27.2.1.4两角分别相等的两个三角形相似 课件(共35张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(共35张PPT)
第 1 页：封面
标题：27.2.1.4 两角分别相等的两个三角形相似
副标题：人教版九年级数学下册
配图：两个三角形（△ABC 与△A'B'C'），标注∠A=∠A'=70°、∠B=∠B'=50°，用彩色线条标注相等的角，下方标注 “三角形内角和 180°→∠C=∠C'=60°”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
理解 “两角分别相等的两个三角形相似” 的判定定理，明确 “两角对应相等” 即可判定相似的核心逻辑
掌握定理的推导过程（结合三角形内角和与相似定义），能通过测量、推理验证定理
会运用该定理快速判定三角形相似，并解决角度计算、线段比例求解等问题
过程与方法：
类比全等三角形 “角角角（AAA）”“角边角（ASA）” 判定，经历 “猜想 — 验证 — 归纳” 的探究过程，提升逻辑推理与类比迁移能力
通过多场景例题练习，培养从复杂图形中识别 “两角相等” 条件的能力
情感态度：
感受该定理的简洁性与实用性，增强几何解题的效率与信心
在小组合作验证与讨论中，培养团队协作意识与严谨的数学思维
第 3 页：复习回顾与猜想提出
复习旧知：
已学相似三角形判定：①定义；②平行线推论；③三边成比例（SSS）；④两边成比例且夹角相等（SAS）
全等三角形判定对比：“ASA”“AAS”—— 两角及一边对应相等即可判定全等；三角形内角和为 180°，“两角相等” 则第三角必相等
问题驱动：
思考 1：全等三角形中 “两角相等” 可结合边判定全等，相似三角形若仅满足 “两角分别相等”，是否能判定相似？
情境举例：如图，△ABC 中，∠A=60°，∠B=70°；△A'B'C' 中，∠A'=60°，∠B'=70°。计算第三角（∠C=50°，∠C'=50°），观察两三角形形状是否相同？
提出猜想：两角分别相等的两个三角形相似。
第 4 页：探究活动 —— 验证定理猜想
动手操作（分组实验）：
任务 1：作图与测量验证
画△ABC：使∠A=50°，∠B=60°（则∠C=70°）
画△A'B'C'：使∠A'=50°，∠B'=60°（则∠C'=70°）
测量：分别测量两三角形的三边长度，计算对应边比例（如\(\frac{AB}{A'B'}\)、\(\frac{BC}{B'C'}\)、\(\frac{AC}{A'C'}\)）
分析：观察三组比例是否相等，验证两三角形是否相似
任务 2：几何画板动态验证
教师用几何画板演示：固定△ABC 的两个角，拖动△A'B'C' 的顶点，保持∠A'=∠A、∠B'=∠B，观察两三角形形状变化及对应边比例关系
初步结论：
当两个三角形满足 “两角分别相等” 时，第三角必相等（三角形内角和 180°），且对应边成比例，符合相似三角形定义，故两三角形相似。
第 5 页：定理推导与规范表述
逻辑推理证明：
已知：在△ABC 和△A'B'C' 中，∠A=∠A'，∠B=∠B'
求证：△ABC∽△A'B'C'
证明过程：
由三角形内角和定理，∠C=180°-∠A-∠B，∠C'=180°-∠A'-∠B'
∵∠A=∠A'，∠B=∠B'，∴∠C=∠C'（第三角相等）
在△ABC 中取一点 D，作 DE∥BC 交 AB 于 D、交 AC 于 E，由平行线推论得△ADE∽△ABC，且∠ADE=∠B=∠B'，∠AED=∠C=∠C'
∴△ADE≌△A'B'C'（ASA，∠A=∠A'，AD=A'B'，∠ADE=∠B'）
∴△ABC∽△A'B'C'
定理规范表述：
两角分别相等的两个三角形相似（可简记为 “角角（AA）” 相似判定）
几何语言：
在△ABC 和△A'B'C' 中，若∠A=∠A' 且∠B=∠B'，则△ABC∽△A'B'C'
第 6 页：定理辨析与优势分析
核心逻辑强调：
本质：“两角分别相等”→第三角必相等→三角对应相等，结合相似定义（或平行线推论）可证相似
关键：无需计算边长比例，仅通过角度关系即可快速判定，是最简洁的相似判定方法
与其他判定的对比优势：
判定方法
条件要求
适用场景
优势
SSS 相似
三边对应成比例
已知三边长度
严谨，但需计算比例
SAS 相似
两边成比例 + 夹角相等
已知两边及夹角
需确定对应边与夹角
AA 相似
两角分别相等
已知两角（如直角、等腰三角形底角）
无需边长，快速判定
小练习：
判断下列情况能否判定△ABC∽△A'B'C'：
①∠A=∠A'=90°，∠B=∠B'=30°（答案：能，两角分别相等）
②∠A=∠B，∠A'=∠B'（答案：不能，未明确对应角相等）
第 7 页：定理应用（基础例题）
例 1：直角三角形相似判定
已知：如图，△ABC 和△DEF 均为直角三角形，∠C=∠F=90°，∠A=∠D=45°。判断两三角形是否相似，并说明理由。
解析：
步骤 1：找相等角 ——∠C=∠F=90°（直角相等），∠A=∠D=45°（已知）
步骤 2：应用定理 —— 两角分别相等，故△ABC∽△DEF
例 2：利用相似求角度
已知：△ABC∽△A'B'C'，∠A=55°，∠B=75°，求△A'B'C' 各内角的度数。
解析：
由 AA 相似判定，对应角相等
∠A'=∠A=55°，∠B'=∠B=75°，∠C'=180°-55°-75°=50°
第 8 页：定理应用（综合例题）
例 3：复杂图形中相似判定与比例计算
如图，在△ABC 中，AD⊥BC 于 D，BE⊥AC 于 E，AD 与 BE 交于点 F。求证：△AEF∽△ADC，并若 AE=2，AC=5，求\(\frac{AF}{AD}\)的值。
证明与解析：
① 证明相似：∵AD⊥BC，BE⊥AC，∴∠AEF=∠ADC=90°（直角相等）；又∠EAF=∠DAC（公共角），由 AA 相似得△AEF∽△ADC
② 求比例：由相似性质，\(\frac{AF}{AD}=\frac{AE}{AC}=\frac{2}{5}\)
例 4：实际应用 —— 测量河宽
如图，小明想测量河宽 AB，在河对岸取点 C，在岸边取点 D、E，使∠ADC=∠BDE，∠ACD=∠BED=90°，测得 DE=10m，DC=30m，BE=15m。求河宽 AB。
解析：
① 判定相似：∠ADC=∠BDE（已知），∠ACD=∠BED=90°（直角），故△ACD∽△BED（AA）
② 列比例式：\(\frac{AC}{BE}=\frac{DC}{DE}\)，设 AB=x，则 AC=AB+BC=x+BC（修正：调整图形，使 A、B、E 共线，D 在岸边，得\(\frac{AB}{BE}=\frac{DC}{DE}\)）
③ 代入计算：\(\frac{AB}{15}=\frac{30}{10}\)，解得 AB=45m
第 9 页：巩固练习
选择题：
（1）下列条件中，能判定△ABC∽△A'B'C' 的是（ ）
A. ∠A=∠A'，∠C=∠B' B. ∠A=∠B，∠A'=∠B' C. ∠A=∠A'，∠B=∠C' D. ∠A=∠A'，∠B=∠B'
（2）两个等腰三角形相似的条件是（ ）
A. 顶角相等 B. 底角相等 C. 顶角或底角相等 D. 腰长相等
填空题：
（1）若△ABC 中∠A=60°，∠B=80°，△DEF 中∠D=60°，当∠E=____时，△ABC∽△DEF；
（2）已知△ABC∽△A'B'C'，∠A=40°，∠B'=60°，则△A'B'C' 中∠C'=____。
解答题：
如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，BD 平分∠ABC 交 AC 于 D。求证：△ABC∽△BDC，并求∠BDC 的度数。
第 10 页：课堂小结
知识梳理：
判定定理：两角分别相等的两个三角形相似（AA 相似）
推导依据：三角形内角和定理（两角相等→第三角相等）+ 相似三角形定义
核心优势：无需边长计算，仅通过角度关系即可快速判定，适用场景广泛
思想方法：
转化思想：将 “两角相等” 转化为 “三角对应相等”，进而结合已有知识证明相似
建模思想：从复杂图形中提炼 “两角相等” 的基本模型（如公共角、对顶角、直角）
易错点回顾：
忽略 “对应角” 相等，误将非对应角相等当作判定条件
在等腰三角形等特殊图形中，未明确顶角与底角的对应关系
第 11 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 4 道三角形相似判定题（重点用 AA 判定）和 2 道角度 / 比例计算题
提升作业：
（1）如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=∠BDC，求证：△ABD∽△DCB；
（2）已知△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB 于 D，求证：①△ACD∽△ABC；②△BCD∽△BAC，并写出对应边的比例关系。
实践作业：观察生活中的相似三角形（如斜拉桥的支架、屋顶的三角形桁架），用手机拍照记录，分析其中 “两角相等” 的条件，验证相似关系
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
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27.2.1.4两角分别相等的两个三角形相似
第二十七章 相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
学校举办活动，需要三个内角分别为 90°，60°，30° 的形状相同、大小不同的三角纸板若干．小明手上的测量工具只有一个量角器，他该怎么做呢？
情境引入
？
？
？
问题一 度量 AB，BC，AC，A′B′，B′C′，A′C′ 的长，并计算出它们的比值．你有什么发现？
C
A
B
A'
B'
C'
两角分别相等的两个三角形相似
合作探究
与同伴合作，一人画 △ABC，另一人画 △A′B′C′，使∠A =∠A′ = 40°，∠B =∠B′ = 55°，探究下列问题：
这两个三角形是相似的！
证明：在 △A′B′C′ 的边 A′B′（或 A′B′的延长线）上截取 A′D = AB，过点 D 作 DE∥B′C′，交 A′C′ 于点 E，
则有 △A′DE∽△A′B′C′，∠A′DE =∠B′．
∵∠B =∠B′，
∴∠A′DE =∠B．
又∵ A′D = AB，∠A =∠A′，
∴△A′DE ≌△ABC（ASA）．
∴△ABC∽△A′B′C′．
C
A
A'
B
B'
C'
D
E
问题二 试证明 △ABC∽△A′B′C′.
由此得到利用两组角判定两个三角形相似的定理：
两角分别相等的两个三角形相似.
∵∠A =∠A'，∠B =∠B'，
∴△ABC∽△A'B'C'.
符号语言：
归纳：
C
A
B
A'
B'
C'
在△ABC 和△A'B'C' 中，
证明：在△ABC 中，∵∠A = 40°，∠B = 80°，
∴∠C = 180°－∠A－∠B = 60°．
在△DEF 中，∵∠E = 80°，∠F = 60°，
∴∠B =∠E，∠C =∠F．
∴△ABC∽△DEF．
例 1 如图，在△ABC 和 △DEF 中，∠A = 40°，∠B = 80°，∠E = 80°，∠F = 60°．求证：△ABC∽△DEF．
A
C
B
F
E
D
典例精析
如图，在△ABC 和△A'B'C' 中，若∠A = 50°，
∠B = 75°，∠A' = 50°，则当∠C' = ° 时，△ABC∽△A'B'C'.
练一练
C
A
B
B'
C'
A'
55
例 2 如图，弦 AB 和 CD 相交于 ⊙O 内一点 P，求证：PA · PB = PC · PD．
证明：连接 AC，DB．
∵∠A 和 ∠D 都是弧 CB 所对的圆周角，
∴ ∠A = _______．
同理 ∠C = _______，
∴ △PAC ∽ △PDB.
∴__________， 即 PA · PB = PC · PD.
∠D
∠B
O
D
C
B
A
P
如图，⊙O 的弦 AB，CD 相交于点 P，若 PA = 3，
PB = 8，PC = 4，则 PD = .
6
O
D
C
B
A
P
练一练
【分析】此图中，没有完整的三角形出现，根据题目给的四条边可知，它们属于△BCP 和△ADP，因此连接 AD、BC，根据圆周角的性质得到相似三角形，进而根据对应边成比例求解．
∴
解：∵ ED⊥AB，∴∠EDA = 90°.
判定两个直角三角形相似
例3 如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AB = 10，AC = 8. E 是 AC 上一点，AE = 5，ED⊥AB，垂足为 D．求 AD 的长．
D
A
B
C
E
∴
又∠C = 90°，∠A =∠A，
∴△AED ∽△ABC.
由此得到一个判定直角三角形相似的方法：
有一个锐角相等的两个直角三角形相似．
归纳：
对于两个直角三角形，我们可以用 “HL”判定它们全等．那么，满足斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似吗？
思考：
如图，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C = 90°，
∠C′ = 90°， ．求证：Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
要得到两个三角形相似，需要证明
什么呢？
目标：证
C
A
A'
B
B'
C'
证明：设 = k，则 AB = kA′B′，AC = kA′C′.
由 ，得 ，
∴ .
∴ Rt△ABC ∽ Rt△A′B′C′.
勾股定理
∴
C
A
A'
B
B'
C'
__________
________________
由此得到另一个判定直角三角形相似的方法：
斜边和一直角边成比例的两个直角三角形相似.
归纳：
例 4 如图，已知∠ACB =∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，当 AB = 时，△ABC 与 △ACD 相似．
【分析】观察得到 AB 和 AC 分别是斜边，但两条直角边的对应关系并没有确定，因此需要分类讨论．
C
A
B
D
2
解析：∵∠ADC = 90°，AD = 2，CD = ，
要使这两个直角三角形相似，有两种情况：
(1) 当 Rt△ABC ∽ Rt△ACD 时，
AC : AD = AB : AC，
即 : 2 =AB : ，
解得 AB = 3；
∴
(2) 当 Rt△ABC ∽ Rt△CAD 时，
AC : CD ＝ AB : AC，即 : = AB : ，
解得 AB = ．
∴ 当 AB 的长为 3 或 时，这两个直角三角形相似．
C
A
B
D
2
在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′ 中，∠C =∠C′ = 90°，依据下列各组条件判定这两个三角形是否相似.
(1) ∠A = 35°，∠B′ = 55°： ；
(2) AC = 3，BC = 4，A′C′ = 6，B′C′ = 8： ；
(3) AB = 10，AC = 8，A′B′ = 25，B′C′ = 15： .
练一练
是
是
是
7．
如图，一束光线从y轴上的点A(0，1)发出，经过x轴上的点C反射后，经过点B(6，2)，则光线从点A到点B经过的路线长为(　　)
【点拨】
如图，过点B作BD⊥x轴于点D，则∠BDC＝90°.
∵A(0，1)，B(6，2)，
∴OA＝1，OD＝6，BD＝2.
由入射角等于反射角，
易得∠ACO＝∠BCD.
∵∠AOC＝∠BDC＝90°，
【答案】C
返回
8．
如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D为半圆AB的中点，连接CD交AB于点E，若AC＝8，BC＝6，则BE的长为(　　)
【点拨】
【答案】B
返回
9．
【点拨】
返回
10．
如图，在矩形ABCD中，AC是对角线，点O，E分别是AC，AB的中点，连接OE.在直线AD上是否存在一点F，使得△OCF与△EOA相似，如果存在，请你画出点F，并证明你的结论；如果不存在，请说明理由．
【解】存在，如图，当OF⊥AC时，△CFO∽△OAE.
证明：由题易知OA＝OC，AE＝BE，
∴OE是△ABC的中位线．
∴OE∥BC. ∵OA＝OC，OF⊥AC，
∴FA＝FC.∴∠AFO＝∠CFO.
∵∠BAD＝∠AOF＝90°，
∴∠EAO＋∠FAO＝90°，∠FAO＋∠AFO＝90°.
∴∠EAO＝∠AFO＝∠CFO.
∵OE∥BC，∠B＝90°，
∴∠AEO＝∠B＝90°.
又∵∠FOC＝90°，∴∠AEO＝∠FOC.
∴△CFO∽△OAE.
返回
11．
[2024内江节选]如图，AB是⊙O的直径，C是BD的中点，过点C作AD的垂线，垂足为点E.
(1)求证：△ACE∽△ABC；
︵
︵
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︵
(2)求证：CE是⊙O的切线．
【证明】如图，连接OC.
∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.
由(1)知∠EAC＝∠BAC，∴∠EAC＝∠OCA.
∴OC∥AE. ∵CE⊥AE，∴OC⊥CE.
又∵OC为⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线．
返回
两角分别相等的两个三角形相似
利用两角判定三角形相似
直角三角形相似的判定
C
A
B
A'
B'
C'
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！