第26章 二次函数【章末复习】 课件(共29张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册

(共29张PPT)
一、本章知识框架图（核心脉络）
二、核心概念清单（精准辨析）
1. 二次函数的定义与构成
概念
定义
关键特性
易错提醒
二次函数
形如\( y = ax^2 + bx + c \)（\( a b c \)为常数，\( a \neq 0 \)）的函数
最高次项为 2 次，图像是抛物线
易忽略\( a \neq 0 \)的前提（\( a=0 \)时为一次函数）
一般式
\( y = ax^2 + bx + c \)（\( a \neq 0 \)）
包含二次项、一次项、常数项
一次项系数\( b \)、常数项\( c \)可为 0（如\( y=2x^2 \)是特殊二次函数）
顶点式
\( y = a(x - h)^2 + k \)（\( a \neq 0 \)）
直接体现抛物线顶点\( (h,k) \)
括号内为\( x - h \)，当\( h<0 \)时符号易出错（如\( y=2(x+3)^2 \)的顶点横坐标为 - 3）
交点式
\( y = a(x - x_1)(x - x_2) \)（\( a \neq 0 \)）
直接体现抛物线与 x 轴交点\( (x_1,0) (x_2,0) \)
仅当抛物线与 x 轴有交点时存在，\( x_1 x_2 \)是对应一元二次方程的根
项与系数
二次项\( ax^2 \)（系数\( a \)）、一次项\( bx \)（系数\( b \)）、常数项\( c \)
\( a \)决定开口方向与宽窄，\( b \)影响对称轴位置，\( c \)是抛物线与 y 轴交点纵坐标
混淆 “项” 与 “系数”（如 “一次项” 是\( bx \)，“一次项系数” 是\( b \)）
2. 抛物线的核心特征
开口方向：由\( a \)的符号决定 ——\( a>0 \)开口向上，\( a<0 \)开口向下；\( |a| \)越大，开口越窄；\( |a| \)越小，开口越宽。
对称轴：一般式中为直线\( x = -\frac{b}{2a} \)，顶点式中为直线\( x = h \)，是抛物线的 “铅直对称轴”，对称点横坐标到对称轴距离相等。
顶点：抛物线的最高点（\( a<0 \)）或最低点（\( a>0 \)），坐标为\( \left(-\frac{b}{2a}, \frac{4ac - b^2}{4a}\right) \)（一般式推导）或\( (h,k) \)（顶点式），是最值点。
与坐标轴交点：
与 y 轴交点：恒为\( (0,c) \)（代入\( x=0 \)求解）；
与 x 轴交点：解方程\( ax^2 + bx + c = 0 \)，判别式\( \Delta = b^2 - 4ac \)决定交点个数（\( \Delta>0 \)有 2 个，\( \Delta=0 \)有 1 个，\( \Delta<0 \)无交点）。
三、核心性质与方法体系（操作指南）
1. 二次函数的图像性质（以一般式\( y = ax^2 + bx + c \)为例）
性质维度
\( a>0 \)（开口向上）
\( a<0 \)（开口向下）
关键结论
开口方向
向上
向下
\( a \)的符号决定开口方向
增减性
对称轴左侧（\( x < -\frac{b}{2a} \)）y 随 x 增大而减小；右侧（\( x > -\frac{b}{2a} \)）y 随 x 增大而增大
对称轴左侧（\( x < -\frac{b}{2a} \)）y 随 x 增大而增大；右侧（\( x > -\frac{b}{2a} \)）y 随 x 增大而减小
增减性以对称轴为界，“左减右增” 或 “左增右减”
最值
顶点为最小值点，\( y_{\text{ ° }} = \frac{4ac - b^2}{4a} \)
顶点为最大值点，\( y_{\text{ ¤§}} = \frac{4ac - b^2}{4a} \)
最值在顶点处取得，无另一个极端值
对称性
若\( (x_1,y) (x_2,y) \)在抛物线上，则\( x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} \)
同左
对称点纵坐标相等，横坐标和为对称轴横坐标的 2 倍
2. 二次函数表达式的转化与求解
（1）三种表达式的转化
转化方向
操作步骤
示例（将\( y = 2x^2 + 4x - 1 \)转化）
一般式→顶点式
1. 提取二次项系数：\( a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c \)；2. 配方：\( a\left[(x + \frac{b}{2a})^2 - \frac{b^2}{4a^2}\right] + c \)；3. 整理为\( a(x - h)^2 + k \)
1. \( 2(x^2 + 2x) - 1 \)；2. \( 2[(x+1)^2 - 1] - 1 \)；3. \( 2(x+1)^2 - 3 \)（顶点\( (-1,-3) \)）
一般式→交点式
1. 解方程\( ax^2 + bx + c = 0 \)得根\( x_1 x_2 \)；2. 代入\( y = a(x - x_1)(x - x_2) \)
解方程\( 2x^2 + 4x - 1 = 0 \)得\( x_1 = \frac{-2 + \sqrt{6}}{2} \)，\( x_2 = \frac{-2 - \sqrt{6}}{2} \)，故\( y = 2\left(x - \frac{-2 + \sqrt{6}}{2}\right)\left(x - \frac{-2 - \sqrt{6}}{2}\right) \)
顶点式 / 交点式→一般式
展开、合并同类项
\( y = 2(x+1)^2 - 3 = 2(x^2 + 2x + 1) - 3 = 2x^2 + 4x - 1 \)
（2）待定系数法求表达式（根据已知条件选择形式）
已知条件
选择表达式形式
求解步骤
任意三点坐标
一般式\( y = ax^2 + bx + c \)
代入三点得三元一次方程组，解出\( a b c \)
顶点坐标\( (h,k) \) + 另一点坐标
顶点式\( y = a(x - h)^2 + k \)
代入顶点得\( k \)，再代入另一点求\( a \)
与 x 轴交点\( (x_1,0) (x_2,0) \) + 另一点坐标
交点式\( y = a(x - x_1)(x - x_2) \)
代入交点得\( x_1 x_2 \)，再代入另一点求\( a \)
3. 二次函数与一元二次方程的关系
本质关联：二次函数\( y = ax^2 + bx + c \)中，令\( y=0 \)，即转化为一元二次方程\( ax^2 + bx + c = 0 \)；
图像体现：方程的根是抛物线与 x 轴交点的横坐标，判别式\( \Delta \)对应交点个数：
\( \Delta>0 \)：方程有两个不等实根，抛物线与 x 轴有两个不同交点；
\( \Delta=0 \)：方程有两个相等实根，抛物线与 x 轴有一个公共点（相切）；
\( \Delta<0 \)：方程无实根，抛物线与 x 轴无交点；
应用场景：求抛物线与 x 轴交点、判断函数值正负区间（如\( y>0 \)时 x 的取值范围）。
四、易错点与易混点辨析（避坑指南）
1. 概念与性质易错点
误区 1：认为 “二次函数一定有一次项和常数项”
纠正：一次项系数\( b \)和常数项\( c \)可为 0，如\( y=3x^2 \)（\( b=0,c=0 \)）、\( y=2x^2 - 5 \)（\( b=0 \)）均为二次函数。
误区 2：对称轴公式记错，写成\( x = \frac{b}{2a} \)
纠正：正确公式为\( x = -\frac{b}{2a} \)，符号易遗漏，可通过顶点式推导验证（如\( y=a(x-h)^2+k \)展开后\( b=-2ah \)，故\( h=-\frac{b}{2a} \)）。
误区 3：判断增减性时忽略 “以对称轴为界”
纠正：增减性不能仅凭\( a \)的符号判断，需分 “对称轴左侧” 和 “右侧”，如\( a>0 \)时，并非 y 随 x 增大而一直增大，而是右侧增大、左侧减小。
2. 表达式转化与求解易错点
配方时符号错误：
反例：将\( y = -x^2 + 2x + 3 \)配方时，误写为\( y = -(x^2 + 2x) + 3 \)（应为\( -(x^2 - 2x) + 3 \)）。
正解：提取负号时，括号内各项需变号，正确配方为\( y = -(x-1)^2 + 4 \)。
待定系数法漏条件：
反例：已知顶点\( (2,1) \)求表达式时，仅设\( y = (x-2)^2 + 1 \)，忽略\( a \)的系数（需另一个条件求\( a \)）。
正解：应设\( y = a(x-2)^2 + 1 \)，再代入已知点求\( a \)。
3. 实际应用易错点
自变量取值范围忽略实际意义：
反例：用二次函数求 “长方形面积最值” 时，未考虑边长为正数，导致 x 的取值范围包含负数。
正解：结合实际场景（如长度、时间、数量为正）确定自变量取值范围，最值需在该范围内求解。
混淆 “最大值” 与 “最小值”：
反例：\( a<0 \)时（开口向下），误求 “最小值”；\( a>0 \)时（开口向上），误求 “最大值”。
正解：开口方向决定最值类型，\( a>0 \)有最小值，\( a<0 \)有最大值，均在顶点处取得。
五、实战题型与解析（能力提升）
题型 1：概念与性质辨析题
例题：下列关于二次函数\( y = -2x^2 + 4x - 1 \)的说法正确的是（ ）
A. 开口向上 B. 对称轴为直线\( x=1 \) C. 顶点坐标为\( (1,1) \) D. 当\( x>1 \)时，y 随 x 增大而增大
解析：
A 错误：\( a=-2<0 \)，开口向下；
B 正确：对称轴\( x = -\frac{b}{2a} = -\frac{4}{2 (-2)} = 1 \)；
C 正确：代入\( x=1 \)得\( y=-2+4-1=1 \)，顶点\( (1,1) \)；
D 错误：\( a<0 \)，\( x>1 \)（对称轴右侧），y 随 x 增大而减小；
答案：BC
题型 2：待定系数法求表达式
例题：已知二次函数图像过点\( (0,3) \)、\( (1,0) \)、\( (3,0) \)，求其表达式。
解析：
已知与 x 轴交点\( (1,0) (3,0) \)，设交点式\( y = a(x-1)(x-3) \)；
代入\( (0,3) \)：\( 3 = a(0-1)(0-3) \)→\( 3 = 3a \)→\( a=1 \)；
展开得一般式：\( y = (x-1)(x-3) = x^2 - 4x + 3 \)；
答案：\( y = x^2 - 4x + 3 \)（或交点式\( y = (x-1)(x-3) \)）
题型 3：实际问题与最值
例题：某商店销售某种商品，每件成本为 40 元，售价为 x 元（\( 50 \leq x \leq 80 \)），每天销售量为\( -2x + 200 \)件。求每天的最大利润。
解析：
利润公式：利润 =（售价 - 成本）× 销售量，即\( y = (x - 40)(-2x + 200) \)；
整理为一般式：\( y = -2x^2 + 280x - 8000 \)（\( a=-2<0 \)，开口向下，有最大值）；
求对称轴：\( x = -\frac{280}{2 (-2)} = 70 \)（在\( 50 \leq x \leq 80 \)范围内）；
计算最大值：\( y = (70 - 40)(-2 70 + 200) = 30 60 = 1800 \)；
答案：每天的最大利润为 1800 元。
题型 4：二次函数与方程综合
例题：已知二次函数\( y = x^2 - 2x - 3 \)，求：（1）与 x 轴交点坐标；（2）当\( y>0 \)时 x 的取值范围。
解析：
求与 x 轴交点：令\( y=0 \)，解方程 ( x
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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章末复习
第26章 二次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 二次函数的概念
一般地，形如　 (a，b，c是常数，
　 　)的函数，叫做二次函数．
y＝ax2＋bx＋c
a ≠ 0
[注意] (1) 等号右边必须是整式；(2) 自变量的最高次数是 2；(3) 当 b＝0，c＝0 时，y＝ax2 是特殊的二次函数．
2. 二次函数的图象
二次函数的图象是一条　 ，它是　 对称图形，其对称轴平行于_____轴.
抛物线
轴
y
(1) 一般式：____________________；
3. 二次函数的表达式
y = ax2 + bx + c (a≠0)
(2) 顶点式：____________________；
y = a(x - h)2 + k (a≠0)
(3) 交点式： .
y = a(x - x1)(x - x2) (a≠0)
4. 二次函数的平移
一般地，平移二次函数 y＝ax2 的图象可得到二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象．
y＝ax2
上、下平移
y＝ax2
左、右平移
左、右平移
上、下平移
上、下移且左、右移
[注意] 抓住顶点坐标的变化，熟记平移规律：
左加右减，上加下减．
二次函数 y = a(x h)2 + k y = ax2 + bx + c
开口 方向 对称轴
顶点坐标
最值 a＞0
a＜0
增减性 a＞0 a＜0 5. 二次函数的图象与性质：
a＞0 时开口向上
a＜0 时开口向下
x = h
(h，k)
y最小 = k
y最大 = k
在对称轴左边 x↗y↗，在对称轴右边 x↗y↘
在对称轴左边 x↗y↘ ，在对称轴右边x↗y↗
y最小=
y最大=
6.二次函数与一元二次方程及一元二次不等式的关系：
b2-4ac 的符号
二次函数 y = ax2+bx+c (a＞0) 的图象
一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a ≠ 0) 的根
不等式 ax2+bx+c＞0 (a＞0)的解集
不等式 ax2+bx+c＜0 (a＞0)的解集
x2
x1
x
y
O
O
x1= x2
x
y
O
y
x
b2-4ac＞0
b2-4ac＝0
b2-4ac＜0
x1，x2
x1 = x2 =
没有实数根
x＜x1 或 x＞x2
x ≠ x1
全体实数
x1＜x＜x2
无解
无解
考点一 求抛物线的顶点、对称轴、最值
例1 抛物线 y＝x2－2x＋3 的顶点坐标为_______．
【解析】
方法一：配方，得 y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
则顶点坐标为 (1，2)．
方法二：代入公式 ， ，
则顶点坐标为(1，2)．
(1，2)
解决此类题目可以先把二次函数 y＝ax2＋bx＋c 配方为顶点式 y＝a(x－h)2＋k 的形式，得到其对称轴是直线 x＝h，顶点坐标为 (h，k)，当自变量范围没有限制时，其最值为 y＝k；也可以直接利用公式求解.
方法归纳
1. 对于 y＝2(x－3)2＋2 的图象，下列叙述正确的是 (　 )
A. 顶点坐标为 (－3，2)
B. 对称轴为 y＝3
C. 当 x≥3 时，y 随 x 的增大而增大
D. 当 x≥3 时，y 随 x 的增大而减小
C
针对训练
y
x
考点二 二次函数的图象与性质及函数值的大小比较
例2 二次函数 y＝-x2＋bx＋c 的图象如图所示，若点 A(x1，y1)，B(x2，y2) 在此函数图象上，且 x1＜x2＜1，则 y1 与 y2 的大小关系是 (　　)
A. y1≤y2 B. y1＜y2 C. y1≤y2 D. y1＞y2
【解析】由图象看出，抛物线开口向下，对称轴是 x＝1，当 x＜1时，y 随 x 的增大而增大. ∵ x1＜x2＜1，∴ y1＜y2.
B
当二次函数的表达式与已知点的坐标中含有未知字母时，可以用如下方法比较函数值的大小：
(1) 用含有未知字母的代数式表示各函数值，然后进行比较；
(2) 在相应的范围内取未知字母的特殊值，采用特殊值法求解；
(3) 根据二次函数的性质，结合函数图象比较.
方法总结
2. 下列函数中，当 x＞0 时，y 值随 x 值增大而减小的是（ ）
A. y = x2 B. y = x - 1
C. D. y = -3x2
D
针对训练
例3 已知二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a－b＜0；③4a－2b＋c＜0；④(a＋c)2＜b2. 其中正确的个数是 (　　)
A．1　　　 B．2　　　　　
C．3　　　 D．4
y
x
考点三 二次函数 y＝ax2＋bx＋c (a ≠ 0) 的图象与系数 a，b，c 的关系
①abc＞0
解析：由图象开口向下可得 a＜0，由对称轴在 y 轴左侧可得 b＜0，由图象与 y 轴交于正半轴可得 c＞0， 则 abc＞0，故①正确.
y
x
②2a－b＜0
由对称轴 x＞－1 可得 2a－b＜0，故②正确.
③4a－2b＋c＜0
由图象上横坐标为 x＝－2 的点在第三象限可得 4a－2b＋c＜0，故③正确
由图象上横坐标为 x＝1 的点在第四象限得 a＋b＋c＜0，由图象上横坐标为 x＝－1 的点在第二象限得
a－b＋c＞0，则 (a＋b＋c)(a－b＋c)＜0，
即 (a＋c)2－b2＜0，
所以 (a＋c)2＜b2，
故④正确. 故选 D.
y
x
④(a＋c)2＜b2
方法总结
1. 可根据对称轴的位置确定 b 的符号：
b＝0 对称轴是 y 轴；
a、b 同号 对称轴在 y 轴左侧；
a、b 异号 对称轴在 y 轴右侧.
这个规律可简记为“左同右异”.
2. 当 x＝1 时，函数值 y＝a＋b＋c，
当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上方时，a＋b＋c＞0；当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴上时，a＋b＋c＝0；
当图象上横坐标 x＝1 的点在 x 轴下方时，a＋b＋c＜0. 同理，可由图象上横坐标 x＝－1，±2 的点判断
a－b＋c，4a±b＋c 的符号.
针对训练
解析：∵二次项系数为－1＜0，
∴抛物线开口向下，对称轴为
由题意知，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，∴抛物线的对称轴应在直线 x = 1 的左侧.
3. 已知二次函数 y =－x2＋2bx＋c，当 x＞1 时，y 的值随 x 值的增大而减小，则实数 b 的取值范围是 ( )
A. b≥－1 B. b≤－1 C. b≥1 D. b≤1
D
x
y
O
b
1
∴ b≤1. 如图所示.
考点四 抛物线的几何变换
例4 将抛物线 y＝x2－6x＋5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的抛物线解析式是 (　 )
A．y＝(x－4)2－6 B．y＝(x－4)2－2
C．y＝(x－2)2－2 D．y＝(x－1)2－5
【解析】因为 y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，所以向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度后，得到的解析式为 y＝(x－3－1)2－4＋2，即 y＝(x－4)2－2. 故选 B.
B
4. 若抛物线 y =－7(x + 4)2－1 平移得到 y =－7x2，则可以（ ）
A. 先向左平移 4 个单位，再向下平移 1 个单位
B. 先向右平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位
C. 先向左平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位
D. 先向右平移 1 个单位，再向下平移 4 个单位
B
针对训练
考点五 二次函数表达式的确定
例5 已知关于 x 的二次函数，当 x = -1 时，函数值为 10；当 x = 1 时，函数值为 4；当 x = 2 时，函数值为 7.求这个二次函数的表达式.
待定系数法
解：设所求的二次函数为 y = ax2 + bx + c，由题意得
解得 a = 2，b = -3，c = 5.
∴ 所求的二次函数表达式为 y = 2x2 - 3x + 5.
方法总结
1. 若已知图象上的任意三个点，则设一般式求表达式；
2. 若已知抛物线的顶点坐标或对称轴与最值时，则可设顶点式求表达式，最后化为一般式；
3. 若已知二次函数图象与 x 轴的交点坐标为 (x1，0)、(x2，0) 时，可设交点式求表达式，最后化为一般式.
5. 已知抛物线 y = ax2 + bx + c 与抛物线 y =－x2－3x + 7 的形状相同，顶点在直线 x = 1 上，且顶点到 x 轴的距离为 5，请写出满足此条件的抛物线的表达式.
解：由题意，得 a = ±1.
又∵ 顶点在直线 x = 1 上，且到 x 轴的距离为 5，
∴ 顶点为 (1，5) 或 (1，－5).
∴ 表达式可为：
(1) y = (x－1)2 + 5； (2) y = (x－1)2－5；
(3) y =－(x－1)2 + 5；(4) y =－(x－1)2－5.
针对训练
例6 若二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3，则关于 x 的方程 x2 + mx = 7 的解为（　　）
A．x1 = 0，x2 = 6 B．x1 = 1，x2 = 7
C．x1 = 1，x2 = -7 D．x1 = -1，x2 = 7
解析：∵二次函数 y = x2 + mx 的对称轴是 x = 3，
∴ = 3，解得 m = －6.
∴ 关于 x 的方程 x2 + mx = 7 可化为 x2－6x－7 = 0，
即 (x + 1)(x－7) = 0，解得 x1 = －1，x2 = 7． 故选 D．
考点六 二次函数与一元二次方程
D
例7 某广告公司设计一幅周长为 12 m 的矩形广告牌，广告设计费用每平方米 1000 元，设矩形的一边长为 x (m)，面积为 S (m2).
(1) 写出 S 与 x 之间的关系式，并写出自变量 x 的取值范围；
(2) 请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用.
考点七 二次函数的应用
解：(1) 设矩形一边长为 x，则另一边长为 (6 - x)，
∴ S = x(6 - x) = -x2 + 6x，其中 0＜x＜6.
(2) S = -x2 + 6x = -(x - 3)2 + 9，
∴ 当 x = 3 时，即矩形的一边长为 3 m 时，
矩形面积最大，为 9 m2.
这时设计费最多，为 9×1000 = 9000 (元).
二次函数
图象画法
抛物线的开口方向
抛物线的顶点坐标和对称轴
二次函数的性质
抛物线的平移
最值
确定
表达式
应用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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