26.1.2.1反比例函数的图象和性质 课件(共36张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(共36张PPT)
第 1 页：封面
标题：26.1.2.1 反比例函数的图象和性质
副标题：人教版九年级数学下册
配图：反比例函数双曲线示意图（标注 k>0 和 k<0 两种情况）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
掌握用描点法画反比例函数图象的步骤
理解反比例函数图象的 “双曲线” 特征
能结合 k 值符号描述图象位置与增减性
过程与方法：
通过画图、观察、归纳，体会数形结合思想
培养探究与概括数学性质的能力
情感态度：
激发对函数图象探究的兴趣
养成严谨的画图与推理习惯
第 3 页：情境导入
复习回顾：
反比例函数定义：形如\(y=\frac{k}{x}\)（k 为常数，k≠0）的函数
自变量取值范围：\(x 0\)，函数值范围：\(y 0\)
问题链：
一次函数图象是直线，二次函数图象是抛物线，反比例函数图象是什么形状？
图象位置与 k 值有什么关系？
生活链接：路程一定时，速度与时间的关系图象会是怎样的？
第 4 页：探究一：描点法画反比例函数图象（k>0）
范例：画\(y=\frac{6}{x}\)的图象
步骤拆解：
列表：选取互为相反数的 x 值（避免漏负半轴）
x
-6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
6
y
-1
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
1
描点：在坐标系中准确标注各点
连线：用光滑曲线顺次连接（左支连左支，右支连右支）
画图注意事项：
不与坐标轴相交（因 x≠0、y≠0）
曲线需延伸，无限接近坐标轴
禁止用线段连接或合并两支
第 5 页：探究二：描点法画反比例函数图象（k<0）
实践任务：画\(y=-\frac{6}{x}\)的图象
关键对比：
列表计算：x=1 时 y=-6，x=-1 时 y=6（与 k>0 符号相反）
图象位置：分支分布在第二、四象限
易错警示：展示典型错误（连接两支、与坐标轴相交等），强化规范画法
第 6 页：图象特征归纳
形状：由两支曲线组成，称为双曲线
位置规律：
当 k>0 时：图象位于第一、三象限
当 k<0 时：图象位于第二、四象限
对称性：
中心对称图形：绕原点旋转 180° 与原图象重合
轴对称图形：对称轴为直线 y=x 和 y=-x
渐近性：无限接近 x 轴、y 轴，但永不相交
第 7 页：性质探究：增减性
观察分析：
对\(y=\frac{6}{x}\)：在第一象限内，x 从 1→6，y 从 6→1（y 随 x 增大而减小）；在第三象限内同理
对\(y=-\frac{6}{x}\)：在第二象限内，x 从 - 6→-1，y 从 1→6（y 随 x 增大而增大）；在第四象限内同理
性质总结：
当 k>0 时：在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
当 k<0 时：在每个象限内，y 随 x 的增大而增大
关键强调：“每个象限内” 不可省略（跨象限不满足增减性）
第 8 页：典型例题
例 1：若双曲线\(y=\frac{m-2}{x}\)的一支在第三象限，求 m 的取值范围
（解析：k=m-2>0 → m>2）
例 2：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)，当 x>0 时 y 随 x 增大而增大，判断 k 的符号
（解析：k<0）
例 3：直线 y=mx 与双曲线\(y=\frac{3}{x}\)交于 (1,3)，求另一个交点坐标
（解析：利用中心对称，得 (-1,-3)）
第 9 页：巩固练习
选择题：函数\(y=\frac{5}{x}\)的图象位于（ ）
A. 第二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第四象限
填空题：已知反比例函数\(y=\frac{k-1}{x}\)图象在二、四象限，则 k 的取值范围是____
解答题：画出\(y=\frac{4}{x}\)的图象，并描述其性质
第 10 页：课堂小结
知识梳理：
图象：双曲线（位置、对称性、渐近性）
性质：k 值决定象限与增减性
方法：描点法画图的三步骤与规范
思想方法：数形结合（由图象看性质，用性质解问题）
易错点回顾：增减性的象限限制、画图规范
第 11 页：布置作业
基础作业：教材习题，画出\(y=\frac{2}{x}\)和\(y=-\frac{2}{x}\)的图象并对比性质
拓展作业：探究 | k | 大小对双曲线 “扁平程度” 的影响
实践作业：寻找生活中反比例关系的实例，尝试画出其图象
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
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26.1.2.1反比例函数的图象和性质
第二十六章 反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
回顾我们上一课的学习内容，你能写出 200 m 自由泳比赛中，游泳所用的时间 t (s) 和游泳速度 v (m/s) 之间的数量关系吗？
试一试，你能在坐标轴中画出这个函数的图象吗？
反比例函数的图象和性质
合作探究
例1 画出反比例函数 与 的图象.
提示：画函数的图象步骤一般是：列表→描点→连线. 需要注意的是在反比例函数中自变量 x 不能为 0.
解：列表
如右：
x … －6 －5 －4 －3 －2 －1 1 2 3 4 5 6 …
… …
… …
－1
－1.2
－1.5
－2
－3
－6
6
3
2
1.5
1.2
1
－2
－2.4
－3
－4
－6
6
4
3
2.4
2
－12
12
－4
－5
－6
O
－2
描点：以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描绘出相应的点．
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－1
－1
－2
－3
－4
－5
－6
连线：用光滑的曲线顺次连接各点，即可得函数 　与 的图象.
x 增大
O
－2
5
6
x
y
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
－3
－4
－1
－5
－6
－1
－2
－3
－4
－5
－6
观察这两个函数图象，回答问题：
思考：
(1) 每个函数图象分别位于哪些象限？
(2) 在每一个象限内随着 x 的增大，y 如何变化？你能由它们的解析式说明理由吗？
y
减
小
(3) 对于反比例函数 (k＞0)，考虑问题(1)(2)，你能得出同样的结论吗？
O
x
y
●由两条曲线组成，且分别位于第一、三象限它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而减小.
反比例函数 (k＞0) 的图象和性质：
归纳：
反比例函数 的图象大致是 ( )
C
y
A.
x
y
o
B.
x
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
练一练
图象在第一、第三象限
例 2 反比例函数 的图象上有两点 A (x1，y1)，B (x2，y2)，且 A，B 均在该函数图象的第一象限部分，若 x1＞x2，则 y1 与 y2 的大小关系为 ( )
A. y1 > y2
B. y1 = y2
C. y1 < y2
D. 无法确定
C
提示：因为8＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分上，根据 x1＞x2，可知y1，y2的大小关系.
观察与思考
当 k =－2，－4，－6 时，反比例函数 的图象有哪些共同特征？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
回顾上面我们利用函数图象，从特殊到一般研究反比例函数 (k＞0) 的性质的过程，你能用类似的方法研究反比例函数 (k＜0) 的图象和性质吗？
y
x
O
y
x
O
y
x
O
反比例函数 (k＜0) 的图象和性质：
●由两条曲线组成，且分别位于第二、四象限
它们与 x 轴、y 轴都不相交；
●在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
归纳：
(1) 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一、三
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而减小；
(2) 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二、四
象限，在每一象限内，y 随 x 的增大而增大.
一般地，反比例函数 的图象是双曲线，它具有以下性质：
k 的正负决定了反比例函数的图象所在的象限和增减性
点(2，y1)和(3，y2)在函数 的图象上，则 y1 y2 (填“>”“<”或“=”).
<
练一练
-2＜0，在每个象限，y 随 x 的增大而增大
例 3 已知反比例函数 ，在每一个象限内，y 随 x 的增大而增大，求 a 的值.
解：由题意得 a2+a－7=－1，且 a－1<0．
解得 a=－3.
练一练
已知反比例函数 在每一个象限内，y 随着 x 的增大而减小，求 m 的值．
解：由题意得 |m|－4=－1，且 3m－8＞0．
解得 m=3.
D
返回
1．
A.图象经过点(－3，2)
B.图象分别位于第二、四象限
C.在每个象限内，y的值随x的值增大而增大
D.x≥－1时，y≥6
返回
B
2．
A.(1，10) B．(－2，5) C．(2，5) D．(2，8)
3．
【点拨】
【答案】C
返回
4．
科技承载梦想，创新始于少年．某校科技社团的学生们制作了一艘轮船模型，实验过程中他们发现在某段航行过程中轮船模型的牵引力F(N)是其速度v(m·s－1)的反比例函数，其图象如图所示，下列说法不正确的是(　　)
【点拨】
【答案】B
A.根据图象可知，F·v是定值，F随v的增大而减小，选项正确，不符合题意；B．当F＞10 N时，v＜2 m·s－1，选项错误，符合题意；
返回
5．
返回
0
【点拨】
6．
－5
(答案不唯一)
【点拨】
返回
7．
【解】列表如下：
a b －2 －1 1 2
－2 (－1，－2) (1，－2) (2，－2)
－1 (－2，－1) (1，－1) (2，－1)
1 (－2，1) (－1，1) (2，1)
2 (－2，2) (－1，2) (1，2)
【点方法】
判断点是否在反比例函数的图象上的方法：看点的横坐标和纵坐标之积是否等于比例系数k.若等于k，则该点在反比例函数的图象上；若不等于k，则该点不在反比例函数的图象上．
. . . .
返回
8．
【点拨】
【答案】B
9．
【点拨】
【答案】B
返回
10．
＜
反比例函数 (k≠0) k k > 0 k < 0
图象
性质
图象位于第一、第三象限
图象位于第二、第四象限
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小
在每一个象限内，y 随x 的增大而增大
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！