26.1.2.2 反比例函数的图象和性质的应用 课件(共53张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(共53张PPT)
第 1 页：封面
标题：26.1.2.1 反比例函数的图象和性质
副标题：人教版九年级数学下册
配图：反比例函数双曲线示意图（标注 k>0 和 k<0 两种情况）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
掌握用描点法画反比例函数图象的步骤
理解反比例函数图象的 “双曲线” 特征
能结合 k 值符号描述图象位置与增减性
过程与方法：
通过画图、观察、归纳，体会数形结合思想
培养探究与概括数学性质的能力
情感态度：
激发对函数图象探究的兴趣
养成严谨的画图与推理习惯
第 3 页：情境导入
复习回顾：
反比例函数定义：形如\(y=\frac{k}{x}\)（k 为常数，k≠0）的函数
自变量取值范围：\(x 0\)，函数值范围：\(y 0\)
问题链：
一次函数图象是直线，二次函数图象是抛物线，反比例函数图象是什么形状？
图象位置与 k 值有什么关系？
生活链接：路程一定时，速度与时间的关系图象会是怎样的？
第 4 页：探究一：描点法画反比例函数图象（k>0）
范例：画\(y=\frac{6}{x}\)的图象
步骤拆解：
列表：选取互为相反数的 x 值（避免漏负半轴）
x
-6
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
6
y
-1
-1.5
-2
-3
-6
6
3
2
1.5
1
描点：在坐标系中准确标注各点
连线：用光滑曲线顺次连接（左支连左支，右支连右支）
画图注意事项：
不与坐标轴相交（因 x≠0、y≠0）
曲线需延伸，无限接近坐标轴
禁止用线段连接或合并两支
第 5 页：探究二：描点法画反比例函数图象（k<0）
实践任务：画\(y=-\frac{6}{x}\)的图象
关键对比：
列表计算：x=1 时 y=-6，x=-1 时 y=6（与 k>0 符号相反）
图象位置：分支分布在第二、四象限
易错警示：展示典型错误（连接两支、与坐标轴相交等），强化规范画法
第 6 页：图象特征归纳
形状：由两支曲线组成，称为双曲线
位置规律：
当 k>0 时：图象位于第一、三象限
当 k<0 时：图象位于第二、四象限
对称性：
中心对称图形：绕原点旋转 180° 与原图象重合
轴对称图形：对称轴为直线 y=x 和 y=-x
渐近性：无限接近 x 轴、y 轴，但永不相交
第 7 页：性质探究：增减性
观察分析：
对\(y=\frac{6}{x}\)：在第一象限内，x 从 1→6，y 从 6→1（y 随 x 增大而减小）；在第三象限内同理
对\(y=-\frac{6}{x}\)：在第二象限内，x 从 - 6→-1，y 从 1→6（y 随 x 增大而增大）；在第四象限内同理
性质总结：
当 k>0 时：在每个象限内，y 随 x 的增大而减小
当 k<0 时：在每个象限内，y 随 x 的增大而增大
关键强调：“每个象限内” 不可省略（跨象限不满足增减性）
第 8 页：典型例题
例 1：若双曲线\(y=\frac{m-2}{x}\)的一支在第三象限，求 m 的取值范围
（解析：k=m-2>0 → m>2）
例 2：已知反比例函数\(y=\frac{k}{x}\)，当 x>0 时 y 随 x 增大而增大，判断 k 的符号
（解析：k<0）
例 3：直线 y=mx 与双曲线\(y=\frac{3}{x}\)交于 (1,3)，求另一个交点坐标
（解析：利用中心对称，得 (-1,-3)）
第 9 页：巩固练习
选择题：函数\(y=\frac{5}{x}\)的图象位于（ ）
A. 第二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第四象限
填空题：已知反比例函数\(y=\frac{k-1}{x}\)图象在二、四象限，则 k 的取值范围是____
解答题：画出\(y=\frac{4}{x}\)的图象，并描述其性质
第 10 页：课堂小结
知识梳理：
图象：双曲线（位置、对称性、渐近性）
性质：k 值决定象限与增减性
方法：描点法画图的三步骤与规范
思想方法：数形结合（由图象看性质，用性质解问题）
易错点回顾：增减性的象限限制、画图规范
第 11 页：布置作业
基础作业：教材习题，画出\(y=\frac{2}{x}\)和\(y=-\frac{2}{x}\)的图象并对比性质
拓展作业：探究 | k | 大小对双曲线 “扁平程度” 的影响
实践作业：寻找生活中反比例关系的实例，尝试画出其图象
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.1.2.2 反比例函数的图象和性质的应用
第二十六章 反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
反比例函数的图象是什么？
反比例函数的性质与 k 有怎样的关系？
双曲线
当 k > 0 时，两条曲线分别位于第一、三象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而减小；
当 k < 0 时，两条曲线分别位于第二、四象限，在每个象限内，y 随 x 的增大而增大.
复习引入
问题1
问题2
用待定系数法求反比例函数的解析式
典例精析
例 1 已知反比例函数的图象经过点 A (2，6).
(1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如
何变化？
解：因为反比例函数图象经过的点 A (2，6) 在第一
象限，所以这个函数的图象位于第一、三象限；
在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小.
(2) 点 B (3，4)，C ( ， )，D (2，5) 是否在这
个函数的图象上？
解：设这个反比例函数的解析式为 ，因为点
A (2，6)在其图象上，所以有 ，解得 k =12.
因为点 B，C 的坐标都满足该解析式，而点 D的坐标不满足，所以点 B，C 在这个函数的图象上，点 D 不在这个函数的图象上.
所以该反比例函数的解析式为 .
练一练
已知反比例函数 的图象经过点 A (2，3)．
(1) 求这个函数的解析式；
解：∵ 反比例函数 的图象经过点 A(2，3)，
∴ 把点 A 的坐标代入解析式，得 ，　　
解得 k = 6.
∴ 这个函数的解析式为 .
(2) 判断点 B (－1，6)，C(3，2) 是否在这个函数的
图象上，并说明理由；
解：分别把点 B，C 的坐标代入反比例函数的解析
式，因为点 B 的坐标不满足该解析式，点 C
的坐标满足该解析式，
所以点 B 不在该函数的图象上，点 C 在该函
数的图象上．
(3) 当 －3< x <－1 时，求 y 的取值范围．
解：∵ 当 x = －3时，y =－2；
当 x = －1时，y =－6，且 k > 0，
∴ 当 x < 0 时，y 随 x 的增大而减小.
∴ 当 －3 < x < －1 时，－6 < y < －2.
反比例函数图象和性质的综合
(1) 图象的另一支位于哪个象限？m 的取值范围是什么？
O
x
y
例 2 如图，是反比例函数 图象的一支. 根据图象，回答下列问题：
解：因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限，所以根据对称性知另一支位于第三象限.
又因为这个函数图象位于第一、三象限，
所以m－5＞0，解得m＞5.
(2) 在这个函数图象的某一支上任取点 A (x1，y1) 和
点 B (x2，y2). 如果 x1＞x2，那么 y1 和 y2 有怎样的
大小关系？
解：因为 m－5 ＞ 0，
所以在这个函数图象的任一支上，y 都随 x 的增大而减小.
因此，当x1＞x2时，y1＜y2.
O
x
y
练一练
如图所示是反比例函数 的图象，则 k 的值可以是 ( )
A．－1 B．3
C．1 D．0
O
x
y
B
图象在第二、四象限，则1-k＜0，k＞1
1. 在反比例函数 的图象上分别取点 P，Q 向 x 轴、y 轴作垂线，围成面积分别为 S1，S2 的矩形，填写下页表格：
合作探究
反比例函数解析式中 k 的几何意义
5
1
2
3
4
－1
5
x
y
O
P
S1
S2
P (2，2) ，Q (4，1)
S1 的值
S2 的值
S1与 S2 的关系
猜想 S1，S2 与 k 的关系
4
4
S1=S2
S1=S2=k
－5
－4
－3
－2
1
4
3
2
－3
－2
－4
－5
－1
Q
S1的值 S2的值 S1与S2的关系 猜想S1，S2与 k 的关系
P (－1，4)， Q (－2，2)
2. 若在反比例函数 中也
用同样的方法分别取 P，Q 两
点，填写表格：
4
4
S1=S2
S1=S2=－k
y
x
O
P
Q
S1
S2
由前面的探究过程，可以猜想：
若点 P 是反比例函数 图象上的任意一点，过点 P 作 PA⊥x 轴于点 A，PB⊥y 轴于点 B，则矩形 AOBP 的面积与 k 的关系是
S矩形 AOBP=|k|.
y
x
O
P
S
我们就 k < 0 的情况给出证明：
设点 P 的坐标为 (a，b).
A
B
∵点 P (a，b) 在函数 的图象上，
∴ ，即 ab=k.
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=－a·b=－ab=－k；
若点 P 在第二象限，则 a<0，b>0，
若点 P 在第四象限，则 a>0，b<0，
∴ S矩形 AOBP=PB·PA=a· (－b)=－ab=－k.
综上，S矩形 AOBP=|k|.
自己尝试证明
k > 0的情况.
B
P
A
S
点 Q 是其图象上的任意一点，过点 Q 作 QA⊥y 轴于点 A，QB⊥x 轴于点 B，则矩形 AOBQ 的面积与 k 的关系是 S矩形AOBQ = .
推论：△QAO 和△QBO 的面积与 k 的关系是 S△QAO = S△QBO = .
对于反比例函数 ，
A
B
|k|
y
x
O
归纳：
反比例函数的面积不变性
Q
A. SA >SB>SC B. SAC. SA =SB=SC D. SA如图，在函数 (x＞0)的图象上有三点 A，B，C，过这三点分别向 x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作
的两条垂线与 x 轴、 y 轴围成的矩形的面积分别为 SA，
SB，SC，则 ( )
y
x
O
A
B
C
C
做一做
根据前面探究的归纳，这三个矩形的面积均为1
例 3 如图，点A在反比例函数 的图象上，AC⊥ x 轴于点 C，且△AOC 的面积为 2，求该反比例函数的解析式．
解：设点 A 的坐标为(xA，yA)，
∵点 A 在反比例函数 的图象上，
∴ xA·yA＝k.
又∵ S△AOC ＝ k ＝ 2，∴ k＝4.
∴ 反比例函数的解析式为
1. 如图，过反比例函数 图象上的一点 P，作
PA⊥x 轴于A. 若△POA 的面积为 6，则 k = .
－12
y
x
O
P
A
练一练
k 的绝对值为12
图象在第二、四象限，故 k＜0
2. 若点 P 是反比例函数图象上的一点，过点 P 分别向
x 轴、y 轴作垂线，垂足分别为点 M，N，若四边形
PMON 的面积为 3，则这个反比例函数的关系式是
.
或
根据面积得出 |k| 为3，未说明图象经过的象限，因此 k 等于3或-3
例 4 如图，P，C是函数 (x>0) 图象上的任意两点，PA，CD 垂直于 x 轴. 设 △POA 的面积为 S1，则 S1 = ；梯形 CEAD 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的大小关系是 S1 S2；△POE 的面积 S3 和 S2 的大小关系是S2 S3.
2
S1
S2
＞
＝
S3
如图，直线与双曲线交于 A，B 两点，P 是 AB 上的点，△AOC 的面积 S1、△BOD 的面积 S2、△POE 的面积 S3 的大小关系为 .
S1 = S2 < S3
练一练
解析：由反比例函数面积的不变性易
知 S1 = S2. PE 与双曲线的一支交于
点 F，连接 OF，易知 S△OFE = S1 = S2，
而 S3＞S△OFE，所以 S1，S2，S3的大小关系为S1 = S2 < S3.
F
S1
S2
S3
y
D
B
A
C
x
例 5 如图，点 A 是反比例函数 (x＞0) 图象上的任意一点，AB∥x 轴交反比例函数 (x＜0) 的图象于点 B，以 AB 为边作□ ABCD，其中点 C，D 在 x 轴上，则 S□ABCD =___.
3
2
5
方法总结：解决反比例函数有关的面积问题，可以把原图形通过切割、平移等变换（割补法），转化为较容易求面积的图形.
O
如图，函数 y＝－x 与函数 y＝－ 的图象相交于
A，B 两点，过点 A，B 分别作 y 轴的垂线，垂足分别
为 C，D，则四边形 ACBD 的面积为 ( )
A. 2 B. 4
C. 6 D. 8
D
y
x
O
C
A
B
D
练一练
4
4
y＝－
反比例函数与一次函数的综合
在同一坐标系中，函数 　　和 y = k2 x+b 的图象大致如下，则 k1 、k2、b各应满足什么条件？
k2 >0
b >0
k1 >0
k2 >0
b <0
k1 >0
合作探究
①
x
y
O
x
y
O
②
k2 < 0
b < 0
k1 < 0
k2 < 0
b > 0
③
x
y
O
k1 > 0
④
x
y
O
例 6 函数 y = kx－k 与 (k ≠ 0)的图象大致是 ( )
D.
x
y
O
C.
y
A.
y
x
B.
x
y
O
D
O
O
k＜0
k＞0
×
×
×
√
k＞0
k＜0
k＞0
由一次函数与 y 轴交点知－k＞0，则k＜0
x
提示：由于两个函数解析式都含有相同的系数 k，可对 k 的正负性进行分类讨论，得出符合题意的答案.
在同一直角坐标系中，函数 与 y = ax+1
(a≠0) 的图象可能是 ( )
A.
y
x
O
B.
y
x
O
C.
y
x
O
D.
y
x
O
B
练一练
a＞0，
a＜0，矛盾
a＞0
a＞0，成立
不满足与 y 轴交点为（0，1）
a＜0，
a＞0，矛盾
例 7 如图是一次函数 y1= kx + b 和反比例函数 的图象，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围为
.
－2
3
y
x
0
－2< x <0 或 x >3
解析：y1＞y2 即一次函数图象处于反比例函数图象的上方时. 观察右图，可知－2< x <0 或 x >3.
方法总结：对于一些题目，借助函数图象比较大小更加清晰明了.
练一练
如图，一次函数 y1= k1x + b 的图象与反比例函数 的图象交于 A，B 两点，观察图象，当 y1＞y2 时，x 的取值范围
是 ．
－1
2
y
x
O
A
B
x < －1 或 0 < x < 2
例 8 已知一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于点 P (－3，4). 试求出它们的解析式，并画出图象.
由于这两个函数的图象交于点 P (－3，4)，故点 P (－3，4) 同时在这两个函数图象上， 即点 P 的坐标分别满足这两个函数解析式.
解：设正比例函数、反比例函数的解析式分别为 y = k1x 和 .
所以 ， .
解得 ， .
P
则这两个函数的解析式分别为 和 ，
它们的图象如图所示.
这两个图象有何共同特点？你能求出另外一个交点的坐标吗？说说你发现了什么？
想一想：
反比例函数 的图象与正比例函数 y = 3x 的图象的交点坐标为 ．
(2，6) 和 (－2，－6)
解析：联立两个函数解析式，解方程即可.
练一练
A. 4 B. 2
C. －2 D.不确定
1. 如图， P 是反比例函数 的图象上一点，过点
P 作 PB⊥x 轴于点 B，连接 OP，且△OBP 的面积
为 2，则 k 的值为 ( )
O
B
P
x
y
A
2. 反比例函数 的图象与一次函数 y = 2x +1 的
图象的一个交点是 (1，k)，则反比例函数的解析
式是_______．
代入一次函数中，求得 k = 3
3. 如图，直线 y=k1x + b 与反比例函数 (x＞0)交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式 k1x +b ＞ 的解集是_________．
1＜x＜5
O
B
A
x
y
1
5
表示一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围
D
返回
1．
A.(－2，4) B．(4，2)
C.(2，－4) D．(－2，－4)
返回
C
2．
4
返回
3．
4．
【点拨】
返回
5．
(2)当y1＜y2时，直接写出x的取值范围.
【解】x＜－2或0＜x＜2.
返回
6．
【点拨】
【答案】A
返回
7．
【点拨】
【答案】A
返回
8．
3
(1)若点A的坐标为(a，4)，则k＝________；
(2)若k＝12，则△OAB的面积为________.
面积问题
→面积不变性
与一次函数的综合
判断反比例函数和一次函数在同一直角坐标系中的图象，要对系数进行分类讨论，并注意 b 的正负
反比例函数的图象是一个以原点为对称中心的中心对称图形，其与正比例函数的交点关于原点中心对称
反比例函数的图象和性质的综合运用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！