27.2.2 相似三角形的性质 课件(共45张PPT)-2025-2026学年人教版数学九年级下册教学课件

(共45张PPT)
第 1 页：封面
标题：27.2.2 相似三角形的性质
副标题：人教版九年级数学下册
配图：两个相似三角形（△ABC∽△A'B'C'，标注相似比 k），用彩色线条标注对应边、对应角，旁注 “对应角相等”“对应边成比例”“周长比 = k”“面积比 = k ”
落款：授课教师 / 日期
第 2 页：学习目标
知识与技能：
掌握相似三角形的基本性质（对应角相等、对应边成比例），理解相似比的意义
推导并掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系（周长比 = 相似比，面积比 = 相似比的平方）
能运用相似三角形的性质解决角度计算、线段长度求解、周长与面积计算等问题
过程与方法：
通过测量、计算、推理等探究活动，经历相似三角形性质的推导过程，提升逻辑推理与归纳总结能力
对比相似三角形与全等三角形的性质，体会 “特殊到一般” 的数学思想
情感态度：
感受相似三角形性质的系统性与实用性，增强几何解题的信心
在小组合作探究中，培养团队协作意识与严谨的数学思维
第 3 页：复习回顾与情境引入
复习旧知：
相似三角形的定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形相似
相似三角形的判定方法：SSS、SAS、AA
相似比：相似三角形对应边的比（记为 k），全等三角形的相似比 k=1
情境引入：
实例：如图，△ABC∽△A'B'C'，相似比 k=1:2，已知 AB=2cm，BC=3cm，AC=4cm，∠A=60°。
思考 1：△A'B'C' 的对应角是多少？对应边长度是多少？
思考 2：△ABC 与△A'B'C' 的周长比是多少？面积比是多少？
引入课题：今天我们将深入探究相似三角形的性质，重点分析周长比、面积比与相似比的关系。
第 4 页：探究一：相似三角形的基本性质（对应角、对应边）
性质推导：
由相似三角形的定义直接可得：
性质 1：相似三角形的对应角相等（如△ABC∽△A'B'C'，则∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'）
性质 2：相似三角形的对应边成比例（如△ABC∽△A'B'C'，则\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)，k 为相似比）
动手验证：
画△ABC（∠A=50°，∠B=60°，AB=3cm，BC=4cm，AC=5cm）
画△A'B'C'，使△A'B'C'∽△ABC，相似比 k=2
测量△A'B'C' 的对应角与对应边，验证 “对应角相等、对应边成比例”
小练习：
已知△ABC∽△DEF，∠A=70°，∠B=50°，AB=5cm，DE=10cm，求∠D、∠E 的度数及相似比 k。（答案：∠D=70°，∠E=50°，k=1:2）
第 5 页：探究二：相似三角形的周长比与相似比的关系
推导过程：
设△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，即\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)
则 AB=k A'B'，BC=k B'C'，AC=k A'C'
△ABC 的周长\(C_{ABC}=AB+BC+AC=k ·A'B'+k ·B'C'+k ·A'C'=k(A'B'+B'C'+A'C')=k ·C_{A'B'C'}\)
故\(\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=k\)
性质总结：
性质 3：相似三角形的周长比等于相似比
实例验证：
若△ABC 的周长为 12cm，△A'B'C' 与△ABC 的相似比 k=3，则△A'B'C' 的周长 = 12×3=36cm
小练习：
已知△ABC∽△DEF，周长比为 2:3，若△ABC 的周长为 18cm，求△DEF 的周长。（答案：27cm）
第 6 页：探究三：相似三角形的面积比与相似比的关系
推导过程：
设△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，分别作△ABC、△A'B'C' 的高 AD、A'D'（D 在 BC 上，D' 在 B'C' 上）
由 AA 判定，△ABD∽△A'B'D'（∠B=∠B'，∠ADB=∠A'D'B'=90°），故\(\frac{AD}{A'D'}=k\)
△ABC 的面积\(S_{ABC}=\frac{1}{2} ·BC ·AD\)，△A'B'C' 的面积\(S_{A'B'C'}=\frac{1}{2} ·B'C' ·A'D'\)
则\(\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=\frac{\frac{1}{2} ·BC ·AD}{\frac{1}{2} ·B'C' ·A'D'}=\frac{BC}{B'C'} ·\frac{AD}{A'D'}=k ·k=k \)
性质总结：
性质 4：相似三角形的面积比等于相似比的平方
实例验证：
若△ABC 的面积为 8cm ，△A'B'C' 与△ABC 的相似比 k=2，则△A'B'C' 的面积 = 8×2 =32cm
易错提醒：
面积比是相似比的 “平方”，而非相似比本身（如相似比为 1:3，面积比为 1:9，而非 1:3）
第 7 页：相似三角形性质的综合梳理
性质列表（以△ABC∽△A'B'C'，相似比为 k 为例）：
性质类型
具体内容
数学表达式
对应角
对应角相等
∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'
对应边
对应边成比例
\(\frac{AB}{A'B'}=\frac{BC}{B'C'}=\frac{AC}{A'C'}=k\)
周长
周长比 = 相似比
\(\frac{C_{ABC}}{C_{A'B'C'}}=k\)
面积
面积比 = 相似比的平方
\(\frac{S_{ABC}}{S_{A'B'C'}}=k \)
与全等三角形的对比（全等三角形是相似比 k=1 的特殊情况）：
全等三角形：对应角相等、对应边相等、周长相等、面积相等
相似三角形：对应角相等、对应边成比例、周长比 = k、面积比 = k
第 8 页：性质应用（基础例题）
例 1：角度与边长计算
已知△ABC∽△DEF，∠A=60°，∠B=70°，AB=4cm，DE=8cm，BC=5cm，求∠D、∠E 的度数及 EF 的长度。
解析：
对应角相等：∠D=∠A=60°，∠E=∠B=70°
相似比 k=\(\frac{AB}{DE}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}\)
对应边成比例：\(\frac{BC}{EF}=k=\frac{1}{2}\)，故 EF=BC×2=5×2=10cm
例 2：周长与面积计算
已知△ABC∽△A'B'C'，相似比 k=2:3，△ABC 的周长为 20cm，面积为 16cm ，求△A'B'C' 的周长与面积。
解析：
周长比 = k，故△A'B'C' 的周长 = 20×\(\frac{3}{2}\)=30cm
面积比 = k ，故△A'B'C' 的面积 = 16×(\(\frac{3}{2}\)) =16×\(\frac{9}{4}\)=36cm
第 9 页：性质应用（综合例题）
例 3：复杂图形中的面积计算
如图，在△ABC 中，DE∥BC，DE 交 AB 于 D，交 AC 于 E，且\(\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}\)，△ADE 的面积为 4cm ，求△ABC 的面积。
解析：
由 DE∥BC，得△ADE∽△ABC（AA）
相似比 k=\(\frac{AD}{AB}=\frac{AD}{AD+DB}=\frac{1}{1+2}=\frac{1}{3}\)
面积比 = k =\(\frac{1}{9}\)，设△ABC 的面积为 S，则\(\frac{4}{S}=\frac{1}{9}\)，解得 S=36cm
例 4：实际应用 —— 相似三角形模型
如图，小明用自制的相似三角形模型测量树高，已知模型的高为 10cm，底边长为 15cm，测得模型与树的水平距离为 20m，树的影子顶端与模型影子顶端的水平距离为 5m，求树的高度。
解析：
模型与树相似（AA，太阳光为平行光线，夹角相等）
相似比 k=\(\frac{ ¨ è é }{ ±é }=\frac{0.15}{5}=0.03\)（单位统一：15cm=0.15m）
树高 = 模型高 ÷k=0.1÷0.03≈3.33m（或用对应边成比例：\(\frac{ ¨ é }{ é }=\frac{ ¨ ±é }{ ±é }\)，解得树高 = \(\frac{0.1 5}{0.15}\)≈3.33m）
第 10 页：巩固练习
选择题：
（1）已知△ABC∽△DEF，相似比为 1:2，若△ABC 的面积为 3，则△DEF 的面积为（ ）
A. 3 B. 6 C. 12 D. 24
（2）两个相似三角形的周长比为 3:4，则它们的面积比为（ ）
A. 3:4 B. 9:16 C. \(\sqrt{3}:\sqrt{4}\) D. 6:8
填空题：
（1）△ABC∽△A'B'C'，∠A=50°，∠B=60°，则∠C'=____；
（2）若△ABC∽△DEF，AB=3，DE=6，BC=4，则 EF=，相似比 k=。
解答题：
如图，△ABC∽△A'B'C'，AD、A'D' 分别是两三角形的高，若 AB=4，A'B'=6，AD=3，求 A'D' 的长度及两三角形的面积比。
第 11 页：课堂小结
知识梳理：
相似三角形的核心性质：对应角相等、对应边成比例、周长比 = 相似比、面积比 = 相似比的平方
关键关系：相似比是连接边、周长、面积的桥梁，面积比需注意 “平方” 关系
思想方法：
转化思想：将复杂图形中的面积、周长问题转化为相似比的计算
类比思想：对比全等三角形与相似三角形的性质，理解 “特殊与一般” 的关系
易错点回顾：
混淆 “周长比” 与 “面积比”，忘记面积比是相似比的平方
在复杂图形中，未明确相似三角形的对应关系，导致比例计算错误
第 12 页：布置作业
基础作业：教材对应习题，完成 3 道角度 / 边长计算题和 2 道周长 / 面积计算题
提升作业：
（1）如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，AD=6，E 是 AD 上一点，AE=2，连接 BE 并延长交 AC 于 F，若△AEF 的面积为 1，求△ABC 的面积；
（2）已知△ABC∽△DEF，且 AB:DE=2:3，△ABC 的周长与△DEF 的周长之差为 10cm，求两个三角形的周长。
实践作业：用硬纸板制作两个相似三角形（相似比 k=1:2），测量并计算它们的周长比与面积比，验证相似三角形的性质
2025-2026学年人教版数学九年级下册【公开课精做课件】
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27.2.2 相似三角形的性质
第二十七章 相似
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
1. 相似三角形的判定方法有哪些？
定义：对应边成比例，对应角相等的两个三角形相似.
平行于三角形一边的直线与另外两边相交，所构成的
三角形与原三角形相似.
三边成比例的两个三角形相似.
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
两角分别相等的两个三角形相似.
一组直角边和斜边成比例的两个直角三角形相似.
2. 三角形除了三个角，三条边外，还有哪些要素
如果两个三角形相似，那
么，对应的这些要素
有什么关系呢？
高
中线
角平分线
周长
面积
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，它们的对应高、对应中线、对应角平分线的比各是多少？
相似三角形对应线段的比
A
B
C
A'
B'
C'
合作探究
∵△ABC∽△A′B′C′，
∴∠B =∠B'．
解：如图，分别作出 △ABC 和 △A'B'C'
的高 AD 和 A'D'．
则∠ADB =∠A'D'B' = 90°．
∴△ABD∽△A'B'D'．
A'
B'
C'
D'
∴
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，求它们对应边 BC 和 B′C′ 上的高之比．
C
A
B
D
仿照求高的比的过程，当△ABC∽△A′B′C′，相似比为 k 时，求它们对应中线的比、对应角平分线的比.
试一试：
类似地，还可以证明相似三角形的对应中线、对应角平分线的比也等于相似比.
相似三角形对应高的比等于相似比.
一般地，我们有：
相似三角形对应线段的比等于相似比.
归纳：
解：∵ △ABC ∽△DEF， 　
D
E
F
H
例 1 已知 △ABC∽△DEF，BG、EH 分别是 △ABC 和 △DEF 的角平分线，BC = 6，EF = 4，BG = 4.8. 求 EH.
∴ (相似三角形对应
角平分线的比等于相似比).
∴ ，解得 EH = 3.2.
A
G
B
C
典例精析
1. 如果两个相似三角形的对应高的比为 2 : 3，那么对
应角平分线的比是 ，对应边上的中线的比是
______ .
2. 已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为 3 : 4，若 BC 边上
的高 AD = 12 cm，则 B'C' 边上的高 A'D' ＝______.
2 : 3
2 : 3
16 cm
练一练
相似三角形的周长比也等于相似比吗？为什么？
想一想：
如果 △ABC∽△A'B'C'，相似比为 k，那么
因此 AB = kA'B'，BC = kB'C'，CA = kC'A'.
从而
归纳：
相似三角形周长的比等于相似比.
相似三角形面积的比
如图，△ABC ∽△A′B′C′，相似比为 k，那么它们的面积比是多少？
合作探究
A
B
C
A'
B'
C'
由前面的结论，我们有
D'
D
A
B
C
A'
B'
C'
分别作 BC，B′C′ 边上的高 AD 和 A′D′.
故
相似三角形的面积的比等于相似比的平方．
归纳：
1. 已知两个三角形相似，请完成下列表格：
相似比 2 … k
周长比 …
面积比 10000 …
试一试：
2
4
100
100
k
k2
2. 把一个三角形变成和它相似的三角形：
(1) 如果边长扩大为原来的 5 倍，那么面积扩大为
原来的______倍；
(2) 如果面积扩大为原来的 100 倍，那么边长扩大
为原来的______倍.
25
10
3. 两个相似三角形的一对对应边分别是 35 cm、14 cm.
(1) 若它们的周长差为 60 cm，这两个三角形的周长
分别是______________；
(2) 若它们的面积之和是 58 cm2，这两个三角形的面
积分别是______________.
100 cm、40 cm
50 cm2、8 cm2
解：在△ABC 和△DEF 中，
∵ AB = 2DE，AC = 2DF，
又 ∵∠D =∠A，
A
B
C
D
E
F
∴
例 2 如图，在 △ABC 和 △DEF 中，AB = 2DE，AC = 2DF，∠A =∠D. 若△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，求△DEF 的边 EF 上的高和面积.
∴ △DEF∽△ABC，相似比为 1∶2.
∵△ABC 的边 BC 上的高为 6，面积为 ，
∴△DEF 的边 EF 上的高为 ×6 = 3，
面积为
A
B
C
D
E
F
如果两个相似三角形的面积之比为 2∶7，较大三角形一边上的高为 7，那么较小三角形对应边上的高为_____.
练一练
例 3 如图，D，E 分别是 AC，AB 上的点，已知△ABC 的面积为 100 cm2，且 ，求
四边形 BCDE 的面积. 　
∴△ADE ∽△ABC.
∵ 它们的相似比为 3 : 5，
∴ 面积比为 9 : 25.
B
C
A
D
E
解：∵∠BAC =∠DAE，且 ，
又∵ △ABC 的面积为 100 cm2，
∴ △ADE 的面积为 36 cm2.
∴ 四边形 BCDE 的面积为 100－36 = 64 (cm2).
B
C
A
D
E
如图，△ABC 中，点 D、E、F 分别在 AB、AC、BC 上，且 DE∥BC，EF∥AB. 当 D 点为 AB 中点时，求 S四边形BFED : S△ABC 的值.
A
B
C
D
F
E
练一练
解：∵ DE∥BC，D 为 AB 中点，
∴ △ADE∽△ABC．
∴
即相似比为 1 : 2，面积比为 1 : 4.
又∵ EF∥AB，
A
B
C
D
F
E
∴ △EFC∽△ABC ，相似比为
∴ 面积比为 1 : 4.
设 S△ABC = 4，则 S△ADE = 1，S△EFC = 1，
S四边形BFED = S△ABC－S△ADE－S△EFC = 4－1－1 = 2，
∴ S四边形BFED : S△ABC = 2 : 4 =
1. 判断对错：
(1) 一个三角形的各边长扩大为原来的 5 倍，这个
三角形的周长也扩大为原来的 5 倍． ( )
(2) 一个四边形的各边长扩大为原来的 9 倍，这个
四边形的面积也扩大为原来的 9 倍． ( )
√
×
D
返回
1．
返回
A
2．
已知两个三角形相似，若它们的对应中线之比为2：3，则它们的周长比为(　　)
B
返回
3．
如果两个相似三角形的对应高线的长度之比为a：b，对应的角平分线的长度之比为b：a，那么(　　)
A．a>b
B．a＝b
C．aD．a，b的大小无法比较
4．
[2024沈阳期末]如图是学生用具三角尺ABC，∠C＝90°，∠B＝30°，其中△DEF∽△ABC，AB长为12 cm，DF长为3 cm，则这个三角尺中△DEF与△ABC的面积比为(　　)
【点拨】
【答案】B
返回
5．
【点拨】
返回
6．
5
【点拨】
返回
7．
如图，△CAD∽△CBA，AC：BC＝1：2，D为BC边上的一点．若△ACD的面积为3，则△ABD的面积为(　　)
A．6
B．8
C．9
D．12
【点拨】
【答案】C
返回
8．
如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面积为16，阴影部分三角形的面积为9.若AA′＝1，则A′D等于(　　)
【点拨】
【答案】B
返回
9．
[2024石家庄桥西区模拟]如图，在△ABC中，直尺的一边与BC重合，另一边分别交AB，AC于点D，E，其中点B，C，D，E处的读数分别为8，16，10.5，14.5，已知直尺宽为3，则△ABC中BC边上的高为(　　)
A．2 B．3
C．4 D．6
【点拨】
【答案】D
返回
10．
5
(答案不唯一)
在△ABC中，AC＝6，P是AB上一点，Q是AC上一点，直线PQ把△ABC分成面积相等的两部分，且△APQ和△ABC相似，如果这样的直线PQ有两条，那么AB边的长度可以是________．
相似三角形的性质
相似三角形对应线段的比等于相似比
相似三角形面积的比等于相似比的平方
相似三角形性质的运用
相似三角形的周长的比等于相似比
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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