 逆时针方向旋转多少度？(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π 取 3.14)
典例精析
练一练
制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算如图所示管道的展直长度 L (单位：mm，精确到 1 mm).
解：弧 AB 的长为
因此所要求的展直长度 L = 2×700 + 500π ≈ 2971 (mm).
答：管道的展直长度约为 2971 mm.
700 mm
700 mm
R = 900 mm
(
100°
A
C
B
D
O
由组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形叫做扇形.
如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.
半径
半径
O
B
A
圆心角
弧
O
B
A
扇形
与扇形面积相关的计算
概念学习
判断：下列图形是扇形吗？
√
×
×
×
√
练一练
合作探究
问题1 半径为 r 的圆,面积是多少？
O
r
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几？具体是多少呢
O
r
180°
O
r
90°
O
r
45°
O
r
n°
圆心角占
周角的比例 扇形面积占
圆面积的比例 扇形
的面积
=
半径为 r 的圆中，圆心角为 n° 的扇形的面积
①公式中 n 的意义：n 表示 1° 圆心角的倍数，它是不带单位的；②公式要理解记忆（即按照上面推导过程记忆）.
注意
知识要点
●
O
A
B
D
C
E
F
●
O
A
B
C
D
问题3 扇形的面积与哪些因素有关？
大小不变时，对应的扇形面积与 有关，
越长，面积越大.
圆心角
半径
半径
圆的 不变时，扇形面积与 有关， 越大，面积越大.
圆心角
半径
圆心角
总结：扇形的面积与圆心角、半径有关.
问题 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
想一想 扇形的面积公式与什么公式类似？
A
B
O
O
类比学习
例2 如图，圆心角为 60° 的扇形的半径为 10 cm. 求这个扇形的面积和周长（精确到 0.01 cm2 和 0.01 cm）.
O
r
60°
解：∵ n = 60，r = 10 cm，
∴ 该扇形的面积为
该扇形的周长为
1. 已知扇形的半径为 2 cm，其弧长为 cm，则这个扇形的面积 S = .
2. 已知扇形的圆心角为 120°，半径为 2，则这个扇形的面积 S = .
练一练
例3 如图，点 D 在⊙O 的直径 AB 的延长线上，点C 在 ⊙O 上，AC = CD，∠ACD = 120°．
（1）求证：CD 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为 2，求图中阴影部分的面积．
（1）证明：连接 OC．
∵ AC = CD，∠ACD = 120°，
∴ ∠A = ∠D = 30°．
∵ OA = OC，∴∠ACO = ∠A = 30°．
∴∠OCD = 180°-∠A -∠D -∠ACO = 90°，即 OC⊥CD，
∴ CD 是⊙O 的切线．
(2) ∵∠A = 30°，
∴∠COB = 2∠A = 60°．
在 Rt△OCD 中，
例4 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6 m，其中水面高 0.3 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2).
(1)
O .
B
A
讨论：(1) 截面上有水部分的面积是指图上哪一部分？
阴影部分.
(2) 水面高 0.3 m 是指哪一条线段的长？这条线段应该怎样画出来？
过点 O 作 OD⊥AB 于点 D，并延长 OD 交圆 O 于 C. 则线段 DC 的长为水面高.
(3) 要求图中阴影部分面积，应该怎么办？
S阴影 = S扇形 OAB - S△OAB
O.
B
A
D
(2)
C
∵ OC＝0.6，DC＝0.3，
∴ OD＝OC - DC＝0.3.
∴ OD＝DC.
又 AD⊥OC，
∴ AD 是线段 OC 的垂直平分线.
∴ AC＝AO＝OC.
从而∠AOD＝60°，∠AOB＝120°.
O.
B
A
C
D
解：如图，连接 OA、OB，过点 O 作弦 AB 的垂线，垂足为 D，交 于点 C，连接 AC.
在 Rt△AOD 中，OA = 0.6 m，OD = 0.3 m，
∴ AD = m.
∴ AB = 2AD = m.
∴ 截面上有水部分的面积为
S = S扇形AOB - SΔOAB
O.
B
A
C
D
左图： S弓形 = S扇形 - S三角形
右图：S弓形 = S扇形 + S三角形
O
O
弓形的面积 = 扇形的面积 ± 三角形的面积
知识要点
弓形的面积公式
2. 某扇形的圆心角为 72°，面积为 5π，则此扇形的弧长为（ ）
A．π B．2π C．3π D．4π
1. 已知弧所对的圆周角为 90°，半径是 4，则弧长为 .
B
4π
3.如图，⊙A、 ⊙B、 ⊙C、 ⊙D两两不相交，且半径都是2 cm，则图中阴影部分的面积是 .
A
B
C
D
4.（例题变式题） 如图，水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是 0.6 m，其中水面高 0.9 m，求截面上有水部分的面积 (精确到 0.01 m2）.
O
A
B
D
C
E
解：
5. 如图，一个边长为 10 cm 的等边三角形模板 ABC 在水平桌面上绕顶点 C 按顺时针方向旋转到 △A'B'C 的位置，求顶点 A 从开始到结束所经过的路程.
解：由图可知，由于∠A'CB' = 60°，则等边三角形木板绕点 C 按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' = 120°，这说明顶点 A 经过的路程长等于弧 AA' 的长.
∵ 等边三角形 ABC 的边长为 10 cm，
∴ 弧 AA' 所在圆的半径为 10 cm.
∴ 所求路程为 l弧AA'
A
B
A'
B'
C
返回
1．[2024常州期末]已知扇形的半径为12，圆心角为60°，则这个扇形的弧长为( )
A．9π
B．6π
C．3π
D．4π
D
D
返回
返回
B
3．如图，点A，B，C是⊙O上的点，且∠ACB＝40°，阴影部分的面积为2π，则此扇形的半径为( )
A．2
B．3
C．4
D．5
4．已知扇形的圆心角为120°，弧长为2π，则该扇形的面积为________．
3π
返回
8π
返回
6．如图，已知AB是⊙O的直径，E为弦CD的中点，连结OC，OD.
(1)求证：∠BOD＝2∠BAC；
(2)若CD＝AC＝4，求阴影部分的面积．
返回
弧长
计算公式：
扇形
公式
阴影部分面积
求法：整体思想
弓形
公式
S弓形 = S扇形 - S三角形
S弓形 = S扇形 + S三角形
割补法
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！