28.1 抽样调查的意义 课件(共39张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 28.1 抽样调查的意义 课件(共39张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.8MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-19 06:08:30 | ||
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文档简介
(共39张PPT)
第 1 页：封面
标题：27.4 正多边形与圆
副标题：从圆的等分到正多边形的性质与计算
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
理解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，掌握正多边形的中心、半径、中心角、边心距等核心概念
推导并掌握正 n 边形的内角、中心角、边长、周长及面积的计算方法，深化数形结合思想
认识正多边形的对称性，学会用量角器画正多边形及用尺规作特殊正多边形（如正四边形、正六边形）
能运用正多边形与圆的性质解决几何计算与实际应用问题
二、知识衔接（回顾与引入）
旧知回顾：圆的基本性质（同圆中相等的圆心角对应相等的弧）、圆周角定理、扇形面积公式（为正多边形计算奠定基础）；
生活引入：展示蜂巢、钟表表盘、正多边形地砖、古建筑窗棂等实例（配图），提问：这些图形有何共同特征？它们与圆有怎样的联系？（引出正多边形与圆的关联）；
核心关联：任意正多边形都有一个外接圆，将圆等分即可得到内接正多边形（本质是 “圆的等分→正多边形构造” 的转化思想）。
第 3 页：一、正多边形的概念与圆的关联
1. 正多边形的定义与判定
定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等）；
判定要点：需同时满足 “边相等” 和 “角相等” 两个条件，缺一不可。例如：
菱形各边相等但角不相等，不是正多边形；
矩形各角相等但边不相等，不是正多边形；
正方形边、角均相等，是正四边形。
2. 正多边形与圆的内在联系
核心定理：把一个圆分成 n（n≥3）等份，依次连接各等分点，所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形，这个圆叫做正 n 边形的外接圆；
验证操作：以正五边形为例（配图）：
将⊙O 五等分，得到等分点 A、B、C、D、E；
连接 AB、BC、CD、DE、EA，得到五边形 ABCDE；
证明：∵弧 AB = 弧 BC = 弧 CD = 弧 DE = 弧 EA，∴AB=BC=CD=DE=EA（等弧对等弦），∠A=∠B=∠C=∠D=∠E（等弧对等圆周角），故为正五边形。
第 4 页：二、正多边形的核心元素与性质
1. 正多边形的关键概念（以正六边形为例，配图标注）
画一个正六边形 ABCDEF 及其外接圆⊙O，标注以下元素：
中心：正多边形外接圆的圆心（即⊙O 的圆心 O）；
半径：正多边形外接圆的半径（即 OA、OB 等，记为 R）；
中心角：正多边形每一边所对的外接圆圆心角（如∠AOB），记为 α，计算公式：\( \alpha = \frac{360^\circ}{n} \)（n 为边数）；
边心距：中心到正多边形一边的距离（如 OH⊥AB，OH 为边心距，记为 r），边心距是正多边形内切圆的半径；
边长：正多边形的一条边的长度（如 AB，记为 a）。
2. 正多边形的重要性质
几何性质：
正 n 边形的半径和边心距将其分成 2n 个全等的直角三角形（如 Rt△AOH，直角边为 r 和\( \frac{a}{2} \)，斜边为 R）；
任意正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且两圆是同心圆；
对称性质：
正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴，每条对称轴都经过中心；
当 n 为偶数时，正 n 边形也是中心对称图形，中心即为对称中心；
相似性质：边数相同的正多边形相似，其周长比、半径比、边心距比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
第 5 页：三、正多边形的有关计算（重点）
1. 核心公式推导（基于 Rt△AOH 的边角关系）
以正 n 边形为例，已知半径 R，推导关键量计算公式：
中心角：\( \alpha = \frac{360^\circ}{n} \)；
内角：正 n 边形内角和为 (n-2)×180°，每个内角\( \beta = \frac{(n-2) 180 °}{n} = 180 ° - \frac{360 °}{n} = 180 ° - \alpha \)；
边长：在 Rt△AOH 中，\( \frac{a}{2} = R ·sin\frac{\alpha}{2} = R ·sin\frac{180 °}{n} \)，故\( a = 2R ·sin\frac{180 °}{n} \)；
边心距：\( r = R ·cos\frac{180 °}{n} \)；
周长：\( C = n ·a = 2nR ·sin\frac{180 °}{n} \)；
面积：正 n 边形面积 = n 个等腰△AOB 的面积之和，\( S = n \frac{1}{2} a r = \frac{1}{2} C r \)（类比扇形面积公式 “\( \frac{1}{2} §é \)”）。
2. 公式汇总表（以常见正多边形为例）
正多边形（n）
中心角 α
内角 β
边长 a（半径 R）
边心距 r（半径 R）
面积 S（半径 R）
正三角形
120°
60°
\( \sqrt{3}R \)
\( \frac{1}{2}R \)
\( \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 \)
正四边形
90°
90°
\( \sqrt{2}R \)
\( \frac{\sqrt{2}}{2}R \)
\( 2R^2 \)
正六边形
60°
120°
\( R \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2}R \)
\( \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2 \)
第 6 页：四、基础应用：公式的直接计算
1. 类型 1：已知半径求其他量
例题 1：正六边形的计算
已知正六边形 ABCDEF 的外接圆半径为 4cm，求其中心角、内角、边长、边心距和面积。
解：1. 中心角\( \alpha = \frac{360 °}{6} = 60 ° \)；
2. 内角\( \beta = 180 ° - 60 ° = 120 ° \)；
3. 边长\( a = R = 4cm \)（正六边形边长等于外接圆半径）；
4. 边心距\( r = R ·cos\frac{60 °}{2} = 4 cos30 ° = 4 \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} 3.46cm \)；
5. 周长\( C = 6 4 = 24cm \)；
6. 面积\( S = \frac{1}{2} C r = \frac{1}{2} 24 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3} 41.57cm^2 \)。
2. 类型 2：已知边心距求其他量
例题 2：正三角形的计算
一个正三角形的边心距为 2cm，求其外接圆半径和面积。
解：1. 设外接圆半径为 R，由正三角形边心距公式\( r = \frac{1}{2}R \)，得\( R = 2r = 4cm \)；
2. 边长\( a = 2R ·sin60 ° = 2 4 \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}cm \)；
3. 面积\( S = \frac{1}{2} a 3r = \frac{1}{2} 4\sqrt{3} 6 = 12\sqrt{3} 20.78cm^2 \)（或用\( S = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 \)验证）。
第 7 页：五、进阶应用：综合计算与实际场景
1. 类型 1：结合圆周角的计算
例题 3：圆内接正多边形的角度问题
如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，点 P 是劣弧 BC 上不同于点 C 的任意一点，求∠BPC 的度数。
解：1. 连接 OB、OC，正方形的中心角∠BOC = \( \frac{360 °}{4} = 90 ° \)；
2. 由圆周角定理，圆周角是同弧所对圆心角的一半，得\( BPC = \frac{1}{2} BOC = 45 ° \)；
答：∠BPC 的度数为 45°。
2. 类型 2：实际场景中的用料与设计
例题 4：正多边形地砖与花坛设计
地砖计算：用边长为 60cm 的正六边形地砖铺地面，求一块地砖的面积及每平方米需要多少块地砖（结果保留整数）。
解：1. 正六边形可分成 6 个全等的正三角形，边长 R=60cm；
2. 单个正三角形面积\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} 60^2 = 900\sqrt{3}cm^2 \)；
3. 地砖面积\( S = 6 900\sqrt{3} = 5400\sqrt{3} 9353cm^2 0.94m^2 \)；
4. 每平方米数量\( \frac{1}{0.94} 2 \)；
答：一块地砖面积约 9353cm ，每平方米约需 2 块。
花坛设计：一个圆形花坛的半径为 8m，计划在花坛内种植正六边形花卉区域，求该正六边形区域的最大面积。
解：1. 最大正六边形为圆的内接正六边形，半径 R=8m；
2. 面积\( S = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} 8^2 = 96\sqrt{3} 166.28m^2 \)；
答：正六边形区域的最大面积约为 166.28m 。
第 8 页：六、正多边形的画法（难点）
1. 用量角器等分圆法（通用方法）
以画正五边形为例，步骤如下：
画一个圆⊙O，用量角器画中心角∠AOB = \( \frac{360 °}{5} = 72 ° \)；
以 OB 为一边，继续画∠BOC=72°，依次得到等分点 A、B、C、D、E；
连接 AB、BC、CD、DE、EA，即得正五边形 ABCDE。
要点：等分圆的关键是计算中心角，边数 n 确定后，中心角为固定值\( \frac{360 °}{n} \)。
2. 用尺规作特殊正多边形（精准方法）
作正四边形（正方形）：
画圆⊙O，作两条互相垂直的直径 AC、BD；
连接 A、B、C、D，即得正方形 ABCD。
作正六边形：
画圆⊙O，以半径为长度，在圆上依次截取等分点 A、B、C、D、E、F；
连接各点，即得正六边形 ABCDEF（正六边形边长等于外接圆半径）。
原理：特殊正多边形的中心角是 360° 的约数（如 90°、60°），可通过尺规作角实现等分。
第 9 页：七、易错点解析与避坑技巧
1. 常见易错点
易错点 1：正多边形判定遗漏条件 —— 仅依据 “边相等” 或 “角相等” 判定正多边形（如误将菱形当作正四边形）；
易错点 2：概念混淆 —— 混淆 “半径” 与 “边心距”，或误将边心距当作边长计算；
易错点 3：公式应用错误 —— 计算内角时误用中心角公式，或面积计算漏乘 “\( \frac{1}{2} \)”；
易错点 4：作图误区 —— 用尺规作任意正多边形（如正七边形），忽视尺规作图的局限性（仅能作中心角为 360° 约数的正多边形）。
2. 避坑技巧
“双条件验证”：判定正多边形时，必须同时验证 “各边相等” 和 “各角相等”；
“直角三角形建模”：计算正多边形边长、边心距时，先构造半径、边心距、半边长组成的直角三角形，再用三角函数或勾股定理求解；
“公式对应表”：熟记常见正多边形（n=3、4、6）的公式特例，如正六边形边长 = 半径，正三角形边心距 =\( \frac{1}{2} \)半径；
“作图先算角”：用量角器画正多边形前，先计算中心角，确保等分精准。
第 10 页：课堂练习（分层设计）
一、基础题
正五边形的中心角为______，内角为______（答案：72°；108°）；
已知正六边形的外接圆半径为 5cm，其边心距为______，面积为______（答案：\( \frac{5\sqrt{3}}{2}cm \)；\( \frac{75\sqrt{3}}{2}cm^2 \)）。
二、提升题
如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，求 B、E 两点间的距离（答案：8cm）；
一个正三角形的面积为\( 3\sqrt{3}cm^2 \)，求其外接圆半径（答案：2cm）。
三、拓展题
用一个含 30° 角的直角三角板，借助正六边形的中心，把正六边形面积等分，求等分份数 n 的所有可能值（答案：2、3、4、6、12）。
第 11 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
核心关联：正多边形与圆互为依托 —— 圆的 n 等分对应内接正 n 边形，正 n 边形必有外接圆；
关键概念：中心、半径、中心角、边心距（核心是 “直角三角形建模”）；
核心公式：
中心角：\( \alpha = \frac{360 °}{n} \)；
内角：\( \beta = 180 ° - \frac{360 °}{n} \)；
面积：\( S = \frac{1}{2} C r \)（C 为周长，r 为边心距）；
思想方法：转化思想（正多边形→直角三角形→圆）、数形结合（公式与图形对应）；
作图方法：量角器法（通用）、尺规法（特殊正多边形）。
二、作业布置
必做：教材中 “正多边形与圆” 基础计算题（3 道）、作图题（画正五边形和正六边形）；
选做：测量家中正多边形物品（如地砖、钟表）的边长，计算其外接圆半径；
思考：为什么边数相同的正多边形一定相似？它们的面积比与半径比有何关系？
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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28.1 抽样调查的意义
第28章 样本与总体
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
妈妈：“小明，再帮妈妈去买些鸡蛋.”
妈妈：“这次注意点，上次你买的鸡蛋有几个是坏的．”
（过了一会儿……）
小明这样买鸡蛋对吗？
小明：“妈妈，这次的鸡蛋
全是好的，我每个都打开看
过了.”
妈妈：“啊？”
情境引入
合作探究
问题1 我们班级每个学生的家里各有多少人？平均每个家庭有多少人？
普查和抽样调查
你能回答下面的问题吗？
问题 1 容易回答，我们只要调查全班每一个学生，将结果填入下表，就可计算得到所要的结果.
或者完成表 (二)，也可计算得到问题的答案.
像这样的全面调查叫普查.
第 2 个问题稍难一些，因为要调查的家庭数太多了.不过，利用 2021 年第七次全国人口普查数据，我们还是能够回答的.在中华人民共和国国家统计局网上，能够查到“全国共有家庭户 49416 万户，家庭户人口为 129281 万人，平均每个家庭户的人口为 2.62 人.”
问题2 2021 年，全国平均每个家庭有多少人？
问题3 今年，全国平均每个家庭有多少人？
第 3 个问题最难回答，因为全国人口普查的工作量极大，我国一般每十年进行一次全国人口普查，每五年进行一次全国1%人口的抽样调查.
抽样全国 1% 人口调查
总体
估计
样本
普查
概念学习
抽样调查
为特定目的而对部分考察对象作的全面调查叫做抽样调查.
为特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查.
1. 想知道一批灯泡的寿命采用什么调查方法？
2.想知道一批导弹的杀伤半径，采用什么调查方法？为什么？
抽样调查
抽样调查
试一试
普查
3. 保证天宫二号的成功发射，对重要零部件采用何种方式检查？
思考：在什么情况下使用普查？什么情况下使用抽样调查？
思考：在什么情况下使用全面调查？什么情况下使用抽样调查？
当调查的对象个数较少，调查容易进行时，
普查
当调查的结果有特别要求，或调查的结果有特殊意义时，如国家的人口普查.
普查
调查对象个数较多，不易调查，调查结果不需要高精确值时，
抽样调查
调查对象个数众多甚至无限，不可能一一考察时，
抽样调查
当对调查对象具有破坏性，或会产生某些的危害时.
抽样调查
抽样调查
优 点
缺 点
普查
通过调查总体来收集数据，调查的结果准确.
工作量大，难度大，而且有些调查不宜使用普查
通过调查样本来收集数据，工作量较小，便于进行.
调查结果往往不如普查得到的结果准确.
普查与抽样调查的比较
做一做
1. 下列调查中适合采用普查的是（ ）
A. 了解某市学生的视力情况
B. 了解某市中学生课外阅读情况
C. 了解某市百岁以上老年人的健康情况
D. 了解某市老年人参加晨练的情况
C
人数比较少，适合普查
2. 下列调查中，不适合采用普查的是（ ）
A. 旅客上飞机前的安检
B. 了解全班同学的课外读书时间
C. 了解一批灯泡的使用寿命
D. 学校招聘老师，对应聘人员的面试
C
调查具有破坏性，且耗时长
概念学习
在统计里，为了叙述上的方便，我们引入了几个概念：
总体
所要考察对象的全体.
个体
样本
样本容量
组成总体的每一个考察对象.
从总体中取出的一部分个体.
一个样本包含的个体的数量.
总体、个体、样本与样本容量
例1 分别指出下列调查中的总体、个体、样本和样本容量.
（1）为调查电风扇的使用寿命，从一批电风扇中抽取 20 台进行测试；
典例精析
解：（1）电风扇的使用寿命为总体，每一个电风扇
使用寿命为个体，抽出来 20 台电风扇的使用寿命为样本，样本容量为 20.
（2）为调查某校七年级学生每周用于做课外作业的时间，从该校七年级中抽取 50 名学生进行调查.
（2）该校七年级学生每周用于做课外作业的时间为总体，该校每名七年级学生做课外作业的时间为个体，从七年级中抽出来调查的 50 名学生每周用于做课外作业的时间为样本，样本容量为50.
为了了解我市七年级学生的体重，对全市七年级全体学生的体重进行的调查是___________，而对部分学生(例如 1000 名)的体重进行的调查是___________．全市七年级学生体重的全体是________，每名七年级学生的体重是________，从中抽测的 1000 名学生的体重是总体的一个________.
普查
抽样调查
总体
个体
样本
练一练
1．下列调查中：①调査本班同学的视力；②调查一批节能灯管的使用寿命；③为保证神舟九号的成功发射，对其零部件进行检查；④对乘坐某班次客车的乘客进行安检．其中适合采用抽样调查的是
( )
A．① B．② C．③ D．④
B
2．每年 4 月 23 日是“世界读书日”，为了了解某校八年级 500 名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了 50 名学生进行调查，在这次调查中，样本是 ( )
A. 500 名学生
C. 50 名学生
C. 所抽取的 50 名学生对“世界读书日”的知晓情况
D. 每一名学生对“世界读书日”的知晓情况
C
3.为了了解全校学生的视力情况，从 16 个班级中各抽取 5 名学生来检查视力，在这个问题中总体是 （ ）
A. 80 名学生
B. 80 名学生的视力
C. 全校学生
D. 全校学生的视力
D
4.下列调查中，你认为应该采用哪种调查方式，并说出理由.
①调查池塘里鱼的数量；
②调查你们学校七年级学生的体重；
③调查一批彩电的质量情况；
④调查你们班学生早餐是否有喝牛奶的习惯.
抽样调查
普查
抽样调查
普查
5. 某中学七年级共 100 人，为了了解这些学生的家庭经济情况，校长决定做一次调查，每个同学发一张调查问卷，等同学们填好后再收起来统计整理，则在这次调查活动中，
(1)校长要调查的问题是_________________________________；
(2)校长的调查对象是________________________；
(3)校长使用的调查方式是__________．
问卷调查
学校七年级学生的家庭经济情况
学校七年级 100 名学生
7．全班 50 人的英语考试成绩如下表所示，则该班英语考试成绩在 90～100 分范围内的人数是________，成绩在 80～90 分范围内的人数占总人数的百分比是________．
5
60%
6．在调查某班 50 名同学的到校方式中得知，有乘坐公共汽车、骑自行车、步行这三种方式．在这个调查中总体是__________________________________，个体是_______________________________________.
这个班全体同学的到校方式
这个班每个同学的到校方式
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1．下列调查中，适合普查的是( )
①调查一批新药物的药效持续时间；
②神舟十八号载人飞船设备的检查；
③调查某班学生观看“今日说法”这一节目的人数；
④调查全国各地中学生的视力情况．
A．①② B．①④ C．②④ D．②③
D
2．下列调查：
①调查本班同学的身高；
②调查一批节能灯管的使用寿命；
③语文老师检查某学生某篇作文中的错别字；
④对乘坐某班次客车的乘客进行安检．
其中适合采用抽样调查的是( )
A．① B．② C．③ D．④
B
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A
3. 学生的心理健康问题越来越受关注．为了解学生的心理健康状况，某学校从4 000名学生中随机抽取400名学生进行问卷调查，下列说法错误的是( )
A．400名学生是样本的容量
B．400名学生的心理健康状况是一个样本
C．每名学生的心理健康状况是个体
D．4 000名学生的心理健康状况是总体
4．[2024通州期末]某校开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪种运动项目，随机选取若干名学生进行问卷调查(每名学生仅选一种)．若最喜欢足球的学生为80人，占比40%，则样本容量为_____．
200
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5．某中学七年级共10个班，为了了解本年级学生一周中收看电视节目所用的时间，小亮利用放学时间在校门口调查了他认识的60名七年级同学．
(1)小亮的调查是抽样调查吗？
【解】小亮的调查是抽样调查．
(2)如果是抽样调查，指出调查的总体、个体和样本容量．
【解】调查的总体是某中学七年级10个班的学生一周中收看电视节目所用的时间；
个体是每名学生一周中收看电视节目所用的时间；
样本容量是60.
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(3)他调查的结果能反映七年级学生平均一周收看电视节目所用的时间吗？
【解】他调查的结果不能反映七年级学生平均一周收看电视节目所用的时间，因为抽样调查的对象不具有代表性，太片面(答案不唯一，合理即可)．
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6．[2024重庆期末]下面的调查方式中，你认为合适的是( )
A．为了解某班学生每日的体温情况，采用抽样调查方式
B．为了解一批药品的质量是否符合国家标准，采用普查方式
C．对乘坐某车次高铁的乘客进行安全检查，采用抽样调查方式
D．对载人航天器零部件的检查，采用普查方式
D
7．要想了解九年级1 100名学生的身高情况，从中抽取了300名学生的身高进行统计分析，以下说法：①1 100名学生是总体；②每名学生的身高是个体；③被抽取的300名学生是总体的一个样本；④300是样本容量．其中正确的是________．
②④
【点拨】①1 100名学生的身高是总体，故①不符合题意；
②每名学生的身高是个体，故②符合题意；
③被抽取的300名学生的身高是总体的一个样本，故③不符合题意；
④300是样本容量，故④符合题意．故答案为②④.
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8．某报纸上刊登了一则新闻，“某种品牌的节能灯的合格率为95%”，请据此回答下列问题：
(1)这则新闻________(填“能”或“不能”)说明市面上所有这种品牌的节能灯有5%为不合格，这则消息来源于________(填“普查”或“抽样调查”)．
不能
抽样调查
(2)如果在这次检查中合格产品有76个，那么共有多少个节能灯接受检查？
【解】76÷95%＝80(个)．
答：共有80个节能灯接受检查．
(3)如果此次检查了两种产品，数据如下表所示，有人由此认为“A品牌的不合格率比B品牌低，更让人放心”，你同意这种说法吗？为什么？
返回
品牌 A B
被检查数(个) 70 10
不合格数(个) 3 1
【解】不同意．因为B品牌被检查数太少，不具有代表性．
普查和抽样调查
普查
抽样调查
全体考察对象
部分考察对象
数量较少，不具有破坏性；研究问题要求情况真实，准确
数量较多；受客观条件限制；具有破坏性
总体
个体
样本
样本容量
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面
标题：27.4 正多边形与圆
副标题：从圆的等分到正多边形的性质与计算
落款：初中数学教研组
第 2 页：学习目标与知识衔接
一、学习目标
理解正多边形的概念及正多边形与圆的关系，掌握正多边形的中心、半径、中心角、边心距等核心概念
推导并掌握正 n 边形的内角、中心角、边长、周长及面积的计算方法，深化数形结合思想
认识正多边形的对称性，学会用量角器画正多边形及用尺规作特殊正多边形（如正四边形、正六边形）
能运用正多边形与圆的性质解决几何计算与实际应用问题
二、知识衔接（回顾与引入）
旧知回顾：圆的基本性质（同圆中相等的圆心角对应相等的弧）、圆周角定理、扇形面积公式（为正多边形计算奠定基础）；
生活引入：展示蜂巢、钟表表盘、正多边形地砖、古建筑窗棂等实例（配图），提问：这些图形有何共同特征？它们与圆有怎样的联系？（引出正多边形与圆的关联）；
核心关联：任意正多边形都有一个外接圆，将圆等分即可得到内接正多边形（本质是 “圆的等分→正多边形构造” 的转化思想）。
第 3 页：一、正多边形的概念与圆的关联
1. 正多边形的定义与判定
定义：各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形（如正三角形、正方形、正五边形等）；
判定要点：需同时满足 “边相等” 和 “角相等” 两个条件，缺一不可。例如：
菱形各边相等但角不相等，不是正多边形；
矩形各角相等但边不相等，不是正多边形；
正方形边、角均相等，是正四边形。
2. 正多边形与圆的内在联系
核心定理：把一个圆分成 n（n≥3）等份，依次连接各等分点，所得的多边形是这个圆的内接正 n 边形，这个圆叫做正 n 边形的外接圆；
验证操作：以正五边形为例（配图）：
将⊙O 五等分，得到等分点 A、B、C、D、E；
连接 AB、BC、CD、DE、EA，得到五边形 ABCDE；
证明：∵弧 AB = 弧 BC = 弧 CD = 弧 DE = 弧 EA，∴AB=BC=CD=DE=EA（等弧对等弦），∠A=∠B=∠C=∠D=∠E（等弧对等圆周角），故为正五边形。
第 4 页：二、正多边形的核心元素与性质
1. 正多边形的关键概念（以正六边形为例，配图标注）
画一个正六边形 ABCDEF 及其外接圆⊙O，标注以下元素：
中心：正多边形外接圆的圆心（即⊙O 的圆心 O）；
半径：正多边形外接圆的半径（即 OA、OB 等，记为 R）；
中心角：正多边形每一边所对的外接圆圆心角（如∠AOB），记为 α，计算公式：\( \alpha = \frac{360^\circ}{n} \)（n 为边数）；
边心距：中心到正多边形一边的距离（如 OH⊥AB，OH 为边心距，记为 r），边心距是正多边形内切圆的半径；
边长：正多边形的一条边的长度（如 AB，记为 a）。
2. 正多边形的重要性质
几何性质：
正 n 边形的半径和边心距将其分成 2n 个全等的直角三角形（如 Rt△AOH，直角边为 r 和\( \frac{a}{2} \)，斜边为 R）；
任意正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，且两圆是同心圆；
对称性质：
正 n 边形是轴对称图形，有 n 条对称轴，每条对称轴都经过中心；
当 n 为偶数时，正 n 边形也是中心对称图形，中心即为对称中心；
相似性质：边数相同的正多边形相似，其周长比、半径比、边心距比等于相似比，面积比等于相似比的平方。
第 5 页：三、正多边形的有关计算（重点）
1. 核心公式推导（基于 Rt△AOH 的边角关系）
以正 n 边形为例，已知半径 R，推导关键量计算公式：
中心角：\( \alpha = \frac{360^\circ}{n} \)；
内角：正 n 边形内角和为 (n-2)×180°，每个内角\( \beta = \frac{(n-2) 180 °}{n} = 180 ° - \frac{360 °}{n} = 180 ° - \alpha \)；
边长：在 Rt△AOH 中，\( \frac{a}{2} = R ·sin\frac{\alpha}{2} = R ·sin\frac{180 °}{n} \)，故\( a = 2R ·sin\frac{180 °}{n} \)；
边心距：\( r = R ·cos\frac{180 °}{n} \)；
周长：\( C = n ·a = 2nR ·sin\frac{180 °}{n} \)；
面积：正 n 边形面积 = n 个等腰△AOB 的面积之和，\( S = n \frac{1}{2} a r = \frac{1}{2} C r \)（类比扇形面积公式 “\( \frac{1}{2} §é \)”）。
2. 公式汇总表（以常见正多边形为例）
正多边形（n）
中心角 α
内角 β
边长 a（半径 R）
边心距 r（半径 R）
面积 S（半径 R）
正三角形
120°
60°
\( \sqrt{3}R \)
\( \frac{1}{2}R \)
\( \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 \)
正四边形
90°
90°
\( \sqrt{2}R \)
\( \frac{\sqrt{2}}{2}R \)
\( 2R^2 \)
正六边形
60°
120°
\( R \)
\( \frac{\sqrt{3}}{2}R \)
\( \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2 \)
第 6 页：四、基础应用：公式的直接计算
1. 类型 1：已知半径求其他量
例题 1：正六边形的计算
已知正六边形 ABCDEF 的外接圆半径为 4cm，求其中心角、内角、边长、边心距和面积。
解：1. 中心角\( \alpha = \frac{360 °}{6} = 60 ° \)；
2. 内角\( \beta = 180 ° - 60 ° = 120 ° \)；
3. 边长\( a = R = 4cm \)（正六边形边长等于外接圆半径）；
4. 边心距\( r = R ·cos\frac{60 °}{2} = 4 cos30 ° = 4 \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} 3.46cm \)；
5. 周长\( C = 6 4 = 24cm \)；
6. 面积\( S = \frac{1}{2} C r = \frac{1}{2} 24 2\sqrt{3} = 24\sqrt{3} 41.57cm^2 \)。
2. 类型 2：已知边心距求其他量
例题 2：正三角形的计算
一个正三角形的边心距为 2cm，求其外接圆半径和面积。
解：1. 设外接圆半径为 R，由正三角形边心距公式\( r = \frac{1}{2}R \)，得\( R = 2r = 4cm \)；
2. 边长\( a = 2R ·sin60 ° = 2 4 \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}cm \)；
3. 面积\( S = \frac{1}{2} a 3r = \frac{1}{2} 4\sqrt{3} 6 = 12\sqrt{3} 20.78cm^2 \)（或用\( S = \frac{3\sqrt{3}}{4}R^2 \)验证）。
第 7 页：五、进阶应用：综合计算与实际场景
1. 类型 1：结合圆周角的计算
例题 3：圆内接正多边形的角度问题
如图，四边形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，点 P 是劣弧 BC 上不同于点 C 的任意一点，求∠BPC 的度数。
解：1. 连接 OB、OC，正方形的中心角∠BOC = \( \frac{360 °}{4} = 90 ° \)；
2. 由圆周角定理，圆周角是同弧所对圆心角的一半，得\( BPC = \frac{1}{2} BOC = 45 ° \)；
答：∠BPC 的度数为 45°。
2. 类型 2：实际场景中的用料与设计
例题 4：正多边形地砖与花坛设计
地砖计算：用边长为 60cm 的正六边形地砖铺地面，求一块地砖的面积及每平方米需要多少块地砖（结果保留整数）。
解：1. 正六边形可分成 6 个全等的正三角形，边长 R=60cm；
2. 单个正三角形面积\( S_1 = \frac{\sqrt{3}}{4} 60^2 = 900\sqrt{3}cm^2 \)；
3. 地砖面积\( S = 6 900\sqrt{3} = 5400\sqrt{3} 9353cm^2 0.94m^2 \)；
4. 每平方米数量\( \frac{1}{0.94} 2 \)；
答：一块地砖面积约 9353cm ，每平方米约需 2 块。
花坛设计：一个圆形花坛的半径为 8m，计划在花坛内种植正六边形花卉区域，求该正六边形区域的最大面积。
解：1. 最大正六边形为圆的内接正六边形，半径 R=8m；
2. 面积\( S = \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} 8^2 = 96\sqrt{3} 166.28m^2 \)；
答：正六边形区域的最大面积约为 166.28m 。
第 8 页：六、正多边形的画法（难点）
1. 用量角器等分圆法（通用方法）
以画正五边形为例，步骤如下：
画一个圆⊙O，用量角器画中心角∠AOB = \( \frac{360 °}{5} = 72 ° \)；
以 OB 为一边，继续画∠BOC=72°，依次得到等分点 A、B、C、D、E；
连接 AB、BC、CD、DE、EA，即得正五边形 ABCDE。
要点：等分圆的关键是计算中心角，边数 n 确定后，中心角为固定值\( \frac{360 °}{n} \)。
2. 用尺规作特殊正多边形（精准方法）
作正四边形（正方形）：
画圆⊙O，作两条互相垂直的直径 AC、BD；
连接 A、B、C、D，即得正方形 ABCD。
作正六边形：
画圆⊙O，以半径为长度，在圆上依次截取等分点 A、B、C、D、E、F；
连接各点，即得正六边形 ABCDEF（正六边形边长等于外接圆半径）。
原理：特殊正多边形的中心角是 360° 的约数（如 90°、60°），可通过尺规作角实现等分。
第 9 页：七、易错点解析与避坑技巧
1. 常见易错点
易错点 1：正多边形判定遗漏条件 —— 仅依据 “边相等” 或 “角相等” 判定正多边形（如误将菱形当作正四边形）；
易错点 2：概念混淆 —— 混淆 “半径” 与 “边心距”，或误将边心距当作边长计算；
易错点 3：公式应用错误 —— 计算内角时误用中心角公式，或面积计算漏乘 “\( \frac{1}{2} \)”；
易错点 4：作图误区 —— 用尺规作任意正多边形（如正七边形），忽视尺规作图的局限性（仅能作中心角为 360° 约数的正多边形）。
2. 避坑技巧
“双条件验证”：判定正多边形时，必须同时验证 “各边相等” 和 “各角相等”；
“直角三角形建模”：计算正多边形边长、边心距时，先构造半径、边心距、半边长组成的直角三角形，再用三角函数或勾股定理求解；
“公式对应表”：熟记常见正多边形（n=3、4、6）的公式特例，如正六边形边长 = 半径，正三角形边心距 =\( \frac{1}{2} \)半径；
“作图先算角”：用量角器画正多边形前，先计算中心角，确保等分精准。
第 10 页：课堂练习（分层设计）
一、基础题
正五边形的中心角为______，内角为______（答案：72°；108°）；
已知正六边形的外接圆半径为 5cm，其边心距为______，面积为______（答案：\( \frac{5\sqrt{3}}{2}cm \)；\( \frac{75\sqrt{3}}{2}cm^2 \)）。
二、提升题
如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 4 的圆，求 B、E 两点间的距离（答案：8cm）；
一个正三角形的面积为\( 3\sqrt{3}cm^2 \)，求其外接圆半径（答案：2cm）。
三、拓展题
用一个含 30° 角的直角三角板，借助正六边形的中心，把正六边形面积等分，求等分份数 n 的所有可能值（答案：2、3、4、6、12）。
第 11 页：课堂小结与作业布置
一、课堂小结
核心关联：正多边形与圆互为依托 —— 圆的 n 等分对应内接正 n 边形，正 n 边形必有外接圆；
关键概念：中心、半径、中心角、边心距（核心是 “直角三角形建模”）；
核心公式：
中心角：\( \alpha = \frac{360 °}{n} \)；
内角：\( \beta = 180 ° - \frac{360 °}{n} \)；
面积：\( S = \frac{1}{2} C r \)（C 为周长，r 为边心距）；
思想方法：转化思想（正多边形→直角三角形→圆）、数形结合（公式与图形对应）；
作图方法：量角器法（通用）、尺规法（特殊正多边形）。
二、作业布置
必做：教材中 “正多边形与圆” 基础计算题（3 道）、作图题（画正五边形和正六边形）；
选做：测量家中正多边形物品（如地砖、钟表）的边长，计算其外接圆半径；
思考：为什么边数相同的正多边形一定相似？它们的面积比与半径比有何关系？
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
28.1 抽样调查的意义
第28章 样本与总体
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
妈妈：“小明，再帮妈妈去买些鸡蛋.”
妈妈：“这次注意点，上次你买的鸡蛋有几个是坏的．”
（过了一会儿……）
小明这样买鸡蛋对吗？
小明：“妈妈，这次的鸡蛋
全是好的，我每个都打开看
过了.”
妈妈：“啊？”
情境引入
合作探究
问题1 我们班级每个学生的家里各有多少人？平均每个家庭有多少人？
普查和抽样调查
你能回答下面的问题吗？
问题 1 容易回答，我们只要调查全班每一个学生，将结果填入下表，就可计算得到所要的结果.
或者完成表 (二)，也可计算得到问题的答案.
像这样的全面调查叫普查.
第 2 个问题稍难一些，因为要调查的家庭数太多了.不过，利用 2021 年第七次全国人口普查数据，我们还是能够回答的.在中华人民共和国国家统计局网上，能够查到“全国共有家庭户 49416 万户，家庭户人口为 129281 万人，平均每个家庭户的人口为 2.62 人.”
问题2 2021 年，全国平均每个家庭有多少人？
问题3 今年，全国平均每个家庭有多少人？
第 3 个问题最难回答，因为全国人口普查的工作量极大，我国一般每十年进行一次全国人口普查，每五年进行一次全国1%人口的抽样调查.
抽样全国 1% 人口调查
总体
估计
样本
普查
概念学习
抽样调查
为特定目的而对部分考察对象作的全面调查叫做抽样调查.
为特定目的而对所有考察对象作的全面调查叫做普查.
1. 想知道一批灯泡的寿命采用什么调查方法？
2.想知道一批导弹的杀伤半径，采用什么调查方法？为什么？
抽样调查
抽样调查
试一试
普查
3. 保证天宫二号的成功发射，对重要零部件采用何种方式检查？
思考：在什么情况下使用普查？什么情况下使用抽样调查？
思考：在什么情况下使用全面调查？什么情况下使用抽样调查？
当调查的对象个数较少，调查容易进行时，
普查
当调查的结果有特别要求，或调查的结果有特殊意义时，如国家的人口普查.
普查
调查对象个数较多，不易调查，调查结果不需要高精确值时，
抽样调查
调查对象个数众多甚至无限，不可能一一考察时，
抽样调查
当对调查对象具有破坏性，或会产生某些的危害时.
抽样调查
抽样调查
优 点
缺 点
普查
通过调查总体来收集数据，调查的结果准确.
工作量大，难度大，而且有些调查不宜使用普查
通过调查样本来收集数据，工作量较小，便于进行.
调查结果往往不如普查得到的结果准确.
普查与抽样调查的比较
做一做
1. 下列调查中适合采用普查的是（ ）
A. 了解某市学生的视力情况
B. 了解某市中学生课外阅读情况
C. 了解某市百岁以上老年人的健康情况
D. 了解某市老年人参加晨练的情况
C
人数比较少，适合普查
2. 下列调查中，不适合采用普查的是（ ）
A. 旅客上飞机前的安检
B. 了解全班同学的课外读书时间
C. 了解一批灯泡的使用寿命
D. 学校招聘老师，对应聘人员的面试
C
调查具有破坏性，且耗时长
概念学习
在统计里，为了叙述上的方便，我们引入了几个概念：
总体
所要考察对象的全体.
个体
样本
样本容量
组成总体的每一个考察对象.
从总体中取出的一部分个体.
一个样本包含的个体的数量.
总体、个体、样本与样本容量
例1 分别指出下列调查中的总体、个体、样本和样本容量.
（1）为调查电风扇的使用寿命，从一批电风扇中抽取 20 台进行测试；
典例精析
解：（1）电风扇的使用寿命为总体，每一个电风扇
使用寿命为个体，抽出来 20 台电风扇的使用寿命为样本，样本容量为 20.
（2）为调查某校七年级学生每周用于做课外作业的时间，从该校七年级中抽取 50 名学生进行调查.
（2）该校七年级学生每周用于做课外作业的时间为总体，该校每名七年级学生做课外作业的时间为个体，从七年级中抽出来调查的 50 名学生每周用于做课外作业的时间为样本，样本容量为50.
为了了解我市七年级学生的体重，对全市七年级全体学生的体重进行的调查是___________，而对部分学生(例如 1000 名)的体重进行的调查是___________．全市七年级学生体重的全体是________，每名七年级学生的体重是________，从中抽测的 1000 名学生的体重是总体的一个________.
普查
抽样调查
总体
个体
样本
练一练
1．下列调查中：①调査本班同学的视力；②调查一批节能灯管的使用寿命；③为保证神舟九号的成功发射，对其零部件进行检查；④对乘坐某班次客车的乘客进行安检．其中适合采用抽样调查的是
( )
A．① B．② C．③ D．④
B
2．每年 4 月 23 日是“世界读书日”，为了了解某校八年级 500 名学生对“世界读书日”的知晓情况，从中随机抽取了 50 名学生进行调查，在这次调查中，样本是 ( )
A. 500 名学生
C. 50 名学生
C. 所抽取的 50 名学生对“世界读书日”的知晓情况
D. 每一名学生对“世界读书日”的知晓情况
C
3.为了了解全校学生的视力情况，从 16 个班级中各抽取 5 名学生来检查视力，在这个问题中总体是 （ ）
A. 80 名学生
B. 80 名学生的视力
C. 全校学生
D. 全校学生的视力
D
4.下列调查中，你认为应该采用哪种调查方式，并说出理由.
①调查池塘里鱼的数量；
②调查你们学校七年级学生的体重；
③调查一批彩电的质量情况；
④调查你们班学生早餐是否有喝牛奶的习惯.
抽样调查
普查
抽样调查
普查
5. 某中学七年级共 100 人，为了了解这些学生的家庭经济情况，校长决定做一次调查，每个同学发一张调查问卷，等同学们填好后再收起来统计整理，则在这次调查活动中，
(1)校长要调查的问题是_________________________________；
(2)校长的调查对象是________________________；
(3)校长使用的调查方式是__________．
问卷调查
学校七年级学生的家庭经济情况
学校七年级 100 名学生
7．全班 50 人的英语考试成绩如下表所示，则该班英语考试成绩在 90～100 分范围内的人数是________，成绩在 80～90 分范围内的人数占总人数的百分比是________．
5
60%
6．在调查某班 50 名同学的到校方式中得知，有乘坐公共汽车、骑自行车、步行这三种方式．在这个调查中总体是__________________________________，个体是_______________________________________.
这个班全体同学的到校方式
这个班每个同学的到校方式
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1．下列调查中，适合普查的是( )
①调查一批新药物的药效持续时间；
②神舟十八号载人飞船设备的检查；
③调查某班学生观看“今日说法”这一节目的人数；
④调查全国各地中学生的视力情况．
A．①② B．①④ C．②④ D．②③
D
2．下列调查：
①调查本班同学的身高；
②调查一批节能灯管的使用寿命；
③语文老师检查某学生某篇作文中的错别字；
④对乘坐某班次客车的乘客进行安检．
其中适合采用抽样调查的是( )
A．① B．② C．③ D．④
B
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A
3. 学生的心理健康问题越来越受关注．为了解学生的心理健康状况，某学校从4 000名学生中随机抽取400名学生进行问卷调查，下列说法错误的是( )
A．400名学生是样本的容量
B．400名学生的心理健康状况是一个样本
C．每名学生的心理健康状况是个体
D．4 000名学生的心理健康状况是总体
4．[2024通州期末]某校开展课后服务，其中在体育类活动中开设了四种运动项目：乒乓球、排球、篮球、足球．为了解学生最喜欢哪种运动项目，随机选取若干名学生进行问卷调查(每名学生仅选一种)．若最喜欢足球的学生为80人，占比40%，则样本容量为_____．
200
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5．某中学七年级共10个班，为了了解本年级学生一周中收看电视节目所用的时间，小亮利用放学时间在校门口调查了他认识的60名七年级同学．
(1)小亮的调查是抽样调查吗？
【解】小亮的调查是抽样调查．
(2)如果是抽样调查，指出调查的总体、个体和样本容量．
【解】调查的总体是某中学七年级10个班的学生一周中收看电视节目所用的时间；
个体是每名学生一周中收看电视节目所用的时间；
样本容量是60.
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(3)他调查的结果能反映七年级学生平均一周收看电视节目所用的时间吗？
【解】他调查的结果不能反映七年级学生平均一周收看电视节目所用的时间，因为抽样调查的对象不具有代表性，太片面(答案不唯一，合理即可)．
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6．[2024重庆期末]下面的调查方式中，你认为合适的是( )
A．为了解某班学生每日的体温情况，采用抽样调查方式
B．为了解一批药品的质量是否符合国家标准，采用普查方式
C．对乘坐某车次高铁的乘客进行安全检查，采用抽样调查方式
D．对载人航天器零部件的检查，采用普查方式
D
7．要想了解九年级1 100名学生的身高情况，从中抽取了300名学生的身高进行统计分析，以下说法：①1 100名学生是总体；②每名学生的身高是个体；③被抽取的300名学生是总体的一个样本；④300是样本容量．其中正确的是________．
②④
【点拨】①1 100名学生的身高是总体，故①不符合题意；
②每名学生的身高是个体，故②符合题意；
③被抽取的300名学生的身高是总体的一个样本，故③不符合题意；
④300是样本容量，故④符合题意．故答案为②④.
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8．某报纸上刊登了一则新闻，“某种品牌的节能灯的合格率为95%”，请据此回答下列问题：
(1)这则新闻________(填“能”或“不能”)说明市面上所有这种品牌的节能灯有5%为不合格，这则消息来源于________(填“普查”或“抽样调查”)．
不能
抽样调查
(2)如果在这次检查中合格产品有76个，那么共有多少个节能灯接受检查？
【解】76÷95%＝80(个)．
答：共有80个节能灯接受检查．
(3)如果此次检查了两种产品，数据如下表所示，有人由此认为“A品牌的不合格率比B品牌低，更让人放心”，你同意这种说法吗？为什么？
返回
品牌 A B
被检查数(个) 70 10
不合格数(个) 3 1
【解】不同意．因为B品牌被检查数太少，不具有代表性．
普查和抽样调查
普查
抽样调查
全体考察对象
部分考察对象
数量较少，不具有破坏性；研究问题要求情况真实，准确
数量较多；受客观条件限制；具有破坏性
总体
个体
样本
样本容量
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！