26.1.1 反比例函数 课件(共35张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(共35张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：26.1.1 反比例函数
学科：数学
年级：九年级下册（结合冀教版教材体系，反比例函数通常安排在九年级）
版本：冀教版（2024）
幻灯片 2：素养目标
理解反比例函数的定义，能识别形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，\(k\neq0\)）的函数为反比例函数，明确 “\(k\neq0\)” 和 “自变量\(x\neq0\)” 的核心前提。
掌握反比例函数的三种常见解析式形式（\(y=\frac{k}{x}\)、\(y=kx^{-1}\)、\(xy=k\)），能根据已知条件确定反比例函数的解析式，培养代数变形能力。
能结合实际问题分析反比例函数中变量的关系，确定自变量的取值范围，感受数学与现实生活的紧密联系。
幻灯片 3：重难点
重点
反比例函数的定义及三种解析式形式。
根据已知条件求反比例函数的解析式。
难点：理解反比例函数中 “两个变量的积为定值” 的本质特征，以及在实际问题中准确判断变量间的反比例关系。
幻灯片 4：新知导入 —— 生活情境 + 旧知衔接
情境 1：小明要去距离家 12km 的公园，若骑车的平均速度为\(v\)（km/h），所需时间为\(t\)（h），则\(t\)与\(v\)的关系为\(t=\frac{12}{v}\)—— 速度越快，时间越短，且\(v\times t=12\)（积为定值）。
情境 2：一个矩形的面积为 20cm ，若它的长为\(x\)（cm），宽为\(y\)（cm），则\(y\)与\(x\)的关系为\(y=\frac{20}{x}\)—— 长越长，宽越短，且\(x\times y=20\)（积为定值）。
旧知回顾：回顾正比例函数的定义（\(y=kx\)，\(k\neq0\)，两个变量的比值为定值），对比情境中 “变量的积为定值” 的关系，引出 “反比例函数” 主题。
提问：上述情境中，两个变量的关系有什么共同特点？如何定义这类函数？
幻灯片 5：知识点 1—— 反比例函数的定义
定义内容：一般地，形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\)为常数，且\(k\neq0\)）的函数，叫作反比例函数。其中\(x\)是自变量，\(y\)是\(x\)的函数。
关键特征（三要素）：
形式特征：可表示为\(y=\frac{k}{x}\)、\(y=kx^{-1}\)（\(x^{-1}=\frac{1}{x}\)）、\(xy=k\)三种形式，本质是 “两个变量的积为非零定值\(k\)”。
常数特征：比例系数\(k\neq0\)（若\(k=0\)，则\(y=0\)，变为常数函数，不再是反比例函数）。
自变量特征：自变量\(x\neq0\)（分母不能为 0），函数值\(y\neq0\)（因\(k\neq0\)，\(y=\frac{k}{x}\neq0\)）。
示例与判断：
是反比例函数的：\(y=\frac{3}{x}\)（\(k=3\neq0\)）、\(y=-2x^{-1}\)（即\(y=-\frac{2}{x}\)，\(k=-2\neq0\)）、\(xy=5\)（即\(y=\frac{5}{x}\)，\(k=5\neq0\)）。
不是反比例函数的：\(y=\frac{0}{x}\)（\(k=0\)）、\(y=\frac{3}{x+2}\)（分母是\(x+2\)，非单独\(x\)）、\(y=\frac{3}{x^2}\)（分母是\(x^2\)，非\(x\)的一次形式）。
小练习：判断下列函数是否为反比例函数，说明理由：
①\(y=\frac{4}{x}\)（是，\(k=4\neq0\)，符合\(y=\frac{k}{x}\)形式）；②\(y=3x\)（否，是正比例函数）；③\(xy=-6\)（是，可化为\(y=-\frac{6}{x}\)，\(k=-6\neq0\)）。
幻灯片 6：知识点 2—— 反比例函数的解析式形式
三种常见形式及转化：
基本形式：\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）—— 最直观的形式，体现 “\(y\)与\(x\)成反比例”。
负指数形式：\(y=kx^{-1}\)（\(k\neq0\)）—— 由\(x^{-1}=\frac{1}{x}\)推导而来，需注意指数为\(-1\)，非其他负整数。
乘积形式：\(xy=k\)（\(k\neq0\)）—— 两边同乘\(x\)（\(x\neq0\)）得到，直接体现 “\(x\)与\(y\)的积为定值\(k\)”，便于判断变量关系。
典例讲解：将下列反比例函数化为三种形式（若可行）：
例：已知\(y=\frac{5}{x}\)（\(k=5\neq0\)）：
基本形式：\(y=\frac{5}{x}\)；
负指数形式：\(y=5x^{-1}\)；
乘积形式：\(xy=5\)。
注意事项：三种形式本质一致，需根据题目要求灵活转化，如已知\(y\)与\(x\)的积为定值，优先用乘积形式判断是否为反比例函数。
幻灯片 7：知识点 3—— 确定反比例函数的解析式（求\(k\)值）
解题思路：反比例函数的解析式由比例系数\(k\)唯一确定，因此只需知道一组\(x\)、\(y\)的对应值（或一个点的坐标\((x,y)\)，\(x\neq0\)，\(y\neq0\)），代入解析式即可求出\(k\)，进而确定解析式。
典例讲解：
例 1：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((2,3)\)，求该反比例函数的解析式。
解题步骤：
代入点的坐标：将\(x=2\)，\(y=3\)代入\(y=\frac{k}{x}\)，得\(3=\frac{k}{2}\)；
求\(k\)值：两边同乘 2，得\(k=6\)；
写解析式：该反比例函数的解析式为\(y=\frac{6}{x}\)（或\(xy=6\)、\(y=6x^{-1}\)）。
例 2：已知\(y\)与\(x\)成反比例，且当\(x=-4\)时，\(y=5\)，求当\(x=2\)时\(y\)的值。
解题步骤：
设解析式：因\(y\)与\(x\)成反比例，设\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)）；
求\(k\)值：将\(x=-4\)，\(y=5\)代入，得\(5=\frac{k}{-4}\)→\(k=-20\)，解析式为\(y=-\frac{20}{x}\)；
求对应\(y\)值：当\(x=2\)时，\(y=-\frac{20}{2}=-10\)。
幻灯片 8：知识点 4—— 反比例函数的自变量取值范围与实际意义
自变量取值范围：
从代数角度：\(x\neq0\)（分母不能为 0），函数值\(y\neq0\)。
从实际角度：需结合具体问题中变量的意义确定，如 “速度\(v\)”“长度\(x\)” 等需为正数，即\(x>0\)（或\(v>0\)）。
典例讲解：
例：某工厂要生产 1000 件零件，若每天生产的零件数为\(x\)（件 / 天），完成生产所需的天数为\(y\)（天），则\(y\)与\(x\)的函数关系为\(y=\frac{1000}{x}\)。
自变量取值范围：从代数角度\(x\neq0\)，从实际意义（每天生产零件数为正），\(x>0\)且\(x\)为正整数（零件数为整数）；
函数值意义：\(y\)表示生产 1000 件零件所需的天数，故\(y>0\)且\(y\)为正整数（天数为整数）。
幻灯片 9：易错点辨析
常见错误及纠正：
忽略\(k\neq0\)：如认为\(y=\frac{0}{x}\)是反比例函数（错误，\(k=0\)时\(y=0\)是常数函数，非反比例函数）。
误解解析式形式：如将\(y=\frac{3}{x+2}\)误认为是反比例函数（错误，分母是\(x+2\)，非单独\(x\)，不符合\(y=\frac{k}{x}\)形式）。
实际问题中忽略取值范围：如 “矩形长\(x\)” 的取值范围误写为\(x\neq0\)（正确应为\(x>0\)，因长度为正数）。
纠错练习：判断 “若\(y=kx^{-1}\)（\(k\)为常数），则\(y\)与\(x\)成反比例” 是否正确（错误，需补充\(k\neq0\)，否则当\(k=0\)时\(y=0\)，不是反比例函数）。
幻灯片 10：课堂检测
下列函数中，是反比例函数的是（ ）
A. \(y=2x\) B. \(y=\frac{x}{3}\) C. \(y=\frac{3}{x}\) D. \(y=\frac{3}{x^2}\)
已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((-3,4)\)，则\(k\)的值为______，该函数的解析式为______。
已知\(y\)与\(x\)成反比例，且当\(x=5\)时，\(y=-2\)，求当\(y=4\)时\(x\)的值。
某蓄水池的容积为 100m ，若向水池注水的速度为\(v\)（m /h），注满水池所需时间为\(t\)（h），则\(t\)与\(v\)的函数关系为______，自变量\(v\)的取值范围是______。
幻灯片 11：中考考法链接
考情分析：反比例函数的定义、解析式求解是中考基础考点，常以选择题、填空题形式出现（分值 3-4 分），也会在解答题中结合反比例函数的图象与性质考查，重点考查定义理解与\(k\)值计算。
真题示例：（2024 河北唐山中考模拟）若函数\(y=(m+2)x^{m^2-5}\)是反比例函数，则\(m\)的值为（ ）
A. 2 B. -2 C. ±2 D. 无法确定
解析：反比例函数需满足 “形式为\(y=kx^{-1}\)（\(k\neq0\)）”，即：
指数条件：\(m^2-5=-1\)→\(m^2=4\)→\(m=\pm2\)；
系数条件：\(m+2\neq0\)→\(m\neq-2\)；
综上，\(m=2\)，答案选 A。
幻灯片 12：课堂小结
核心知识梳理：
反比例函数定义：形如\(y=\frac{k}{x}\)（\(k\neq0\)），本质是 “\(x\)与\(y\)的积为定值\(k\)”。
解析式形式：\(y=\frac{k}{x}\)、\(y=kx^{-1}\)、\(xy=k\)（\(k\neq0\)），三者可灵活转化。
求解析式：已知一组\(x\)、\(y\)值，代入求\(k\)，再写解析式。
取值范围：代数上\(x\neq0\)，实际中需结合变量意义（如正数、整数）确定。
解题口诀：反比例函数三形式，\(k\)非零是前提；已知一点求解析式，代入计算\(k\)值定；自变量，不为零，实际意义再限定。
幻灯片 13：作业布置
基础作业：课本 26.1 节练习题第 1、2、3 题（重点练习反比例函数的识别、解析式求解）。
提升作业：
已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)的图象经过点\((1,-5)\)，求：①该函数的解析式；②当\(x=-1\)时\(y\)的值；③当\(y=2.5\)时\(x\)的值。
已知\(y\)与\(x^2\)成反比例，且当\(x=3\)时，\(y=4\)，求\(y\)与\(x\)的函数关系式。
拓展作业：结合生活实例（如路程、面积、工作量等），编写一个反比例函数问题，并求解该函数的解析式及某一自变量对应的函数值，与同学交流。
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
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26.1.1 反比例函数
第二十六章 反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
生活中我们常常通过控制电阻的变化来实现舞台灯光的效果. 在电压 U 一定的情况下，当 R 变大时，电流 I 变小，灯光就变暗；相反，当 R 变小时，电流 I 变大，灯光变亮. 你能写出这些量之间的关系式吗
反比例函数的概念
下列问题中，变量间具有函数关系吗？如果有，请写出它们的解析式.
合作探究
(1) 京沪线铁路全程为1463 km，某次列车的平均速度v (单位：km/h) 随此次列车的全程运行时间 t (单位：h) 的变化而变化；
(2) 某住宅小区要种植一块面积为 1000 m2 的矩形草坪，草坪的长 y (单位：m) 随宽 x (单位：m)的变化而变化；
(3) 已知北京市的总面积为1.68×104 km2，人均占有面积 S (km2/人) 随全市总人口 n (单位：人) 的变化而变化.
观察以上三个解析式，你觉得它们有什么共同特点？
问题：
都具有 的形式，其中 是非零常数．
分式
分子
一般地，形如 (k为常数，k ≠ 0) 的函数，叫做反比例函数，其中 x 是自变量，y 是函数.
反比例函数 (k≠0) 的自变量 x 的取值范围是什么？
思考：
因为 x 作为分母，不能等于零，所以自变量 x 的取值范围是不等于0的一切实数.
但实际问题中，应根据具体情况来确定反比例函数自变量的取值范围.
例如，在前面得到的第一个解析式
中，t 的取值范围是 t＞0，且当 t 取每一个确定的
值时，v 都有唯一确定的值与其相对应.
反比例函数除了可以用 (k ≠ 0) 的形式表示，还有没有其他表达方式？
想一想：
反比例函数的三种表达方式(注意 k ≠ 0)：
下列函数是不是反比例函数？若是，请指出 k 的值.
是，k = 3
不是
不是
不是
练一练
是，
例 1 已知函数 是反比例函数，求 m 的值.
典例精析
所以
m2 + 2m－4=－1，
m－1≠0.
解得 m =－3.
解：因为 是反比例函数，
方法总结：已知某个函数为反比例函数，则自变量的次数为－1，且系数不等于0.
2. 已知函数 是反比例函数，
则 k 必须满足 .
1. 当m= 时， 是反比例函数.
k≠2 且 k≠－1
±1
练一练
指数为 -1
系数不为0
例 2 已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2 时，y=6.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
提示：依题意设 . 把 x=2 和 y=6 代入上式，就可求出常数 k 的值. 这就是待定系数法.
解：设 . 因为当 x = 2 时，y = 6，所以有
解得 k =12.
因此
确定反比例函数的解析式
(2) 当 x = 4 时，求 y 的值.
解：把 x = 4 代入 ，得
归纳：用待定系数法求反比例函数解析式的一般步骤：
①设出含有待定系数的反比例函数解析式；
②将已知条件(自变量与函数的对应值)代入解析式，得到关于待定系数的方程；
③解方程，求出待定系数；
④写出反比例函数解析式.
已知 y 与 x + 1 成反比例，并且当 x = 3 时，y = 4.
(1) 写出 y 关于 x 的函数解析式；
(2) 当 x = 7 时，求 y 的值．
解：(1) 设 ，因为当 x = 3 时，y =4 ，
所以 ，解得 k =16，因此 .
(2) 当 x = 7 时，
练一练
建立简单的反比例函数模型
例 3 人的视觉机能受运动速度的影响很大，行驶中司机在驾驶室内观察前方物体是动态的，车速增加，视野变窄. 当车速为 50 km/h 时，视野为 80 度，如果视野 f (度) 是车速 v (km/h) 的反比例函数，求 f 关于 v 的函数解析式，并计算当车速为100 km/h 时，视野的度数.
解：设 . 由题意知，当 v = 50 时，f = 80，
解得 k = 4000.
因此
所以
当 v = 100 时，f = 40.
所以当车速为 100 km/h 时视野为 40 度.
例4 如图，已知菱形 ABCD 的面积为180平方厘米，设它的两条对角线 AC，BD的长分别为x cm，y cm. 写出变量 y与 x 之间的关系式，并指出它是什么函数.
A
B
C
D
解：因为菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半，
所以 S菱形 ABCD
所以变量 y 与 x 之间的关系式为
，它是反比例函数.
B
返回
1．
下列函数不是反比例函数的是(　　)
返回
A
2．
已知函数y＝(m＋2)xm －5是反比例函数，则m的值是(　　)
A.2 B．±2 C．±4 D．±6
C
返回
3．
下列成反比例关系的是(　　)
A.正方形的周长C与边长a的关系
B.圆的面积S与半径r的关系
C.当路程s一定时，时间t与速度v的关系
D.直角三角形两锐角∠A与∠B的关系
4．
返回
180
5．
返回
k≥0且k≠1
6．
写出下列问题中两个变量之间的函数解析式，并判断其是不是反比例函数.
(1)底边长为3 cm的三角形的面积y(cm2)随底边上的高x(cm)的变化而变化；
(2)一艘轮船从相距200 km的甲地驶往乙地，轮船的速度v(km/h)与航行时间t(h)的关系；
(3)在检修100 m长的管道时，每天能完成10 m，剩下的未检修的管道长y(m)随检修天数x的变化而变化.
y＝100－10x，不是反比例函数．
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7．
[2024亳州月考]已知函数y＝(m2－m)xm －3m＋1是反比例函数，则(　　)
A. m≠0
B．m≠0且m≠1
C. m＝2
D．m＝1或2
【点拨】
【答案】C
由题意知m2－3m＋1＝－1，整理，得m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2.
当m＝1时，m2－m＝0，不合题意，舍去．
∴m＝2.
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8．
【点拨】
【答案】A
【点易错】
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9．
节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买500度电，若平均每天用电x度，则能使用y天．下列说法错误的是(　　)
A.若x＝5，则y＝100
B.若y＝125，则x＝4
C.若x减小，则y也减小
D.若x减小一半，则y增大一倍
【点拨】
【答案】C
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10．
返回
已知y与x－1成反比例，并且当x＝3时，y＝4.则y与x之间的函数解析式为________.
11．
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反
根据实际问题建立反比例函数模型
用待定系数法求反比例函数解析式
反比例函数：定义/三种表达方式
反比例函数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！