27.2.1.2三边成比例的两个三角形相似 课件(共32张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(共32张PPT)
第 1 页：封面
标题：27.2.1.2 三边成比例的两个三角形相似
副标题：人教版九年级数学下册
配图：两个边长成比例的三角形（标注对应边长度，如△ABC：3cm、4cm、5cm；△A'B'C'：6cm、8cm、10cm），箭头标注对应边比例关系
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
理解 “三边成比例的两个三角形相似” 的判定定理，能准确表述定理内容
掌握定理的推导过程，会用尺规作图或测量验证定理
能运用该定理判定两个三角形是否相似，并解决相关计算、证明问题
过程与方法：
通过 “猜想 — 验证 — 归纳” 的探究过程，提升逻辑推理与动手实践能力
对比 “三边对应相等的两个三角形全等”，体会类比思想在几何定理学习中的应用
情感态度：
在定理验证过程中，感受数学的严谨性与规律性
通过小组合作探究，增强团队协作意识，激发学习几何的兴趣
第 3 页：复习回顾与情境引入
复习旧知：
相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似
已学判定思路：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似（推论）
类比提问：全等三角形有 “SSS” 判定，相似三角形是否也能通过 “三边关系” 直接判定？
情境引入：
实例：如图，小明用三根木棒制作了△ABC（边长为 2cm、3cm、4cm），小红用同样材质的木棒制作了△A'B'C'（边长为 4cm、6cm、8cm），这两个三角形形状是否相同？是否相似？
观察思考：计算对应边比例（\(\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)），猜想三边成比例的两个三角形是否相似？
第 4 页：探究活动 —— 验证三边成比例的两个三角形相似
动手操作（分组进行）：
任务 1：用尺规作图，画△ABC，使 AB=2cm，BC=3cm，AC=4cm；再画△A'B'C'，使 A'B'=4cm，B'C'=6cm，A'C'=8cm（对应边比例为 1:2）
任务 2：测量两个三角形的对应角（∠A 与∠A'，∠B 与∠B'，∠C 与∠C'），记录度数
任务 3：对比对应角是否相等，验证△ABC 与△A'B'C' 是否相似
多组验证：
改变比例（如 1:3），重复上述操作，画△DEF（边长 3cm、6cm、9cm）和△D'E'F'（边长 1cm、2cm、3cm），再次验证
初步结论：三边成比例的两个三角形，对应角相等，符合相似三角形的定义，故这两个三角形相似。
第 5 页：定理推导与表述
定理证明（逻辑推理）：
已知：在△ABC 和△A'B'C' 中，\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)（k 为正数）
求证：△ABC∽△A'B'C'
证明思路：
在△A'B'C' 的边 A'B' 上截取 A'D=AB，过 D 作 DE∥B'C'，交 A'C' 于 E
由 “平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似”，得△A'DE∽△A'B'C'，故\(\frac{A'D}{A'B'}=\frac{DE}{B'C'}=\frac{A'E}{A'C'}=k\)
又∵A'D=AB，\(\frac{AB}{A'B'}=k\)，∴DE=BC，A'E=AC
∴△A'DE≌△ABC（SSS），故△ABC∽△A'B'C'
定理表述：
三边成比例的两个三角形相似（可简记为 “边边边” 或 “SSS” 相似判定）
几何语言：
在△ABC 和△A'B'C' 中，若\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}\)，则△ABC∽△A'B'C'
第 6 页：定理辨析与注意事项
关键要点：
比例关系：需满足 “三组对应边的比都相等”，缺一不可（举例：若仅两组对应边成比例，第三组不成比例，则三角形不相似）
对应顺序：对应边需按同一顺序相比（如 AB 对应 A'B'，BC 对应 B'C'，AC 对应 A'C'，不可混淆对应关系）
与全等三角形 “SSS” 的对比：
判定类型
条件
图形关系
全等三角形（SSS）
三边对应相等（比例为 1:1）
形状相同，大小相等
相似三角形（SSS）
三边对应成比例（比例为任意正数 k）
形状相同，大小不一定相等
小练习：
判断下列两组三角形是否相似：
①△ABC：3cm、5cm、7cm；△DEF：6cm、10cm、14cm（答案：相似，比例 1:2）
②△MNO：2cm、3cm、4cm；△PQR：3cm、4cm、5cm（答案：不相似，比例不相等）
第 7 页：定理的应用（基础例题）
例 1：判断下列两个三角形是否相似，并说明理由。
（1）△ABC 的三边：AB=4，BC=6，AC=8；△A'B'C' 的三边：A'B'=2，B'C'=3，A'C'=4
解析：计算对应边比例\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{2}=2\)，\(\frac{BC}{B'C'}=\frac{6}{3}=2\)，\(\frac{AC}{A'C'}=\frac{8}{4}=2\)，三组比相等，故△ABC∽△A'B'C'
例 2：如图，在△ABC 和△DEF 中，已知 AB=12，BC=15，AC=24；DE=8，EF=10，DF=16。若∠A=50°，求∠D 的度数。
解析：
先判定相似：\(\frac{AB}{DE}=\frac{12}{8}=\frac{3}{2}\)，\(\frac{BC}{EF}=\frac{15}{10}=\frac{3}{2}\)，\(\frac{AC}{DF}=\frac{24}{16}=\frac{3}{2}\)，故△ABC∽△DEF
由相似性质，对应角相等，∠D=∠A=50°
方法总结：
应用定理判定相似的步骤：①确定对应边；②计算三组对应边的比；③判断比是否相等；④得出结论
若相似，可进一步利用相似三角形 “对应角相等” 的性质求未知角
第 8 页：定理的应用（综合例题）
例 3：如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、AD 的中点，连接 CE、CF，交 BD 于点 G、H。求证：△DGH∽△DBC。
证明：
设正方形边长为 2a，则 AB=BC=CD=DA=2a，E、F 为中点，故 AE=EB=a，AF=FD=a
在 Rt△CBE 中，CE=\(\sqrt{EB +BC }=\sqrt{a +(2a) }=\sqrt{5}a\)；同理 CF=\(\sqrt{5}a\)
BD 是正方形对角线，BD=2\(\sqrt{2}\)a，由正方形性质，BD 平分∠ADC 和∠ABC，易证△DHF∽△BHC，△DGE∽△BGC（此处简化，聚焦 SSS 相似）
计算对应边：∵E、F 为中点，由平行线分线段成比例，得 DG:GB=DE:BC=（2a+a）:2a？（修正：更简便的方法是设 DG=x，GB=2\(\sqrt{2}\)a - x，通过相似比推导，最终得出\(\frac{DG}{DB}=\frac{GH}{BC}=\frac{DH}{DC}\)，满足 SSS 相似条件）
综上，△DGH∽△DBC
例 4：已知△ABC 的三边为 a、b、c，△A'B'C' 的三边为\(\sqrt{a}\)、\(\sqrt{b}\)、\(\sqrt{c}\)，且 a:b:c=4:9:16，判断△A'B'C' 的形状。
解析：
设 a=4k，b=9k，c=16k（k>0），则△A'B'C' 的三边为\(\sqrt{4k}=2\sqrt{k}\)，\(\sqrt{9k}=3\sqrt{k}\)，\(\sqrt{16k}=4\sqrt{k}\)
计算对应边比例\(\frac{2\sqrt{k}}{4k}=\frac{3\sqrt{k}}{9k}=\frac{4\sqrt{k}}{16k}=\frac{1}{2\sqrt{k}}\)，故△A'B'C'∽△ABC
又∵△ABC 中，a + b = (4k) + (9k) = 16k + 81k = 97k ，c = (16k) = 256k ，a + b < c ，故△ABC 为钝角三角形，因此△A'B'C' 也为钝角三角形
技巧提炼：
遇到复杂图形时，先通过已知条件（如中点、正方形边长）表示各边长度，再计算对应边比例
若需判断三角形形状，可先判定其与已知形状的三角形相似，再根据相似三角形的性质得出结论
第 9 页：巩固练习
选择题：
（1）下列各组三角形中，一定相似的是（ ）
A. 两个等腰三角形 B. 两个直角三角形 C. 三边比为 1:2:3 的两个三角形 D. 三边比为 2:3:4 的两个三角形
（2）△ABC 的三边为 6、8、10，△DEF 的三边为 3、4、5，则△ABC 与△DEF 的相似比为（ ）
A. 1:2 B. 2:1 C. 1:4 D. 4:1
填空题：
（1）若△ABC 的三边为 2、3、4，△A'B'C' 的三边为 4、6、x，当 x=____时，△ABC∽△A'B'C'；
（2）已知△ABC∽△DEF，且 AB:DE=2:3，BC=6，则 EF=____。
解答题：
如图，在△ABC 中，AB=5，BC=6，AC=7，点 D、E、F 分别是 AB、BC、AC 的中点，求证：△DEF∽△ABC，并求出相似比。
第 10 页：课堂小结
知识梳理：
判定定理：三边成比例的两个三角形相似（SSS 相似）
推导依据：借助 “平行线分线段成比例” 推论与 “SSS 全等” 判定推导
核心应用：判定三角形相似、求未知角、判断三角形形状
思想方法：
类比思想：对比全等三角形 “SSS”，理解相似三角形 “SSS” 的判定
转化思想：将复杂图形中的边的关系，转化为 “三组对应边成比例” 的基本模型
易错点回顾：
忽略对应边的顺序，导致比例计算错误
仅计算两组对应边的比，未验证第三组，直接判定相似
第 11 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 3 道三角形相似判定题和 2 道利用相似求角、求边长的题目
提升作业：
（1）如图，在△ABC 中，AB=AC，D、E 分别在 AB、AC 的延长线上，且\(\frac{BD}{AB}=\frac{CE}{AC}\)，求证：△ADE∽△ABC；
（2）已知△ABC 的三边为 a、b、c，且 a=2，b=4，若△ABC 与△DEF（三边为 5、10、x）相似，求 c 和 x 的值。
实践作业：用硬纸板制作两个三边成比例的三角形（如比例 1:2），通过叠合、测量等方式验证它们的对应角相等，进一步理解定理的正确性
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
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27.2.1.2三边成比例的两个三角形相似
第二十七章 相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
2. 证明三角形全等有哪些方法？你能从中获得证明三
角形相似的启发吗？
1. 什么是相似三角形？在前面的课程中，我们学过哪
些判定三角形相似的方法？你认为这些方法是否有
其缺点和局限性？
A
B
C
D
E
复习引入
3. 类似于判定三角形全等的 SSS 方法，
我们能不能通过三边来判定两个三
角形相似呢？
三边成比例的两个三角形相似
合作探究
任意画一个 △ABC ，再画一个 △A′B′C′，使它的各边长都是原来△ABC 的各边长的 k 倍，动手量一量这两个三角形的角，它们分别相等吗？这两个三角形相似吗？
A′
B′
C′
C
B
A
通过测量不难发现∠A =∠A'，∠B =∠B'，∠C
=∠C'，又因为两个三角形的边对应成比例，所以
△ABC∽△A′B′C′. 下面我们用前面所学过的定理证明该结论.
A′
B′
C′
C
B
A
∴
C
B
A
证明：在线段 A′B′ (或延长线) 上截取 A′D = AB，
过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E.
∵ DE∥B′C′，∴△A′DE∽△A′B′C′.
∴ DE = BC，A′E = AC.
∴△ABC∽△A′B′C′.
B′
C′
A′
E
又 ，A′D = AB，
∴ ， .
∴ △A′DE≌△ABC.
D
由此我们得到利用三边判定三角形相似的定理：
三边成比例的两个三角形相似．
归纳：
∴ △ABC∽△A′B′C′.
符号语言：
∵ ，
例 1 根据下列条件，判断△ABC与△A′B′C′是否相似，并说明理由：
AB = 4 cm ，BC = 6 cm ，AC = 8 cm；
A′B′ = 12 cm ，B′C′ = 18 cm ，A′C′ = 24 cm.
典例精析
解：相似. 理由如下：
∵ ， ， ，
∴
∴ △ABC∽△A′B′C′.
已知 △ABC 和 △DEF，根据下列条件判断它们是否相似.
(2) AB ＝ 4， BC ＝ 8， AC ＝10，
DE ＝ 20， EF ＝ 16， DF ＝ 8.
(1) AB ＝ 3， BC ＝ 4， AC＝ 6，
DE ＝ 6， EF ＝ 8， DF ＝ 9；
是
否
练一练
例 2 判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．
A
B
C
3
3.5
4
D
F
E
1.8
2.1
2.4
解：在 △ABC 中，AB > BC > CA；
在 △DEF 中，DE > EF > FD.
∴ △ABC ∽ △DEF.
∵ ， ， ，
∴ .
方法总结：判定三角形相似的方法一：如果题中给出了两个三角形的所有边长，可分别计算出三条对应边的比值，看是否相等.
注意：计算时最长边与最长边对应，最短边与最短边对应.
例 3 如图，在 Rt△ABC 与 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，且 求证：△A′B′C′∽△ABC.
【分析】要运用三边成比例判断相似，而题目只给出 2 组边成比例和 90° 的角，那么可以通过“勾股定理”得到第三组边的比，进而求解.
证明：由已知条件得 AB = 2A′B′，AC = 2A′C′，
∴ BC2 = AB2－AC2 = (2A′B′)2－(2A′C′)2 = 4A′B′2－4A′C′2
= 4(A′B′2－A′C′2) = 4B′C′2 = (2B′C′)2.
∴ △ A′B′C′∽△ABC.
∴ BC = 2B′C′，
∴∠BAC =∠DAE．
∴△ABC∽△ADE (三边成比例的两个三角形相似).
例 4 如图，在 △ABC 和 △ADE 中， ∠BAD = 20°，求∠CAE 的度数.
A
B
C
D
E
解：∵ ，
∴∠BAC－∠DAC =∠DAE－∠DAC，
即∠BAD =∠CAE．
∵∠BAD = 20°，∴∠CAE = 20°．
C
返回
1．
如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(　　)
2．
【点拨】
【答案】B
∵AD：AC＝1：3，∴AD：DC＝1：2.
∵△ABC是正三角形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC.
∵AE＝BE，∴AE：BC＝AE：AB＝1：2.
∴AD：DC＝AE：BC.
又∵∠A＝∠C，∴△AED∽△CBD.故选B.
返回
3．
在如图所示的象棋盘(各个小正方形的边长均相等)中，根据“马走日”的规则，使“马”“车”“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”“相”“兵”所在位置的格点构成的三角形相似，“马”应落在(　　)
A．①处 B．②处
C．③处 D．④处
【点拨】
【答案】B
返回
4．
如图，BD平分∠ABC，且AB＝4，BC＝6，则当BD＝________时，△ABD∽△DBC．
【点拨】
【点易错】
如果两个三角形两边对应成比例，但相等的角不是两条对应边的夹角，那么这两个三角形不一定相似，相等的角一定要是两条对应边的夹角．
. . .
返回
5．
返回
[2024广州]如图，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2.求证：△ABE∽△ECF.
6．
一个三角形木架的三边长分别是75 cm，100 cm，
120 cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60 cm和120 cm的两根木条．要求以其中一根为一边，从另一根截下两段作为另两边(允许有余料)，则不同的截法有(　　)
A．一种 B．两种 C．三种 D．四种
【点拨】
长120 cm的木条与三角形木架的最长边相等，要满足两边之和大于第三边，则长120 cm的木条不能作为一边．
设从120 cm的木条上截下的两段长分别为x cm，y cm(x＋y≤120)，
由于长60 cm的木条不能与75 cm的一边对应，否则x＋y＞120 cm.
【答案】B
返回
7．
如图，∠APD＝90°，AP＝PB＝BC＝CD，则下列结论成立的是(　　)
A．△PAB∽△PCA
B．△ABC∽△DBA
C．△PAB∽△PDA
D．△ABC∽△DCA
【点拨】
∵∠APD＝90°，
而∠PAB≠∠PCA，∠PBA≠∠PAC，
∴无法判定△PAB与△PCA相似，故A错误；
同理，无法判定△PAB与△PDA，△ABC与△DCA相似，故C，D错误；
【答案】B
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8．
(16－3t) cm
如图，在△ABC中，AB＝8 cm，AC＝16 cm，点P从A出发，以2 cm/s的速度向B运动，同时点Q从C出发，以
3 cm/s的速度向A运动，当其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t s.
(1)用含t的代数式表示AQ＝__________；
【点拨】
∵AC＝16 cm，CQ＝3t cm，∴AQ＝AC－CQ＝(16－3t) cm.
(2)当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，t＝________．
【点拨】
三边成比例的
两个三角形相似
利用三边成比例判定两个三角形相似
相似三角形的判定定理的运用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！