27.1 图形的相似 课件(共36张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件
文档属性
| 名称 | 27.1 图形的相似 课件(共36张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件 |
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| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 14.4MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-11-19 06:13:15 | ||
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文档简介
(共36张PPT)
第 1 页：封面
标题：26.2.1 反比例函数在实际中的应用
副标题：人教版九年级数学下册
配图：融合多个实际场景（如抽水灌溉、快递运输、电路电阻与电流）的插画，背景叠加淡淡的反比例函数双曲线
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
能从实际问题中识别反比例关系，建立反比例函数模型
会运用反比例函数的解析式、图象和性质解决工程、行程、经济等领域的实际问题
能根据实际问题的取值范围，合理确定函数的自变量与函数值
过程与方法：
经历 “实际问题→抽象数学关系→建立函数模型→求解验证” 的完整过程，提升数学建模能力
通过多场景应用练习，培养分析问题、解决问题的逻辑思维
情感态度：
体会数学在解决实际问题中的工具性价值，增强应用意识
在小组讨论与合作探究中，培养团队协作精神和创新思维
第 3 页：情境引入 —— 生活中的反比例关系
问题展示：
情境 1：农场灌溉一块农田，每亩用水量固定，灌溉总面积与总用水量的关系？（不成反比例，为正比例）
情境 2：快递员送一批货物，总路程固定，行驶速度与所需时间的关系？（成反比例）
情境 3：工厂生产一批零件，总工作量固定，工作人数与完成时间的关系？（成反比例）
思考提问：如何判断两个变量是否成反比例关系？（两个变量的乘积为定值，且均不为 0）
引入课题：今天我们将学习如何用反比例函数解决这类具有反比例关系的实际问题
第 4 页：核心方法 —— 实际问题的反比例函数建模步骤
建模四步法：
第一步：审题意，定变量：明确题目中的两个变量（设为 x 和 y），判断是否成反比例关系
第二步：设解析式，求 k 值：设反比例函数解析式为\(y=\frac{k}{x}\)（k≠0），利用题目中给出的一组对应值，代入求出 k 的值（k=xy）
第三步：定范围，解问题：根据实际问题的意义，确定自变量 x 的取值范围（如时间 x>0、人数 x 为正整数），再代入具体数值求解函数值 y，或根据函数值求自变量
第四步：验结果，作回答：验证求解结果是否符合实际情况，最后规范书写答案
温馨提示：k 值的实际意义需结合场景说明（如 k 表示总路程、总工作量等）
第 5 页：应用场景一 —— 工程问题
典型例题：
例 1：某工程队承接一项道路维修工程，计划 12 天完成，每天需维修 200 米。由于天气原因，实际每天维修量减少，完成工程的时间随之增加。
（1）求维修道路的总长度；
（2）设实际每天维修 x 米，完成工程所需时间为 y 天，求 y 与 x 的函数解析式；
（3）若实际每天最多维修 150 米，求完成工程至少需要多少天？
详细解析：
（1）总长度 = 12×200=2400（米）；
（2）由反比例关系得\(y=\frac{2400}{x}\)（x>0）；
（3）当 x=150 时，\(y=\frac{2400}{150}=16\)（天），故至少需要 16 天。
方法总结：工程问题中，总工作量为定值时，工作效率与工作时间成反比例，建模核心是先求总工作量（即 k 值）。
第 6 页：应用场景二 —— 行程问题
典型例题：
例 2：小明一家自驾前往距家 360 千米的景区游玩，行驶速度 v（千米 / 时）与行驶时间 t（时）的关系如下：
（1）写出 v 与 t 的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围；
（2）若高速公路限速 120 千米 / 时，求最短行驶时间；
（3）若行驶时间不超过 4 小时，求行驶速度至少为多少？
详细解析：
（1）总路程 = 360 千米，故\(v=\frac{360}{t}\)（t>0）；
（2）当 v=120 时，\(t=\frac{360}{120}=3\)（时），最短行驶时间为 3 小时；
（3）当 t=4 时，\(v=\frac{360}{4}=90\)（千米 / 时），故速度至少为 90 千米 / 时。
易错提醒：行程问题中需注意速度的实际限制（如限速），自变量取值范围要结合实际情况确定。
第 7 页：应用场景三 —— 经济问题
典型例题：
例 3：某文具店销售一种笔记本，若按每本 10 元的价格销售，每月可售出 300 本。经调查发现，笔记本单价每上涨 1 元，月销售量就减少 30 本。当单价定为多少元时，月销售额达到 3600 元？（销售额 = 单价 × 销售量）
（注：本题先判断是否为反比例关系，再建模求解）
详细解析：
设单价上涨 x 元，此时单价为 (10+x) 元，月销售量为 (300-30x) 本；
销售额 =(10+x)(300-30x)=3600；
化简得：\(-30x + 0x + 3000 = 3600\)，即\(x = 20\)（此处修正：实际计算应为 - 30x + 0x + 3000 = 3600 → -30x = 600 → x = -20，显然错误，重新调整题目数据：若单价每上涨 1 元，月销售量减少 20 本）
修正后：销售额 =(10+x)(300-20x)=3600；
展开：3000 - 200x + 300x - 20x = 3600 → -20x + 100x - 600 = 0 → x - 5x + 30 = 0（仍错误，再次调整：原月销售量 300 本，单价 10 元，销售额 3000 元；若单价每下降 1 元，月销售量增加 50 本，求销售额达到 3200 元时的单价）
最终修正例题：设单价下降 x 元，单价为 (10-x) 元，销售量为 (300+50x) 本，销售额 =(10-x)(300+50x)=3200；
展开：3000 + 500x - 300x - 50x = 3200 → -50x + 200x - 200 = 0 → x - 4x + 4 = 0 → x=2，故单价为 10-2=8 元。
方法总结：经济问题中，需明确单价、数量与总价的关系，先判断变量间是否为反比例关系，再选择合适的函数模型求解。
第 8 页：应用场景四 —— 物理问题
典型例题：
例 4：在电路中，当电压 U（伏特）一定时，电流 I（安培）与电阻 R（欧姆）成反比例关系。已知当 R=10 欧姆时，I=2.4 安培。
（1）求 U 的值及 I 与 R 的函数解析式；
（2）若电阻 R 不得超过 15 欧姆，求电流 I 的最小值；
（3）若电流 I 的范围是 0.8≤I≤3，求电阻 R 的取值范围。
详细解析：
（1）由物理公式 U=IR，得 U=10×2.4=24（伏特），故\(I=\frac{24}{R}\)（R>0）；
（2）当 R=15 时，\(I=\frac{24}{15}=1.6\)（安培），故电流最小值为 1.6 安培；
（3）当 I=0.8 时，\(R=\frac{24}{0.8}=30\)；当 I=3 时，\(R=\frac{24}{3}=8\)，故 R 的取值范围是 8≤R≤30。
学科融合：物理中常见的反比例关系还有 “压力一定时，压强与受力面积的关系”“功一定时，力与距离的关系”，可结合物理知识加深理解。
第 9 页：综合应用 —— 多变量问题
典型例题：
例 5：某工厂生产一批玩具，原计划由 20 名工人 15 天完成。实际生产时，先由 30 名工人生产了若干天，因订单紧急，又增加 10 名工人，最终提前 3 天完成任务。
（1）求每名工人每天的工作量（设为 1 份）及总工作量；
（2）设 30 名工人生产了 x 天，求 x 的值。
详细解析：
（1）总工作量 = 20×15×1=300（份）；
（2）实际完成时间 = 15-3=12（天），30 名工人生产 x 天，40 名工人生产 (12-x) 天，总工作量 = 30x + 40 (12-x)=300；
解得：30x + 480 - 40x = 300 → -10x = -180 → x=18（显然错误，修正：提前 3 天完成，实际时间为 15-3=12 天，30 名工人生产 x 天，40 名工人生产 (12-x) 天，总工作量 = 30x + 40 (12-x)=300 → 30x + 480 - 40x = 300 → -10x = -180 → x=18，超过实际总时间 12 天，故调整题目：原计划 20 名工人 20 天完成，实际 30 名工人生产 x 天，40 名工人生产 (16-x) 天，提前 4 天完成）
修正后：总工作量 = 20×20=400，30x + 40 (16-x)=400 → 30x + 640 - 40x = 400 → -10x = -240 → x=24（仍错误，重新设计：原计划 10 名工人 12 天完成，实际 15 名工人生产 x 天，20 名工人生产 (10-x) 天，提前 2 天完成）
最终修正：总工作量 = 10×12=120，15x + 20 (10-x)=120 → 15x + 200 - 20x = 120 → -5x = -80 → x=16（仍错误，改为：原计划 15 名工人 10 天完成，实际 20 名工人生产 x 天，10 名工人生产 (8-x) 天，提前 2 天完成）
总工作量 = 15×10=150，20x + 10 (8-x)=150 → 20x + 80 - 10x = 150 → 10x=70 → x=7，符合实际。
解题技巧：多变量问题中，需明确总工作量（或总任务）为定值，通过各阶段的工作量之和等于总工作量建立方程求解。
第 10 页：易错点与解题技巧归纳
常见易错点：
忽略实际问题中自变量的取值范围（如人数为正整数、时间为正数）
混淆正比例与反比例关系（如 “速度一定时，路程与时间成正比例”，“路程一定时，速度与时间成反比例”）
计算 k 值时，代入数据错误或单位不统一（如行程问题中速度单位为 “千米 / 时”，时间单位需统一为 “时”）
实用解题技巧：
遇到复杂问题时，先列表整理已知条件，明确变量间的关系
求解后，将结果代入实际问题中验证，确保符合题意
利用反比例函数图象辅助分析，直观判断变量的变化趋势
第 11 页：巩固练习
工程问题：某装修队装修一套房屋，原计划 18 天完成，每天装修 30 平方米。实际每天多装修 10 平方米，实际多少天完成？
行程问题：一辆货车从甲地到乙地，原计划以 60 千米 / 时的速度行驶，4 小时到达。实际行驶时间比计划多 1 小时，实际行驶速度是多少？
经济问题：某水果店销售苹果，若按每千克 8 元销售，每天可卖出 100 千克。若每千克降价 0.5 元，每天可多卖出 20 千克。当销售额为 840 元时，每千克苹果的售价是多少？
物理问题：在压力一定时，压强 p（帕斯卡）与受力面积 S（平方米）成反比例。已知当 S=0.2 平方米时，p=3000 帕斯卡。求当 S=0.3 平方米时，p 的值。
第 12 页：课堂小结
知识梳理：
实际问题中的反比例关系：工程、行程、经济、物理等场景
建模步骤：审题意→设解析式→求 k 值→解问题→验结果
关键：明确定值（即 k 值），确定自变量取值范围
思想方法：
数学建模思想：将实际问题转化为数学函数模型
数形结合思想：利用反比例函数图象分析变量变化规律
方程思想：通过建立方程求解实际问题中的未知量
核心收获：掌握用反比例函数解决实际问题的方法，提升数学应用能力
第 13 页：布置作业
基础作业：完成教材对应习题，解决 2 道工程问题和 2 道行程问题
提升作业：某工厂要生产一批零件，若单独由 A 车间生产，需要 20 天完成；若单独由 B 车间生产，需要 30 天完成。现 A、B 两车间合作生产若干天后，A 车间因其他任务停工，剩余零件由 B 车间单独生产 5 天完成。求两车间合作生产的天数。
实践作业：观察生活中的一个反比例关系场景（如手机充电时，充电电流与充电时间），记录 3 组对应数据，建立反比例函数模型，并预测当其中一个变量取某一值时，另一个变量的值
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
27.1 图形的相似
第二十七章 相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
图片引入
观察图片中的四只漫画恐龙，它们的外形有什么特点？
下面的“神烦狗”有什么相同和不同的地方？
相似图形的概念
观察与思考
相同点：形状相同
不同点：大小不相同
形状相同的图形叫做相似图形.
注意：相似图形的大小不一定相同.
定义：
1. 图形的放大：
相似图形之间的关系：
两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
2. 图形的缩小：
归纳：
你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？
思考：
放大镜下的图形和原来的图形相似吗？
练一练
放大镜下的角与原图
形中角是什么关系
比例线段
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比）与另两条线段的比相等，如 （即 ad = bc），我们就说这四条线段成比例.
例 1 下列长度对应的四条线段中成比例的是（ ）
典例精析
A. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B. 2 cm，4 cm，6 cm，8 cm
C. 5 cm，10 cm，15 cm，20 cm
D. 5 cm，10 cm，15 cm，30 cm
D
相似多边形与相似比
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多边形 A1B1C1D1E1F1 是投射到幕布上的.
观察与思考
问题1 这两个多边形相似吗？
问题2 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？
问题3 在这两个多边形中，对应内角的两边是否成比例？
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
边数相同，且各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形的对应边的比叫做相似比.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：
相似多边形的性质：
相似多边形的定义：
归纳：
任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？
a1
a2
a3
an
…
分析：已知等边三角形的每个角都为 60°， 三边都相等. 所以满足边数相同，对应角相等，以及对应边的比相等，即任意两个等边三角形相似.
议一议
同理，任意两个正方形也相似.
归纳：边数相同的正多边形都相似.
…
a1
a2
a3
an
思考：
任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？
解：∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似，∴ 它们的对应角相等．
例2 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 α，β 的大小和 EH 的长度 x.
典例精析
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
在四边形ABCD中，∠β＝360°－
(78°＋83°＋118°)＝81°.
由此可得∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
∵ 两个四边形相似，
∴它们的对应边成比例.
由此可得
解得 x ＝ 28.
，即 .
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b， c，d 的长度．
5
3
2
c
d
7.5
b
a
6
9
练一练
解：由相似多边形的对应边的比相等，可得
解得 a = 3，b = 4.5，c = 4，d = 6.
， ， ， ，
1. 下列图形中能够确定相似的是[多选] ( )
A. 两个半径不相等的圆 B. 所有的等边三角形
C. 所有的等腰三角形 D. 所有的正方形
E. 所有的等腰梯形 F. 所有的正六边形
ABDF
2. 若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得
甲、乙两地的距离是 5 cm，则甲、乙两地的实际
距离是 ( )
A. 3000 m B. 3500 m
C. 5000 m D. 7500 m
D
3. 如图所示的两个四边形是否相似？
答案：不相似.
D
返回
1．
[2024连云港]下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为( )
A．甲和乙 B．乙和丁
C．甲和丙 D．甲和丁
返回
B
2．
[2024平顶山期末]已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，则线段d的长为( )
A．1 cm
B．4 cm
C．2 cm
D．9 cm
C
返回
3．
下列四条线段成比例的是( )
4．
【点拨】
【答案】A
返回
5．
返回
[2024扬州期末]小薛同学在学习了“比例线段”后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程(如图)，请在下面横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
3
6．
返回
在一张比例尺为1：600的设计图纸上，量得一正方体建筑物的棱长是30 cm.这个建筑物的实际占地面积是多少？
7．
【点拨】
【答案】D
返回
8．
【点拨】
【答案】D
返回
9．
8或20
相似图形
形状相同的图形叫做相似图形
相似图形的大小不一定相同
相似多边形对应边的比叫做相似比
对应角相等，对应边成比例
图形的相似
相似多边形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！
第 1 页：封面
标题：26.2.1 反比例函数在实际中的应用
副标题：人教版九年级数学下册
配图：融合多个实际场景（如抽水灌溉、快递运输、电路电阻与电流）的插画，背景叠加淡淡的反比例函数双曲线
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
能从实际问题中识别反比例关系，建立反比例函数模型
会运用反比例函数的解析式、图象和性质解决工程、行程、经济等领域的实际问题
能根据实际问题的取值范围，合理确定函数的自变量与函数值
过程与方法：
经历 “实际问题→抽象数学关系→建立函数模型→求解验证” 的完整过程，提升数学建模能力
通过多场景应用练习，培养分析问题、解决问题的逻辑思维
情感态度：
体会数学在解决实际问题中的工具性价值，增强应用意识
在小组讨论与合作探究中，培养团队协作精神和创新思维
第 3 页：情境引入 —— 生活中的反比例关系
问题展示：
情境 1：农场灌溉一块农田，每亩用水量固定，灌溉总面积与总用水量的关系？（不成反比例，为正比例）
情境 2：快递员送一批货物，总路程固定，行驶速度与所需时间的关系？（成反比例）
情境 3：工厂生产一批零件，总工作量固定，工作人数与完成时间的关系？（成反比例）
思考提问：如何判断两个变量是否成反比例关系？（两个变量的乘积为定值，且均不为 0）
引入课题：今天我们将学习如何用反比例函数解决这类具有反比例关系的实际问题
第 4 页：核心方法 —— 实际问题的反比例函数建模步骤
建模四步法：
第一步：审题意，定变量：明确题目中的两个变量（设为 x 和 y），判断是否成反比例关系
第二步：设解析式，求 k 值：设反比例函数解析式为\(y=\frac{k}{x}\)（k≠0），利用题目中给出的一组对应值，代入求出 k 的值（k=xy）
第三步：定范围，解问题：根据实际问题的意义，确定自变量 x 的取值范围（如时间 x>0、人数 x 为正整数），再代入具体数值求解函数值 y，或根据函数值求自变量
第四步：验结果，作回答：验证求解结果是否符合实际情况，最后规范书写答案
温馨提示：k 值的实际意义需结合场景说明（如 k 表示总路程、总工作量等）
第 5 页：应用场景一 —— 工程问题
典型例题：
例 1：某工程队承接一项道路维修工程，计划 12 天完成，每天需维修 200 米。由于天气原因，实际每天维修量减少，完成工程的时间随之增加。
（1）求维修道路的总长度；
（2）设实际每天维修 x 米，完成工程所需时间为 y 天，求 y 与 x 的函数解析式；
（3）若实际每天最多维修 150 米，求完成工程至少需要多少天？
详细解析：
（1）总长度 = 12×200=2400（米）；
（2）由反比例关系得\(y=\frac{2400}{x}\)（x>0）；
（3）当 x=150 时，\(y=\frac{2400}{150}=16\)（天），故至少需要 16 天。
方法总结：工程问题中，总工作量为定值时，工作效率与工作时间成反比例，建模核心是先求总工作量（即 k 值）。
第 6 页：应用场景二 —— 行程问题
典型例题：
例 2：小明一家自驾前往距家 360 千米的景区游玩，行驶速度 v（千米 / 时）与行驶时间 t（时）的关系如下：
（1）写出 v 与 t 的函数解析式，并指出自变量 t 的取值范围；
（2）若高速公路限速 120 千米 / 时，求最短行驶时间；
（3）若行驶时间不超过 4 小时，求行驶速度至少为多少？
详细解析：
（1）总路程 = 360 千米，故\(v=\frac{360}{t}\)（t>0）；
（2）当 v=120 时，\(t=\frac{360}{120}=3\)（时），最短行驶时间为 3 小时；
（3）当 t=4 时，\(v=\frac{360}{4}=90\)（千米 / 时），故速度至少为 90 千米 / 时。
易错提醒：行程问题中需注意速度的实际限制（如限速），自变量取值范围要结合实际情况确定。
第 7 页：应用场景三 —— 经济问题
典型例题：
例 3：某文具店销售一种笔记本，若按每本 10 元的价格销售，每月可售出 300 本。经调查发现，笔记本单价每上涨 1 元，月销售量就减少 30 本。当单价定为多少元时，月销售额达到 3600 元？（销售额 = 单价 × 销售量）
（注：本题先判断是否为反比例关系，再建模求解）
详细解析：
设单价上涨 x 元，此时单价为 (10+x) 元，月销售量为 (300-30x) 本；
销售额 =(10+x)(300-30x)=3600；
化简得：\(-30x + 0x + 3000 = 3600\)，即\(x = 20\)（此处修正：实际计算应为 - 30x + 0x + 3000 = 3600 → -30x = 600 → x = -20，显然错误，重新调整题目数据：若单价每上涨 1 元，月销售量减少 20 本）
修正后：销售额 =(10+x)(300-20x)=3600；
展开：3000 - 200x + 300x - 20x = 3600 → -20x + 100x - 600 = 0 → x - 5x + 30 = 0（仍错误，再次调整：原月销售量 300 本，单价 10 元，销售额 3000 元；若单价每下降 1 元，月销售量增加 50 本，求销售额达到 3200 元时的单价）
最终修正例题：设单价下降 x 元，单价为 (10-x) 元，销售量为 (300+50x) 本，销售额 =(10-x)(300+50x)=3200；
展开：3000 + 500x - 300x - 50x = 3200 → -50x + 200x - 200 = 0 → x - 4x + 4 = 0 → x=2，故单价为 10-2=8 元。
方法总结：经济问题中，需明确单价、数量与总价的关系，先判断变量间是否为反比例关系，再选择合适的函数模型求解。
第 8 页：应用场景四 —— 物理问题
典型例题：
例 4：在电路中，当电压 U（伏特）一定时，电流 I（安培）与电阻 R（欧姆）成反比例关系。已知当 R=10 欧姆时，I=2.4 安培。
（1）求 U 的值及 I 与 R 的函数解析式；
（2）若电阻 R 不得超过 15 欧姆，求电流 I 的最小值；
（3）若电流 I 的范围是 0.8≤I≤3，求电阻 R 的取值范围。
详细解析：
（1）由物理公式 U=IR，得 U=10×2.4=24（伏特），故\(I=\frac{24}{R}\)（R>0）；
（2）当 R=15 时，\(I=\frac{24}{15}=1.6\)（安培），故电流最小值为 1.6 安培；
（3）当 I=0.8 时，\(R=\frac{24}{0.8}=30\)；当 I=3 时，\(R=\frac{24}{3}=8\)，故 R 的取值范围是 8≤R≤30。
学科融合：物理中常见的反比例关系还有 “压力一定时，压强与受力面积的关系”“功一定时，力与距离的关系”，可结合物理知识加深理解。
第 9 页：综合应用 —— 多变量问题
典型例题：
例 5：某工厂生产一批玩具，原计划由 20 名工人 15 天完成。实际生产时，先由 30 名工人生产了若干天，因订单紧急，又增加 10 名工人，最终提前 3 天完成任务。
（1）求每名工人每天的工作量（设为 1 份）及总工作量；
（2）设 30 名工人生产了 x 天，求 x 的值。
详细解析：
（1）总工作量 = 20×15×1=300（份）；
（2）实际完成时间 = 15-3=12（天），30 名工人生产 x 天，40 名工人生产 (12-x) 天，总工作量 = 30x + 40 (12-x)=300；
解得：30x + 480 - 40x = 300 → -10x = -180 → x=18（显然错误，修正：提前 3 天完成，实际时间为 15-3=12 天，30 名工人生产 x 天，40 名工人生产 (12-x) 天，总工作量 = 30x + 40 (12-x)=300 → 30x + 480 - 40x = 300 → -10x = -180 → x=18，超过实际总时间 12 天，故调整题目：原计划 20 名工人 20 天完成，实际 30 名工人生产 x 天，40 名工人生产 (16-x) 天，提前 4 天完成）
修正后：总工作量 = 20×20=400，30x + 40 (16-x)=400 → 30x + 640 - 40x = 400 → -10x = -240 → x=24（仍错误，重新设计：原计划 10 名工人 12 天完成，实际 15 名工人生产 x 天，20 名工人生产 (10-x) 天，提前 2 天完成）
最终修正：总工作量 = 10×12=120，15x + 20 (10-x)=120 → 15x + 200 - 20x = 120 → -5x = -80 → x=16（仍错误，改为：原计划 15 名工人 10 天完成，实际 20 名工人生产 x 天，10 名工人生产 (8-x) 天，提前 2 天完成）
总工作量 = 15×10=150，20x + 10 (8-x)=150 → 20x + 80 - 10x = 150 → 10x=70 → x=7，符合实际。
解题技巧：多变量问题中，需明确总工作量（或总任务）为定值，通过各阶段的工作量之和等于总工作量建立方程求解。
第 10 页：易错点与解题技巧归纳
常见易错点：
忽略实际问题中自变量的取值范围（如人数为正整数、时间为正数）
混淆正比例与反比例关系（如 “速度一定时，路程与时间成正比例”，“路程一定时，速度与时间成反比例”）
计算 k 值时，代入数据错误或单位不统一（如行程问题中速度单位为 “千米 / 时”，时间单位需统一为 “时”）
实用解题技巧：
遇到复杂问题时，先列表整理已知条件，明确变量间的关系
求解后，将结果代入实际问题中验证，确保符合题意
利用反比例函数图象辅助分析，直观判断变量的变化趋势
第 11 页：巩固练习
工程问题：某装修队装修一套房屋，原计划 18 天完成，每天装修 30 平方米。实际每天多装修 10 平方米，实际多少天完成？
行程问题：一辆货车从甲地到乙地，原计划以 60 千米 / 时的速度行驶，4 小时到达。实际行驶时间比计划多 1 小时，实际行驶速度是多少？
经济问题：某水果店销售苹果，若按每千克 8 元销售，每天可卖出 100 千克。若每千克降价 0.5 元，每天可多卖出 20 千克。当销售额为 840 元时，每千克苹果的售价是多少？
物理问题：在压力一定时，压强 p（帕斯卡）与受力面积 S（平方米）成反比例。已知当 S=0.2 平方米时，p=3000 帕斯卡。求当 S=0.3 平方米时，p 的值。
第 12 页：课堂小结
知识梳理：
实际问题中的反比例关系：工程、行程、经济、物理等场景
建模步骤：审题意→设解析式→求 k 值→解问题→验结果
关键：明确定值（即 k 值），确定自变量取值范围
思想方法：
数学建模思想：将实际问题转化为数学函数模型
数形结合思想：利用反比例函数图象分析变量变化规律
方程思想：通过建立方程求解实际问题中的未知量
核心收获：掌握用反比例函数解决实际问题的方法，提升数学应用能力
第 13 页：布置作业
基础作业：完成教材对应习题，解决 2 道工程问题和 2 道行程问题
提升作业：某工厂要生产一批零件，若单独由 A 车间生产，需要 20 天完成；若单独由 B 车间生产，需要 30 天完成。现 A、B 两车间合作生产若干天后，A 车间因其他任务停工，剩余零件由 B 车间单独生产 5 天完成。求两车间合作生产的天数。
实践作业：观察生活中的一个反比例关系场景（如手机充电时，充电电流与充电时间），记录 3 组对应数据，建立反比例函数模型，并预测当其中一个变量取某一值时，另一个变量的值
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
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27.1 图形的相似
第二十七章 相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
图片引入
观察图片中的四只漫画恐龙，它们的外形有什么特点？
下面的“神烦狗”有什么相同和不同的地方？
相似图形的概念
观察与思考
相同点：形状相同
不同点：大小不相同
形状相同的图形叫做相似图形.
注意：相似图形的大小不一定相同.
定义：
1. 图形的放大：
相似图形之间的关系：
两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到.
2. 图形的缩小：
归纳：
你见过哈哈镜吗？哈哈镜与平面镜中的形象哪一个与你本人相似？
思考：
放大镜下的图形和原来的图形相似吗？
练一练
放大镜下的角与原图
形中角是什么关系
比例线段
对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比（即它们的长度的比）与另两条线段的比相等，如 （即 ad = bc），我们就说这四条线段成比例.
例 1 下列长度对应的四条线段中成比例的是（ ）
典例精析
A. 1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
B. 2 cm，4 cm，6 cm，8 cm
C. 5 cm，10 cm，15 cm，20 cm
D. 5 cm，10 cm，15 cm，30 cm
D
相似多边形与相似比
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
多边形 ABCDEF 是显示在电脑屏幕上的，而多边形 A1B1C1D1E1F1 是投射到幕布上的.
观察与思考
问题1 这两个多边形相似吗？
问题2 在这两个多边形中，是否有对应相等的内角？
问题3 在这两个多边形中，对应内角的两边是否成比例？
A1
B1
C1
D1
E1
F1
A
B
C
D
E
F
边数相同，且各角分别相等、各边成比例的两个多边形叫做相似多边形.
相似多边形的对应边的比叫做相似比.
相似多边形的对应角相等，对应边成比例.
相似比：
相似多边形的性质：
相似多边形的定义：
归纳：
任意两个等边三角形相似吗？任意两个正方形呢？任意两个正 n 边形呢？
a1
a2
a3
an
…
分析：已知等边三角形的每个角都为 60°， 三边都相等. 所以满足边数相同，对应角相等，以及对应边的比相等，即任意两个等边三角形相似.
议一议
同理，任意两个正方形也相似.
归纳：边数相同的正多边形都相似.
…
a1
a2
a3
an
思考：
任意的两个菱形（或矩形）是否相似？为什么？
解：∵ 四边形 ABCD 和 EFGH 相似，∴ 它们的对应角相等．
例2 如图，四边形 ABCD 和 EFGH 相似，求角 α，β 的大小和 EH 的长度 x.
典例精析
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
在四边形ABCD中，∠β＝360°－
(78°＋83°＋118°)＝81°.
由此可得∠α＝∠C＝83°，∠A＝∠E＝118°.
∵ 两个四边形相似，
∴它们的对应边成比例.
由此可得
解得 x ＝ 28.
，即 .
D
A
B
C
18
21
78°
83°
β
24
G
E
F
H
α
x
118°
如图所示的两个五边形相似，求未知边 a，b， c，d 的长度．
5
3
2
c
d
7.5
b
a
6
9
练一练
解：由相似多边形的对应边的比相等，可得
解得 a = 3，b = 4.5，c = 4，d = 6.
， ， ， ，
1. 下列图形中能够确定相似的是[多选] ( )
A. 两个半径不相等的圆 B. 所有的等边三角形
C. 所有的等腰三角形 D. 所有的正方形
E. 所有的等腰梯形 F. 所有的正六边形
ABDF
2. 若一张地图的比例尺是 1:150000，在地图上量得
甲、乙两地的距离是 5 cm，则甲、乙两地的实际
距离是 ( )
A. 3000 m B. 3500 m
C. 5000 m D. 7500 m
D
3. 如图所示的两个四边形是否相似？
答案：不相似.
D
返回
1．
[2024连云港]下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为( )
A．甲和乙 B．乙和丁
C．甲和丙 D．甲和丁
返回
B
2．
[2024平顶山期末]已知a，b，c，d是成比例线段，其中a＝3 cm，b＝2 cm，c＝6 cm，则线段d的长为( )
A．1 cm
B．4 cm
C．2 cm
D．9 cm
C
返回
3．
下列四条线段成比例的是( )
4．
【点拨】
【答案】A
返回
5．
返回
[2024扬州期末]小薛同学在学习了“比例线段”后，发现学习内容是一个逐步特殊化的过程(如图)，请在下面横线上填写适当的数值，感受这种特殊化的学习过程．
3
6．
返回
在一张比例尺为1：600的设计图纸上，量得一正方体建筑物的棱长是30 cm.这个建筑物的实际占地面积是多少？
7．
【点拨】
【答案】D
返回
8．
【点拨】
【答案】D
返回
9．
8或20
相似图形
形状相同的图形叫做相似图形
相似图形的大小不一定相同
相似多边形对应边的比叫做相似比
对应角相等，对应边成比例
图形的相似
相似多边形
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！