26.2.2 反比例函数在其他学科中的应用 课件(共35张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(共35张PPT)
第 1 页：封面
标题：26.2.1 反比例函数在实际中的应用
副标题：人教版九年级数学下册
配图：融合多个实际场景（如抽水灌溉、快递运输、电路电阻与电流）的插画，背景叠加淡淡的反比例函数双曲线
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
能从实际问题中识别反比例关系，建立反比例函数模型
会运用反比例函数的解析式、图象和性质解决工程、行程、经济等领域的实际问题
能根据实际问题的取值范围，合理确定函数的自变量与函数值
过程与方法：
经历 “实际问题→抽象数学关系→建立函数模型→求解验证” 的完整过程，提升数学建模能力
通过多场景应用练习，培养分析问题、解决问题的逻辑思维
情感态度：
体会数学在解决实际问题中的工具性价值，增强应用意识
在小组讨论与合作探究中，培养团队协作精神和创新思维
第 3 页：情境引入 —— 生活中的反比例关系
问题展示：
情境 1：农场灌溉一块农田，每亩用水量固定，灌溉总面积与总用水量的关系？（不成反比例，为正比例）
情境 2：快递员送一批货物，总路程固定，行驶速度与所需时间的关系？（成反比例）
情境 3：工厂生产一批零件，总工作量固定，工作人数与完成时间的关系？（成反比例）
思考提问：如何判断两个变量是否成反比例关系？（两个变量的乘积为定值，且均不为 0）
引入课题：今天我们将学习如何用反比例函数解决这类具有反比例关系的实际问题
第 4 页：核心方法 —— 实际问题的反比例函数建模步骤
建模四步法：
第一步：审题意，定变量：明确题目中的两个变量（设为 x 和 y），判断是否成反比例关系
第二步：设解析式，求 k 值：设反比例函数解析式为\(y=\frac{k}{x}\)（k≠0），利用题目中给出的一组对应值，代入求出 k 的值（k=xy）
第三步：定范围，解问题：根据实际问题的意义，确定自变量 x 的取值范围（如时间 x>0、人数 x 为正整数），再代入具体数值求解函数值 y，或根据函数值求自变量
第四步：验结果，作回答：验证求解结果是否符合实际情况，最后规范书写答案
温馨提示：k 值的实际意义需结合场景说明（如 k 表示总路程、总工作量等）
第 5 页：应用场景一 —— 工程问题
典型例题：
例 1：某工程队承接一项道路维修工程，计划 12 天完成，每天需维修 200 米。由于天气原因，实际每天维修量减少，完成工程的时间随之增加。
（1）求维修道路的总长度；
（2）设实际每天维修 x 米，完成工程所需时间为 y 天，求 y 与 x 的函数解析式；
（3）若实际每天最多维修 150 米，求完成工程至少需要多少天？
详细解析：
（1）总长度 = 12×200=2400（米）；
（2）由反比例关系得\(y=\frac{2400}{x}\)（x>0）；
（3）当 x=150 时，\(y=\frac{2400}{150}=16\)（天），故至少需要 16 天。
方法总结：工程问题中，总工作量为定值时，工作效率与工作时间成反比例，建模核心是先求总工作量（即 k 值）。
第 6 页：应用场景二 —— 行程问题
典型例题：
例 2：小明一家自驾前往距家 360 千米的景区游玩，行驶速度 v（千米 / 时）与行驶时间 t（时）的关系如下：
（1）写出 v 与 t 的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围；
（2）若高速公路限速 120 千米 / 时，求最短行驶时间；
（3）若行驶时间不超过 4 小时，求行驶速度至少为多少？
详细解析：
（1）总路程 = 360 千米，故\(v=\frac{360}{t}\)（t>0）；
（2）当 v=120 时，\(t=\frac{360}{120}=3\)（时），最短行驶时间为 3 小时；
（3）当 t=4 时，\(v=\frac{360}{4}=90\)（千米 / 时），故速度至少为 90 千米 / 时。
易错提醒：行程问题中需注意速度的实际限制（如限速），自变量取值范围要结合实际情况确定。
第 7 页：应用场景三 —— 经济问题
典型例题：
例 3：某文具店销售一种笔记本，若按每本 10 元的价格销售，每月可售出 300 本。经调查发现，笔记本单价每上涨 1 元，月销售量就减少 30 本。当单价定为多少元时，月销售额达到 3600 元？（销售额 = 单价 × 销售量）
（注：本题先判断是否为反比例关系，再建模求解）
详细解析：
设单价上涨 x 元，此时单价为 (10+x) 元，月销售量为 (300-30x) 本；
销售额 =(10+x)(300-30x)=3600；
化简得：\(-30x + 0x + 3000 = 3600\)，即\(x = 20\)（此处修正：实际计算应为 - 30x + 0x + 3000 = 3600 → -30x = 600 → x = -20，显然错误，重新调整题目数据：若单价每上涨 1 元，月销售量减少 20 本）
修正后：销售额 =(10+x)(300-20x)=3600；
展开：3000 - 200x + 300x - 20x = 3600 → -20x + 100x - 600 = 0 → x - 5x + 30 = 0（仍错误，再次调整：原月销售量 300 本，单价 10 元，销售额 3000 元；若单价每下降 1 元，月销售量增加 50 本，求销售额达到 3200 元时的单价）
最终修正例题：设单价下降 x 元，单价为 (10-x) 元，销售量为 (300+50x) 本，销售额 =(10-x)(300+50x)=3200；
展开：3000 + 500x - 300x - 50x = 3200 → -50x + 200x - 200 = 0 → x - 4x + 4 = 0 → x=2，故单价为 10-2=8 元。
方法总结：经济问题中，需明确单价、数量与总价的关系，先判断变量间是否为反比例关系，再选择合适的函数模型求解。
第 8 页：应用场景四 —— 物理问题
典型例题：
例 4：在电路中，当电压 U（伏特）一定时，电流 I（安培）与电阻 R（欧姆）成反比例关系。已知当 R=10 欧姆时，I=2.4 安培。
（1）求 U 的值及 I 与 R 的函数解析式；
（2）若电阻 R 不得超过 15 欧姆，求电流 I 的最小值；
（3）若电流 I 的范围是 0.8≤I≤3，求电阻 R 的取值范围。
详细解析：
（1）由物理公式 U=IR，得 U=10×2.4=24（伏特），故\(I=\frac{24}{R}\)（R>0）；
（2）当 R=15 时，\(I=\frac{24}{15}=1.6\)（安培），故电流最小值为 1.6 安培；
（3）当 I=0.8 时，\(R=\frac{24}{0.8}=30\)；当 I=3 时，\(R=\frac{24}{3}=8\)，故 R 的取值范围是 8≤R≤30。
学科融合：物理中常见的反比例关系还有 “压力一定时，压强与受力面积的关系”“功一定时，力与距离的关系”，可结合物理知识加深理解。
第 9 页：综合应用 —— 多变量问题
典型例题：
例 5：某工厂生产一批玩具，原计划由 20 名工人 15 天完成。实际生产时，先由 30 名工人生产了若干天，因订单紧急，又增加 10 名工人，最终提前 3 天完成任务。
（1）求每名工人每天的工作量（设为 1 份）及总工作量；
（2）设 30 名工人生产了 x 天，求 x 的值。
详细解析：
（1）总工作量 = 20×15×1=300（份）；
（2）实际完成时间 = 15-3=12（天），30 名工人生产 x 天，40 名工人生产 (12-x) 天，总工作量 = 30x + 40 (12-x)=300；
解得：30x + 480 - 40x = 300 → -10x = -180 → x=18（显然错误，修正：提前 3 天完成，实际时间为 15-3=12 天，30 名工人生产 x 天，40 名工人生产 (12-x) 天，总工作量 = 30x + 40 (12-x)=300 → 30x + 480 - 40x = 300 → -10x = -180 → x=18，超过实际总时间 12 天，故调整题目：原计划 20 名工人 20 天完成，实际 30 名工人生产 x 天，40 名工人生产 (16-x) 天，提前 4 天完成）
修正后：总工作量 = 20×20=400，30x + 40 (16-x)=400 → 30x + 640 - 40x = 400 → -10x = -240 → x=24（仍错误，重新设计：原计划 10 名工人 12 天完成，实际 15 名工人生产 x 天，20 名工人生产 (10-x) 天，提前 2 天完成）
最终修正：总工作量 = 10×12=120，15x + 20 (10-x)=120 → 15x + 200 - 20x = 120 → -5x = -80 → x=16（仍错误，改为：原计划 15 名工人 10 天完成，实际 20 名工人生产 x 天，10 名工人生产 (8-x) 天，提前 2 天完成）
总工作量 = 15×10=150，20x + 10 (8-x)=150 → 20x + 80 - 10x = 150 → 10x=70 → x=7，符合实际。
解题技巧：多变量问题中，需明确总工作量（或总任务）为定值，通过各阶段的工作量之和等于总工作量建立方程求解。
第 10 页：易错点与解题技巧归纳
常见易错点：
忽略实际问题中自变量的取值范围（如人数为正整数、时间为正数）
混淆正比例与反比例关系（如 “速度一定时，路程与时间成正比例”，“路程一定时，速度与时间成反比例”）
计算 k 值时，代入数据错误或单位不统一（如行程问题中速度单位为 “千米 / 时”，时间单位需统一为 “时”）
实用解题技巧：
遇到复杂问题时，先列表整理已知条件，明确变量间的关系
求解后，将结果代入实际问题中验证，确保符合题意
利用反比例函数图象辅助分析，直观判断变量的变化趋势
第 11 页：巩固练习
工程问题：某装修队装修一套房屋，原计划 18 天完成，每天装修 30 平方米。实际每天多装修 10 平方米，实际多少天完成？
行程问题：一辆货车从甲地到乙地，原计划以 60 千米 / 时的速度行驶，4 小时到达。实际行驶时间比计划多 1 小时，实际行驶速度是多少？
经济问题：某水果店销售苹果，若按每千克 8 元销售，每天可卖出 100 千克。若每千克降价 0.5 元，每天可多卖出 20 千克。当销售额为 840 元时，每千克苹果的售价是多少？
物理问题：在压力一定时，压强 p（帕斯卡）与受力面积 S（平方米）成反比例。已知当 S=0.2 平方米时，p=3000 帕斯卡。求当 S=0.3 平方米时，p 的值。
第 12 页：课堂小结
知识梳理：
实际问题中的反比例关系：工程、行程、经济、物理等场景
建模步骤：审题意→设解析式→求 k 值→解问题→验结果
关键：明确定值（即 k 值），确定自变量取值范围
思想方法：
数学建模思想：将实际问题转化为数学函数模型
数形结合思想：利用反比例函数图象分析变量变化规律
方程思想：通过建立方程求解实际问题中的未知量
核心收获：掌握用反比例函数解决实际问题的方法，提升数学应用能力
第 13 页：布置作业
基础作业：完成教材对应习题，解决 2 道工程问题和 2 道行程问题
提升作业：某工厂要生产一批零件，若单独由 A 车间生产，需要 20 天完成；若单独由 B 车间生产，需要 30 天完成。现 A、B 两车间合作生产若干天后，A 车间因其他任务停工，剩余零件由 B 车间单独生产 5 天完成。求两车间合作生产的天数。
实践作业：观察生活中的一个反比例关系场景（如手机充电时，充电电流与充电时间），记录 3 组对应数据，建立反比例函数模型，并预测当其中一个变量取某一值时，另一个变量的值
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
26.2.2 反比例函数在其他学科中的应用
第二十六章 反比例函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
在电影《西游·降魔篇》中，村民们为了制服水妖而合力大战. 你能说说他们是如何制服水妖的吗？ 这个方法的原理是什么？
公元前 3 世纪，古希腊科学家阿基米德发现：若杠杆上两物体到支点的距离与其重量成反比，则杠杆平衡. 后来人们把它归纳为“杠杆原理”. 通俗地说，杠杆原理为：
阻力×阻力臂 = 动力×动力臂.
阻力
动力
阻力臂
动力臂
例 1 小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为 1200 N 和 0.5 m.
(1) 动力 F 与动力臂 l 有怎样的函数关系 当动力臂为
1.5 m 时，撬动石头至少需要多大的力
对于函数 ，当 l =1.5 m 时，F = 400 N，此
时杠杆平衡. 因此撬动石头至少需要 400 N 的力.
反比例函数在其他学科中的应用
典例精析
解：根据“杠杆原理”，得 Fl =1200×0.5，
∴ F 关于 l 的函数解析式为
解：当 F = 400× = 200 时，由 200 = ，得
(2) 若想使动力 F 不超过题 (1) 中所用力的一半，则动
力臂 l 至少要加长多少
提示：对于函数 ，F 随 l 的增大而减小. 因此，只要求出 F = 200 N 时对应的 l 的值，就能确定动力臂 l 至少应加长的量.
3－1.5 =1.5 (m).
对于函数 ，当 l ＞0 时，l 越大，F 越小.
因此，若想用力不超过 400 N 的一半，则动力臂至少要加长 1.5 m.
在物理学中，我们知道，当阻力和阻力臂一定时，动力臂越长就越省力，你能用反比例函数的知识对其进行解释吗？
想一想：
假定地球重量的近似值为 6×1025 牛顿 (即阻力)，阿基米德有 500 牛顿的力量，阻力臂为 2000 千米，请你帮助阿基米德设计，该用多长动力臂的杠杆才能把地球撬动？
由已知得 F×l＝6×1025×2×106 =1.2×1032 ，
令 F = 500 N，得 l =2.4×1029 米，
解：2000 千米 = 2×106 米，
练一练
变形得
故用 2.4×1029 米长的动力臂的杠杆才能把地球撬动.
例 2 某校科技小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地. 当人和木板对湿地的压力 F 一定时，随着木板面积 S (m2) 的变化，人和木板对地面的压强 p (Pa) 也随之变化变化. 如果人和木板对湿地地面的压力 F 合计为 600 N，那么：
(1) 用含 S 的代数式表示 p，p 是 S 的反比例函数吗？
解：由 ，得
p 是 S 的反比例函数．
(2) 当木板面积为 0.2 m2 时，压强是多少？
解：当 S ＝ 0.2 m2 时，
故当木板面积为 0.2 m2 时，压强是 3000 Pa．
(3) 如果要求压强不超过 6000 Pa，木板面积至少要多大？
解：当 p = 6000 时，由 得
对于函数 ，当 S ＞0 时，S 越大，p 越小.
因此，若要求压强不超过 6000 Pa，则木板面积至少要 0.1 m2.
(4) 在平面直角坐标系中，作出相应的函数图象．
2000
0.1
0.5
O
0.6
0.3
0.2
0.4
1000
3000
4000
5000
6000
S/m2
p/Pa
解：如图所示.
某人对地面的压强与他和地面接触面积的函数关系如图所示．若某一沼泽地地面能承受的压强不超过 300 N/m2，那么此人应站立在面积为多少的木板上才不会下陷 (木板重量忽略不计) ( )
A. 至少 2 m2
B. 至多 2 m2
C. 大于 2 m2
D. 小于 2 m2
练一练
20
40
60
O
60
20
40
S/m2
p/(N/m2)
A
例3 一个用电器的电阻是可调节的，其范围为
110 Ω ～ 220 Ω. 已知电压为 220 V，这个用电器的电路图如图所示.
(1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系
U
~
解：根据电学知识，
当 U = 220 时，得
(2) 这个用电器功率的范围是多少
解：根据反比例函数的性质可知，电阻越大，功率越小.
把电阻的最小值 R = 110 代入解析式，
得到功率的最大值
把电阻的最大值 R = 220 代入解析式，
得到功率的最小值
因此用电器功率的范围为 220 W ~ 440 W.
1. 在公式 中，当电压 U 一定时，电流 I 与电阻
R 之间的函数关系可用图象表示大致为 ( )
D
练一练
A
B
C
D
I
R
I
R
I
R
I
R
O
O
O
O
2. 在某一电路中，电压保持不变，电流 I (A) 和电阻
R (Ω)成反比例，当电阻 R ＝ 5 Ω 时，电流 I ＝ 2 A．
(1) 求 I 与 R 之间的函数关系式；
(2) 当电流 I＝0.5 时，求电阻 R 的值．
解：(1) 设 ，∵ 当 R = 5 Ω 时，I = 2 A，
∴ U = 2×5 = 10 (V)．
∴ I 与 R 之间的函数关系式为
(2) 当 I = 0.5 A 时， ，解得 R = 20 (Ω)．
1. 当电压为 220 V 时 (电压=电流×电阻)，通过电路
的电流 I (A) 与电路中的电阻 R (Ω) 之间的函数关
系为 ( )
B. I = 220R
D. R = 220I
A.
C.
A
2. 某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，
气球内气体的气压 p (kPa) 是气体体积 V (m3)的反
比例函数，其图象如图所示，当气球内的气压为
120 kPa 时，气球的体积应为 ( )
A. B.
C. D.
C
O
60
V/m3
p/kPa
1.6
1．
根据物理学知识，在压力不变的情况下，某物体承受的压强p(Pa)是它的受力面积S(m2)的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是(　　)
【点拨】
【答案】A
返回
45
2．
[2024台州一模]在物理学中，用电功率表示电流做功的快慢．已知在串联电路中，电阻与电功率成正比；在并联电路中，电阻与电功率成反比．如图①，把两个电阻R1和R2串联在电路中，R1与R2的电功率之比是3：2.如图②，当把它们并联在电路中，R1的电功率是30 W，则R2的电功率是________W.
【点拨】
根据题意知，当两个电阻串联时，电阻与电功率成正比，则两电阻之比等于其消耗功率之比．
∵R1与R2的电功率之比是3：2，∴R1：R2＝3：2.
返回
3．
[2024漳州期末]阿基米德说：“给我一个支点，我就能撬动整个地球”．这句话精辟地阐明了一个重要的物理学知识——杠杆原理，即“阻力×阻力臂＝动力×动力臂”．张师傅欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别为900 N和1 m.
(1)求动力F与动力臂l的函数解析式.
(2)当动力臂l为2 m时，则撬动这块石头至少需要的动力F是多少？
返回
4．
如图①，区间测速是指检测机动车在两个相邻测速监控点之间的路段(测速区间)上平均速度的方法．小聪发现安全驾驶且不超过限速的条件下，汽车在某一高速路的限速区间AB段的平均行驶速度v(km/h)与行驶时间t(h)是反比例函数关系(如图②)，已知高速公路上行驶的小型载客汽车最高车速不得超过120 km/h，最低车速不得低于60 km/h，小聪的爸爸按照此规定通过该限速区间AB段的时间可能是(　　)
A．0.1 h B．0.35 h
C．0.45 h D．0.5 h
【点拨】
【答案】B
返回
5．
10.8
如图是某蔬菜大棚恒温系统从开启到关闭后，大棚内温度y(℃)随时间x(h)变化的函数图象，其中BC段是反比例函数图象的一部分，则当x＝20 h时，大棚内的温度约为________℃.
【点拨】
返回
6．
某动物园根据杠杆原理G1·L1＝G2·L2上演了一幕现代版“曹冲称象”，具体做法如下：如图，在一根已经水平地挂在起重机上的钢梁的左右两边分别挂上一根弹簧秤(重量可以忽略不计)和装有大象的铁笼，其中L1＝6 m，L2＝0.2 m，已知当钢梁又呈水平状态(铁笼已经离地)时，弹簧秤显示的读数为G1＝1 200 N，
装有大象的铁笼及其挂钩的总重量为G2.
(1)求装有大象的铁笼及其挂钩的总重量G2.
【解】把L1＝6 m，L2＝0.2 m，G1＝1 200 N
代入G1·L1＝G2·L2，得1 200×6＝0.2G2，
解得G2＝36 000 N.
所以装有大象的铁笼及其挂钩的总重量G2为36 000 N.
(2)若装大象的铁笼固定不动，装有大象的铁笼及其挂钩的总重量不变，那么G1是关于L1的什么函数？直接写出函数解析式.
(3)当L1＝8 m时，求弹簧秤的显示读数G1；当弹簧秤的显示读数G1＝1 800 N时，求L1.
返回
物理学科中的反比例函数
知识小结
与其他知识的综合
思想方法小结
建模—反比例函数的数学思想方法
“杠杆原理”：
动力×动力臂=阻力×阻力臂
与力学的综合
与电学的综合
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！