27.2.1.1平行线分线段成比例 课件(共42张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(共42张PPT)
第 1 页：封面
标题：27.2.1.1 平行线分线段成比例
副标题：人教版九年级数学下册
配图：包含三组平行线截两条直线的示意图（标注截得的线段长度，体现比例关系）
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
理解平行线分线段成比例定理的内容，能识别定理中的 “截线” 与 “被截线”
掌握平行线分线段成比例定理的基本推论（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得线段成比例）
会运用定理及推论解决线段比例计算、证明等问题
过程与方法：
通过测量、计算、归纳等探究活动，经历定理的推导过程，提升逻辑推理能力
借助图形变式，培养从不同角度分析问题的能力，体会 “转化” 的数学思想
情感态度：
在探究定理的过程中，感受数学的严谨性与规律性
通过定理的实际应用，增强学习几何的自信心与兴趣
第 3 页：情境引入 —— 生活中的比例关系
实例展示（配图呈现）：
实例 1：建筑工人在砌墙时，用若干条平行的墨线分割墙面，形成的竖直线段长度成比例
实例 2：公园里的石板路，多条平行的石板边缘截两条纵向小路，截得的路段长度成比例
实例 3：网格纸中，水平的平行线截竖直的两条直线，所得线段长度比相等
观察思考：
提问 1：这些实例中，平行线截两条直线后，所得的线段有什么规律？
提问 2：若任意画一组平行线截两条直线，是否仍能得到类似的比例关系？
引入课题：今天我们将深入探究 “平行线分线段成比例” 的规律，学习相关定理。
第 4 页：探究活动 —— 平行线分线段成比例定理
动手操作：
画三条互相平行的直线\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\)，再画两条不平行的直线\(a\)、\(b\)，使它们分别与\(l_1\)、\(l_2\)、\(l_3\)相交于点 A、B、C 和点 D、E、F（如图）
测量线段长度：AB=，BC=，DE=，EF=
计算比例：\(\frac{AB}{BC}\)=，\(\frac{DE}{EF}\)=，观察两个比例的关系
多组验证：
改变直线\(a\)、\(b\)的夹角，重复上述测量与计算
改变平行线的间距，再次验证比例关系
定理总结：
平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
符号表示：若\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\)，则\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)（或\(\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}\)、\(\frac{BC}{AC}=\frac{EF}{DF}\)）
关键概念：“一组平行线” 是截线，“两条直线” 是被截线；“对应线段” 指被截线被平行线截得的线段
第 5 页：定理辨析与拓展
图形变式（结合图形讲解）：
变式 1：被截线\(a\)、\(b\)相交（形成三角形的两边延长线），仍满足\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)
变式 2：平行线的数量增加（如 4 条平行线），则\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)，\(\frac{BC}{CD}=\frac{EF}{FG}\)，进而\(\frac{AB}{CD}=\frac{DE}{FG}\)
易错提醒：
定理中 “对应线段” 需根据平行线的顺序确定，不可混淆（如不可写成\(\frac{AB}{EF}=\frac{BC}{DE}\)）
定理成立的前提是 “一组平行线” 截 “两条直线”，与直线的位置（是否相交）无关
小练习：
如图，\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\)，AB=2，BC=3，DE=4，求 EF 的长。（答案：6）
第 6 页：推论 —— 平行于三角形一边的直线
推导过程：
如图，在△ABC 中，作直线 DE∥BC，交 AB 于 D，交 AC 于 E
延长 DE、BC，过 A 作直线\(l_1\parallel DE\parallel BC\)，此时\(l_1\)、DE、BC 构成一组平行线，截 AB、AC 两条直线
根据平行线分线段成比例定理，可得\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)（或\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)、\(\frac{DB}{AB}=\frac{EC}{AC}\)）
推论总结：
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例
图形特征：截线平行于三角形的一边，被截线是三角形的另外两边
几何语言：
在△ABC 中，若 DE∥BC，则\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)
第 7 页：定理与推论的应用（基础例题）
例 1：如图，\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\)，AB=5，BC=10，DE=3，求 DF 的长。
解析：
由定理得\(\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}\)，即\(\frac{5}{10}=\frac{3}{EF}\)，解得 EF=6
DF=DE+EF=3+6=9
例 2：在△ABC 中，DE∥BC，AD=2，DB=3，AE=4，求 AC 的长。
解析：
由推论得\(\frac{AD}{DB}=\frac{AE}{EC}\)，即\(\frac{2}{3}=\frac{4}{EC}\)，解得 EC=6
AC=AE+EC=4+6=10
方法总结：
应用定理时，先确定截线（平行线）与被截线，找到对应线段
应用推论时，明确三角形的 “一边” 与 “其他两边”，建立比例关系
第 8 页：定理与推论的应用（综合例题）
例 3：如图，已知 AB∥CD∥EF，AD 与 BC 相交于点 O，若 AO=2，OD=3，BC=10，求 BO 的长。
解析：
因为 AB∥CD，由推论得\(\frac{AO}{OD}=\frac{BO}{OC}\)（△AOB 与△DOC 中，AB∥CD 截 AD、BC）
设 BO=x，则 OC=10-x，代入比例得\(\frac{2}{3}=\frac{x}{10-x}\)
交叉相乘：2 (10-x)=3x → 20-2x=3x → 5x=20 → x=4，故 BO=4
例 4：证明：平行于三角形一边且和其他两边相交的直线，截得的三角形与原三角形的对应边成比例。
已知：在△ABC 中，DE∥BC，DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E
求证：\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\)
证明：
由推论得\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}\)
过 D 作 DF∥AC 交 BC 于 F，∵DE∥BC，DF∥AC，∴四边形 DFCE 是平行四边形，∴DE=FC
又∵DF∥AC，由推论得\(\frac{AD}{AB}=\frac{FC}{BC}\)，∴\(\frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}\)
综上，\(\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}\)
技巧提炼：遇到复杂图形时，通过作辅助线（如平行线）将图形转化为定理或推论的基本模型，再建立比例关系。
第 9 页：巩固练习
选择题：
（1）如图，\(l_1\parallel l_2\parallel l_3\)，AB=4，BC=6，DE=3，则 EF 的长为（ ）
A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6
（2）在△ABC 中，DE∥BC，AD=3，DB=6，AE=2，则 EC 的长为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
填空题：
（1）两条直线被一组平行线所截，所得的____线段成比例；
（2）如图，AB∥CD∥EF，若\(\frac{AC}{CE}=\frac{2}{3}\)，BD=4，则 DF=____。
解答题：
如图，在△ABC 中，DE∥BC，AD=5，AB=15，AE=4，求 AC 的长及\(\frac{DE}{BC}\)的值。
第 10 页：课堂小结
知识梳理：
平行线分线段成比例定理：一组平行线截两条直线，对应线段成比例
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边，对应线段成比例
核心应用：线段比例计算、几何证明（转化图形、建立比例关系）
思想方法：
转化思想：将复杂图形转化为定理 / 推论的基本模型
数形结合：借助图形直观分析线段关系，推导比例式
易错点回顾：
混淆 “对应线段” 的顺序，导致比例式写错
应用推论时，未明确三角形的 “一边” 与 “其他两边”
第 11 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 3 道比例计算和 2 道简单证明题
提升作业：
（1）如图，已知 AD∥BE∥CF，AB=6，BC=3，EF=2，求 DE 的长；
（2）在△ABC 中，DE∥BC，DE 分别交 AB、AC 于 D、E，若 AD:DB=2:3，且△ADE 的周长为 10，求△ABC 的周长。
实践作业：观察生活中应用 “平行线分线段成比例” 的实例（如建筑设计、艺术构图），尝试用直尺测量并验证比例关系
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
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27.2.1.1平行线分线段成比例
第二十七章 相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
1. 相似多边形的对应角 ，对应边 ，对
应边的比叫做 .
2. 如图，△ABC 和 △A′B′C′ 相似需要满足什么条件？
相等
成比例
相似比
A
B
C
A′
B′
C′
相似用符号“∽”表示，读作“相似于”.
△ABC 与△A′B′C′ 相似记作“△ABC∽△A′B′C′”.
平行线分线段成比例的基本事实
如图，任意画两条直线 l1，l2，再画三条与 l1，l2 都相交的平行线 l3，l4，l5. 分别度量在 l1 上截得的两条线段 AB，BC 和在 l2 上截得的两条线段 DE，EF 的长度.
合作探究
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
(1) 计算 的值，它们相等吗？
A
C
E
B
D
F
l4
l5
l1
l2
l3
(2) 任意平移 l5，重复上述操作，度量 AB，BC，DE，EF，同（1）中计算，它们还相等吗？
一般地，我们有平行线分线段成比例的基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
符号语言：
归纳：
若 l3∥l4∥l5，则 ， ，
，
A
B
C
D
E
F
l4
l5
l3
l2
l1
如图，已知 l1∥l2∥l3，下列比例式中错误的是 ( )
A. B.
C. D.
D
练一练
A
C
E
B
D
F
l2
l1
l3
如图，直线 a∥b∥c，由平行线分线段成比例的基本事实，我们可以得出图中对应成比例的线段，若把直线 n 向左或向右任意平移，这些线段是否依然成比例？
平行线分线段成比例的推论
观察与思考
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
若把直线 n 向左平移到 B1 与 A1 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段.
若把图中的部分线条擦去，得到如图所示的新图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
( )
A1
A2
A3
b
c
m
B1
B2
B3
n
a
若把直线 n 向左平移到 B2 与 A2 重合的位置，说说图中有哪些成比例线段.
若把图中的部分线条擦去，得到新的图形，刚刚所说的线段是否仍然成比例？
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
( )
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
A1(B1)
A2
A3
B2
B3
A2(B2)
A1
A3
B1
B3
归纳：
如图，DE∥BC， ，则 ；
若 FG∥BC， ，则 .
练一练
A
B
C
E
D
F
G
例 如图，在△ABC中，EF∥BC.
(1) 如果 E、F 分别是 AB 和 AC 上的点，AE = BE = 7，
FC = 4，那么 AF 的长是多少？
A
B
C
E
F
典例精析
解：∵ EF∥BC，∴
∴ ，
解得 AF = 4.
(2) 若 AB = 10，AE = 6，AF = 5，则 FC 的长是多少？
解：∵ EF∥BC，∴
∴ ，
解得 AC = .
∴ FC = AC－AF =
A
B
C
E
F
如图，DE∥BC，AD = 4，DB = 6，AE = 3，则
AC = ；若 FG∥BC，AF = 4.5，则 AG = .
A
B
C
E
D
F
G
练一练
7.5
6
由 ,可得到 CE 的长
可以通过 ，得到 AG 的长
如图，在△ABC 中，D 为 AB 上任意一点，过点 D 作 BC 的平行线 DE，交 AC 于点 E.
问题 1 △ADE 与△ABC 的三个内角分别相等吗？
问题 2 分别度量△ADE 与△ABC 的边长，
它们的边长是否对应成比例？
B
C
A
D
E
判定相似三角形的引理
合作探究
我们通过度量三角形的边长，知道△ADE∽
△ABC，但要用相似的定义去证明它，我们
需要证明什么？
问题 3 你认为△ADE 与△ABC 之间有什么关系？平行移动 DE 的位置，你的结论还成立吗？
通过度量，我们发现△ADE∽△ABC，
且只要 DE∥BC，这个结论恒成立.
B
C
A
D
E
想一想：
由所学的定理，我们可以证出哪些结论？还需证明什么？
而除了 DE 外，其他的线段都在
△ABC 的边上，要想利用前面学到的结论来证明
三角形相似，可以怎样做呢？
由所学的定理可得
，需要证明的是
可以将 DE 平移到 BC 边上去
B
C
A
D
E
证明：在△ADE 与△ABC 中，∠A =∠A.
∵ DE∥BC，∴∠ADE =∠B，∠AED =∠C.
如图，过点 E 作 EF∥AB，交 BC 于点 F.
C
A
B
D
E
F
如图，DE∥BC，用相似的定义证明△ADE∽△ABC.
∵ DE∥BC，EF∥AB，
∴ ， ，
且四边形 DEFB 为平行四边形．
∴ DE = BF.
∴△ADE∽△ABC.
∴
由此我们得到判定三角形相似的一个定理：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，
所构成的三角形与原三角形相似.
三角形相似的两种常见类型：
“A ”型
“X ”型
D
E
A
B
C
A
B
C
D
E
2. 若 △ABC 与 △A′B′C′ 相似，一组对应边的长为
AB = 3 cm，A′B′ = 4 cm，则 △A′B′C′ 与 △ABC
的相似比是_____.
1. 如图，已知 AB∥EF∥CD，则图中共
有___对相似三角形.
3
练一练
C
D
A
B
E
F
O
相似具有传递性
4︰3
3. 若 △ABC 的三条边长分别为 3 cm，5 cm，6 cm，
与其相似的另一个 △A′B′C′ 的最小边长为 12 cm，
则 △A′B′C′ 的最大边长是_______.
24 cm
1. 如图，△ABC∽△DEF，相似比为 1 : 2，若 BC
= 1，则 EF 的长为 ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
B
C
A
E
F
D
B
2. 如图，在 △ABC 中，EF∥BC，AE = 2 cm，
BE = 6 cm， BC = 4 cm，则 EF 的长为 ( )
A
A
B
C
E
F
A. 1 cm B. cm
C. 2 cm D. 3 cm
B
返回
1．
已知△ABC∽△DEF，AB＝2，BC＝3，若DE＝3，
则EF＝(　　)
A．6
B．4.5
C．5
D．2.5
返回
C
2．
[2024重庆一中月考]如图，l1∥l2∥l3，直线a，b相交于点G，与这三条平行线分别相交于点A，B，C和点D，E，F，下列比例式中错误的是(　　)
3．
[2024长春]如图，在△ABC中，O是边AB的中点．按下列要求作图： ①以点B为圆心、适当长为半径画弧，交线段BO于点D，交BC于点E；②以点O为圆心、BD长为半径画弧，交线段OA于点F；③以点F为圆心、DE长为半径画弧，交前一条弧于点G ，点G与点C在直线AB的同侧；④作直线OG，交AC于点M.
D
返回
4．
返回
B
[2024河南]如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为OC的中点，EF∥AB交BC于点F.若 AB＝4，则EF的长为(　　)
5．
(2)若CD＝2，在上述条件和结论下，求EF的长．
返回
6．
返回
B
7．
[2024宣城期末]如图，在梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，若AB＝10，CD＝3，EF＝5，则CF：FB等于(　　)
A．2：7
B．5：7
C．3：7
D．2：5
【点拨】
【答案】D
返回
8．
返回
1：3：6
如图，点D，F和E，G分别在△ABC的边AB，AC上，且DE∥FG∥BC，若AD：DF：FB＝1：2：3，则DE：FG：BC＝________．
9．
10．
作业本中有这样一道题：“如图，在△ABC中，D为AC的中点，点E在BC上，且BE＝3CE，AE，BD交于点F，求AF：EF的值”，小明解题时碰到了困难，哥哥提示他过点E作EG∥BD，交AC于点G.最后小明求解正确，则AF：EF的值为________．
11．
返回
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
判定相似三角形的引理
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
基本事实
平行线
分线段成比例
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！