第27章 圆【章末复习】 课件(共51张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册
文档属性
| 名称 | 第27章 圆【章末复习】 课件(共51张PPT)-2025-2026学年华东师大版数学九年级下册 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 7.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 华东师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-19 00:00:00 | ||
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文档简介
(共51张PPT)
一、本章知识框架图（核心脉络）
二、核心概念清单（精准辨析）
1. 圆的基本元素
概念
定义
关键特性
易错提醒
圆
平面上到定点（圆心 O）距离等于定长（半径 r）的所有点的集合
轴对称、中心对称、旋转对称图形
易忽略 “同一平面内” 的前提条件
半径（r）
圆心与圆上任意一点的连线段
同圆或等圆中半径相等，d=2r（d 为直径）
半径是线段，非距离；直径是特殊的弦
弧
圆上任意两点间的曲线部分
分为优弧（> 半圆）、劣弧（< 半圆）、半圆
表示优弧需标注中间点（如\(\overarc{ABC}\)）
圆心角
顶点在圆心，两边为半径的角
度数等于所对弧的度数
与圆周角混淆，需明确顶点位置
圆周角
顶点在圆上，两边为弦的角
度数等于所对弧圆心角度数的一半
顶点必须在圆上，且边与圆相交
弦心距
圆心到弦的垂线段长度
垂直于弦的弦心距平分弦及所对弧
是线段长度，非线段本身
2. 位置关系核心概念
点与圆的位置关系（d 为点到圆心距离，r 为半径）：
点在圆外 d>r；点在圆上 d=r；点在圆内 d例：若⊙O 半径为 5，点 P 到 O 的距离为 6，则点 P 在圆外。
直线与圆的位置关系（d 为圆心到直线距离，r 为半径）：
位置关系
数量关系
公共点个数
图形名称
相离
d>r
0
无
相切
d=r
1
切线
相交
d2
割线
切点明确（直线过圆上一点）
连半径，证垂直（证明半径与直线垂直）
（3）切线长定理
定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
符号表示：若 PA、PB 切⊙O 于 A、B，则 PA=PB，∠APO=∠BPO。
3. 圆的计算公式
（1）弧长与扇形面积
弧长公式：\(l=\frac{n\pi r}{180}\)（n 为圆心角度数，r 为半径）；
扇形面积公式：\(S=\frac{n\pi r^2}{360}=\frac{1}{2}lr\)（l 为弧长）。
（2）圆锥的侧面积与全面积
母线长 l，底面半径 r：
侧面积：\(S_{\text{侧}}=\pi rl\)；
全面积：\(S_{\text{全}}=\pi rl+\pi r^2\)；
关键关系：圆锥底面圆周长 = 侧面展开扇形的弧长（\(2\pi r=\frac{n\pi l}{180}\)）。
4. 三角形的外接圆与内切圆
类型
圆心（心）
圆心位置
半径计算（直角三角形）
外接圆
外心
三边垂直平分线的交点
斜边的一半（r=\(\frac{c}{2}\)）
内切圆
内心
三个内角平分线的交点
r=\(\frac{a+b-c}{2}\)（a、b 为直角边，c 为斜边）
四、易错点与易混点辨析（避坑指南）
1. 概念易混辨析
误区 1：直径是圆中最长的弦，弦是直径
纠正：直径是特殊的弦（过圆心），但弦不一定是直径。
误区 2：同圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等
纠正：需强调 “同弧或等弧”，否则相等的圆周角可能对优弧和劣弧。
误区 3：圆锥的母线长等于底面圆的半径
纠正：母线长是圆锥顶点到底面圆周上点的距离，远大于底面半径。
2. 定理应用易错点
垂径定理应用遗漏条件：
反例：认为 “平分弦的直径垂直于弦”，忽略 “弦非直径” 的前提（直径互相平分但不一定垂直）。
正解：平分弦（非直径）的直径才垂直于弦。
切线判定方法混淆：
反例：切点明确时仍用 “距离法” 计算，增加复杂度。
正解：切点明确连半径证垂直，切点不明画垂直证半径。
圆与圆位置关系判断错误：
反例：判断两圆位置时，仅比较 d 与 R+r，忽略 R-r 的关系。
正解：先确定 R≥r，再根据 d 与 R+r、R-r 的大小关系综合判断。
3. 计算易错点
扇形面积公式误用：
反例：用\(S=\frac{n\pi r}{360}\)计算面积，混淆弧长与面积公式。
正解：面积公式含 r ，弧长公式含 r，牢记公式结构。
圆锥侧面展开计算忽略关系：
反例：直接用圆锥高作为母线长计算侧面积。
正解：母线长 l、底面半径 r、圆锥高 h 满足 l =r +h ，需先求母线长。
五、实战题型与解析（能力提升）
题型 1：概念与性质辨析题
例题：下列说法正确的是（ ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 90° 的圆周角所对的弦是直径
C. 圆的切线垂直于半径 D. 三角形的外心在三角形内部
解析：
A 错误：缺少 “同圆或等圆” 前提；
B 正确：符合圆周角定理推论；
C 错误：应垂直于 “过切点的半径”；
D 错误：钝角三角形外心在外部；
答案：B
题型 2：垂径定理应用
例题：⊙O 的半径为 5，弦 AB=8，求圆心 O 到弦 AB 的距离。
解析：
作 OC⊥AB 于 C，由垂径定理得 AC=AB/2=4；
在 Rt△AOC 中，OC +AC =OA ，即 OC +4 =5 ；
解得 OC=3，即圆心到弦 AB 的距离为 3。
题型 3：切线相关证明与计算
例题：如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，BD⊥CD 于 D，且 CD 是⊙O 的切线。求证：BC 平分∠ABD。
解析：
连 OC（切点明确，连半径）；
因 CD 是切线，故 OC⊥CD（切线性质）；
又 BD⊥CD，故 OC∥BD（同垂直于一直线）；
得∠OCB=∠CBD（内错角相等）；
因 OC=OB（半径相等），故∠OCB=∠OBC；
综上，∠OBC=∠CBD，即 BC 平分∠ABD。
题型 4：圆的计算综合题
例题：一个圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 5cm，求其侧面积和全面积。
解析：
侧面积：\(S_{\text{侧}}=\pi rl=\pi×3×5=15\pi\)（cm ）；
底面积：\(S_{\text{底}}=\pi r =\pi×3 =9\pi\)（cm ）；
全面积：\(S_{\text{全}}=15\pi+9\pi=24\pi\)（cm ）。
六、章末自测题（分层进阶）
基础题（概念与性质）
已知⊙O 的直径为 10，则半径为______，圆上任意一点到圆心的距离为______。（答案：5；5）
同弧所对的圆心角是 60°，则该弧所对的圆周角为______°。（答案：30）
直线与圆有唯一公共点时，直线与圆的位置关系是______，此时圆心到直线的距离______半径。（答案：相切；等于）
提升题（定理应用与计算）
⊙O 中，弦 AB=6，圆心 O 到 AB 的距离为 4，则⊙O 的半径为______。（答案：5）
从圆外一点引圆的两条切线，切线长为 5，该点到圆心的距离为 13，则圆的半径为______。（答案：12）
扇形的圆心角为 120°，半径为 3，其弧长为______，面积为______。（答案：2π；3π）
拓展题（综合证明）
如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为直径，∠CAB=30°，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于 D。若 OD=6，求⊙O 的半径。
（答案：2；提示：连 OC，证△OCD 为直角三角形，利用 30° 角性质求解）
七、本章思想方法总结
数形结合思想：通过作辅助线（半径、弦心距、切线）将圆的问题转化为直角三角形、等腰三角形问题求解；
转化思想：将曲线形（弧、扇形）的计算转化为直线形（三角形、矩形）的计算，如扇形面积转化为三角形面积与弧长的乘积；
分类讨论思想：涉及圆的位置关系、圆周角对弧的情况等，需分类分析避免漏解（如同圆中相等弦所对的弧有优弧和劣弧两种）；
模型思想：总结切线证明、垂径定理应用等典型模型，如 “连半径证垂直”“作垂线用勾股” 等固定解题模式。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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章末复习
第27章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
·
一、与圆有关的概念
1. 圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2. 弦:连接圆上任意两点的线段.
3. 直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.
4. 劣弧:小于半圆周的圆弧.
5. 优弧:大于半圆周的圆弧.
6. 等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
7. 圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.
8. 圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.
[注意] (1) 确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小；(2) 不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
·
9. 圆内接正多边形、外接圆：把圆 n (n＞2) 等分，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正 n边形，这个圆是这个正 n 边形的外接圆.
10. 三角形的外接圆
外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
[注意] (1) 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；(2) 一个三角形的外接圆是唯一的.
11. 三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
[注意] (1) 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；(2) 一个三角形的内切圆是唯一的.
12. 正多边形的相关概念
(1) 中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称
其为正多边形的中心.
(2) 半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3) 边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形
的边心距.
(4) 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角
都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 比较得到.
设☉O 的半径是 r，点 P 到圆心的距离为 d ，则有
点 P 在圆内
d＜r
点 P 在圆上
d = r
点 P 在圆外
d＞r
[注意]点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的大小关系；反过来，也可以通过这种大小关系判断点与圆的位置关系．
2. 直线与圆的位置关系
设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离
图形
公共点个数
直线与圆的 位置关系
公共点名称
直线名称
2 个
交点
割线
1 个
切点
切线
0 个
相离
相切
相交
三、 圆的基本性质
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条_____所在的直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心即为对称中心.
直径
2. 有关圆心角、弧、弦的性质
(1) 在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等；
(2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
四、有关定理
1. 垂径定理及其推论
(1) 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且
平分弦所对的 .
[注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
两条弧
2. 圆周角定理及其推论
(1) 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对弧相等.
(2) 推论1：90° 的圆周角所对的弦是直径.
[注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
(3) 推论2：圆内接四边形的对角互补.
3. 与切线相关的定理
(1) 判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2) 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3) 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角
五、圆中的计算问题
1. 弧长公式
半径为 r 的圆中，n° 圆心角所对的弧长 l =_____.
2. 扇形面积公式
半径为 r，圆心角为 n° 的扇形面积 S = ___________.
或
3. 弓形面积公式
O
O
弓形的面积 = 扇形的面积±三角形的面积
(3) 圆锥的侧面积为 ；
(4) 圆锥的全面积为 .
4. 圆锥的侧面积
(1) 圆锥的侧面展开图是一个 ；
(2) 如果圆锥的母线长为 l，底面圆半径为 r，那么这个扇形的半径为 ，扇形的弧长为 ；
扇形
l
5. 圆内接正多边形的计算
(1) 正 n 边形的中心角为
(2) 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距 r 之间的关系为
(3) 边长为 a，边心距 r 的正 n 边形的面积为
其中 C 为正 n 边形的周长.
考点一 圆周角定理
例1 在图中，BC 是☉O 的直径，AD⊥BC，若∠D = 36°，则∠BAD 的度数是（ ）
A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
A
B
C
D
B
1.如图 ，四边形 ABCD 为 ☉O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上的任意一点 (不与 B，C 重合)，则∠BPC 的度数是 .
C
D
B
A
P
O
135°
针对训练
2.如图 b，线段 AB 是直径，点 D 是☉O 上一点， ∠CDB = 20°，过点 C 作☉O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则∠E 等于 .
O
C
A
B
E
D
图b
50°
考点二 垂径定理
例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
8mm
A
B
8
C
D
O
解析：设圆心为 O，连接 AO，作出过点 O 的弓形高 CD，垂足为 D，可知AO = 5 mm，OD = 3 mm，利用勾股定理进行计算，AD = 4 mm，所以 AB = 8 mm.
3.如图，点 C 是扇形 OAB 上的 的任意一点， OA = 2，连接 AC，BC，过点 O 作 OE ⊥AC，OF ⊥BC，垂足分别为 E，F，连接 EF，则 EF 的长度等于 .
针对训练
A
O
B
C
E
F
4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，且 AB = 2，C，D 是同一半圆上的两点，并且 与 的度数分别是 96° 和 36°，动点 P 是 AB 上的任意一点，则 PC + PD 的最小值是 .
A
B
C
D
P
O
D′
P
解析：作 D 点关于 AB 的对称点 D′，连接 CD′，与 AB 交于点 P，此时 PC + PD 的最小值即为 CD′ 的长度. 先求出∠COD′ 的度数，再求 CD′.
考点三 与圆有关的位置关系
例3 如图，已知灯塔 A 的周围 7 海里的范围内有暗礁，一艘鱼轮在 B 处测得灯塔 A 在北偏东 60° 的方向，向东航行 8 海里到达 C 处后，又测得该灯塔在北偏东30° 的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由.
（参考数据 = 1.732）
B
北
60°
30°
A
C
解析：灯塔 A 的周围 7 海里都是暗礁，即表示以 A 为圆心，7 海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心 A 之间的距离 d 的大小关系.
B
北
60°
30°
A
C
解：如图，作 AD 垂直于 BC 于D，根据题意，得 BC = 8. 设 AD 为 x.
∵∠ABC = 30°，
∴ AB = 2x. BD = x.
∵∠ACD = 90° - 30° = 60°，
∴ AD = CD×tan60°，CD = .
∴ BC = BD - CD = = 8.
解得 x =
B
北
60°
30°
A
C
D
即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.
5. ☉O 的半径为 R，圆心到点 A 的距离为 d，且 R、d 分别是方程 x2－6x＋8＝0 的两根，则点 A 与☉O 的位置关系是（ ）
A．点 A 在☉O 内部 B．点 A 在☉O 上
C．点 A 在☉O 外部 D．点 A 不在☉O 上
解析：此题需先计算出一元二次方程 x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据 R 与 d 的之间的关系判断出点 A 与 ☉O 的关系.
D
针对训练
(1)证明：过点 O 作 ON⊥CD 于 N.连接 OM
∵ BC 与☉O 相切于点M，
∴ ∠OMC = 90°，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，点 O 在 AC 上.
∴ AC 是∠BCD 的角平分线，
∴ ON = OM.
∴ CD 与 ☉O 相切.
例4 如图， O 为正方形对角线上一点，以点 O 为圆心，OA 长为半径的 ☉O 与 BC 相切于点 M.
(1) 求证：CD 与 ☉O 相切；
A
B
C
D
O
M
N
A
B
C
D
O
M
(2) 解：∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，AC = .
设 ☉O 的半径为 r ，则 OC = .
又易知 △OMC 是等腰直角三角形，
∴OC =
因此有 ，
解得 .
(2) 若正方形 ABCD 的边长为 1，求 ☉O 的半径.
方法归纳
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直；
（2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
6 (多解题) 如图，直线 AB，CD 相交于点 O， ∠AOD = 30°，半径为 1 cm 的 ☉P 的圆心在射线 OA 上，且与点 O 的距离为 6 cm，如果 ☉P 以 1 cm/s 的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么 秒钟后 ☉P 与直线 CD 相切.
4 或 8
解析： 根本题应分为两种情况：(1)☉P 在直线 CD 下面与直线 CD 相切；(2)☉P 在直线 CD 上面与直线 CD 相切.
A
B
D
C
P
P2
P1
E
O
解：(1) 连接 OA、OB、OC，
∵⊙O 分别切 PA、PB、DE 于点 A、B、C，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，BE＝CE，
∴OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC.
∴∠DOE＝ ∠AOB.
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，
∴∠DOE＝55°.
例5 已知：如图，PA，PB是 ⊙O 的切线，A、B 为切点，过 上的一点 C 作 ⊙O 的切线，交 PA 于D，交PB于E.
(1) 若∠P＝70°，求 ∠DOE 的度数；
(2)∵⊙O 分别切 PA、PB、DE 于 A、B、C，
∴ AD＝CD，BE＝CE.
∴△PDE 的周长＝PD＋PE＋DE
＝ PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8 (cm)
(2) 若 PA＝4 cm，求 △PDE 的周长．
例6 如图，四边形 OABC 为菱形，点 B、C 在以点 O 为圆心的圆上，OA = 1，∠1 = ∠2，求扇形 OEF 的面积.
解：连接 OB.
考点四 圆中的计算问题
在菱形 OABC 中，OC = OA = BC = 1.
∴∠AOC = 120°.
又∠1 =∠2，∴∠FOE =∠AOC = 120°.
又∵ OC = OB，
∴△BOC 为等边三角形.
∴∠OCB = 60°.
7. 一条弧所对的圆心角为 135° ，弧长等于半径为 5 cm的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 cm.
40
针对训练
8. 如图，已知 C，D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径 OA = 2，∠COD = 120°，则图中阴影部分的面积等于_______．
例7 如图，在正方形 ABCD 内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知 AE = 6，EF = 8，FC = 10，求图中阴影部分的面积.
解：将线段 FC 平移到直线 AE 上，此时点 F 与点 E 重合，
点 C 到达点 C' 的位置. 连接 AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形 EFCC' 是矩形.
∴ AC' = AE + EC' = AE + FC = 16，CC' = EF = 8.
在 Rt△AC'C 中，得
∴正方形 ABCD 外接圆的半径为
∴正方形 ABCD 的边长为
当图中出现圆的直径时，一般方法是作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于 90° ”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.
方法总结
9. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 5 的⊙O，四边形 EFGH 是正方形．
(1)求正方形 EFGH 的面积；
解：(1)∵ 正六边形的边长与其半径相等，
∴ EF = OF = 5.
∵ 四边形 EFGH 是正方形，
∴ FG = EF = 5，
∴ 正方形 EFGH 的面积是 25.
针对训练
(2) ∵ 正六边形的边长与其半径相等，
∴∠OFE = 60°.
∵ 正方形的内角是 90°，
∴ ∠OFG = ∠OFE +∠EFG = 60°+ 90° = 150°.
由 (1) 得 OF = FG，
∴∠OGF = （ 180° - ∠OFG ）
= （ 180° - 150° ）= 15°.
(2) 连接 OF、OG，求∠OGF 的度数．
考点五 与圆有关的作图
·
a
b
c
d
a
例8 如何解决“破镜重圆”的问题：
·
作图方法：首先，在碎片 a 的圆弧上找 A、B、C 三点，连接 AB、BC；然后分别作 AB 和 BC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点 O. 即为原来圆镜的圆心，原来的镜子是以 O 为圆心，OA 为半径的圆镜.
A
B
C
O
例9 如何作圆内接正五边形怎么作？
·
O
E
72°
B
A
D
C
(1) 用量角器作 72° 的中心角，得圆的五等分点；
(2) 依次连接各等分点，得圆的内接正五边形.
【解析】 连接BD，则在Rt△BCD中，BE ＝ DE，利用角的互余证明 ∠C ＝ ∠EDC.
例10 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E.
(1) 求证：BC = 2DE.
考点六 圆的综合
解：(1) 证明：连接 BD，
∵ AB 为直径，∠ABC = 90°，
∴ BE 切 ☉O 于点 B.
又∵ DE 切 ☉O 于点 D，∴ DE = BE，
∴∠EBD =∠EDB.
∵∠ADB = 90°，
∴∠EBD +∠C = 90°，∠BDE +∠CDE = 90°.
∴∠C = ∠CDE，DE = CE.
∴ BC = BE + CE = 2DE.
(2) ∵ DE = 2，∴ BC = 2DE = 4.
在 Rt△ABC 中，
∴ AB = BC =
在 Rt△ABC 中，
又∵△ABD∽△ACB，
∴ 即
∴
(2) 若 tanC = ，DE = 2，求 AD 的长.
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，连接 BD.
针对训练
解：(1) ∵AB 是直径，∴∠ADB=90°.
∵AD = 3，BD = 4，∴AB = 5.
∵∠CDB =∠ABC，∠A = ∠A，
∴△ADB∽△ABC.
∵ 即
∴BC =
(1) 若 AD =3 ，BD = 4，求边 BC 的长.
又∵∠OBD +∠DBC = 90°，∠C +∠DBC = 90°，
∴∠C = ∠OBD，∴∠BDO = ∠CDE.
∵ AB 是直径，∴∠ADB = 90°，
∴∠BDC = 90°，即∠BDE +∠CDE= 90°.
∴∠BDE +∠BDO = 90°，即∠ODE = 90°.
∴ ED 与☉O 相切.
(2) 证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中，
∵ E 是 BC 的中点，∴CE = DE，∴∠C = ∠CDE.
又OD = OB，∴∠ODB = ∠OBD.
(2) 取 BC 的中点 E，连接 ED，试证明 ED 与 ☉O 相切.
圆
圆的性质
与圆有关的位置关系
圆的对称性
圆是中心对称图形
垂径定理
点与圆的位置关系
直线与圆的位置的关系
切线长定理
圆的概念
圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴
切线
三角形的内切圆
弧长与扇形面积的计算
正多边形与圆
作图
圆
圆的性质
与圆有关的位置关系
圆的概念
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
一、本章知识框架图（核心脉络）
二、核心概念清单（精准辨析）
1. 圆的基本元素
概念
定义
关键特性
易错提醒
圆
平面上到定点（圆心 O）距离等于定长（半径 r）的所有点的集合
轴对称、中心对称、旋转对称图形
易忽略 “同一平面内” 的前提条件
半径（r）
圆心与圆上任意一点的连线段
同圆或等圆中半径相等，d=2r（d 为直径）
半径是线段，非距离；直径是特殊的弦
弧
圆上任意两点间的曲线部分
分为优弧（> 半圆）、劣弧（< 半圆）、半圆
表示优弧需标注中间点（如\(\overarc{ABC}\)）
圆心角
顶点在圆心，两边为半径的角
度数等于所对弧的度数
与圆周角混淆，需明确顶点位置
圆周角
顶点在圆上，两边为弦的角
度数等于所对弧圆心角度数的一半
顶点必须在圆上，且边与圆相交
弦心距
圆心到弦的垂线段长度
垂直于弦的弦心距平分弦及所对弧
是线段长度，非线段本身
2. 位置关系核心概念
点与圆的位置关系（d 为点到圆心距离，r 为半径）：
点在圆外 d>r；点在圆上 d=r；点在圆内 d
直线与圆的位置关系（d 为圆心到直线距离，r 为半径）：
位置关系
数量关系
公共点个数
图形名称
相离
d>r
0
无
相切
d=r
1
切线
相交
d
割线
切点明确（直线过圆上一点）
连半径，证垂直（证明半径与直线垂直）
（3）切线长定理
定理：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。
符号表示：若 PA、PB 切⊙O 于 A、B，则 PA=PB，∠APO=∠BPO。
3. 圆的计算公式
（1）弧长与扇形面积
弧长公式：\(l=\frac{n\pi r}{180}\)（n 为圆心角度数，r 为半径）；
扇形面积公式：\(S=\frac{n\pi r^2}{360}=\frac{1}{2}lr\)（l 为弧长）。
（2）圆锥的侧面积与全面积
母线长 l，底面半径 r：
侧面积：\(S_{\text{侧}}=\pi rl\)；
全面积：\(S_{\text{全}}=\pi rl+\pi r^2\)；
关键关系：圆锥底面圆周长 = 侧面展开扇形的弧长（\(2\pi r=\frac{n\pi l}{180}\)）。
4. 三角形的外接圆与内切圆
类型
圆心（心）
圆心位置
半径计算（直角三角形）
外接圆
外心
三边垂直平分线的交点
斜边的一半（r=\(\frac{c}{2}\)）
内切圆
内心
三个内角平分线的交点
r=\(\frac{a+b-c}{2}\)（a、b 为直角边，c 为斜边）
四、易错点与易混点辨析（避坑指南）
1. 概念易混辨析
误区 1：直径是圆中最长的弦，弦是直径
纠正：直径是特殊的弦（过圆心），但弦不一定是直径。
误区 2：同圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等
纠正：需强调 “同弧或等弧”，否则相等的圆周角可能对优弧和劣弧。
误区 3：圆锥的母线长等于底面圆的半径
纠正：母线长是圆锥顶点到底面圆周上点的距离，远大于底面半径。
2. 定理应用易错点
垂径定理应用遗漏条件：
反例：认为 “平分弦的直径垂直于弦”，忽略 “弦非直径” 的前提（直径互相平分但不一定垂直）。
正解：平分弦（非直径）的直径才垂直于弦。
切线判定方法混淆：
反例：切点明确时仍用 “距离法” 计算，增加复杂度。
正解：切点明确连半径证垂直，切点不明画垂直证半径。
圆与圆位置关系判断错误：
反例：判断两圆位置时，仅比较 d 与 R+r，忽略 R-r 的关系。
正解：先确定 R≥r，再根据 d 与 R+r、R-r 的大小关系综合判断。
3. 计算易错点
扇形面积公式误用：
反例：用\(S=\frac{n\pi r}{360}\)计算面积，混淆弧长与面积公式。
正解：面积公式含 r ，弧长公式含 r，牢记公式结构。
圆锥侧面展开计算忽略关系：
反例：直接用圆锥高作为母线长计算侧面积。
正解：母线长 l、底面半径 r、圆锥高 h 满足 l =r +h ，需先求母线长。
五、实战题型与解析（能力提升）
题型 1：概念与性质辨析题
例题：下列说法正确的是（ ）
A. 相等的圆心角所对的弧相等 B. 90° 的圆周角所对的弦是直径
C. 圆的切线垂直于半径 D. 三角形的外心在三角形内部
解析：
A 错误：缺少 “同圆或等圆” 前提；
B 正确：符合圆周角定理推论；
C 错误：应垂直于 “过切点的半径”；
D 错误：钝角三角形外心在外部；
答案：B
题型 2：垂径定理应用
例题：⊙O 的半径为 5，弦 AB=8，求圆心 O 到弦 AB 的距离。
解析：
作 OC⊥AB 于 C，由垂径定理得 AC=AB/2=4；
在 Rt△AOC 中，OC +AC =OA ，即 OC +4 =5 ；
解得 OC=3，即圆心到弦 AB 的距离为 3。
题型 3：切线相关证明与计算
例题：如图，AB 为⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，BD⊥CD 于 D，且 CD 是⊙O 的切线。求证：BC 平分∠ABD。
解析：
连 OC（切点明确，连半径）；
因 CD 是切线，故 OC⊥CD（切线性质）；
又 BD⊥CD，故 OC∥BD（同垂直于一直线）；
得∠OCB=∠CBD（内错角相等）；
因 OC=OB（半径相等），故∠OCB=∠OBC；
综上，∠OBC=∠CBD，即 BC 平分∠ABD。
题型 4：圆的计算综合题
例题：一个圆锥的底面半径为 3cm，母线长为 5cm，求其侧面积和全面积。
解析：
侧面积：\(S_{\text{侧}}=\pi rl=\pi×3×5=15\pi\)（cm ）；
底面积：\(S_{\text{底}}=\pi r =\pi×3 =9\pi\)（cm ）；
全面积：\(S_{\text{全}}=15\pi+9\pi=24\pi\)（cm ）。
六、章末自测题（分层进阶）
基础题（概念与性质）
已知⊙O 的直径为 10，则半径为______，圆上任意一点到圆心的距离为______。（答案：5；5）
同弧所对的圆心角是 60°，则该弧所对的圆周角为______°。（答案：30）
直线与圆有唯一公共点时，直线与圆的位置关系是______，此时圆心到直线的距离______半径。（答案：相切；等于）
提升题（定理应用与计算）
⊙O 中，弦 AB=6，圆心 O 到 AB 的距离为 4，则⊙O 的半径为______。（答案：5）
从圆外一点引圆的两条切线，切线长为 5，该点到圆心的距离为 13，则圆的半径为______。（答案：12）
扇形的圆心角为 120°，半径为 3，其弧长为______，面积为______。（答案：2π；3π）
拓展题（综合证明）
如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为直径，∠CAB=30°，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于 D。若 OD=6，求⊙O 的半径。
（答案：2；提示：连 OC，证△OCD 为直角三角形，利用 30° 角性质求解）
七、本章思想方法总结
数形结合思想：通过作辅助线（半径、弦心距、切线）将圆的问题转化为直角三角形、等腰三角形问题求解；
转化思想：将曲线形（弧、扇形）的计算转化为直线形（三角形、矩形）的计算，如扇形面积转化为三角形面积与弧长的乘积；
分类讨论思想：涉及圆的位置关系、圆周角对弧的情况等，需分类分析避免漏解（如同圆中相等弦所对的弧有优弧和劣弧两种）；
模型思想：总结切线证明、垂径定理应用等典型模型，如 “连半径证垂直”“作垂线用勾股” 等固定解题模式。
2025-2026学年华东师大版数学九年级下册【示范课精品课件】
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章末复习
第27章 圆
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
·
一、与圆有关的概念
1. 圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形.
2. 弦:连接圆上任意两点的线段.
3. 直径:经过圆心的弦是圆的直径，直径是最长的弦.
4. 劣弧:小于半圆周的圆弧.
5. 优弧:大于半圆周的圆弧.
6. 等弧:在同圆或等圆中，能够互相重合的弧.
7. 圆心角:顶点在圆心，角的两边与圆相交.
8. 圆周角:顶点在圆上，角的两边与圆相交.
[注意] (1) 确定圆的要素：圆心决定位置，半径决定大小；(2) 不在同一条直线上的三个点确定一个圆.
·
9. 圆内接正多边形、外接圆：把圆 n (n＞2) 等分，依次连结各分点所得的多边形是这个圆的一个内接正 n边形，这个圆是这个正 n 边形的外接圆.
10. 三角形的外接圆
外心：三角形的外接圆的圆心叫做这个三角形的外心.
[注意] (1) 三角形的外心是三角形三条边的垂直平分线的交点；(2) 一个三角形的外接圆是唯一的.
11. 三角形的内切圆
内心：三角形的内切圆的圆心叫做这个三角形的内心.
[注意] (1) 三角形的内心是三角形三条角平分线的交点；(2) 一个三角形的内切圆是唯一的.
12. 正多边形的相关概念
(1) 中心：正多边形外接圆和内切圆有公共的圆心，称
其为正多边形的中心.
(2) 半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径.
(3) 边心距：中心到正多边形一边的距离叫做正多边形
的边心距.
(4) 中心角：正多边形每一条边所对的外接圆的圆心角
都相等，叫做正多边形的中心角.
二、与圆有关的位置关系
1. 点与圆的位置关系
判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离 d 与圆的半径 r 比较得到.
设☉O 的半径是 r，点 P 到圆心的距离为 d ，则有
点 P 在圆内
d＜r
点 P 在圆上
d = r
点 P 在圆外
d＞r
[注意]点与圆的位置关系可以转化为点到圆心的距离与半径之间的大小关系；反过来，也可以通过这种大小关系判断点与圆的位置关系．
2. 直线与圆的位置关系
设 r 为圆的半径，d 为圆心到直线的距离
图形
公共点个数
直线与圆的 位置关系
公共点名称
直线名称
2 个
交点
割线
1 个
切点
切线
0 个
相离
相切
相交
三、 圆的基本性质
1. 圆的对称性
圆是轴对称图形，它的任意一条_____所在的直线都是它的对称轴.圆也是中心对称图形，圆心即为对称中心.
直径
2. 有关圆心角、弧、弦的性质
(1) 在同圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等；
(2) 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧和两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
(2)垂径定理的推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧；
平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦.
四、有关定理
1. 垂径定理及其推论
(1) 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且
平分弦所对的 .
[注意] ①条件中的“弦”可以是直径；②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧．
两条弧
2. 圆周角定理及其推论
(1) 圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半；相等的圆周角所对弧相等.
(2) 推论1：90° 的圆周角所对的弦是直径.
[注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”；“等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”；“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．
(3) 推论2：圆内接四边形的对角互补.
3. 与切线相关的定理
(1) 判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
(2) 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
(3) 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线，它们的切线长相等.这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角
五、圆中的计算问题
1. 弧长公式
半径为 r 的圆中，n° 圆心角所对的弧长 l =_____.
2. 扇形面积公式
半径为 r，圆心角为 n° 的扇形面积 S = ___________.
或
3. 弓形面积公式
O
O
弓形的面积 = 扇形的面积±三角形的面积
(3) 圆锥的侧面积为 ；
(4) 圆锥的全面积为 .
4. 圆锥的侧面积
(1) 圆锥的侧面展开图是一个 ；
(2) 如果圆锥的母线长为 l，底面圆半径为 r，那么这个扇形的半径为 ，扇形的弧长为 ；
扇形
l
5. 圆内接正多边形的计算
(1) 正 n 边形的中心角为
(2) 正 n 边形的边长 a，半径 R，边心距 r 之间的关系为
(3) 边长为 a，边心距 r 的正 n 边形的面积为
其中 C 为正 n 边形的周长.
考点一 圆周角定理
例1 在图中，BC 是☉O 的直径，AD⊥BC，若∠D = 36°，则∠BAD 的度数是（ ）
A. 72° B.54° C. 45° D.36 °
A
B
C
D
B
1.如图 ，四边形 ABCD 为 ☉O 的内接正方形，点 P 为劣弧 BC 上的任意一点 (不与 B，C 重合)，则∠BPC 的度数是 .
C
D
B
A
P
O
135°
针对训练
2.如图 b，线段 AB 是直径，点 D 是☉O 上一点， ∠CDB = 20°，过点 C 作☉O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则∠E 等于 .
O
C
A
B
E
D
图b
50°
考点二 垂径定理
例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10 mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm.
8mm
A
B
8
C
D
O
解析：设圆心为 O，连接 AO，作出过点 O 的弓形高 CD，垂足为 D，可知AO = 5 mm，OD = 3 mm，利用勾股定理进行计算，AD = 4 mm，所以 AB = 8 mm.
3.如图，点 C 是扇形 OAB 上的 的任意一点， OA = 2，连接 AC，BC，过点 O 作 OE ⊥AC，OF ⊥BC，垂足分别为 E，F，连接 EF，则 EF 的长度等于 .
针对训练
A
O
B
C
E
F
4. 如图，AB 是 ⊙O 的直径，且 AB = 2，C，D 是同一半圆上的两点，并且 与 的度数分别是 96° 和 36°，动点 P 是 AB 上的任意一点，则 PC + PD 的最小值是 .
A
B
C
D
P
O
D′
P
解析：作 D 点关于 AB 的对称点 D′，连接 CD′，与 AB 交于点 P，此时 PC + PD 的最小值即为 CD′ 的长度. 先求出∠COD′ 的度数，再求 CD′.
考点三 与圆有关的位置关系
例3 如图，已知灯塔 A 的周围 7 海里的范围内有暗礁，一艘鱼轮在 B 处测得灯塔 A 在北偏东 60° 的方向，向东航行 8 海里到达 C 处后，又测得该灯塔在北偏东30° 的方向，如果渔轮不改变航向，继续向东航行，有没有触礁的危险？请通过计算说明理由.
（参考数据 = 1.732）
B
北
60°
30°
A
C
解析：灯塔 A 的周围 7 海里都是暗礁，即表示以 A 为圆心，7 海里为半径的圆中，都是暗礁.渔轮是否会触礁，关键是看渔轮与圆心 A 之间的距离 d 的大小关系.
B
北
60°
30°
A
C
解：如图，作 AD 垂直于 BC 于D，根据题意，得 BC = 8. 设 AD 为 x.
∵∠ABC = 30°，
∴ AB = 2x. BD = x.
∵∠ACD = 90° - 30° = 60°，
∴ AD = CD×tan60°，CD = .
∴ BC = BD - CD = = 8.
解得 x =
B
北
60°
30°
A
C
D
即渔船继续往东行驶，有触礁的危险.
5. ☉O 的半径为 R，圆心到点 A 的距离为 d，且 R、d 分别是方程 x2－6x＋8＝0 的两根，则点 A 与☉O 的位置关系是（ ）
A．点 A 在☉O 内部 B．点 A 在☉O 上
C．点 A 在☉O 外部 D．点 A 不在☉O 上
解析：此题需先计算出一元二次方程 x2－6x＋8＝0的两个根，然后再根据 R 与 d 的之间的关系判断出点 A 与 ☉O 的关系.
D
针对训练
(1)证明：过点 O 作 ON⊥CD 于 N.连接 OM
∵ BC 与☉O 相切于点M，
∴ ∠OMC = 90°，
∵ 四边形 ABCD 是正方形，点 O 在 AC 上.
∴ AC 是∠BCD 的角平分线，
∴ ON = OM.
∴ CD 与 ☉O 相切.
例4 如图， O 为正方形对角线上一点，以点 O 为圆心，OA 长为半径的 ☉O 与 BC 相切于点 M.
(1) 求证：CD 与 ☉O 相切；
A
B
C
D
O
M
N
A
B
C
D
O
M
(2) 解：∵ 正方形 ABCD 的边长为 1，AC = .
设 ☉O 的半径为 r ，则 OC = .
又易知 △OMC 是等腰直角三角形，
∴OC =
因此有 ，
解得 .
(2) 若正方形 ABCD 的边长为 1，求 ☉O 的半径.
方法归纳
（1）证切线时添加辅助线的解题方法有两种： ①有公共点，连半径，证垂直； ②无公共点，作垂直，证半径；有切线时添加辅助线的解题方法是：见切点，连半径，得垂直；
（2）设未知数，通常利用勾股定理建立方程.
6 (多解题) 如图，直线 AB，CD 相交于点 O， ∠AOD = 30°，半径为 1 cm 的 ☉P 的圆心在射线 OA 上，且与点 O 的距离为 6 cm，如果 ☉P 以 1 cm/s 的速度沿由 A 向 B 的方向移动，那么 秒钟后 ☉P 与直线 CD 相切.
4 或 8
解析： 根本题应分为两种情况：(1)☉P 在直线 CD 下面与直线 CD 相切；(2)☉P 在直线 CD 上面与直线 CD 相切.
A
B
D
C
P
P2
P1
E
O
解：(1) 连接 OA、OB、OC，
∵⊙O 分别切 PA、PB、DE 于点 A、B、C，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OC⊥DE，AD＝CD，BE＝CE，
∴OD 平分∠AOC，OE 平分∠BOC.
∴∠DOE＝ ∠AOB.
∵∠P＋∠AOB＝180°，∠P＝70°，
∴∠DOE＝55°.
例5 已知：如图，PA，PB是 ⊙O 的切线，A、B 为切点，过 上的一点 C 作 ⊙O 的切线，交 PA 于D，交PB于E.
(1) 若∠P＝70°，求 ∠DOE 的度数；
(2)∵⊙O 分别切 PA、PB、DE 于 A、B、C，
∴ AD＝CD，BE＝CE.
∴△PDE 的周长＝PD＋PE＋DE
＝ PD＋AD＋BE＋PE＝2PA＝8 (cm)
(2) 若 PA＝4 cm，求 △PDE 的周长．
例6 如图，四边形 OABC 为菱形，点 B、C 在以点 O 为圆心的圆上，OA = 1，∠1 = ∠2，求扇形 OEF 的面积.
解：连接 OB.
考点四 圆中的计算问题
在菱形 OABC 中，OC = OA = BC = 1.
∴∠AOC = 120°.
又∠1 =∠2，∴∠FOE =∠AOC = 120°.
又∵ OC = OB，
∴△BOC 为等边三角形.
∴∠OCB = 60°.
7. 一条弧所对的圆心角为 135° ，弧长等于半径为 5 cm的圆的周长的 3 倍，则这条弧的半径为 cm.
40
针对训练
8. 如图，已知 C，D 是以 AB 为直径的半圆周上的两点，O 是圆心，半径 OA = 2，∠COD = 120°，则图中阴影部分的面积等于_______．
例7 如图，在正方形 ABCD 内有一条折线段，其中AE⊥EF，EF⊥FC，已知 AE = 6，EF = 8，FC = 10，求图中阴影部分的面积.
解：将线段 FC 平移到直线 AE 上，此时点 F 与点 E 重合，
点 C 到达点 C' 的位置. 连接 AC，如图所示.
根据平移的方法可知，四边形 EFCC' 是矩形.
∴ AC' = AE + EC' = AE + FC = 16，CC' = EF = 8.
在 Rt△AC'C 中，得
∴正方形 ABCD 外接圆的半径为
∴正方形 ABCD 的边长为
当图中出现圆的直径时，一般方法是作出直径所对的圆周角，从而利用“直径所对的圆周角等于 90° ”构造出直角三角形，为进一步利用勾股定理或锐角三角函数提供了条件.
方法总结
9. 如图，正六边形 ABCDEF 内接于半径为 5 的⊙O，四边形 EFGH 是正方形．
(1)求正方形 EFGH 的面积；
解：(1)∵ 正六边形的边长与其半径相等，
∴ EF = OF = 5.
∵ 四边形 EFGH 是正方形，
∴ FG = EF = 5，
∴ 正方形 EFGH 的面积是 25.
针对训练
(2) ∵ 正六边形的边长与其半径相等，
∴∠OFE = 60°.
∵ 正方形的内角是 90°，
∴ ∠OFG = ∠OFE +∠EFG = 60°+ 90° = 150°.
由 (1) 得 OF = FG，
∴∠OGF = （ 180° - ∠OFG ）
= （ 180° - 150° ）= 15°.
(2) 连接 OF、OG，求∠OGF 的度数．
考点五 与圆有关的作图
·
a
b
c
d
a
例8 如何解决“破镜重圆”的问题：
·
作图方法：首先，在碎片 a 的圆弧上找 A、B、C 三点，连接 AB、BC；然后分别作 AB 和 BC 的垂直平分线，两垂直平分线的交点 O. 即为原来圆镜的圆心，原来的镜子是以 O 为圆心，OA 为半径的圆镜.
A
B
C
O
例9 如何作圆内接正五边形怎么作？
·
O
E
72°
B
A
D
C
(1) 用量角器作 72° 的中心角，得圆的五等分点；
(2) 依次连接各等分点，得圆的内接正五边形.
【解析】 连接BD，则在Rt△BCD中，BE ＝ DE，利用角的互余证明 ∠C ＝ ∠EDC.
例10 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，过点 D 的切线交 BC 于 E.
(1) 求证：BC = 2DE.
考点六 圆的综合
解：(1) 证明：连接 BD，
∵ AB 为直径，∠ABC = 90°，
∴ BE 切 ☉O 于点 B.
又∵ DE 切 ☉O 于点 D，∴ DE = BE，
∴∠EBD =∠EDB.
∵∠ADB = 90°，
∴∠EBD +∠C = 90°，∠BDE +∠CDE = 90°.
∴∠C = ∠CDE，DE = CE.
∴ BC = BE + CE = 2DE.
(2) ∵ DE = 2，∴ BC = 2DE = 4.
在 Rt△ABC 中，
∴ AB = BC =
在 Rt△ABC 中，
又∵△ABD∽△ACB，
∴ 即
∴
(2) 若 tanC = ，DE = 2，求 AD 的长.
10. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC = 90°，以 AB 为直径的 ☉O 交 AC 于点 D，连接 BD.
针对训练
解：(1) ∵AB 是直径，∴∠ADB=90°.
∵AD = 3，BD = 4，∴AB = 5.
∵∠CDB =∠ABC，∠A = ∠A，
∴△ADB∽△ABC.
∵ 即
∴BC =
(1) 若 AD =3 ，BD = 4，求边 BC 的长.
又∵∠OBD +∠DBC = 90°，∠C +∠DBC = 90°，
∴∠C = ∠OBD，∴∠BDO = ∠CDE.
∵ AB 是直径，∴∠ADB = 90°，
∴∠BDC = 90°，即∠BDE +∠CDE= 90°.
∴∠BDE +∠BDO = 90°，即∠ODE = 90°.
∴ ED 与☉O 相切.
(2) 证明：连接 OD，在 Rt△BDC 中，
∵ E 是 BC 的中点，∴CE = DE，∴∠C = ∠CDE.
又OD = OB，∴∠ODB = ∠OBD.
(2) 取 BC 的中点 E，连接 ED，试证明 ED 与 ☉O 相切.
圆
圆的性质
与圆有关的位置关系
圆的对称性
圆是中心对称图形
垂径定理
点与圆的位置关系
直线与圆的位置的关系
切线长定理
圆的概念
圆心角、圆周角、弧与弦之间的关系
圆是轴对称图形，任意一条直径所在直线都是它的对称轴
切线
三角形的内切圆
弧长与扇形面积的计算
正多边形与圆
作图
圆
圆的性质
与圆有关的位置关系
圆的概念
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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